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本溪市2026年初中学业水平考试第二次模拟考试数学试卷
（本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟）
第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．如图，在长方体中挖去一个圆柱体后，得到的几何体的主视图为
A． B． C． D．
2．截至年月日，根据教育部发布的数据显示，年高考报名人数是人，比年增加了人，连续第年增长，创历史新高．数据用科学记数法表示为
A． B．
C． D．
3．下列图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是
A． B．
C． D．
5．下列调查中最适合采用全面调查的是
A．某批次汽车的抗撞击能力
B．某鞋厂生产的鞋底能承受的弯折次数
C．某班名同学的身高情况
D．全国中学生视力和用眼卫生情况
6．点（，）关于轴的对称点的坐标是
A．（-，-） B．（，） C．（-，） D．（-，）
7．南宋数学家杨辉所著的《田亩比类乘除算法》中有这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”意思是：一块矩形田地的面积为平方步，它的宽比长少步，问宽和长各多少步？设这块田地的宽为步，则所列方程正确的是
A． B．
C． D．
8．如图，直线，将含有角的三角板的直角顶点放在直线上，另一个顶点恰好落在直线上，若，则的度数是
A． B．
C． D．
9．如图，在正方形中，点，分别是边，的中点，点在边上，连接交于点，将沿折叠得到，点落在上的处，若，则的面积为
A． B．
C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点，在函数的图象上，点坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为．直线沿轴方向平移，当四边形与直线有交点时，则的取值范围是
A． B．
C． D．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．因式分解： ▲ ．
12．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和个黄球，它们除颜色外没有任何其他区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中．通过大量重复摸球实验发现，摸到黄球的频率是，则估计盒子中大约有红球 ▲ 个．
13．如图，，与相交于点，连接，若，，则的长为 ▲
14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，，与轴交于点，若点在第二象限的抛物线上，则的面积为 ▲ ．
15．如图，在中，点在边上，连接，．点在边上，若平分，，，则边与之间的距离为 ▲
三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16．（分）（1）计算：；
（分）（2）解不等式组．
17．（分）
某中学在组织开展校园文化节活动时，准备购买、两种款式的纪念品．已知花费元购买款纪念品与花费元购买款纪念品的数量相同，且每件款纪念品比每件款纪念品少元．
（1）款纪念品和款纪念品的销售单价各是多少元？
（2）若该学校正好用元购买、两种款式纪念品，且两种纪念品都要购买，请通过计算说明有多少种购买方案．
18．（分）
如图，中，，，，将线段边绕点逆时针旋转得到线段，求的面积．（参考数据：，，≈）
19．（分）项目式学习
【项目背景】
某市图书馆准备在、、、四个区域内放置一些桌椅供市民阅读使用，但各个区域内桌椅的使用效率有差别．在学习完“统计与概率”知识后，小明和同学们准备运用所学知识来解决相关问题．小明和同学们对图书馆各区域内的桌椅使用情况以及人流量进行调查，并根据调查收集的数据，绘制成如下图表：
【数据收集】
在某个时间段内个区域内人流量以及桌椅使用的情况统计表：
表1：人流量以及桌椅使用情况的抽样调查数据
区域 A B C D
区域内的人数
使用桌椅的人数
在某个时间段内个区域内人流量扇形统计图：
在一天内个区域内平均人流量的情况统计表：
表3：一天内四个区域内的平均人流量
区域 A B C D
人流量（单位：人）
【问题解决】
（1）求调查的某个时间段内四个区域的总人数；
（2）求C区域内桌椅的使用的频率；
（3）为积极响应全民阅读倡议，大力营造书香城市氛围，该图书馆准备在四个区域内新添置套桌椅供读书爱好者使用，请设计一个合理的放置方案，应对市民读书爱好者使用桌椅的需求．
20．（分）
【概念呈现】
