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湖北武汉中学2025-2026学年高三下学期4月月考数学试卷
一、单选题
1．若椭圆过抛物线的焦点， 且与双曲线有相同的焦点，则该椭圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．若点P是双曲线C：上一点，，分别为C的左、右焦点，则“”是“”的（ ）
A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．充分不必要条件
3．已知椭圆与直线交于两点，若点为线段的中点，则直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知动点满足，则点的轨迹是（ ）
A．直线 B．抛物线 C．双曲线 D．椭圆
5．已知椭圆的左，右焦点分别为，，点在椭圆上，为的内心，记，的面积分别为，且满足，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
6．过双曲线的右支上一点，分别向和作切线，切点分别为，则的最小值为（ ）
A．28 B．29 C．30 D．32
7．若斜率为（）的直线 l 与抛物线和圆M：分别交于A，B和C，D．且，则当面积最大时k的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知椭圆和双曲线有相同焦点与，设椭圆和双曲线的离心率分别为，为两曲线的一个公共点，且(其中O为坐标原点），则的最小值为（ ）
A． B．10 C． D．15
二、多选题
9．已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．当时，曲线C是椭圆
B．当或时，曲线C是双曲线
C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则
D．若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则
10．已知椭圆的右焦点为，抛物线以为焦点，过的直线交抛物线于两点，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．，直线的倾斜角为或
C．若为抛物线上一点，则的最小值为
D．的最小值为9
11．某数学兴趣小组的同学在探究“双”函数的图象和性质时，发现该函数的图象是双曲线，且存在实数，使得对恒成立．据此，下面的结论成立的是（ ）
A．实数的最大值为 B．该双曲线的离心率为
C．该双曲线的一个顶点是 D．该双曲线的焦距为
三、填空题
12．已知点在抛物线上，则抛物线的准线方程为__________.
13．已知双曲线：与椭圆：有公共的焦点，，且与在第一象限的交点为M，若的面积为1，则a的值为______．
14．双曲线的左、右焦点分别为是双曲线上一点．若的内切圆圆心为，则外接圆的半径为________．
四、解答题
15．已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，延长交抛物线于点．抛物线的准线与轴的交点为，．
(1)求抛物线的方程；
(2)求△的面积．
16．已知斜率为的直线过点，且与椭圆相交于不同的两点，，
(1)若，中点的纵坐标为，求直线的方程；
(2)若弦长，求的值.
17．已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.
（1）证明：直线AB过定点：
（2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.
18．如图，已知F是抛物线的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且，
（1）求抛物线的方程；
（2）设过点F的直线交抛物线与A B两点，斜率为2的直线l与直线，x轴依次交于点P，Q，R，N，且，求直线l在x轴上截距的范围.
19．已知椭圆，点为椭圆短轴的上端点，为椭圆上异于点的任一点，若点到点距离的最大值仅在点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”，已知．
(1)若，判断椭圆是否为“圆椭圆”；
(2)若椭圆是“圆椭圆”，求的取值范围；
(3)若椭圆是“圆椭圆”，且取最大值，为关于原点的对称点，也异于点，直线、分别与轴交于、两点，试问以线段为直径的圆是否过定点？证明你的结论．
参考答案
1．A
【详解】抛物线的焦点为， 双曲线的焦点为，
所以，又，则，
所以椭圆方程为.
2．D
【详解】，
当点在左支时，的最小值为，
当点在右支时，的最小值为，
因为，则点在双曲线的左支上，
由双曲线的定义，解得；
当，点在左支时，；在右支时，；推不出；
故为充分不必要条件，
故选：D.
3．B
【详解】设点，因点为线段的中点，则（*）
又在椭圆上，则 ①， ② ，
由，可得，
将（*）代入，化简得，即，可知直线的斜率为，
故直线的方程为：，即.
故选：B.
4．A
【详解】,表示点到的距离等于到直线
的距离,因为在直线,故的轨迹为过且与直线垂直的直线上.
故选：A
5．B
【详解】设，内切圆半径为，
，即，
所以，即，
又，.
故选：B.
6．C
【详解】由题设中圆心，半径，
中圆心，半径，
根据双曲线方程知其左右焦点为，连接，
所以，
所以
，
，
当且仅当为双曲线右顶点时等号成立，
故的最小值为30.
故选：C.
7．C
【详解】因为，则的中点与的中点重合，设此点为，
则
当，即，时，取最大值，
令，，，
,
由,得，
由，得，
.
故选：C．
8．C
【详解】解：由题意设焦距为，椭圆的长轴长，双曲线的实轴长为，不妨令在双曲线的右支上
由双曲线的定义①，
由椭圆的定义②，
又，即，所以，即，
故③，
①②得④，
将④代入③得，
，
当且仅当，即时取等号；
故选：C
9．BD
【详解】对于A，当时，曲线为,此时表示圆，故A错误，
对于B，当时，，此时曲线表示焦点在上的双曲线，
当时，此时曲线表示焦点在上的双曲线，
故当或时，曲线C是双曲线，B正确，
对于C, 若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则满足，解得，故C错误，
对于D，曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则，故，D正确，
故选：BD
10．AD
【详解】A选项，由题意得，故抛物线方程为，
由抛物线定义得，A正确；
B选项，由于直线的斜率为0时，与抛物线只有一个交点，不合要求，舍去，
设直线，联立，得，
设，由于，则
由韦达定理得，
故，解得，
故直线的斜率为，倾斜角不为或，B错误；
C选项，由题意得，准线方程为，过点作垂直于直线于点，
由抛物线定义得，故，
要想求得的最小值，则过点作垂直于直线于点，
故的最小值为，最小值为，C错误；
D选项，由题意得，由于，故，
，
因为，由基本不等式得，
当且仅当时，等号成立，
故的最小值为9，D正确.
故选：AD
11．ABD
【详解】
由，恒成立，即，则，
又当时，，所以，A选项正确；
双曲线的一条渐近线为，倾斜角为，
另一条渐近线为，
则两条渐近线的夹角为，
设双曲线的实轴长为，虚轴长为，焦距为，
则，
则双曲线离心率，B选项正确；
双曲线实轴所在直线为两条渐近线夹角的角分线，
即倾斜角为，即，
联立，解得，或，
所以双曲线的顶点为，，C选项错误；
则，即，
则，即焦距为，D选项正确；
故选：ABD.
12．
【详解】因为点在抛物线上，
所以，所以抛物线的方程为，即，
所以，则，所以抛物线的准线方程为，
故答案为: .
13．
【详解】设，分别为左、右焦点，根据椭圆以及双曲线定义可得
所以，，
所以，
由余弦定理可得，
所以，
故，
因此的面积为，
解得．
故答案为：.
14．
【详解】先补充一个结论：在双曲线中，点是右支上一点，则焦点三角形的内切圆圆心在过右顶点且与轴垂直的直线上，即．
证明：如图所示，不妨设的内切圆圆心为，对应切点依次，右顶点A，
根据切线长定理知：，
由双曲线定义可知，
又，则重合，即内切圆圆心C的横坐标为.
下面解决本题：如图，设内切圆圆心为，连接，记，，

