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冀教版（2024）八年级下册 21.2 平行四边形的性质 分层练行四边形的定义及对称性
1、如图， ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，过点O的直线分别交AD，BC于点M，N，若△CON的面积为2，△DOM的面积为4，则 ABCD的面积是（　）
A.12
B.16
C.24
D.32
2、平行四边形具有的性质是（　　）
A.四边相等 B.对角线相等 C.对角线互相平分 D.四个角都是直角
3、在平行四边形ABCD中，点A关于对角线的交点O的对称点 ．
4、如图， ABCD的对角线交于坐标原点O．若点A的坐标为（﹣，1），点B的坐标为（﹣1，﹣1），求BC的长．
利用平行四边形的对边平行且相等求边长
1、如图，在 ABCD中，∠ADC的平分线交BC于点E，过点C作CF⊥DE，垂足为点F，若CF＝BE＝6，DE＝16，则AD的长为（　　）
A.16 B.14 C.13 D.8
2、如图，点E，F是平行四边形ABCD对角线BD上两点，连接AF，CE，已知AF∥CE，且BE＝4，BD＝13，则EF的长度为（　　）
A.3 B.4 C.5 D.6
3、如图，在 ABCD中，AB＝3，∠ABC与∠BCD的角平分线交于点E，若点E恰好在AD边上，则CE2+BE2的值为（　　）
A.12 B.16 C.24 D.36
4、如图，在 ABCD中，∠BCD的平分线交BA的延长线于点E．若AE＝1.5，CD＝3.5，则BC的长为 ．
5、如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，AD＝5，E，F分别是边CD，AD上的动点，且CE＝DF，则AE+CF的最小值为 ．
6、如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．若BE＝4，AB＝5，求CF．
7、如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是CD边的中点，延长AE交BC的延长线于点F．若∠BAF＝90°，BC＝5，EF＝3，求CD的长．
利用平行四边形的对边平行且相等求周长或面积
1、如图，在 ABCD中，AB＝3，BC＝5，AC的垂直平分线交AD于E，则△CDE的周长是（　　）
A.8 B.6 C.9 D.10
2、如图，在 ABCD中，AE平分∠BAD交CD于点E．若CE＝2，BC＝3，则 ABCD的周长为（　　）
A.16 B.14 C.10 D.8
3、如图，在 ABCD中，EF为对角线BD的中垂线，交BC，AD于E，F．已知△CDE的周长为5，则 ABCD的周长为 ．
4、如图，点E是 ABCD的边CD的中点，AE，BC的延长线交于点F，CF＝3，CE＝2，则 ABCD的周长为 ．
5、如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AF交CD于点E，交BC的延长线于点F．
（1）求证：BF＝CD；
（2）连接BE，若BE⊥AF，∠BFA＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积．
6、如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC上一点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，AD＝DF，连接DE．
（1）求证：AE平分∠BAD；
（2）若点E为BC中点，∠B＝60°，AD＝5，求平行四边形ABCD的周长．
利用平行四边形的对边平行且相等求角度或坐标
1、如图，四边形OABC是平行四边形，在平面直角坐标系中，点A（﹣1，2），OC＝5，点B的坐标是（　　）
A.（2，4） B.（2，﹣4） C.（4，2） D.（4，﹣2）
2、如图， ABCD中，BE平分∠ABC交AD于E，若∠C＝56°，则∠BED度数为（　　）
A.112° B.118° C.119° D.120°
3、如图，O为原点， ABCD的顶点A（0，4），B（﹣5，﹣1），C（0，﹣1），则点D的坐标为（　　）
A.（5，5） B.（4，5） C.（5，4） D.（4，4）
4、在 ABCD中，E为BC边上一点，AB＝AE，若AE平分∠DAB，∠EAC＝25°，则∠ACB＝ 度．
5、如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A在y轴上，顶点B，C在x轴上，A（0，2），B（1，0），BC＝4，将平行四边形ABCD绕点B旋转90°后，点D对应点D'的坐标为 ．
6、如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上两个点，且BF＝DE．
（1）求证：AE＝CF；
（2）若AD＝AE，∠DAE＝100°，求∠DFC的度数
