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山东省青岛市2025-2026学年七年级数学下学期期末复习卷
一、单选题
1．下列新能源汽车标志中，轴对称图形是（ ）
A． B． C． D．
2．如果方程组的解是方程的一个解，则（ ）
A． B． C． D．
3．国家提倡低空经济，某示范区计划推广使用小型无人机进行物流配送．经测算，每架无人机的平均运营成本为0.000024元/秒，数据0.000024用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．．
4．将一副三角板按如图所示摆放，点D在上，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，从图甲到图乙的变换过程中，能表示两个图形面积关系的等式是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，四条线段的端点均在正方形网格的格点上，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．随着人们对身体健康的日益重视，自行车骑行运动越来越受到大众的喜爱．如图是某自行车车架的示意图，线段分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，是的一条角平分线，是的边上的高，，相交于点O．若，，则的度数是
A． B． C． D．
9．如图，的外角，的平分线，相交于点，于，于，下列结论：①；②点P在的平分线上；③．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
10．如图，在中，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，为折痕，若，则边长为（ ）
A． B． C．10 D．
二、填空题
11．如图所示，计划在河边的A，B，C，D处引水到P处，从B处引水能使所用的水管最短的理由是______．
12．如图所示的圆面图案是用相同半径的圆与圆弧构成的．若向圆面投掷飞镖，则飞镖落在阴影区域的概率为_____．
13．如图，，平分，若的周长为，，则______．
14．已知数据：，，，，，，．从中随机抽取一个数是无理数的概率为______．
15．若是完全平方式，则m的值为_________．
16．如图，在中，，，平分交于点D，延长到点E，使，连接交的延长线于点F．给出下面四个结论：①；②；③；④的面积是的面积的2倍；其中正确的结论有 ________ （填写序号）．
三、解答题
17．计算题
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
18．先化简，再求值：，其中，．
19．如图，点M在的一边OA上，作直角，使，且点N到的两边距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
20．汽车在行驶过程中，速度往往是变化的，如图是一辆汽车行驶过程中的速度情况．
(1)在这个过程中，自变量是汽车的行驶时间，因变量是：_____；
(2)用自己的语言大致描述这辆车内的行驶情况；
(3)若这辆车到继续保持原来的运动状态，然后用匀加速到，再用匀减速到静止．请你在上图中画出能够反映这辆车运动变化情况的图象．
21．在有理数范围内定义一种新运算，规定．例如：．
(1)求的值；
(2)已知，求y的值；
(3)若无论n取何值，（t为常数）永远成立，求t的值．
22．如图，，，E为上一点，连接并延长，交的延长线于点F，．
(1)与平行吗？请说明理由；
(2)若，求的度数．
23．我们在学习整式的乘法时，曾借助几何图形直观的解释了平方差公式和完全平方公式，比如，可以用图①解释完全平方公式．
(1)请完成下面的填空，并画出几何图形对乘法算式进行解释．
①_____；
②_____；
(2)如图②，由中间一个正方形和周围4个大小相同的长方形组成一个大正方形，则这个图形可以直观解释的乘法算式为_____．
24．【问题提出】
如图1，在长方形中，，，边长为的正方形的边在射线上移动，交射线于点．探索，与之间的数量关系．

【问题思考】
我们先将问题特殊化，
（1）如图2，当，重合时，______，______，（用含，的代数式表示），此时，与之间的数量关系是：____________．
【问题解决】
我们再将问题一般化，
（2）如图3，当在上，试说明（1）中，与之间的数量关系仍然成立．
（3）如图4，当在上，猜想，与之间的数量关系，并说明理由．
《山东省青岛市2025-2026学年七年级数学下学期期末复习卷》
参考答案
1．B
