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冀教版（2024）八年级下册 21.4 三角形的中位线 分层练习
根据三角形中位线的性质求线段长
1、如图，在等边三角形ABC中，AB＝6，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为点D、E．G为AD中点，H为BE中点．连接GH，则GH的值为（　　）
A.1 B.1.5 C.2 D.3
2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD为中线，E为AD的中点，DF∥CE交BE于点F．若AC＝8，BC＝12，则DF的长为（　　）
A.2 B.4 C.3 D.2.5
3、如图是由边长为1的小正方形组成的8×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点，边所在直线叫做格线．已知格点A，B，C，D，CD与格线分别交于点E，F．AE，BF分别与格线交于点M，N，连接MN，则MN的长为 ．
4、如图，在△ABC中，AB＝BC＝10，AC＝12，点D，E分别是AB，BC边上的动点，连结DE，F，M分别是AD，DE的中点，则FM的最小值为 ．
5、如图，在△ABC中，点D，E分别是边AC，AB的中点，点F在线段DE上，且∠AFB＝90°，AF＝5，BF＝12．
（1）求EF的长；
（2）若BC＝19，求DF的长．
6、如图在△ABC中，AD是△ABC中的∠BAC角平分线，BD⊥AD，点E是边BC的中点，如果AB＝6，AC＝14，求DE的长．
根据三角形中位线的性质求角度
1、如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F、G分别是AB，CD，AC的中点，若∠DAC＝17°，∠ACB＝91°，则∠FEG等于（　　）
A.36° B.72° C.74° D.37°
2、△ABC中，点E、F分别为AB、AC的中点．已知∠B＝50°，∠FEC＝30°，则∠BEC＝（　　）
A.30° B.50° C.80° D.100°
3、如图，在四边形ABCD中，E，F分别是边BC，CD的中点，若AB＝5，AD＝3，EF＝2，∠CFE＝46°，则∠ADC的度数为（　　）
A.100° B.120° C.128° D.136°
4、如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，AB＞AC，E，F分别为AB，BC的中点，若∠C＝α，则∠DEF的度数为 （用含α的式子表示）．
5、如图，在△ABC中，点E，F分别为AC，BC的中点，点D为BC上一点，连结AD交EF于点G，已知AE＝EG．
（1）求证：∠CAD＝∠BAD；
（2）已知DG＝DF，若∠B＝32°，求∠C的度数．
根据三角形中位线的性质求周长
1、如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，P、M、N分别是AB、AC、BD的中点，若BC＝8．则△PMN的周长是（　　）
A.10 B.12 C.16 D.18
2、如图，在△ABC中，AC＝8cm，BC＝6cm，AB＝10cm，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则△DEF的周长是（　　）
A.12cm B.16cm C.18cm D.24cm
3、如图，依次连接周长为1的等边三角形各边的中点，得到第二个等边三角形，再依次连接第二个等边三角形各边的中点，得到第三个等边三角形…按这样的规律，第2024个等边三角形的周长为（　　）
