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山东省 2026普通高校招生（春季）考试
数学模拟试题答案解析及评分标准
一、选择题（本大题 20个小题，每小题 3分，共 60分．）
1．C【解析】因为根据实数的分类可知，①②④是正确的，③中，|－3|＝3是自然数，所以错误，
故选 C．
2．A【解析】由题意可知 2－|x－1|＞0，解得－1＜x＜3，故选 A．
3．D【解析】因为(a－2i) i＝2＋ai，所以 2＋ai＝b＋i，则 a＝1且 b＝2，故 a＋b＝3．故选 D．
4．B【解析】因为 a＞b，ab＞0，所以 a＞ b ，即1＞1．故选 B．
ab ab b a
5．A【解析】由三视图的知识可知选项 A正确．
6．C【解析】因为 sin( ＋a)＝－sina＞0，所以 sin ＜0，sin(π－a)＝cosa＜0，所以角 a 所在的象
2
限是第三象限，故选 C．
7．D【解析】OA＝OB＋BA＝OB＋3CB＝OB＋3 OB－OC ＝4a－3b．
8．B【解析】两人随机选择班级就读总的选法是 8×8＝64，则两人恰好选择同一班级的选法有 8种
8
选法，则两人恰好选择同一班级的概率是 ＝1，故选 B．
8×8 8
9．A【解析】设直线 l：x＋2y＋m＝0，因为当 x＝0时，y＝2，可得 m＝－4，故选 A．
2
10 B cos2 cos x－sin
2x 1－tan2
．【解析】因为 ＝ ＝ ＝2，解得 tan ＝± 5，由 A，B两点坐标可得 tan
sin2x＋cos2x 1＋tan2 3 5
b－a
＝ ＝b－a，则|b－a|＝ 5，故选 B．
1 5
11．B【解析】已知奇函数在[3，7]，[－7，－3]上的单调性相同，且图像关于原点对称，则 f(－4)
＝－f(4)＝－5，故选 B．
C2C2A3
12．C【解析】三个学校安排的教师人数依次为：2，2，1或 3，1，1，所以 5 3 3 32 ＋C5A
3＝90
A 32
＋60＝150，故选 C．
13．B【解析】均值相同的情况下，方差越小样本数据越稳定，故选 B．
14．D【解析】由题意可知 2n＝32，则 n＝5，所以展开式中有 6项，故选 D．
15．A【解析】由题意可知当 x＞1时，log x＞0，则 a＞1，所以函数 y＝ax＋1a 的图象是一条过第一、
a
三象限且与 y轴交点在点(0，1)的下方，故选 A．
16．A【解析】因为 a∥b，则 t(t－1)－2＝0，t＝2或 t＝－1，
2026年数学试题 第 1 页 共 6 页
所以当 t＝2时，a∥b 命题成立，反之，当 a∥b 时，t＝2不一定成立，
所以“t＝2”是“a∥b”的充分不必要条件．
17．A a【解析】由 7 ＝q3得，q3 1＝ ，解得 q＝ 1 ，故选 A．
a4 8 2
18．D【解析】抛物线 4x2＝y化成标准方程是 x2＝1 y，则 2p＝1，则 p＝1，该抛物线的焦点在 y轴
4 4 8
的正半轴，所以准线方程为 y＝－ 1，故选 D．
16
19．B【解析】因为 e是无理数，则 g(e)＝0，所以 f(0)＝0，故选 B．
20．C【解析】因为函数 f(x)＝Asin(ω x＋φ)是奇函数，|φ|<π，所以φ＝0，因为 g(x)的最小正周期为
2π，函数为 g(x)的图像是由函数 f(x)图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2倍（纵坐标不变），
所得，则ω＝2，则 g(x)＝Asin(2 x)，因为 g(π)＝ 2，则 Asin(2× π)＝ 2，解得 A＝2，所以
4 4
f(x)=2sin(2x)，则 f（3π）＝2sin(2×3π)＝ 2，故选 C．
8 8
二、填空题（本大题 5个小题，每小题 4分，共 20分．）
21．1【解析】若 log 1
8 2
x－log 1 8＝0，则若 log2x＝－3，则 x＝ ．8
2
22．3【解析】一条侧棱、高、底面对角线，三条线构成直角三角形，底面边长和高都等于 2，则
底面的对角线长为 2，则侧棱为 12＋( 2)2＝ 3.