【详解】A.该选项不是轴对称图形，故不符合题意；
B. 该选项是轴对称图形，故符合题意；
C. 该选项不是轴对称图形，故不符合题意；
D. 该选项不是轴对称图形，故不符合题意，
故选：B．
2．A
【详解】解：方程组为：
由方程②得：．
将代入方程（1）：
代入，得：
因此，方程组的解为：
将解代入方程：
解得：
故选：A．
3．A
【详解】数据0.000024用科学记数法表示为．
故选：A．
4．A
【详解】解：如图，，，
，
，
．
故选：A．
5．D
【详解】解：图甲的面积可以看作一个长方形，
∴面积为，
图乙可以看作两个正方形的面积差，
即，
两个图的面积相等，
，
故选：D．
6．D
【详解】解：A、通过观察可知，和不垂直，故该选项错误；
B、通过观察可知，和不平行，故该选项错误；
C、通过观察可知，和不平行，故该选项错误；
通过排除法可知答案选D，
故选：D．
7．C
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
故选：C．
8．C
【详解】解：∵，，
，
平分，
，
，
，
，
，
故选：C．
9．B
【详解】解：作于点，
、分别平分、，
且、、，
，，
，
正确；
且、，
在的平分线上，
正确；
四边形中，，，
，
在和中，
，
，
，
同理可得，
，
，
，
，
错误；
综上，正确．
故答案为：2．
10．B
【详解】解：由折叠可得，，，
，
，
，
，
，
解得，
，
故选：B．
11．垂线段最短
【详解】解：，
由垂线段最短可知，从B处引水，能使所用的水管最短．
故答案为：垂线段最短．
12．
【详解】解：将图形转换，如图所示，
类型1的有6块，类型2的有6块，
其中类型1的阴影部分占类型1的，类型2的阴影部分占类型2的，
∴阴影部分的面积占整个圆的面积的，
∴飞镖落在阴影区域的概率为，
故答案为： ．
13．
【详解】解：平分，
，
，
，
，
，
故答案为：．
14．
【详解】解：7个数据：，，，，，，，其中，，，，是无理数，有5个，
从中随机抽取一个数是无理数的概率为，
故答案为：．
15．
【详解】解：是一个完全平方式，
，
，
故答案为：25．
16．①②③
【详解】解：∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
故①正确，符合题意；
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
故②正确，符合题意；
∵，
∴；
故③正确，符合题意；
根据三角形面积公式得，只有时，的面积是的面积的2倍，
故④错误，不符合题意．
故答案为：①②③．
17．(1)
(2)
(3)1
(4)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
18．，10
【详解】解：
，
当时，原式．
19．见详解
【详解】解：作图如下：
20．(1)汽车的速度
(2)见解析
(3)画图见解析
【详解】（1）解：在这个过程中，自变量是汽车的行驶时间，因变量是：汽车的速度；
（2）解：在，汽车加速行驶，每分钟加速；在，汽车以匀速行驶；
（3）解：补全图象如下：
21．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：，
；
（2），
，
，
解得：；
（3），
，
整理得，，
因为无论n取何值，永远成立，
所以，所以，
将代入，得，，
综上，．
22．(1)，理由见解析
(2)
【详解】（1）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
23．(1)①，作图见解析；②，作图见解析
(2)
【详解】（1）解：①
，
如图，可得大正方形的面积为，而大正方形面积等于三个边长分别为的小正方形面积以及2个长宽为的小矩形，以及2个长宽为的小矩形，2个长宽为的小矩形的面积和，
∴；
，
如图，可得大正方形的面积为，而大正方形面积等于4个边长为的正方形面积加9个边长为的正方形面积加个长宽为的长方形面积．
∴
故答案为：；②
（2）解：由图可得大正方形的面积为：，而大正方形由一个边长为为的小正方形和四个长宽为的长方形组成，
∴，
故答案为：．
24．（1），，（2）见详解（3）。理由见详解
【详解】解：（1）∵长方形的面积等于长×宽列式计算，
得，
∴，
∴，
故答案为：，，；
（2）∵在长方形中，，，边长为的正方形的边在射线上移动，当在上，
∴，，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）．理由如下：
同（2）可知，
则，
∴，
∴．

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