A. B. C. D.
4、如图，DE是△ABC的中位线，DE＝2cm，AB+AC＝12cm，则梯形DBCE的周长为 cm．
5、如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AC＝12，BC＝16，求四边形DECF的周长．
6、如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，E、F分别是AB、AC边的中点，若AB＝8，AC＝6，求△DEF的周长．
根据三角形中位线的性质求面积
1、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D为边BC的中点，连接AD，点E、F分别为AB、AD的中点，连接EF，若EF＝3，AC＝5，则△ABC的面积为（　　）
A.12 B.15 C.60 D.30
2、中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在△ABC中，分别取AB，AC的中点D，E，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，将△ABC分割后拼接成长方形BCHG．若DE＝6，GB＝4，则△ABC的面积是（　　）
A.60 B.48 C.36 D.24
3、如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BD平分∠ABC，且BD⊥CD，点P为BC边中点，DP＝4，则△BCD的面积为 ．
4、如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，AC+BD＝10，点M和点N分别是BD和AC的中点，BA和CD的延长线交于点P，则△PMN面积的最大值等于 ．
5、如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠B＝45°，，点F以每秒1个单位长度的速度由点A向点C匀速运动，到达C点即停止运动，G，H分别是AF，DF的中点，连接GH．设点F运动的时间为t秒．
（1）判断GH与AD的位置关系和数量关系，并求出GH的长；
（2）若CD＝8，点F由点A向点C匀速运动的过程中，求线段GH所扫过区域的面积．
根据三角形中位线的性质证明
1、数学课上，大家一起研究三角形中位线定理的证明．嘉嘉和淇淇在学习思考后各自尝试作了一种辅助线，如图①②，其中辅助线作法能够用来证明三角形中位线定理的是（　　）
嘉嘉的辅助线作法：如图①，延长DE到点F，使EF＝DE，连接DC，AF，FC．
淇淇的辅助线作法：如图②，过点E作GE∥AB交BC于点G，过点A作AF∥BC交GE的延长线于点F．
A.嘉嘉和淇淇的辅助线作法都可以
B.嘉嘉和淇淇的辅助线作法都不可以
C.嘉嘉的辅助线作法可以，淇淇的不可以
D.淇淇的辅助线作法可以，嘉嘉的不可以
2、如图，已知四边形ABCD中，∠B＝90°，P是BC上的动点，E，F分别是AD，DP的中点，当点P在BC上从C向B移动时，那么下列结论成立的是（　　）
A.线段EF的长先减小后增大 B.线段EF的长逐渐减小 C.线段EF的长不变 D.线段EF的长逐渐增大
3、在△ABC中，D为边AB的中点，E为边AC上一点，连接DE．给出下面三个命题：
①若AE＝EC，则；
②若，则DE∥BC；
③若DE∥BC，则AE＝EC．
上述命题中，所有真命题的序号是 ．
4、阅读下面的材料：
甲、乙两人后续证明的部分思路如下：
甲：如图1，先证明△ADE≌△CFE，再推理得出四边形DBCF是平行四边形．
乙：如图2，连接DC，AF．先后证明四边形ADCF，DBCF分别是平行四边形．
你认为以上甲、乙两人的思路正确的是 ．
5、如图，四边形ABCD中，∠A＝∠D，AB＝CD，且点E、F分别是线段AD、BC的中点．求证：EF⊥BC．
三角形的中位线定理的实际应用
1、如图，学校有一块空地形状为等边三角形ABC．已知D，E分别是AB，AC的中点，测得DE＝5m，现在后勤部打算将四边形DBCE用篱笆围成一个四边形菜地来种青菜，则需要篱笆的长是（　　）m．
A.15 B.20 C.25 D.30
2、某居民小区为美化居住环境，要在如图所示的三角形空地ABC上围一个四边形花坛BCFE．已知点E，F分别是边AB，AC的中点，测量得BC＝16米，则EF的长是（　　）
A.8米
B.10米
C.16米
D.32米
