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高三5月第二次模拟考试
数学试卷
本试卷共4页，19题．满分150分．
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将答题卡上交．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知命题：，有，命题：，使得，则
A．和都是真命题
B．和都是真命题
C．和都是真命题
D．和都是真命题
2．已知复数在复平面内对应的点为，则
A． B．
C． D．
3．已知函数有两个零点，则的取值范围是
A． B．
C． D．
4．等差数列的前项和为，且，，则
A．90 B．100 C．110 D．200
5．已知直线：与圆：交于，两点，则面积的最大值为
A．10 B．5 C．4 D．2
6．某游客计划3天内游览完，，，，这5个景点，每天至多游览2个景点，且，两个景点不安排在同一天游览，则不同的安排方案种数为
A．36 B．72 C．90 D．144
7．已知双曲线：及圆：（其中）．圆与C相交于A，B，C，D四点．圆O与C的两条渐近线相交于，，，四点．若矩形与矩形相似，则C的离心率为
A． B．
C． D．
8．已知时，关于x的不等式恒成立，则的最大值为
A． B．
C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9．如图，在中，，，P为内的一点，，则下列说法正确的是
A．若P为的重心，则
B．若P为的内心，则
C．若P为的外心，则
D．若P为的垂心，则
10．在数列中，若，，则
A．数列为等比数列
B．数列是递减数列
C．若数列的前n项和为，则
D．若数列的前n项和为，则
11．已知正四面体的棱长为1，O是其外接球的球心，动点P，Q分别在棱，上（不包括端点），则
A．面积的最小值为
B．若恰有两个点P满足，则m的取值范围是
C．Q到平面与到平面的距离之和为定值
D．若，则的周长不可能为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．一组数据，，，，频率分布直方图如图所示．若（，，，），则估计数据，，，，的中位数为__________．
13．已知，分别为函数的两个零点，则的最小值为__________．
14．已知集合，，将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．若且，则__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
在三棱锥中，和均为等边三角形．
（1）若为线段的中点，求证：平面平面；
（2）当直线与直线所成角的余弦值为时，求二面角的大小．
16．（15分）
已知锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，且满足．
（1）求证：；
（2）求的取值范围．
17．（15分）
为了增强学生的国防意识，某中学组织了一次国防知识竞赛，高一和高二两个年级学生参加知识竞赛，两个年级各派一位学生代表参加国防知识决赛，决赛的规则如下：①决赛一共五轮，在每一轮中，两位学生各回答一次题目，两队累计答对题目数量多者胜；若五轮答满，分数持平，则并列为冠军；②如果在答满5轮前，其中一方答对题目数量已经多于另一方答满5次题可能答对的题目数量，则不需再答题，譬如：第3轮结束时，双方答对题目数量比为，则不需再答第4轮了；③设高一年级的学生代表甲答对比赛题目的概率是，高二年级的学生代表乙答对比赛题目的概率是，每轮答题比赛中，答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．
（1）在一次赛前训练中，学生代表甲同学答了3轮题，且每次答题互不影响，记为答对题目的数量，求的分布列及数学期望；
（2）求在第4轮结束时，学生代表甲答对3道题并刚好胜出的概率．
18．（17分）
已知椭圆的左、右焦点分别为，，是圆上一点，线段与交于点，且．
（1）求的标准方程；
（2）设为坐标原点，，直线与交于，两点，线段的中点为，的外心为，直线的斜率为，直线的斜率为．
（i）试用表示点的坐标；
（ii）试判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
19．（17分）
设，．
（1）若，讨论的单调性；
（2）若，求的最大值（用表示）；
（3）若有三个极值点，求的取值范围．
5月第二次模拟考试试题答案及评分标准
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A D B C B A C
题号 9 10 11 12 13 14
答案 ACD ABD ACD 38
四、解答题：
15．（1）连接，．
和均为等边三角形，，．
为的中点，，．
又，平面，平面，平面，
平面，平面平面．（4分）
（2）取的中点，连接，．
，为的中点，
，，
二面角的平面角为，设．（6分）
，，平面，平面．
以点为坐标原点，，所在直线分别为，轴，平面内过点且垂直于的直线为轴建立空间直角坐标系，则
，，，，（8分）
，，
由题意得，，（11分）
解得（舍去），，．
故二面角的大小为．（13分）
16．（1），，
由正弦定理得，．
因为是锐角三角形，所以，，
，．（5分）
（2）因为为锐角三角形，故，解得，
的取值范围是．（8分）
．（13分）
令，记．
函数在上为增函数，．
故的取值范围是．（15分）
17．（1）由题可得，的可能取值为，，，．
，，
，．（4分）
的分布列为：
0 1 2 3
（6分）
（2）将“在第4轮结束时，学生代表甲答对3道题并刚好胜出”记为事件，“在第4轮结束时，学生代表乙答对0道题”记为事件，“在第4轮结束时，学生代表乙答对1道题”记为事件，则事件即“甲在第4轮比赛中答对，在前3轮比赛中答对2题，并且乙在4轮比赛中全答错”．事件有两种情形：①甲在第4轮中答错，乙在前3轮中答对1题；②甲在第4轮中答对．
，（9分）
，（14分）
．
在第4轮结束时，学生代表甲答对3道题并刚好胜出的概率为．（15分）
18．（1），即，所以该圆是以为圆心，6为半径的圆．
，即，．
又，，故C的标准方程为．（3分）
（2）（i）设，．
联立得，
，，
，
．（7分）
（ii）为定值9，理由如下：
设，外接圆的方程可设为．
因为在外接圆上，所以，即，
故外接圆的方程为．（10分）
联立得，
，．（12分）
又，，
故，，
解得，．（15分）
，，
故，为定值．（17分）
19．（1）时，，故．
令，则，故在上为减函数．
而，故在上，，；在上，，．
故的单调增区间为，单调减区间为．（3分）
（2）令，则在上单调递增．
又时，；时，，
，使得．（5分）
，
（等号当且仅当时取到），
，
．（8分）
（3）结合（2）可知．（9分）
．
．（11分）
设，，，则方程①有三个解．
由知，在上，，递减；在上，，递增．
又在上，单调递减，且值域为；也单调递减，值域为，所以方程①有三个解时，解的个数不少于2．（13分）
．
，在上，，递增；在上，，递减．
又时，；时，；，
仅当，即时，
解的个数不少于2．（15分）
而当时，有两解，且分别在，上，记为，，则，．
结合函数，，的单调性可知，此时方程①有三个解，有三个极值点．
综上，的取值范围是．（17分）

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