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2026年齐齐哈尔市中考数学仿真试卷（三）
考生注意：
1.考试时间120分钟
2.全卷共三道大题，总分120分
3.请将答案写在答题卡的指定位置
一、单选题（每小题3分，满分30分）
1．的相反数的倒数是（ ）
A． B． C． D．5
2．“农历二十四节气”被联合国教科文组织列入人类非物质文化遗产代表作名录，被誉为“中国的第五大发明”下列关于二十四节气的设计简图中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．霜降 B．大雪
C．谷雨 D．小满
3．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图：是由一些大小相同的小正方体组成的几何体的主视图和左视图，则组成这个几何体的小正方体的个数最多有（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
5．在化学实验中，酚酞遇酸溶液不变色，遇碱溶液变红色．小明在实验中看到实验台上有四瓶没有标签的无色溶液，他只知道它们分别是溶液、溶液、稀盐酸、稀硫酸．小明随机选了两瓶溶液并各滴入一滴酚酞试剂，则这两瓶溶液只有一瓶变红色的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．将一副三角板按如图所示的方式摆放，其中点 C，E，A，D在同一条直线上，，，．当时，α的大小为（ ）
A． B． C． D．
7．关于的分式方程的解是非负数，则实数的取值范围是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
8．某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资500元全部用于采购A，B，C三种图书，A种每本30元，B种每本25元，C种每本20元，其中A种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采购的方案有（ ）
A．4种 B．5种 C．6种 D．7种
9．如图，在四边形中，，，，，是的中点，连接，，若点从点出发以每秒个单位的速度沿折线运动到点，过作直线交另一边于点．设运动的时间为秒，四边形被直线扫过的面积为，则关于的函数图象为（ ）
A． B．
C． D．
10．如图是二次函数图象的一部分，对称轴为，且经过点．给出下列结论：①②③；④若是抛物线上的两点，则；⑤（其中）．其中正确的结论个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
二、填空题（每小题3分，满分18分）
11．记者2026年2月3日从商务部获悉，今年优化实施家电以旧换新及数码和智能产品购新补贴政策以来，效应逐步显现．1月，6类家电产品及4类数码和智能产品销售量超1500万台，销售额近590亿元，其中1500万用科学记数法可表示为___________．
12．若圆锥的侧面展开图的圆心角是120°，它的底面半径是5，则该圆锥的侧面积是________．
13．如图，在中按如下步骤作图：①在和上分别截取，使，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点：②分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交延长线于点．根据以上作图，若，，则线段的长为______．
14．如图，是反比例函数在第一象限内图象上的两点，过点作轴，交于点，垂足为点，轴，垂足为点．若，且的面积为，则的值为______．
15．如图，已知在中，，点D，E分别在边，上，连接．将沿翻折，将沿翻折，翻折后，点B，C分别落在点处，且边与在同一直线上，连接，当是以为腰的等腰三角形时，则______．
16．如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，在直线上，若，且都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为．则可表示为_______．