3、为了更好地开展劳动教育，实现五育并举，某校开设了劳动实践课程，在—个三角形地块中分出一块（阴影部分）作为劳动实践用地，尺寸如图所示，则PQ的长是（　　）
A.2m B.3m C.4m D.5m
4、如图，两个小朋友在水平地上玩跷跷板．已知跷跷板的支点是长板的中点，支柱高0.6m．当长板的一端着地时，长板的另一端到地面的高度为 m．
5、在周长为600米的三角形地块中修建如图所示的三条水渠，则水渠的总长为 米．
6、下面是小颖同学的数学日记，请你仔细阅读，并完成相应的任务
任务：
（1）填空：依据1指的是 ；依据2指的是 ；
（2）若按照小亮的方法测出 AC＝10m，AE＝40m，CD＝60m，请你求出池塘AB的宽度；
（3）小颖同学的方法如图，若测得∠BCA＝30°，CA的长度为34米，求池塘AB的宽度．（结果精确到1米，参考数据：）
7、数学课上大家一起研究三角形中位线性质定理：三角形两边中点的连线平行于第三边且等于第三边的一半．
已知，如图1，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点．
求证：DE∥BC且．
[定理探究]某数学小组有甲、乙、丙、丁四位同学．甲同学思考后说出了添加的辅助线：
[定理证明]请把甲同学说的辅助线补充到图1上，并根据他的思路证明三角形中位线性质定理；
[合作交流]通过交流乙、丙、丁三位同学又给出了三种不同的辅助线方法：
乙：延长DE到点F使EF＝DE，连接FC、DC、AF．
丙：作AH⊥DE，延长HD使DG＝HD，延长HE，使EF＝HE．
丁：过点E作EG∥AB，交BC于点G，过点A作BC的平行线交GE于点F．
则三位同学所作的辅助线能证明三角形中位线性质定理的是 ；
A．乙、丁 B．丙、丁 C．乙、丙 D．全正确
[定理应用]如图2，C，B两地被池塘隔开，不能直接测量它们之间的距离．测量员在地面上选了点A和点D，使AD∥BC，连接AB、DC．并分别找到AB和DC的中点M，N．若测得AD＝am，MN＝bm，则C，B两地间的距离 m．
冀教版（2024）八年级下册 21.4 三角形的中位线 分层练习（参考答案）
1根据三角形中位线的性质求线段长
1、如图，在等边三角形ABC中，AB＝6，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为点D、E．G为AD中点，H为BE中点．连接GH，则GH的值为（　　）
A.1 B.1.5 C.2 D.3
【答案】B
【解析】取AB的中点F，连接GF、HF，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝∠ABC＝60°，AB＝AC＝BC，
∵AB＝AC，AD⊥BC，BC＝6，
∴BD＝BC＝3，
同理：AE＝3，
∵G、F分别为AD、AB的中点，
∴GF是△ABD的中位线，
∴GF＝BD＝1.5，GF∥BD，
∴∠AFG＝∠ABC＝60°，
同理可得：FH＝1.5，∠BFH＝∠BAC＝60°，
∴GF＝FH，∠GFH＝60°，
∴△GFH为等边三角形，
∴GH＝GF＝1.5，
故选：B．
2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD为中线，E为AD的中点，DF∥CE交BE于点F．若AC＝8，BC＝12，则DF的长为（　　）
A.2 B.4 C.3 D.2.5
【答案】D
【解析】∵AD为中线，BC＝12，
∴CD＝BC＝×12＝6，
在Rt△ACD中，AD＝＝＝10，
∵∠ACB＝90°，E为AD的中点，
∴CE＝AD＝5，
∵DF∥CE，D为BC的中点，
∴DF＝CE＝2.5，
故选：D．
3、如图是由边长为1的小正方形组成的8×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点，边所在直线叫做格线．已知格点A，B，C，D，CD与格线分别交于点E，F．AE，BF分别与格线交于点M，N，连接MN，则MN的长为 ．
【答案】．
【解析】如图，
根据网格的特点知，，，GM是△AHE的中位线，NI是△BFJ的中位线，
∴，，
∴点M，N的水平距离为，垂直距离为1，
∴，
故答案为：．
4、如图，在△ABC中，AB＝BC＝10，AC＝12，点D，E分别是AB，BC边上的动点，连结DE，F，M分别是AD，DE的中点，则FM的最小值为 ．
【答案】2.4．
【解析】如图所示，过点B作BG⊥AC于G，连接AE，
∵在△ABC中，AB＝BC＝10，AC＝12，
∴，
∴，
∴，
∵F，M分别是AD，DE的中点，