利用平行四边形的对角相等解决问题
1、如图，在 ABCD中，若∠A＝70°，则∠C的度数是（　　）
A.70° B.110° C.120° D.140°
2、在 ABCD中，如果∠A+∠C＝140°，那么∠C等于（　　）
A.20° B.40° C.60° D.70°
3、如图，E是平行四边形ABCD的边BC上一点，且AB＝BE，连接AE并延长，与DC的延长线交于点F，若∠D＝40°，则∠F的度数是（　　）
A.30° B.40° C.50° D.70°
4、如图，在 ABCD中，∠C＝70°，DE⊥AB于点E，则∠ADE＝ °．
5、如图， ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE．下列结论：
①∠CAD＝30°
②S ABCD＝AB AC
③OB＝AB
④OE＝BC
成立的有 （把所有正确结论的序号都填在横线上）
6、如图， ABCD中，∠DAB为钝角，AD＝1，AB＝，且 ABCD的面积为1．求 ABCD各内角的度数．
利用平行四边形的对角线互相平分求解
1、如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为（　　）
A.2 B. C. D.4
2、如图，在 ABCD中，AC与BD交于点O，已知AC+BD＝14，CD＝5，则△AOB的周长为（　　）
A.11 B.12 C.13 D.15
3、如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BC＝3，△BOC的周长为7，则AC+BD＝ ．
4、如图 ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC⊥AB，AB＝2，且AO：BO＝2：3．
（1）求AC的长；
（2）求 ABCD的面积．
5、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABD＝90°，AB＝OB＝2，求线段OC的长度．
综合应用平行四边形的性质求解
1、如图，已知 ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF经过点O，分别交AD，BC于点E，F，且OE＝4，AB＝5，BC＝9，则四边形EFCD的周长是（　　）
A.13 B.1 C.22 D.18
2、在平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝100°，则∠D等于（　　）
A.50° B.80° C.100° D.130°
3、如图，在 ABCD中，E是BC边上一点，BE＝CD，连接AE，∠D＝50°，则∠BAE的度数为（　　）
A.50° B.55° C.60° D.65°
4、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于O，过点O作OE⊥AC交AD于E．若AE＝2，DE＝1，，则AC的长为 ．
5、如图，在 ABCD中，E是AD的中点，若AB＝6，则OE＝ ．
6、如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作EF⊥AC，分别交边AB，DC于点E，F，连结AF，CE．若AE＝13，OA＝12．
（1）求EF的长；
（2）求 ABCD边AB上的高．
综合应用平行四边形的性质证明
1、如图，在 ABCD中，AC与BD相交于点O，则下列结论不一定成立的是（　　）
A.AD∥BC B.AB＝DC C.AO＝CO D.BA＝BO
2、如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O，则下列说法正确的是（　　）
A.AO＝BO B.∠ABC＝∠ADC C.∠BAC＝∠ADC D.AC＝BD
3、如图，在 ABCD中，AB＝2BC，∠BCD＝60°，对角线AC，BD交于点O，∠ADC的平分线交AB于点E，连接OE．下列结论：
①DB平分∠CDE；
②OE垂直平分BD；
③；
④S△AOB＝2OE OB．
其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）．
4、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过点A，C作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．AC平分∠DAE．
（1）若∠AOE＝52°，求∠ACB的度数；
（2）求证：AE＝CF．
冀教版（2024）八年级下册 21.2 平行四边形的性质 分层练习（参考答案）
1平行四边形的定义及对称性
1、如图， ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，过点O的直线分别交AD，BC于点M，N，若△CON的面积为2，△DOM的面积为4，则 ABCD的面积是（　）
A.12
B.16
C.24