三、解答题(本题共8道大题，共72分)
17．(本题共2个小题，第(1)题5分，第(2)题4分，满分9分)
（1）计算：．
（2）分解因式：．
18．解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．
19．解方程：．
20．某校为了解七、八年级学生的科学素养，随机抽取了七、八年级各20名学生的测试成绩x（满分为50分．单位：分．A．；B．；C．；D．）进行整理、描述和分析，得到如下部分信息：
信息一：七年级20名学生的测试成绩在A组的为46，46，47，48，49，49，50，50，50，50，50，50，50．
信息二：八年级20名学生的测试成绩为33，45，46，47，47，48，48，48，48，48，49，49，49，49，49，49，50，50，50，50．
信息三：
七、八年级学生测试成绩统计表
年级 平均数 众数 中位数
七年级 46.7 a 47.5
八年级 47.6 49 b
根据以上信息，解答下列问题：
(1)补全频数分布直方图．
(2)填空：______，______．
(3)若小霞本次测试成绩为48分，且在本年级抽取的20名学生成绩中属于中上游，请你判断小霞所在的年级，并说明理由．
(4)若该校七年级有学生600人，八年级有学生800人，估计该校七、八年级这次测试成绩为满分的学生总人数．
21．如图，内接于，且是的直径，是外一点，连接，过点作于点，交于点，．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为，，，求的长．
22．在一条笔直的公路上依次有A，C，B三地，甲、乙两人同时出发，甲从A地骑自行车去B地，途经C地休息1分钟，继续按原速骑行至B地，甲到达B地后，立即按原路原速返回A地；乙步行从B地前往A地．甲、乙两人距A地的路程y（米）与时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
(1)甲的骑行速度为______米/分，乙步行速度为______米/分，点M的坐标为______；
(2)求甲返回时距A地的路程y与时间x之间的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）；
(3)请直接写出两人出发后至甲回到A地之前，经过多长时间两人距C地的路程相等．
23．综合与探究
【问题情境】在数学课上，同学们用矩形纸片进行探究活动．
如图1，勤奋小组准备了矩形纸片，与交于点O，将矩形纸片折叠，使点B的对应点恰好落在点O处，得到折痕，与相交于点F．
如图2，阳光小组准备了正方形纸片，将正方形纸片折叠，使点B落在点E处，得到折痕，与相交于点G，连接，．
【猜想发现】
（1）如图1，是__________三角形，__________°；如图2，是__________三角形．
【深入探究】
（2）如图2．试探究线段和线段之间的数量关系和位置关系，并说明理由．
【拓展延伸】
（3）如图3，在图2的基础上，继续将正方形纸片折叠，使点A与点F重合，折痕为，连接，交于点M，请直接写出，，三条线段之间的关系式．
24．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点P为抛物线上一点（不与点A，B，C重合），其横坐标为m．
(1)求点A，B，C的坐标；
(2)如图2，连接，，当时，求证：点P为抛物线的顶点；
(3)已知，对称轴与x轴的交点为D，连接并延长交的延长线于点E，交对称轴于点F，连接并延长交对称轴于点G．
①设，求d关于m的函数表达式及其最大值；
②猜想是否是一个定值，若是，请直接写出这个定值；若不是，请说明理由．
《2026年齐齐哈尔市中考数学仿真试卷（三）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B C C C C D C D B
1．B
【分析】本题考查相反数和倒数的定义，先求出的相反数，再计算所得数的倒数，即可得到答案．
【解答】解：∵符号不同的两个数互为相反数，
∴的相反数是，
∵乘积为1的两个数互为倒数，且，
∴的倒数是．
2．B