在平面直角坐标系中，点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差“”称为点的“虹桥值”，函数图象上所有点的“虹桥值”中的最大值称为函数的“最优虹桥值”．
【概念理解】
求函数的“最优虹桥值”；
解：设函数的“虹桥值”为，
，
随的增大而增大
时，
当，最大
函数的“最优虹桥值”为．
【拓展应用】
（1）求函数的“最优虹桥值”；
（2）若二次函数的“最优虹桥值”为，求的值．
21．（分）
如图，中，，以为直径的与，分别交于点和点，过点作，垂足为，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求半径．
22．（分）
如图，在中，，点在边上移动，过点作交于点，过点作交延长线于点．
（1）如图，求证：；
（2）已知平分，．
①如图，若，求的长；
②如图，过点作于点，连接．若，求的面积．
23．（分）
如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点在抛物线上，点在上，且，设经过，两点的直线解析式为，求的取值范围；
（3）若点在直线下方的抛物线上运动，设点的横坐标为．过点作轴的平行线，与直线相交于点，过点作轴的平行线，与抛物线交于点，以，为邻边构造矩形．
①设矩形的周长为，求关于的函数表达式；
②在①的条件下，点，点，若线段与函数的图象有且只有两个交点时，直接写出的值或取值范围．
本溪市年初中学业水平考试第二次模拟考试
数学试题参考答案及评分标准
一、选择题（本题共小题，每小题分，共分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
题号
答案 A D A D C C B A C B
二、填空题（本题共小题，每小题分，共分）
11． 12． 13． 14． 15．
三、解答题（本题共小题，共分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16．（1）；
；………………………………5分
（2）解不等式组
解：解不等式①得；
解不等式②得，
将不等式①②的解集在数轴上表示如下：
∴原不等式组的解集为．………………………………5分
17．解：（1）设款纪念品每件元，款纪念品每件元
∴
∴
经检验：是原方程的解
∴
答：款纪念品每件元，款纪念品每件元；…………………………4分
（2）设购买种纪念品件，购买种纪念品件，
，
．
，是正整数，
或或．
答：共有种购买方案………………………………分
18．解：过点作于点，
在中，，，
线段边绕点逆时针旋转得到线段，
，，
，
在中，，，
，
答：的面积约为．…………………………分
19．解：（1）
答：调查的某个时间段内四个区域的总人数为人；……………………分
（2）
答：区域内桌椅的使用的频率为……………………………………分
（3）个区域内一天使用桌椅的人数分别约为：
区：， 区：，
区：， 区：；
使用桌椅的平均人数约为：，…………………………分
区：， 区：，
区：， 区：，
答：最佳放置方案是：
区套，区套，区套，区套．…………………………分
20．（1）解：设函数的“虹桥值”为，
．
，
随的增大而减小．
时，
当，最大，
函数（）的“最优虹桥值”为．…………………………分
（2）设二次函数的“虹桥值”为，
．
，
开口向下，
当时，随的增大而减小．
时，
当时，最大，
．…………………………分
20．（1）证明：连接，
，
．
，
．
，
，
，
，
，
．
是的半径，
是的切线；………………分
（2）解：连接，
是的直径，
，
．
，
，．
四边形是的内接四边形
，
．
，
，
，
，
，
，
半径为．……………………分
22．（1）证明：，，
，
，，
．
，
，
，……………………分
（2）解：①过点作于点，过点作于点，
，，，
，
，，．
在中，，，
，
，．
，
，
．
设，则，
．
，
，
，
，
．…………………………分
②，
，
，，
，
，．
，，
，
，
．
，，
．
设，，
，
，
．
，
，
．
，
，
．
，
．
在中，，
，
，
，
，
，
，
的面积是．…………………分
23．解：（1）直线与轴交于点，与轴交于点，
，两点，
，
，
抛物线的解析式为；……………分
（2）点在抛物线上，
．
点在直线上，
，……………分
点，．
经过，两点的直线解析式为，
，……………分
，
，
，
．……………分
，
，
；…………………分
（3）①抛物线开口向下，对称轴是直线．
∵轴，
∴、两点关于直线对称．
∵，
∴点坐标为．
如图，当点在点左侧时，，，
如图，当点在点右侧时，，，
∵点在点的上方，，
∴．
当时，
∴；
当时，
∴．
综上，……………………分
②或……………………分

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