D.32
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，点O是对角线AC，BD的交点，
∴四边形ABCD是中心对称图形，OB＝OD，
∴S△CON＝S△AOM，S△ABD＝S△CBD，
∵S△AOD＝S△AOM+S△DOM＝2+4＝6，
∴S△AOB＝S△AOD＝6，
∴S△ABD＝S△AOB+S△AOD＝12，
∴S ABCD＝2S△ABD＝24，
故选：C．
2、平行四边形具有的性质是（　　）
A.四边相等 B.对角线相等 C.对角线互相平分 D.四个角都是直角
【答案】C
【解析】平行四边形的对角线互相平分．
故选：C．
3、在平行四边形ABCD中，点A关于对角线的交点O的对称点 ．
【答案】是点C．
【解析】在平行四边形ABCD中，点A关于对角线的交点O的对称点是点C，
故答案为：是点C．
4、如图， ABCD的对角线交于坐标原点O．若点A的坐标为（﹣，1），点B的坐标为（﹣1，﹣1），求BC的长．
【答案】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA＝OC，
又∵点O为坐标原点，
∴点A和点C关于原点对称，
∵点A的坐标为（﹣，1），
∴C点坐标为（，﹣1），
∵B（﹣1，﹣1），
∴BC＝+1．
2利用平行四边形的对边平行且相等求边长
1、如图，在 ABCD中，∠ADC的平分线交BC于点E，过点C作CF⊥DE，垂足为点F，若CF＝BE＝6，DE＝16，则AD的长为（　　）
A.16 B.14 C.13 D.8
【答案】A
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CED，
∵∠ADC的平分线交BC于点E，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠CDE＝∠CED，
∴CE＝CD，
∵CF⊥DE，
∴，
∴，
∴AD＝BC＝BE+CE＝16，
故选：A．
2、如图，点E，F是平行四边形ABCD对角线BD上两点，连接AF，CE，已知AF∥CE，且BE＝4，BD＝13，则EF的长度为（　　）
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
∵AF∥CE，
∴∠AFB＝∠CED，
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（AAS），
∴BF＝DE，
∴BE＝DF＝4，
∴EF＝BD﹣BE﹣DF＝13﹣4﹣4＝5．
故选：C．
3、如图，在 ABCD中，AB＝3，∠ABC与∠BCD的角平分线交于点E，若点E恰好在AD边上，则CE2+BE2的值为（　　）
A.12 B.16 C.24 D.36
【答案】D
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝3，
∴DC＝AB＝3，AD∥BC，AB∥CD，
∴∠AEB＝∠CBE，∠DEC＝∠DCE，∠ABC+∠DCB＝180°，
∵∠ABC与∠BCD的角平分线交于点E，点E恰好在AD边上，
∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC，∠DCE＝∠BCE＝∠DCB，
∴∠AEB＝∠ABE，∠DEC＝∠DCE，∠CBE+∠BCE＝（∠ABC+∠DCB）＝90°，
∴AE＝AB＝3，DE＝DC＝3，∠BEC＝180°﹣（∠CBE+∠BCE）＝90°，
∴BC＝AD＝AE+DE＝3+3＝6，
∴CE2+BE2＝BC2＝62＝36，
故选：D．
4、如图，在 ABCD中，∠BCD的平分线交BA的延长线于点E．若AE＝1.5，CD＝3.5，则BC的长为 ．
【答案】5．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD＝3.5，
∴∠E＝∠ECD，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE＝∠ECD，
∴∠E＝∠BCE，
∴BE＝BC，
∵BE＝AE+AB＝1.5+3.5＝5，
∴BC＝BE＝5．
故答案为：5．
5、如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，AD＝5，E，F分别是边CD，AD上的动点，且CE＝DF，则AE+CF的最小值为 ．
【答案】．
【解析】如图，延长BC到点H，使CH＝CD，连接EH，AH，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝5，AD∥BC，
∴∠D＝∠ECH，
在△CDF和△HCE中，
，
∴△CDF≌△HCE（SAS），
∴CF＝HE，
∴AE+CF＝AE+HE，
当A、E、H不共线时，AE+HE＞AH，
当A、E、H共线时，AE+HE＝AH，
∴AE+HE的最小值为AH，
即AE+CF的最小值为AH，
过点A作AG⊥BC于点G，
∴∠AGB＝∠AGH＝90°，