∴FM是△ADE的中位线，
∴，
∴当AE⊥BC时，AE最小，即此时FM最小，
∵当AE⊥BC时，，
∴AE＝4.8，
∴FM＝2.4，
∴FM最小值为2.4，
故答案为：2.4．
5、如图，在△ABC中，点D，E分别是边AC，AB的中点，点F在线段DE上，且∠AFB＝90°，AF＝5，BF＝12．
（1）求EF的长；
（2）若BC＝19，求DF的长．
【答案】解：（1）∵∠AFB＝90°．
∴在Rt△ABF中，，
∵点E是AB的中点．
∴；
（2）∵D，E分别是AC，AB的中点．
∴，
∴．
6、如图在△ABC中，AD是△ABC中的∠BAC角平分线，BD⊥AD，点E是边BC的中点，如果AB＝6，AC＝14，求DE的长．
【答案】4．
【解析】解：延长BD交AC于F，
∵BD⊥AD，
∴∠ADB＝∠ADF，
∵AD是△ABC中的∠BAC角平分线，
∴∠BAD＝∠FAD，
在△BAD与△FAD中，
，
∴△BAD≌△FAD（ASA），
∴BD＝DF，AF＝AB＝6，
∴CF＝AC﹣AF＝8，
∵点E是边BC的中点，
∴BE＝CE，
∴CF＝AC﹣AF＝8，
∴DE＝CF＝4，
故DE的长为4．
2根据三角形中位线的性质求角度
1、如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F、G分别是AB，CD，AC的中点，若∠DAC＝17°，∠ACB＝91°，则∠FEG等于（　　）
A.36° B.72° C.74° D.37°
【答案】D
【解析】如图，延长FG交AB于点M，
∵AD＝BC，E、F、G分别是AB，CD，AC的中点，∠DAC＝17°，∠ACB＝91°，
∴，
∴∠FEG＝∠EFG，∠DAC＝∠FGC＝∠AGM＝17°，∠AGE＝∠ACB＝91°，
∴∠MGE＝∠AGE﹣∠AGM＝∠FEG+∠EFG＝2∠FEG＝91°﹣17°＝74°，
解得∠FEG＝37°．
故选：D．
2、△ABC中，点E、F分别为AB、AC的中点．已知∠B＝50°，∠FEC＝30°，则∠BEC＝（　　）
A.30° B.50° C.80° D.100°
【答案】D
【解析】∵点E、F分别为AB、AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥BC，
∴∠FEB＝180°﹣∠B＝180°﹣50°＝130°，
∵∠FEC＝30°，
∴∠BEC＝130°﹣30°＝100°，
故选：D．
3、如图，在四边形ABCD中，E，F分别是边BC，CD的中点，若AB＝5，AD＝3，EF＝2，∠CFE＝46°，则∠ADC的度数为（　　）
A.100° B.120° C.128° D.136°
【答案】D
【解析】连接BD，
∵E、F分别是边BC，CD的中点，
∴EF∥BD，BD＝2EF＝4，
∴∠CDB＝∠CFE＝46°，
∵BD2+AD2＝25，AB2＝25，
∴BD2+AD2＝BA2，
∴∠BDA＝90°，
∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝136°．
故选：D．
4、如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，AB＞AC，E，F分别为AB，BC的中点，若∠C＝α，则∠DEF的度数为 （用含α的式子表示）．
【答案】2α﹣90°．
【解析】在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝α，
∴∠B＝90°﹣α，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵E，F分别为AB，BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，DE＝BE＝，
∴EF∥AC，∠EDB＝∠B＝90°﹣α，
∴∠BFE＝∠C＝α，
∴∠FED＝∠BFE﹣∠BDE＝α﹣（90°﹣α）＝2α﹣90°，
故答案为：2α﹣90°．
5、如图，在△ABC中，点E，F分别为AC，BC的中点，点D为BC上一点，连结AD交EF于点G，已知AE＝EG．
（1）求证：∠CAD＝∠BAD；
（2）已知DG＝DF，若∠B＝32°，求∠C的度数．
【答案】（1）证明：∵点E，F分别为AC，BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AB，
∴∠EGA＝∠DAB，
∵AE＝EG，