【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
3．C
【分析】根据同底数幂乘除法、积的乘方、幂的乘方法则及完全平方公式逐一判断各选项即可得到结果．
【解答】解：A．，故该选项计算错误，不符合题意，
B．，故该选项计算错误，不符合题意，
C．，故该选项计算正确，符合题意，
D．，故该选项计算错误，不符合题意．
4．C
【分析】根据主视图和左视图，这个几何体的底层最多有6个小正方体；第二层最多有1个小正方体，即可求解．
【解答】解：综合主视图和左视图，这个几何体的底层最多有6个小正方体；第二层最多有1个小正方体；
因此组成这个几何体的小正方体最多有个．
5．C
【分析】先确定能使酚酞变红的溶液数量，再列举出所有等可能的选瓶情况，找出符合条件的情况数，利用概率公式计算即可得到结果．
【解答】解：由题意可知，四瓶溶液中，能使酚酞变红的碱溶液共瓶，不能使酚酞变红的酸溶液共瓶． 将两瓶变红溶液记为，两瓶不变红溶液记为．
∵从瓶中随机选瓶，所有等可能的情况为，共种．
其中只有一瓶变红色的情况共种．
∴所求概率．
6．C
【分析】由平行线的性质求得，再利用三角形的外角性质求解即可．
【解答】解：，
，
，点C，E，A，D在同一条直线上，
．
7．D
【分析】首先解此分式方程，再根据此方程的解是非负数及，据此计算即可求解．
【解答】解：去分母得，
去括号得，
解得，
分式方程的根是非负数，且，
，且，
解得且．
8．C
【分析】本题主要考查了三元一次方程的应用，正确理解题意、进行分类讨论是解答本题的关键．
设采购A种图书x本，B种图书y本，C种图书z本，根据采购三种图书需500元列出方程，再依据x的数量分两种情况讨论求解即可．
【解答】解：设采购A种图书x本，B种图书y本，C种图书z本，其中，且均为整数，
根据题意得，，
整理得，，
①当时，，
∴
∵且均为整数，
∴当时，，
∴；
当时，，
∴；
当时，，
∴；
②当时，，
∴
∵，且均为整数，
∴当时，，
∴；
当时，，
∴；
当时，，
∴；
综上，此次共有6种采购方案，
故选：C．
9．D
【分析】先证明得出，再证明，进而分三种情况，和，分别求得函数解析式，结合选项，即可求解．
【解答】解：∵，是的中点，
∴
∵，
∴，，
又∵，
∴
∴，
∴，即
在中，，则
在中，，则，
∴
设，则，
∴，，
∴，
∵，
∴
当时，如图，设交于点
∵
∴，
∴，
∵
∴，，
∴
当时，，则A，C选项不正确；
当时，如图，设直线交的延长线于点，
依题意，，
∴
∴
∴
当时，，
当，如图，
，，
∴
又∵
∴
当时，，
综上所述，时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分，和都是开口向下的抛物线的一部分，则D选项符合题意，C选项不符合题意．
10．B
【分析】根据抛物线开口方向得到，根据抛物线的对称轴得，则，根据抛物线与轴的交点在轴上方得到，则，于是可对①进行判断；由于经过点，则得到，则可对③进行判断；根据对称轴和一个与轴的交点，求得另一个交点，由根与系数的关系即可得出，则得到，于是可对②进行判断；通过点和点离对称轴的远近对④进行判断；根据抛物线的对称轴为直线，开口向下，得到当时，有最大值，所以（其中，由代入则可对⑤进行判断．
【解答】解：抛物线开口向下，
，
抛物线对称轴为直线，
，
抛物线与轴的交点在轴上方，
，
，所以①正确；
抛物线经过点，
时，，
，所以③错误；
对称轴为，且经过点，
抛物线与轴的另一个交点为，
∴当时，方程的两个根为2或，
由根与系数的关系可得，
，
，所以②正确；
点离对称轴要比点离对称轴要远，且，
，所以④正确．
抛物线的对称轴为直线，
当时，有最大值，
（其中，
（其中，
，
，
，所以⑤正确；
故正确的有①②④⑤，共4个．
11．
【解答】解：1500万．
12．
【分析】本题考查圆锥的侧面展开图，扇形弧长与面积的计算，掌握圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长是解题的关键，先根据弧长公式求出展开图扇形的半径，再计算扇形面积即可.
【解答】解：设圆锥的侧面展开图半径为，
则，
解得：，
圆锥侧面展开图的面积为；
故答案为：.