∵∠B＝60°，
∴∠BAG＝30°，
∴BG＝AB＝2，
∴AG＝＝＝2，
∵CD＝CH＝4，
∴BH＝BC+CH＝9，
∴BH＝BC﹣BG＝7，
∴AH＝＝，
即AE+CF的最小值为，
故答案为：．
6、如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．若BE＝4，AB＝5，求CF．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CBF，
又∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，
∴∠AED＝∠CFB＝90°，
在△AED和△CFB中，
，
∴△AED≌△CFB （AAS）．
∴AE＝CF；
在Rt△AEB中，∵∠AEB＝90°，
∴AE2＝AB2﹣BE2＝52﹣42＝9，
又∵AE＞0，
∴AE＝3．
∴CF＝AE＝3．
7、如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是CD边的中点，延长AE交BC的延长线于点F．若∠BAF＝90°，BC＝5，EF＝3，求CD的长．
【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠F，
∵点E是CD边的中点，
∴DE＝CE，
在△AED和△FEC中，
，
∴△AED≌△FEC（AAS），
∴AD＝FC．
∵CD∥AB，∠BAF＝90°，
∴∠CEF＝∠BAF＝90°，
∵AD＝FC，且AD＝BC＝5，
∴FC＝5，
∵EF＝3，
∴CE＝＝＝4，
∴CD＝2CE＝2×4＝8，
∴CD的长为8．
3利用平行四边形的对边平行且相等求周长或面积
1、如图，在 ABCD中，AB＝3，BC＝5，AC的垂直平分线交AD于E，则△CDE的周长是（　　）
A.8 B.6 C.9 D.10
【答案】A
【解析】∵AC的垂直平分线交AD于E，
∴AE＝CE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝3，AD＝BC＝5，
∴△CDE的周长是：DE+DE+CE＝DC+DE+AE＝DC+AD＝3+5＝8．
故选：A．
2、如图，在 ABCD中，AE平分∠BAD交CD于点E．若CE＝2，BC＝3，则 ABCD的周长为（　　）
A.16 B.14 C.10 D.8
【答案】A
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD＝BC＝3，
∴∠DEA＝∠BAE，
∵AE平分∠BAD交CD于点E，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠DAE＝∠DEA，
∴AD＝DE＝3，
∴CD＝DE+CE＝5，
∴AB＝CD＝5，
∴ ABCD的周长为AD+AB+BC+CD＝3+5+3+5＝16．
故选：A．
3、如图，在 ABCD中，EF为对角线BD的中垂线，交BC，AD于E，F．已知△CDE的周长为5，则 ABCD的周长为 ．
【答案】10．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB，AD＝BC，
∵BD的中垂线EF分别交AD、BC于点E、F，
∴BE＝DE，
∴△CDE的周长＝CD+CE+ED＝AB+CE+BE＝AB+BC＝5，
∴ ABCD的周长＝2×5＝10，
故答案为：10．
4、如图，点E是 ABCD的边CD的中点，AE，BC的延长线交于点F，CF＝3，CE＝2，则 ABCD的周长为 ．
【答案】14．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，
∴∠DAE＝∠F，
∵点E是边CD的中点，
∴DE＝CE＝2，
∴CD＝2CE＝4，
在△AED和△FEC中，
，
∴△AED≌△FEC（AAS），
∴AD＝CF＝3，
∴AD+BC+AB+CD＝2AD+2CD＝2×3+2×4＝14，
∴ ABCD的周长为14，
故答案为：14．
5、如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AF交CD于点E，交BC的延长线于点F．
（1）求证：BF＝CD；
（2）连接BE，若BE⊥AF，∠BFA＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AD∥BC，
∴∠FAD＝∠AFB，
又∵AF平分∠BAD，
∴∠FAD＝∠FAB．
∴∠AFB＝∠FAB．
∴AB＝BF，
∴BF＝CD；
（2）解：∵由（1）知：AB＝BF，
又∵∠BFA＝60°，
∴△ABF为等边三角形，
∴AF＝BF＝AB，∠ABF＝60°，
∵BE⊥AF，
∴点E是AF的中点．
∵AB＝BF＝4，
∴EF＝2，BF＝4，
在Rt△BEF中，∠BFA＝60°，
∴BE＝，
∴△ABF的面积＝4×2＝4，