∴∠EGA＝∠CAD，
∴∠CAD＝∠BAD；
（2）解：∵EF∥AB，∠B＝32°，
∴∠DFG＝32°，
∵DG＝DF，
∴∠DGF＝32°，∠GDF＝180°﹣32°﹣32°＝116°，
∴∠EGA＝∠DGF＝32°，
∵AE＝EG，
∴∠EAG＝∠EGA＝32°，
∴∠C＝∠GDF﹣∠EAG＝116°﹣32°＝84°．
3根据三角形中位线的性质求周长
1、如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，P、M、N分别是AB、AC、BD的中点，若BC＝8．则△PMN的周长是（　　）
A.10 B.12 C.16 D.18
【答案】B
【解析】∵P、N是AB和BD的中点，AD＝BC，BC＝8，
∴PN＝AD＝×8＝4，PN∥AD，
∴∠NPB＝∠DAB＝50°，
同理，PM＝4，∠MPA＝∠CBA＝70°，
∴PM＝PN＝4，∠MPN＝180°﹣50°﹣70°＝60°，
∴△PMN是等边三角形．
∴MN＝PM＝PN＝4，
∴△PMN的周长是12．
故选：B．
2、如图，在△ABC中，AC＝8cm，BC＝6cm，AB＝10cm，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则△DEF的周长是（　　）
A.12cm B.16cm C.18cm D.24cm
【答案】A
【解析】∵D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，
则EF，DE，DF是△ABC的中位线，
∴，，，
又∵AB＝10cm，AC＝8cm，BC＝6cm，
∴EF＝5cm，DE＝4cm，DF＝3cm，
则△DEF的周长是5+4+3＝12cm，
故选：A．
3、如图，依次连接周长为1的等边三角形各边的中点，得到第二个等边三角形，再依次连接第二个等边三角形各边的中点，得到第三个等边三角形…按这样的规律，第2024个等边三角形的周长为（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图所示：
，
∵D、E、F分别为AB、AC、BC的中点，
∴DE、EF、DF分别为△ABC的中位线，
∴DE＝BC，DF＝AC，EF＝AB，
∴△DEF的周长＝DE+EF+DF＝（BC+AB+AC）＝，
∴第二个三角形的周长为，
同理可得，第三个三角形的周长是，
……，
∴第2024个小等边三角形的周长为．
故选：A．
4、如图，DE是△ABC的中位线，DE＝2cm，AB+AC＝12cm，则梯形DBCE的周长为 cm．
【答案】2
【解析】∵DE是△ABC的中位线，DE＝2cm，
∴BC＝2DE＝2×2＝4（cm）．
∵DE是△ABC的中位线，
∴BD＝AB，CE＝AC，
∴梯形DBCE的周长为BD+CE+DE+BC＝（AB+AC）+（BD+CE）＝×12+6＝12（cm）．
故答案为：12．
5、如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AC＝12，BC＝16，求四边形DECF的周长．
【答案】解：∵D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AC＝12，BC＝16，
由中位线的定义可知：DE、DF是△ABC的中位线，
∴，，
∴四边形DECF的周长＝DE+EC+CF+DF＝6+8+6+8＝28．
6、如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，E、F分别是AB、AC边的中点，若AB＝8，AC＝6，求△DEF的周长．
【答案】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC＝＝＝10，
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵E、F分别是AB、AC边的中点，AB＝8，AC＝6，BC＝10，
∴DE＝AB＝4，DF＝AC＝3，EF＝BC＝5，
∴△DEF的周长＝EF+DE+DF＝5+4+3＝12．
4根据三角形中位线的性质求面积
1、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D为边BC的中点，连接AD，点E、F分别为AB、AD的中点，连接EF，若EF＝3，AC＝5，则△ABC的面积为（　　）
A.12 B.15 C.60 D.30
【答案】D