13．9
【分析】连接，由作图可知，垂直平分，平分 ，则，，由角的组合可知，则可证，所以，设，则可表示，代入解方程即可．
【解答】解：连接，
由作图可知，垂直平分，
，
，
由作图可知，平分，
，
，，
∴，
，
∵，
，
∴，
即，
设，且，
则：
由 ，且，
，
代入得：
，
解得，
则长为9．
14．
【分析】由轴，轴可得，进而证得，利用相似三角形的性质结合求出与的数量关系；设点的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征表示出和的长，进而表示出的长，最后根据的面积建立关于的方程求解即可．
【解答】解：轴，轴，
，即，
，
，
，
，
，即，
设点的坐标为，则，，
点在反比例函数图象上，且点的横坐标为，
点的纵坐标为，即，
，
，
，
，
，解得．
15．或
【分析】本题考查图形的折叠、直角三角形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．根据和两种情况展开讨论，当，设可得，根据折叠的性质得，再根据勾股定理建立方程，解方程即可得到答案；当，可得是的中点，设，，可得，根据折叠的性质得，建立方程解方程即可得到答案．
【解答】解：由折叠性质得，，，
当时，设，
得，
，
，
在中，，
∴，
，
；
当时，
，
是的中点，
，
，
设，则，
，
，
，
，
当或时，是以为腰的等腰三角形．
故答案为：或．
16．
【分析】过点作轴于点，设，则，表示出相关线段的长度，利用锐角三角函数求出角的度数，根据规律表示出相关线段的长度，得出，即可求解．
【解答】解：如图，过点作轴于点，
∵点在上，设，则，
∴，
∴，
∴直线与轴的夹角，，
∴，
∴，
∵，
∴，
同理，
∴，
可知，
∴，
∴，
，
，
∴．
17．（1）；（2）
【解答】
（1）解：原式
．
（2）解：
18．，数轴见解析
【分析】分别求出两个不等式的解集，找出两个解集的公共解集即可得出不等式组的解集，在数轴上表示即可．
【解答】解：
解不等式①得，，
解不等式②得，，
在数轴上表示不等式组的解集如下：
∴不等式组的解集为．
19．，
【分析】可考虑使用配方法、公式法或因式分解法求解．若选择配方法，把常数项移项到等号右边，再配方，开平方求解．
【解答】解：∵，
，
∴，
∴
则，
，．
20．(1)见解析
(2)，
(3)小霞所在的年级是七年级，理由见解析
(4)人
【分析】（1）先确定七年级A组的数据有13个，即可补全频数分布直方图；
（2）根据中位数和众数的定义求解即可；
（3）根据中位数的意义求解即可；
（4）用样本估计总体的方法求解即可．
【解答】（1）解：七年级A组的数据有13个，补全频数分布直方图为：
（2）解：七年级D、C、B组的人数分别为1、3、3，A组中50这个数据出现了7次，且最多，
∴七年级的众数为
八年级20个数据，则中位数是第10，11个数据的平均数，由数据可得第10，11个数据是48，49，
故中位数；
（3）解：小霞所在的年级是七年级，理由如下：
由于七年级的中位数是，八年级的中位数是，
而，小霞本次测试成绩在本年级抽取的20名学生成绩中属于中上游，
∴小霞所在的年级是七年级；
（4）解：（人）
答：该校七、八年级这次测试成绩为满分的学生总人数为人．
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，利用可得 ，又根据等边对等角可得，进而可得 ，结论即可论证；
（2）通过论证 即可得出结论．
【解答】（1）证明：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
，即，
是的切线．
（2）解：是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
22．(1)240，60，（6，1200）
(2)
(3)4分钟或6分钟或8分钟
【分析】（1）根据路程和时间可得甲的速度，根据甲去和返回时的时间共计11分，休息了一分，所以一共用了10分钟，可得M的坐标；
（2）利用待定系数法求MN的解析式；
（3）先根据总路程1200米，时间为20分，计算乙的速度，根据A，C，B三地在同一直线上，计算B、C之间的路程，设甲返回A地之前，经过x分两人距C地的路程相等，然后五种情况讨论，即可求解．
【解答】（1）解：根据题意得：甲的骑行速度为米/分，