∵四边形BACD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠D＝∠DCF，∠DAE＝∠F，
∵AE＝EF，
∴△ADE≌△FCE（AAS），
∴平行四边形ABCD的面积＝△ABF的面积＝4．
6、如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC上一点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，AD＝DF，连接DE．
（1）求证：AE平分∠BAD；
（2）若点E为BC中点，∠B＝60°，AD＝5，求平行四边形ABCD的周长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
即AB∥DF，
∴∠BAE＝∠F，
∵AD＝DF，
∴∠DAE＝∠F，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴AE平分∠BAD；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵AD＝5，
∴BC＝5，
∵E为BC的中点，
∴BE＝BC＝×5＝，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BEA，
∵∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴△ABE为等腰三角形，
又∵∠B＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AB＝BE＝，
∴CD＝AB＝，
∴平行四边形ABCD的周长为2AD+2AB＝2×5+2×＝15．
4利用平行四边形的对边平行且相等求角度或坐标
1、如图，四边形OABC是平行四边形，在平面直角坐标系中，点A（﹣1，2），OC＝5，点B的坐标是（　　）
A.（2，4） B.（2，﹣4） C.（4，2） D.（4，﹣2）
【答案】C
【解析】∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB∥OC，AB＝OC，
∵A（﹣1，2），点C在x轴上且OC＝5，
∴xB＝﹣1+5＝4，yB＝yA＝2，
∴B（4，2），
故选：C．
2、如图， ABCD中，BE平分∠ABC交AD于E，若∠C＝56°，则∠BED度数为（　　）
A.112° B.118° C.119° D.120°
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形．
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ABC+∠C＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣∠C＝180°﹣56°＝124°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC＝124°÷2＝62°，
∵AD∥BC，
∴∠EBC+∠BED＝180°，
∴∠BED＝180°﹣∠EBC＝180°﹣62°＝118°，
故选：B．
3、如图，O为原点， ABCD的顶点A（0，4），B（﹣5，﹣1），C（0，﹣1），则点D的坐标为（　　）
A.（5，5） B.（4，5） C.（5，4） D.（4，4）
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵B（﹣5，﹣1），C（0，﹣1），
∴BC＝0﹣（﹣5）＝5，
∴AD＝5，
∵A（0，4），
∴点D的坐标为（5，4），
故选：C．
4、在 ABCD中，E为BC边上一点，AB＝AE，若AE平分∠DAB，∠EAC＝25°，则∠ACB＝ 度．
【答案】35．
【解析】四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，
∴∠DAE＝∠AEB，∠ACD＝∠BAC，
∵AE平分∠DAB，
∴∠EAB＝∠EAD，
∴∠EAB＝∠AEB，
∴BA＝BE．
∵AB＝AE，
∴AB＝BE＝AE
∴△ABE是等边三角形，
∴∠B＝∠BAE＝∠AEB＝60°，
∵∠EAC＝25°，
∴∠ACB＝∠AEB ∠CAE＝60° 25°＝35°．
故答案为：35．
5、如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A在y轴上，顶点B，C在x轴上，A（0，2），B（1，0），BC＝4，将平行四边形ABCD绕点B旋转90°后，点D对应点D'的坐标为 ．
【答案】（3，﹣3）或（﹣1，3）．
【解析】如图，连接BD，过点D作DE⊥BC于E，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵A（0，2），B（1，0），BC＝4，
∴AD＝BC＝4，
∴点D（4，2），
∴DE＝2，BE＝3，
若将平行四边形ABCD绕点B顺时针旋转90°，过点D'作D'F⊥BC于F，