【解析】∵点E、F分别为AB、AD的中点，
∴EF为△ABD的中位线，
∴BD＝2EF＝6，
∵点D为边BC的中点，
∴BC＝2BD＝12，
∵∠C＝90°，AC＝5，
∴，
故选：D．
2、中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在△ABC中，分别取AB，AC的中点D，E，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，将△ABC分割后拼接成长方形BCHG．若DE＝6，GB＝4，则△ABC的面积是（　　）
A.60 B.48 C.36 D.24
【答案】B
【解析】由题意，BG＝CH＝AF＝4，DG＝DF，EF＝EH，
∴DG+EH＝DE＝6，
∴BC＝GH＝6+6＝12，
∴△ABC的边BC上的高为8，
∴S△ABC＝×12×8＝48，
故选：B．
3、如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BD平分∠ABC，且BD⊥CD，点P为BC边中点，DP＝4，则△BCD的面积为 ．
【答案】12
【解析】如图，过D作DE⊥BC于E，
∵∠A＝90°，
∴DA⊥BA，
∵BD平分∠ABC，
∴DE＝DA＝3，
∵BD⊥CD，
∴∠BDC＝90°，
∵点P为BC边中点，DP＝4，
∴BC＝2DP＝8，
∴S△BCD＝BC DE＝×8×3＝12，
故答案为：12．
4、如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，AC+BD＝10，点M和点N分别是BD和AC的中点，BA和CD的延长线交于点P，则△PMN面积的最大值等于 ．
【答案】．
【解析】连接CM，
∵点M是BD的中点，
∴S△ABM＝，S△BCM＝，
∴S△ABM+S△BCM＝＝，
∵点M是BD的中点，
∴S△CPM＝S△MPD+S△MCD＝＝，
∵点N是AC的中点，
∴S△CPN＝，S△CMN＝，
∴S△PMN＝S△CPM﹣S△CPN﹣S△CMN
＝
＝
＝（S△ABM+S△BCM）
＝
＝S四边形ABCD，
∵AC⊥BD，
∴S四边形ABCD＝AC BD，
∵AC+BD＝10，
∴AC2+BD2+4AC BD﹣2AC BD≥4AC BD，即AC2+BD2+2AC BD≥4AC BD，
∴4AC BD≤（AC+BD）2，
∴AC BD≤＝25，
∴S四边形ABCD＝AC BD＝，
故答案为：．
5、如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠B＝45°，，点F以每秒1个单位长度的速度由点A向点C匀速运动，到达C点即停止运动，G，H分别是AF，DF的中点，连接GH．设点F运动的时间为t秒．
（1）判断GH与AD的位置关系和数量关系，并求出GH的长；
（2）若CD＝8，点F由点A向点C匀速运动的过程中，求线段GH所扫过区域的面积．
【答案】解：（1）∵G，H分别是AF，DF的中点，
∴GH∥AD，且GH＝AD，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠B＝45°，AB＝6，
∴AD＝6，
∴GH＝3；
（2）线段GH所扫过区域是以AC、AD为边的平行四边形，
∴平行四边形的两边分别为5、3，
当F是AC的中点时，平行四边形的高为CD，
∵CD＝8，
∴CD＝4，
∴S＝4×3＝12，
故线段GH所扫过区域的面积为：12．
5根据三角形中位线的性质证明
1、数学课上，大家一起研究三角形中位线定理的证明．嘉嘉和淇淇在学习思考后各自尝试作了一种辅助线，如图①②，其中辅助线作法能够用来证明三角形中位线定理的是（　　）
嘉嘉的辅助线作法：如图①，延长DE到点F，使EF＝DE，连接DC，AF，FC．
淇淇的辅助线作法：如图②，过点E作GE∥AB交BC于点G，过点A作AF∥BC交GE的延长线于点F．
A.嘉嘉和淇淇的辅助线作法都可以
B.嘉嘉和淇淇的辅助线作法都不可以
C.嘉嘉的辅助线作法可以，淇淇的不可以
D.淇淇的辅助线作法可以，嘉嘉的不可以
【答案】A
【解析】嘉嘉的辅助线作法：如图①，延长DE到点F，使EF＝DE，连接DC，AF，FC，
∵AE＝EC，DE＝EF，
∴四边形ADCF为平行四边形，
∴AD＝CF，AB∥CF，
∴BD＝CF，BD∥CF，
∴四边形BCFD为平行四边形，
∴DF＝BC，DF∥BC，
∴DE＝BC，DE∥BC，故嘉嘉的辅助线作法可以，
