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青海西宁市第十四中学2025-2026学年高一下学期4月月考数学试卷
一、单选题
1．复数（为虚数单位）的虚部为（ ）
A．2 B． C． D．
2．在中，角所对的边分别为．若，则（ ）
A． B． C． D．
3．下列各组向量中，可以作为平面内所有向量的一个基底的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．如图，在边长为2的正方形中，分别为的中点，则（ ）
A． B．1 C． D．
5．已知平面向量，则在方向上的投影向量坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．在中，角所对的边分别是若，且，则该三角形的形状是（ ）
A．三边均不相等的三角形 B．底边与腰不相等的等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
7．在中，，若，则（ ）
A． B． C．1 D．
8．记的内角的对边分别为，已知，则最大内角的余弦值为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．下列说法错误的是（ ）
A．若，，则
B．若且，则
C．若，为非零向量，且，则
D．若向量，，两两的夹角相等，且，，，则
10．的内角：所对边分别为，下列说法中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则是等腰三角形
C．若，则是锐角三角形
D．若，则是等腰直角三角形
11．在中，角的对边分别为，且，则（ ）
A．
B．当时，
C．当时，面积的最大值为1
D．当为锐角三角形时，的取值范围是
三、填空题
12．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，，则的解的个数为______.
13．位于某海域处的甲船获悉，在其正东方向相距20km的处有一艘游轮遇险后抛锚等待营救．甲船立即前往救援，同时把信息告知位于甲船南偏西，且与甲船相距10km的处的乙船．则乙船前往营救遇险游轮时的目标方向线（由观测点看目标的视线）与直线的夹角的正弦值为________．
14．已知向量，，，记函数．若在上单调递增，则的取值范围为______．
四、解答题
15．已知平面内三个向量．
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的值．
16．已知复数.
(1)若复数是实数，求实数的值；
(2)若在复平面内，复数表示的点在第四象限，求实数的取值范围.
17．已知向量，满足，，．
(1)求向量与的夹角；
(2)若，求实数k的值．
18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，.
(1)求sin B的值；
(2)求c的值.
(3)若的平分线交BC于点D，求AD的长.
19．在中，内角A、B、C对应的边分别是a、b、c，且.
(1)求角A的大小；
(2)若，，求a；
(3)若，求的取值范围.
参考答案
1．B
【详解】复数的虚部为，所以复数的虚部为.
2．B
【详解】由正弦定理可得，所以或，
因，则，故为锐角，即.
3．B
【详解】因为，所以共线，故A不符合题意；
因为，所以不共线，故B符合题意；
因为，所以共线，故C不符合题意；
因为，所以共线，故D不符合题意；
4．D
【详解】以为坐标原点建立如图所示直角坐标系，
则，则，
则.
5．C
【详解】因为，则，
所以在方向上的投影向量坐标为.
6．C
【详解】因为，，所以，即，
又由，结合正弦定理得：，
即，则，
因为有一个角是的等腰三角形是等边三角形，所以为等边三角形.
故选：C.
7．A
【详解】由，得，
整理为，
即，，即.
8．A
【详解】由题意得，
结合正弦定理得：，
所以
因为，所以，
则，即，
由正弦定理，得．
又，同理可得，
所以，故为的最大内角，
设，所以．
9．ABD
【详解】对于A，若，满足且，但与也不一定平行，故A错误；
对于B，可化为，
因为，所以或，所以不一定有，故B错误；
对于C，两边平方得，化简可得，
即，所以，故C正确；
对于D，若向量，，两两的夹角相等，则向量，，两两的夹角可以为或，
而，
当向量，，两两的夹角为时，
此时，，，
当向量，，两两的夹角为时，
此时，，，
综上或，故D错误.
10．AD
【详解】对于A，因为在中，由正弦定理可得等价于，又因三角形中大边对大角，故等价于，选项A正确；
对于B，因为，所以或，即或，是等腰三角形或直角三角形，选项B错误；
对于C，由可以确定是锐角，但不能确定和的大小，所以不能判断是锐角三角形，选项C错误；
对于D，由正弦定理，结合条件，
得，，
，，，，又，，
所以，，所以是等腰直角三角形，选项D正确.
11．AD
【详解】对于A选项，由正弦定理，，是的外接圆的半径，
代入条件得，由余弦定理，，
又，故，故A正确；
对于B选项，将代入，得，
由余弦定理，，故，B错误；
对于C选项，若，由基本不等式可得
的面积，
当且仅当时取等号，故面积的最大值为，C错误；
对于D选项，由，
得，
由，得，又为锐角三角形，所以，
所以，所以，故.D正确.
12．2
【详解】在中，由及正弦定理，得,
即，整理得，而，
则，又，解得，由，，得，则，
由正弦定理得，因此角可以为锐角，也可以为钝角，
所以的解的个数为2.
13．/
【详解】依题意可得如下图：
其中，，，
在中，由余弦定理可得
，
由正弦定理可得即，解得
所以乙船前往营救遇险游轮时的目标方向线（由观测点看目标的视线）与直线的夹角的正弦值为.
14．
【详解】.
因为，所以时，，
因为在上单调递增，所以，，
解得，.
又，所以当时，，当时，范围不符合题意.
综上的取值范围为.
15．(1)
(2)
【详解】（1）因为，则，
可得，解得.
（2）因为，
则，，
若，则，解得.
16．(1)或；
(2).
【详解】（1）因为复数是实数，
所以，
解得或；
所以实数的值为或；
（2）因为复数表示的点在第四象限，
所以，
即，
解得或，
所以实数的取值范围为.
17．(1)
(2)
【详解】（1）由，得，
即，则，
所以，则，
又，则.
（2）由，得，
则，
即，解得.
18．(1)
(2)3
(3)
【详解】（1）由正弦定理=，
可得，所以sin B=.
（2）方法一　根据条件，b由（1）sin B=，所以cos B=，
所以sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B
=×+×=，
由正弦定理=可得c=3.
方法二　由余弦定理，
得(，
整理得，
解得或(舍去)，
所以.
（3），
即，得.
19．(1).
(2)
(3)
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，即，
因为在中，，所以，
又，所以.
（2）因为，，，所以，解得.
由余弦定理得.
（3）因为，
所以，
所以，所以，当且仅当时等号成立，
又，所以.

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