∴BD＝BD'，∠DBD'＝90°＝∠DEB＝∠D'FB，
∴∠DBE+∠D'BE＝90°＝∠DBE+∠BDE，
∴∠BDE＝∠D'BE，
∴△DBE≌△BD'F（AAS），
∴DE＝BF＝2，D'F＝BE＝3，
∴点D'（3，﹣3），
若将平行四边形ABCD绕点B逆时针旋转90°，过点D''作D''N⊥BC于N，
同理可求D''（﹣1，3），
故答案为：（3，﹣3）或（﹣1，3）．
6、如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上两个点，且BF＝DE．
（1）求证：AE＝CF；
（2）若AD＝AE，∠DAE＝100°，求∠DFC的度数
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵BF＝DE，
∴BE＝DF，
在△ABE与△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AE＝CF；
（2）解：∵AD＝AE，
∴，
∴∠AEB＝180°﹣∠AED＝180°﹣40°＝140°，
∵△ABE≌△CDF，
∴∠DFC＝∠AEB＝140°．
5利用平行四边形的对角相等解决问题
1、如图，在 ABCD中，若∠A＝70°，则∠C的度数是（　　）
A.70° B.110° C.120° D.140°
【答案】A
【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A＝∠C，
∵∠A＝70°，
∴∠C＝70°．
故选：A．
2、在 ABCD中，如果∠A+∠C＝140°，那么∠C等于（　　）
A.20° B.40° C.60° D.70°
【答案】D
【解析】如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
∵∠A+∠C＝140°，
∴2∠C＝140°，
∴∠C＝70°，
故选：D．
3、如图，E是平行四边形ABCD的边BC上一点，且AB＝BE，连接AE并延长，与DC的延长线交于点F，若∠D＝40°，则∠F的度数是（　　）
A.30° B.40° C.50° D.70°
【答案】D
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∠D＝40°，
∴∠B＝D＝40°，
∵AB＝BE，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴∠BAE+∠BEA＝2∠BAE＝180°﹣40°＝140°，
∴∠BAE＝70°，
∵DC∥AB，
∴∠F＝∠BAE＝70°，
故选：D．
4、如图，在 ABCD中，∠C＝70°，DE⊥AB于点E，则∠ADE＝ °．
【答案】20．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C＝∠A＝70°，
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°，
∴∠ADE＝90°﹣∠A＝90°﹣70°＝20°，
故答案为：20．
5、如图， ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE．下列结论：
①∠CAD＝30°
②S ABCD＝AB AC
③OB＝AB
④OE＝BC
成立的有 （把所有正确结论的序号都填在横线上）
【答案】①②④
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD＝60°
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝AB＝BE，
∵AB＝BC，
∴AE＝BC，
∴∠BAC＝90°，
∴∠CAD＝30°，故①正确；
∵AC⊥AB，
∴S ABCD＝AB AC，故②正确，
∵AB＝BC，OB＝BD，
∵BD＞BC，
∴AB≠OB，故③错误；
∵∠CAD＝30°，∠AEB＝60°，AD∥BC，
∴∠EAC＝∠ACE＝30°，
∴AE＝CE，
∴BE＝CE，
∵OA＝OC，
∴OE＝AB，
∵AB＝BC，
∴OE＝BC．故④正确．
故答案为：①②④．
6、如图， ABCD中，∠DAB为钝角，AD＝1，AB＝，且 ABCD的面积为1．求 ABCD各内角的度数．
【答案】解：过点D作DE⊥BA交BA延长线于E，如图1所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S平行四边形ABCD＝2S△ABD＝2×AB DE＝AB DE＝DE，
∴DE＝1，
∴DE＝，
在Rt△AED中，由勾股定理得：AE＝＝＝，
∴DE＝AE，
∴△AED是等腰直角三角形，
∴∠DAE＝45°，
∴∠DAB＝180°﹣45°＝135°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB＝∠BCD＝135°，∠ADC＝∠ABC＝45°.