淇淇的辅助线作法：如图②，过点E作GE∥AB交BC于点G，过点A作AF∥BC交GE的延长线于点F，
则四边形ABGF为平行四边形，
∴AB＝FG，
证明△AEF≌△CEG（AAS），
∴FE＝EG，AF＝GC，
∴BD＝EG，
∵BD∥EG，
∴四边形DBGE为平行四边形，
∴DE＝BC，DE∥BC，故淇淇的辅助线作法可以，
故选：A．
2、如图，已知四边形ABCD中，∠B＝90°，P是BC上的动点，E，F分别是AD，DP的中点，当点P在BC上从C向B移动时，那么下列结论成立的是（　　）
A.线段EF的长先减小后增大 B.线段EF的长逐渐减小 C.线段EF的长不变 D.线段EF的长逐渐增大
【答案】B
【解析】连接AC，AP，
∵E，F分别是AD，DP的中点，
∴EF是△ADC（P）的中位线，
∴EF＝AC（P），
∵当点P在BC上从C向B移动时则AC＞AP，
∴线段EF的长逐渐减小．
故选B．
3、在△ABC中，D为边AB的中点，E为边AC上一点，连接DE．给出下面三个命题：
①若AE＝EC，则；
②若，则DE∥BC；
③若DE∥BC，则AE＝EC．
上述命题中，所有真命题的序号是 ．
【答案】①③．
【解析】∵D为边AB的中点，
∴AD＝DB，
①若AE＝EC，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC，是真命题；
②若DE＝BC，不能得出DE∥BC，是假命题；
③若DE∥BC，则AE＝EC，是真命题；
故答案为：①③．
4、阅读下面的材料：
甲、乙两人后续证明的部分思路如下：
甲：如图1，先证明△ADE≌△CFE，再推理得出四边形DBCF是平行四边形．
乙：如图2，连接DC，AF．先后证明四边形ADCF，DBCF分别是平行四边形．
你认为以上甲、乙两人的思路正确的是 ．
【答案】甲、乙．
【解析】甲：如图1，在△△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（SAS），
∴AD＝CF，∠A＝∠ACF，
∴BD＝CF，AB∥CF，
∴四边形DBCF是平行四边形，
∴DF＝BC，DF∥BC，
∴DE＝BC，DE∥BC，故甲的思路正确，
乙：如图2，连接DC，AF，
证明四边形ADCF，
则DBCF分别是平行四边形，
∴DF＝BC，DF∥BC，
∴DE＝BC，DE∥BC，故乙的思路正确，
∴思路正确的是甲、乙，
故答案为：甲、乙．
5、如图，四边形ABCD中，∠A＝∠D，AB＝CD，且点E、F分别是线段AD、BC的中点．求证：EF⊥BC．
【答案】证明：∵点E是AD的中点，
∴EA＝ED，
在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴EB＝EC，
∵点F是BC的中点．
∴BF＝FC，
∴EF⊥BC．
6三角形的中位线定理的实际应用
1、如图，学校有一块空地形状为等边三角形ABC．已知D，E分别是AB，AC的中点，测得DE＝5m，现在后勤部打算将四边形DBCE用篱笆围成一个四边形菜地来种青菜，则需要篱笆的长是（　　）m．
A.15 B.20 C.25 D.30
【答案】C
【解析】∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，AD＝AB，AE＝AC，
∴DE＝BC，
∵DE＝5m，
∴BC＝10m，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC＝BC＝10m，
∴AD＝5m，AE＝5m，
∴BD＝5m，EC＝5m，
∴需要篱笆的长为：5+5+5+10＝25（m），
故选：C．
2、某居民小区为美化居住环境，要在如图所示的三角形空地ABC上围一个四边形花坛BCFE．已知点E，F分别是边AB，AC的中点，测量得BC＝16米，则EF的长是（　　）
A.8米
B.10米
C.16米
D.32米
【答案】A
【解析】由题意知，EF是△ABC的中位线，
∴米，
故选：A．
3、为了更好地开展劳动教育，实现五育并举，某校开设了劳动实践课程，在—个三角形地块中分出一块（阴影部分）作为劳动实践用地，尺寸如图所示，则PQ的长是（　　）
A.2m B.3m C.4m D.5m
【答案】D
【解析】如图，
∵PA＝PB＝8m，QC＝QA＝10m，
∴P，Q是AB，AC的中点，
∴PQ是△ABC的中位线，
∴BC＝2PQ，
∵BC＝10m，
∴PQ＝5m，
故选：D．
