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(共24张PPT)
4.2 提公因式法
第四章 因式分解
北师大版(2024)
素养目标
2.能运用提公因式法将多项式分解因式，提升运算能力.
1.理解公因式及提公因式法的概念，能确定多项式的公因式；
知识回顾
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫作因式分解.因式分解也可称为分解因式.
什么叫作因式分解？
x2- y2
(x+y)(x-y)
因式分解
整式乘法
填空：
x2-1 = (x+1)( )
x-1
探究新知
多项式 ab+cb各项都含有相同的因式吗？多项式3x2+x呢？多项式mb2+nb-b呢？
多项式 项 各项都含有的相同因式
ab+cb ab，cb b
3x2+x 3x2，x x
mb2+nb-b mb2，nb，-b b
【总结】我们把多项式各项都含有的相同因式，叫作这个多项式各项的公因式.
探究新知
ab+cb；3x2+x；mb2+nb-b
尝试将这几个多项式分别写成几个因式的乘积.
逆用乘法对加法的分配律，可以把公因式提到括号外边作为积的一个因式 ，从而将多项式化成两个因式乘积的形式
ab+cb= ；
3x2+x = ；
mb2+nb-b = .
b a+c
x 3x+1
b mb+n-1
多项式 各项都含有的相同因式
ab+cb b
3x2+x x
mb2+nb-b b
探究新知
【思考】多项式2x2＋6x3中各项的公因式是什么？
1.找系数的最大公约数
2.找相同字母
3.找相同字母的最低指数
确定公因式：2x2
2
x
2
一般地，当多项式的各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的___________，字母应取各项______的字母，且_______字母的指数取次数________的．
最大公约数
相同
相同
最低
探究新知
你能尝试将多项式 2x2＋6x3 因式分解吗？
第一步：找出公因式；
第二步：提取公因式 ，即将多项式化为两个因式的乘积.
2x2＋6x3
＝2x2·1＋2x2·3x
＝2x2(1＋3x)
归纳总结
提公因式法
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式. 这种因式分解的方法叫作提公因式法.
2x2＋6x3＝2x2(1＋3x)
因式分解
单项式乘多项式
例题练习
把下列各式因式分解：
(1) 2mn+4m2； (2) 7p2-21p； (3) 8a3b2-12ab3c+ab； (4) -24x3+12x2-28x.
解：(1) 2mn＋4m2＝2m·n＋2m·2m＝2m(n＋2m)；
(2) 7p2－21p＝7p·p－7p·3＝7p(p－3)；
(3)8a3b2－12ab3c＋ab＝ab·8a2b－ab·12b2c＋ab·1
＝ab(8a2b－12b2c＋1) ；
当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“－”号，使括号内第一项的系数成为正数. 在提出“－”号时，多项式的各项都要变号.
(4)－24x3＋12x2－28x＝－(24x3－12x2＋28x)
＝－(4x·6x2－4x·3x＋4x·7)
＝－4x(6x2－3x＋7).
例题练习
把下列各式因式分解：
(1) a(x－3)＋2b(x－3)； (2) y(x＋1)＋y2(x＋1)2.
分析：把“x–3”“x+1”都看作一个整体进行因式分解.
解：(1) a(x－3)＋2b(x－3)＝(x－3)·a＋(x－3)·2b＝(x－3)(a＋2b)；
(2) y(x＋1)＋y2(x＋1)2＝y(x＋1)·1＋y(x＋1)·y(x＋1)
＝y(x＋1)[1＋y(x＋1)]
＝y(x＋1)(xy＋y＋1).
例题练习
把下列各式因式分解：
(1) a(x－y)＋b(y－x)；(2) 6(m－n)3－12(n－m)2.
分析：“x－y”与“y－x”互为相反数；“m－n”与“n－m”互为相反数.
解：(1) a(x－y)＋b(y－x)
＝a(x－y)－b(x－y)
＝(x－y)(a－b).
(2)6 (m－n)3－12(n－m)2
＝6(m－n)3－12(m－n)2
＝6(m－n)2(m－n－2).
归纳总结
提公因式法因式分解的注意事项：
1.当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“－”号，使括号内第一项的系数为正数，在提出“－”号时，多项式各项都变号；
2.多项式有几项，提公因式后所剩的因式也有几项，由此可以检验是否漏项；
3.若多项式各项中含有互为相反数的因式，则可将互为相反数的因式先统一成相同的因式；若多项式各项中含有相同的多项式因式，则将其看成一个整体，不要拆开.
探究新知
如图，有三张不同型号的长方形卡片.
能，选择卡片①和②，可以拼成一个长方形，长为 a＋b，宽为 n.
(1) 你能选择其中两张卡片拼成一个长方形吗？
探究新知
能，拼成的长方形长为 a＋b，宽为 m＋n.
(2) 你能用这三张卡片拼成一个长方形吗？
探究新知
(3) 依据(1)(2)拼图的过程及结果，你能写出哪些多项式的因式分解？你是怎样想的？
an＋bn＝n a＋b
m(a＋b)＋an＋bn＝(m＋n)(a＋b)
D
A
B
63
24
小结
公因式
我们把多项式各项都含有的相同因式，叫作这个多项式各项的公因式.
概念
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式. 这种因式分解的方法叫作提公因式法.
提公因式法
谢谢同学们的聆听

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