∴A地到B地的距离为240×（11-1）÷2=1200（米），
∴乙步行速度为米/分，
∵甲往返总时间为11分，中间休息一分钟，
所以M的横坐标为6，
∴点M的坐标为（6，1200），
故答案为：240，60，（6，1200）；
（2）设MN的解析式为，
根据题意得图象过点M（6，1200），N（11，0），
∴，解得：，
∴MN的解析式为；
（3）解：设甲返回A地之前，经过x分两人距C地的路程相等（x≤6），乙的速度：1200÷20=60（米/分），
根据题意得：A地到B地的距离为1200米，A地到C地的距离为1020米，
∴B地到C地的距离为1200-1020=180米，
当01020-240x=180-60x，解得：，不符合题意，舍去；
当，即时，甲、乙均在A，C两地之间，此时
1020-240x=60x-180，解得x=4；
当时，甲在B、C两地之间，乙在A、C两地之间，此时
240（x-1）-1020=60x-180，解得：x=6，此种情况不符合题意；
当x=6时，甲到达B地，距离C地180米，乙距C地的距离：6×60-180=180（米），
即x=6时，两人距C地的路程相等；
当x＞6时，甲在返回途中，且甲在B、C两地之间时，
180-[240（x-1）-1200]=60x-180，
解得x=6，此种情况不符合题意；
当x＞6时，甲在返回途中，且甲在A、C两地之间时，
240（x-1）-1200-180-60x=180，
解得∶x=8．
综上所述，在甲返回A地之前，经过4分钟或6分钟或8分时两人距C地的路程相等．
23．（1）直角，30；等腰；（2）且，理由见解析；（3）．
【分析】（1）在如图1中，先根据矩形的性质得出，，再根据折叠的性质，可得，，进而由所对的直角边为斜边的一半得出；在如图2中，由正方形和折叠的性质可得，，，进而得，，再根据三角形内角和可得，，，由等边对等角可得，即△是等腰三角形．
（2）由（1）得，，，根据平行线的性质，即可得出且．
（3）过点作的垂线，垂足为，设交于点，由矩形的判定和性质可得，，再根据折叠的性质可得，，进而得出，再由可证，，进而证明，由，，可得，证明，，故，即可证明．
【解答】解：（1）在图1中，四边形是矩形，
，，
由折叠可得，
，
，
，
，
矩形纸片折叠，使点的对应点恰好落在点处，折痕是对称轴，
，即是直角三角形，
在图2中，四边形是正方形，
，
，分别平分和，，
，，
由折叠可得，
，
，，
在中，，
，
在中，，
，
，
是等腰三角形．
故答案为：直角，30；等腰；
（2）且；理由如下：
由（1）得，，，
，，即，
且．
（3）．理由如下：
过点作的垂线，垂足为，设交于点，如图3，
，
四边形为矩形，
，
正方形纸片折叠，使点与点重合，折痕为对称轴，
，，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
和是直角三角形，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，，
．
24．(1)点，，的坐标分别为，，
(2)见解析
(3)①，；②是一个定值，这个定值为2
【分析】（1）由得，，从而，当时，，从而得出；
（2）连接并延长交轴于点，求出点的坐标为，求出，得到顶点坐标为，即可得出结论；
（3）先求出，分别过点A、P作轴的平行线，分别交于点Q、H，证明，得到．再求出，，即可得出答案；
②把代入直线的解析式为，从而得出，同样得出，从而得出．
【解答】（1）解：当时，，
解得，．
当时，，
点，，的坐标分别为，，；
（2）证明：如图，连接并延长交轴于点，
点，的坐标分别为，，
．
，，
，
，
，
，
点的坐标为，
设，
点，点在的图象上，
，
解得：，
，
联立，
解得或，
∴，
，
顶点坐标为，
点为抛物线的顶点；
（3）解：①由（2）可知，抛物线的对称轴为直线，
设直线的解析式为，
点，点在的图象上，
，
解得：，
，
如图，分别过点A、P作轴的平行线，分别交于点Q、H，
，
，
，
点，，
，，
，，
，
，，
∴当时，随着的增大而减小，
当时，，
②是一个定值为2，理由如下：
直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为：，
∴当时，，
∴，
同理可得直线的解析式为：，
∴当时，，
∴，
∴，
∴是一个定值为2．
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