6利用平行四边形的对角线互相平分求解
1、如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为（　　）
A.2 B. C. D.4
【答案】D
【解析】设PQ与AC交于点O，作OP′⊥BC于P′．如图所示：
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，AB＝4，
∴AC＝4，
∵四边形PAQC是平行四边形，
∴OA＝OC＝AC＝2，
∴OP′＝2，
当P与P′重合时，OP的值最小，则PQ的值最小，
∴PQ的最小值＝2OP′＝4．
故选：D．
2、如图，在 ABCD中，AC与BD交于点O，已知AC+BD＝14，CD＝5，则△AOB的周长为（　　）
A.11 B.12 C.13 D.15
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形
∴AO＝CO，BO＝DO，
∴AO+BO＝（AC+BD）＝7，
又∵CD＝AD＝BC＝5，
∴三角形AOB的周长等于AO+BO+AB，
∵AB＝CD＝5，
∴三角形AOB的周长＝AO+BO+AB＝7+5＝12．
故选：B．
3、如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BC＝3，△BOC的周长为7，则AC+BD＝ ．
【答案】8．
【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，，
∵△BOC的周长为7，
∴OB+OC+BC＝7，
∵BC＝3，
∴OB+OC＝4，
∴AC+BD＝2（OB+OC）＝8，
故答案为：8．
4、如图 ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC⊥AB，AB＝2，且AO：BO＝2：3．
（1）求AC的长；
（2）求 ABCD的面积．
【答案】解：（1）∵AC⊥AB，
∴∠BAO＝90°，
∵AO：BO＝2：3，
∴设AO＝2a，BO＝3a，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝2AO＝4a，
在Rt△BAO中，由勾股定理得：22+（2a）2＝（3a）2，
解得：a＝，
∴AC＝4a＝；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥AB，
∴ ABCD的面积是AB AC＝2×＝．
5、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABD＝90°，AB＝OB＝2，求线段OC的长度．
【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，
∵∠ABD＝90°，AB＝OB＝2，
∴AO＝＝＝2，
∴OC＝2．
7综合应用平行四边形的性质求解
1、如图，已知 ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF经过点O，分别交AD，BC于点E，F，且OE＝4，AB＝5，BC＝9，则四边形EFCD的周长是（　　）
A.13 B.1 C.22 D.18
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝5，AD∥BC，OB＝OD，
∴∠OED＝∠OFB，∠ODE＝∠OBF，
∴△OBF≌△ODE（AAS），
∴OF＝OE＝4，DE＝BF，
∴四边形EFCD的周长＝EF+ED+CD+CF＝OE+OF+CD+BF+CF＝OE+OF+CD+BC＝4+4+5+9＝22，
故选：C．
2、在平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝100°，则∠D等于（　　）
A.50° B.80° C.100° D.130°
【答案】D
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AB∥CD，
∴∠A+∠D＝180°，
∵∠A+∠C＝100°，
∴∠A＝50°，
∴∠D＝180°﹣∠A＝130°．
故选：D．
3、如图，在 ABCD中，E是BC边上一点，BE＝CD，连接AE，∠D＝50°，则∠BAE的度数为（　　）
A.50° B.55° C.60° D.65°
【答案】D
【解析】在 ABCD中，AB＝CD，∠B＝∠D＝50°．
∵AB＝CD，BE＝CD，
∴AB＝BE．
∴∠BAE＝∠BEA＝＝65°．
故选：D．
4、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于O，过点O作OE⊥AC交AD于E．若AE＝2，DE＝1，，则AC的长为 ．
【答案】2．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，CD＝AB＝，
∵OE⊥AC，
∴OE垂直平分AC，
∴CE＝AE＝2，