4、如图，两个小朋友在水平地上玩跷跷板．已知跷跷板的支点是长板的中点，支柱高0.6m．当长板的一端着地时，长板的另一端到地面的高度为 m．
【答案】1.2．
【解析】由题意可知，DE是△ABC的中位线，DE＝0.6m，
∴BC＝2DE＝1.2（m），
故答案为：1.2．
5、在周长为600米的三角形地块中修建如图所示的三条水渠，则水渠的总长为 米．
【答案】300
【解析】∵点D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，
∴DE、EF、DF都是△ABC的中位线，
∴DE＝AC，EF＝AB，DF＝BC，
∵△ABC的周长为600米，
∴AB+BC+AC＝600米，
∴DE+EF+DF＝（AB+BC+AC）＝300米，
∴水渠的总长为300米，
故答案为：300．
6、下面是小颖同学的数学日记，请你仔细阅读，并完成相应的任务
任务：
（1）填空：依据1指的是 ；依据2指的是 ；
（2）若按照小亮的方法测出 AC＝10m，AE＝40m，CD＝60m，请你求出池塘AB的宽度；
（3）小颖同学的方法如图，若测得∠BCA＝30°，CA的长度为34米，求池塘AB的宽度．（结果精确到1米，参考数据：）
【答案】解：（1）依据1指的是等腰三角形的三线合一的性质，依据2指的是三角形中位线定理；
故答案为：等腰三角形三线合一；三角形中位线定理；
（2）∵AB⊥直线a，AB⊥直线b，
∴AE∥CD，
∴，
∵AC＝10m，AE＝40m，CD＝60m，CB＝AB+AC，
∴，
解得AB＝20（m），
答：池塘AB的宽度为20m；
（3）∵BA⊥AC，∠BCA＝30°，
∴BC＝2AB，
在Rt△ABC中，
由勾股定理，得BC2＝AB2+AC2，
∵AC＝34米，
∴（2AB）2＝AB2+342，
解得AB≈20米，（负的已舍），
答：池塘AB的宽度约为20m．
7、数学课上大家一起研究三角形中位线性质定理：三角形两边中点的连线平行于第三边且等于第三边的一半．
已知，如图1，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点．
求证：DE∥BC且．
[定理探究]某数学小组有甲、乙、丙、丁四位同学．甲同学思考后说出了添加的辅助线：
[定理证明]请把甲同学说的辅助线补充到图1上，并根据他的思路证明三角形中位线性质定理；
[合作交流]通过交流乙、丙、丁三位同学又给出了三种不同的辅助线方法：
乙：延长DE到点F使EF＝DE，连接FC、DC、AF．
丙：作AH⊥DE，延长HD使DG＝HD，延长HE，使EF＝HE．
丁：过点E作EG∥AB，交BC于点G，过点A作BC的平行线交GE于点F．
则三位同学所作的辅助线能证明三角形中位线性质定理的是 ；
A．乙、丁 B．丙、丁 C．乙、丙 D．全正确
[定理应用]如图2，C，B两地被池塘隔开，不能直接测量它们之间的距离．测量员在地面上选了点A和点D，使AD∥BC，连接AB、DC．并分别找到AB和DC的中点M，N．若测得AD＝am，MN＝bm，则C，B两地间的距离 m．
【答案】[定理证明]解：∵E是AC的中点，
∴AE＝EC，
∵DE＝EF，∠AED＝∠CEF，
∴△AED≌△CEF（SAS），
∴AD＝CF，∠DAE＝∠ECF，
∴BD∥CF，
∵D是AB的中点，
∴AD＝DB，
∴BD＝CF，
∴四边形DBCF是平行四边形，
∴BC＝DF＝2DE，BC∥DE；
[合作交流]乙：延长DE到点F使EF＝DE，连接FC、DC、AF，推出四边形ADCF是平行四边形，得到BD＝CF，BD∥CF，因此四边形DBCF是平行四边形，即可证明．
丙：作AH⊥DE，延长HD使DG＝HD，延长HE，使EF＝HE，根据全等三角形的判定和性质得出BG＝AH，AH＝CF，推出四边形BGCF是矩形，即可证明．
丁：过点E作EG∥AB，交BC于点G，过点A作BC的平行线交GE于点F，根据全等三角形的判定和性质得出AF＝CG，AF＝BG，即可证明．
故答案为：D．
[定理应用]
连接AN并延长交BC延长线于G，
∵AD∥BC，
∴∠D＝∠NCG，∠DAN＝∠G，
∵N是DC中点，
∴ND＝NC，
∴△ADN≌△GCN（AAS），
∴AN＝NG，AD＝CG，
∵M是AB中点，
∴MN是△ABG的中位线，
∴MN＝BG，
∵BG＝BC+CG＝BC+AD，
∴MN＝（AD+BC）．
∵AD＝a m，MN＝b m，
∴BC＝（2b﹣a）m，
故答案为：（2b﹣a）．

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