由点的横坐标为3可得，又4，可得，
则，，
则．
于是，则，则，
设外接圆的半径为，则．
故答案为：
15．(1)
(2)
【详解】（1）因为，所以，
所以抛物线的方程为.
（2）因为，代入抛物线方程可得，且，所以，
又因为，所以，所以，
联立可得，所以，
所以，
又因为，所以到直线的距离为，
所以.
16．(1)
(2)
【详解】（1）根据题意可设直线的方程为，
设的中点为，如下图所示：

联立，整理可得，
易知，解得或，
且，由，中点的纵坐标为，可得，
解得或（舍），
因此直线的方程为.
（2）由（1）可得；
又弦长，可得，
整理可得，
解得，即，满足题意，
因此直线的方程为，即，
可得.
17．(1)见详解；(2) 3或.
【详解】(1)证明：设,,则．
又因为，所以.则切线DA的斜率为，
故，整理得.
设，同理得.
,都满足直线方程.
于是直线过点，而两个不同的点确定一条直线，所以直线方程为.即，
当时等式恒成立．所以直线恒过定点.
（2）
[方法一]【最优解：利用公共边结合韦达定理求面积】
设的中点为G，,则，，．
由，得，
将代入上式并整理得，
因为，所以或．
由（1）知，所以轴，
则（设）．
当时，，即；
当时，，
即，．
综上，四边形的面积为3或．
[方法二]【利用弦长公式结合面积公式求面积】
设，由（1）知抛物线的焦点F的坐标为，准线方程为．由抛物线的定义，
得．
线段的中点为．
当时，轴，，
；
当时，，由，得，即．
所以，直线的方程为．
根据对称性考虑点和直线的方程即可．
E到直线的距离为，
D到直线的距离为．
所以．
综上，四边形的面积为3或．
[方法三]【结合抛物线的光学性质求面积】
图5中，由抛物线的光学性质易得，又，所以．
因为，，所以，
所以．
同理，所以，即点D为中点．
图6中已去掉坐标系和抛物线，并延长于点H．
因为，所以．
又因为G，D分别为的中点，所以，
故为平行四边形，从而．
因为且，所以I为的中点，
从而．．
当直线平行于准线时，易得．
综上，四边形的面积为3或．

[方法四]【结合弦长公式和向量的运算求面积】
由（1）得直线的方程为.
由，可得，
于是
.
设分别为点到直线的距离，则.
因此，四边形ADBE的面积.
设M为线段AB的中点，则，
由于，而，与向量平行，所以，解得或.
当时，；当时
因此，四边形的面积为3或.
18．（1）；（2）.
【详解】（1）因为，故，故抛物线的方程为：.
（2）[方法一]：通式通法
设，，，
所以直线，由题设可得且.
由可得，故，
因为，故，故.
又，由可得，
同理，
由可得，
所以，
整理得到，
故，
令，则且，
故，
故即，
解得或或.
故直线在轴上的截距的范围为或或.
[方法二]：利用焦点弦性质
设直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为，由题设可得且．
由得，所以．
因为，
，．
由得．
同理．
由得．
因为，
所以即．
故．
令，则．
所以，解得或或．
故直线在x轴上的截距的范围为．
[方法三]【最优解】：
设，
由三点共线得，即．
所以直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为．
设直线的方程为，
则．
所以．
故（其中）．
所以．
因此直线在x轴上的截距为．
19．(1)是
(2)
(3)是，证明见解析
【详解】（1）由题意得椭圆方程为，所以，
设，则
，
二次函数开口向下，对称轴为，所以函数在上单调递减，
所以时，函数取最大值，此时为椭圆的短轴的另一个端点，
∴椭圆是“圆椭圆”；
（2）因为椭圆方程为，，设，，
则，，
由题意得，当且仅当时，函数值达到最大，
①当开口向上时，满足（与矛盾，舍去）；
②当开口向下时，满足，
综上可得的取值范围为．
（3）法—：由（2）可得，则椭圆方程为，
由题意：设且，
则，则直线：，则，
则直线，则，
若为直径的圆过定点，由对称性知在轴上，∴设则，且,
∴，，
则，解得，
所以得定点．
法二：椭圆方程：，设，
则，
所以，，
若为直径的圆过定点，由对称性知在轴上，
∴设，则，又，，
所以， ∵，解得，
所以得定点.

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