∵CE2+DE2＝22+12＝5，CD2＝（）2＝5，
∴CE2+DE2＝CD2，
∴△CDE是直角三角形，∠CED＝90°，
∴∠AEC＝90°，
∴AC＝＝＝2，
故答案为：2．
5、如图，在 ABCD中，E是AD的中点，若AB＝6，则OE＝ ．
【答案】3
【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OB＝OD，AB＝CD＝6，
∵E，O是AD，AC的中点，
∴，
∴OE＝3．
故答案为：3．
6、如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作EF⊥AC，分别交边AB，DC于点E，F，连结AF，CE．若AE＝13，OA＝12．
（1）求EF的长；
（2）求 ABCD边AB上的高．
【答案】解：（1）∵EF⊥AC，AE＝13，OA＝12，
∴．
∵ ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴OD＝OB，DC∥BA，
∴∠FDO＝∠EBO．
又∵∠FOD＝∠EOB，
∴△FDO≌△EBO（ASA），
∴FO＝EO，
∴EF＝2EO＝10．
（2）如图，过点F作FH⊥AB于点H，
∵，
即，
∴ ABCD边AB上的高．
8综合应用平行四边形的性质证明
1、如图，在 ABCD中，AC与BD相交于点O，则下列结论不一定成立的是（　　）
A.AD∥BC B.AB＝DC C.AO＝CO D.BA＝BO
【答案】D
【解析】∵在 ABCD中，AC与BD相交于点O，
∴AD∥BC，故选项A正确，不符合题意．
AB＝DC，故选项B正确，不符合题意．
AO＝CO，故选项C正确，不符合题意．
BA和BO不一定相等，故选项D错误，符合题意．
故选：D．
2、如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O，则下列说法正确的是（　　）
A.AO＝BO B.∠ABC＝∠ADC C.∠BAC＝∠ADC D.AC＝BD
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，OA＝OC，∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC，
∴选项A、C、D不正确，B正确；
故选：B．
3、如图，在 ABCD中，AB＝2BC，∠BCD＝60°，对角线AC，BD交于点O，∠ADC的平分线交AB于点E，连接OE．下列结论：
①DB平分∠CDE；
②OE垂直平分BD；
③；
④S△AOB＝2OE OB．
其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）．
【答案】①②．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD＝60°，
∴AB∥CD，∠DAB＝∠DCB＝60°，∠ADC＝120°，AD＝BC，DO＝BO，
∴∠CDE＝∠AED，
∵DE平分∠ADB，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE，
∵AB＝2BC，
∴AB＝2AD＝2AE，
∴AD＝AE＝BE，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD＝DE＝AE＝BE，∠ADE＝∠AED＝60°，
∴∠EBD＝∠EDB＝30°，
∴∠ADB＝90°，
∴∠CDB＝30°＝∠BDE，
∴DB平分∠CDE，故①正确；
∵DE＝BE，DO＝BO，
∴OE垂直平分BD；故②正确；
∵∠ABD＝30°，
∴DB＝AD，
∴DO＝AD，
∴AO＝＝AD＝DE，故③错误；
∵AE＝BE，DO＝BO，
∴AE＝2OE，
∴S△AOB＝OB AD＝OB OE，故④错误，
故答案为：①②．
4、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过点A，C作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．AC平分∠DAE．
（1）若∠AOE＝52°，求∠ACB的度数；
（2）求证：AE＝CF．
【答案】（1）解：∵AE⊥BD，
∴∠AEO＝90°，
∵∠AOE＝52°，
∴∠EAO＝38°，
∵CA平分∠DAE，
∴∠DAC＝∠EAO＝38°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ACB＝∠DAC＝38°；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEO＝∠CFO＝90°，
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴AE＝CF．

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