23．433【解析】分段间隔为442＝13，则 017是第二个号码段中的编号，所以最后一个号码段抽到
34
的产品编号为 017＋(34－2)×13＝433．
24．60 【解析】由题意可知 3 3＝1×3×4sin∠ACB，则 sin∠ACB＝ 3，因为△ABC是锐角三角形，
2 2
则∠ACB＝60 ．
25．y＝±( 3＋1)x【解析】如图所示，易得直线 BC的斜率为a，cos∠CF1F2＝
b，
b c
由双曲线的定义及|BC|＝|CF2|可得|CF1|－|CF2|＝|BF1|＝2a，
因为|BF2|－|BF1|＝2a |BF2|＝4a，
2 2 2
所以 cos 4a ＋4c －16a∠CF1F2＝
b＝
c 2×2a×2c
则 b2－2ab－2a2＝0
解得 b＝(1＋ 3)a，
所以双曲线的渐近线方程为 y＝±( 3＋1)x． 第 25题图
三、解答题（本大题 5个小题，共 40分．）
2026年数学试题 第 2 页 共 6 页
26．解：（1）因为 f(0)＝m－1，f(2)＝4－2m＋m－1＝3－m，·························· 1分
因为 f(0)＝f(2)，即 m－1＝3－m，..........................................................................1分
解得 m＝2．................................................................................................................1分
（2）二次函数 f(x)＝x2－mx＋m－1的开口向上，对称轴是 x＝m，···················1分
2
①当m＜－2，即 m＜－4时，函数 f(x)在区间[－2，2]上单调递增，
2
则该函数的最小值是 f(－2)＝3m＋3；....................................................................1分
②当－2≤m≤2，即－4≤m≤4时，
2
则函数 f(x)在[－2，m]上单调递减，在[m，2]上单调递增，
2 2
所以该函数的最小值是 f(m)＝m
2
＋m－1；············································· 1分
2 4
③m＞2，即 m＞4时，函数 f(x)在[－2，2]上单调递减，
2
所以该函数的最小值是 f(2)＝3－m．......................................................................1分
27．解：（1）在等差数列{an}中，a1＝23，a6＝3．
则 a6＝a1＋5d，即 3＝23＋5d，...............................................................................1分
解得 d＝－4，.............................................................................................................1分
则该数列的通项公式是
an＝a1＋(n－1)d＝23＋(n－1)×(－4)＝－4n＋27．.............................................. 1分
（2）由（1）可知公差 d＝－4，an＝－4n＋27，
则 Sn＝23＋(－4n＋27)×n
2
＝－2n2＋25n
＝－2×(n－25)2＋625，·······························································1分
4 8
因为 n∈N＋，所以 n＝6时，Sn取最大值，最大值为 S6＝78．.......................... 1分
（3）由（2）知 Sn＝－2n2＋25n，
当数列的前 n项和 Sn是正数时，即－2n2＋25n＞0，...........................................1分
解得 0＜n＜25，···············································································1分
2
因为 n∈N＋，所以 n的最大值是 12．....................................................................1分
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28．解：函数 f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋1cos4x
2
＝cos2xsin2x＋1cos4x
2
＝1sin4x＋1cos4x
2 2
＝ 2sin(4x＋π)，······························································· 3分
2 4
（1）所以函数 f(x)的最小正周期是2π＝π，最大值是 2．······························· 2分
4 2 2
（2）因为 f ( )＝ 2，所以 2sin(4 ＋π)＝ 2，即 sin(4 ＋π)＝1，···················1分
2 2 4 2 4
所以 4 ＋π＝π＋2k ，解得 ＝kπ＋ π，k∈Z，·····································1分
4 2 2 16
因为 ∈(π， )，所以 ＝9π．····························································1分
2 16
29．证明：（1）因为 PE⊥平面 ABCD，
所以 PE的长就是四棱锥 P-ABCD的高，···············································1分
因为△PAB为等边三角形，PB＝AB＝4，E为 AB中点， P
则 BE＝2，则 PE＝ 42－22＝2 3，······················· 1分
因为正方形 ABCD的边长为 4， A D
则正方形 ABCD的面积为 4×4＝16，···················· 1分 E F
B C
所以四棱锥 P-ABCD的体积为 第 29题图
1×16×2 3＝32 3．................................................................................................ 1分
3 3
（2）连接 EC，因为 PE⊥平面 ABCD，所以 EF是 PF在平面 ABCD内的射影，
则∠PFE就是直线 PF与平面 ABCD所成角为 45 ，
因为 F是 CD的中点，所以在等腰 Rt△PEF中，EF＝PE＝4，··················1分
在 Rt△EBC中，EC＝ BE2＋BC2＝ 22＋42＝2 5，
同理可求得 PB＝2 5，
因为 EC 平面 ABCD，所以 PE⊥EC，
在 Rt△PEC中，PC＝ PE2＋EC2＝ 42＋20＝6，··································· 1分
在正方形 ABCD中，所以 BC//AD，
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所以直线 BC与 PC所成的角就是异面直线 PC与 AD所成角，·················· 1分
PBC cos PCB PC
2＋BC2－PB2 62＋42－(2 5)2
在△ 中， ∠ ＝ ＝ ＝2，
2PC×BC 2×6×4 3
所以异面直线 PC与 AD所成角的余弦值是2．········································1分
3
30．解：（1）由题意可得 e＝c＝1，
a 2
因为 a2＝b2＋c2，所以 b2＝3a2，·························································· 1分
4
9
因为椭圆经过点(1，3)，所以 1＋ 4 ＝1，
2 a2 3a2
4
解得 a＝2，·····················································································1分
所以 b2＝3a2＝3×4＝3，····································································1分
4 4
故椭圆的标准方程为x
2 y2＋ ＝1．·························································· 1分
4 3
（2）设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由（1）知 F1(－1，0)，设直线 l的方程为 x＝ty－1，·······························1分
x＝ty－1，
联立方程组 x2 y2 消去 x，得(4＋3t2 2＋ ＝1， )y －6ty－9＝0，
4 3
显然Δ＝(－6t)2＋4×9×(4＋3t2)＝72t2＋144＞0恒成立，·························· 1分
6t 9
则 y1＋y2＝ ，y y ＝－ ，
4＋3t2
1 2
4＋3t2
所以|y1－y2|＝ (y1＋y2)2－4y1y2
36t2 36
＝ ＋
(4＋3t2)2 4＋3t2
12 t2＋1
＝ ， ·································································· 1分
4＋3t2
2 2
S S S 1|F O| |y y | 1 1 12 t ＋1 6 t ＋1因为 △AOB＝ △AOF1＋ △BOF2＝ 1 × 1－ 2，所以 × × ＝ ，
2 2 4＋3t2 4＋3t2
6 t2＋1
即 ＝6 2，
4＋3t2 7
解得 t2＝1，···················································································· 1分
|0－t×0＋1| 1
因为圆 O的半径 r＝ ＝ ，所以 r＝ 2，
1＋t2 1＋t2 2
2026年数学试题 第 5 页 共 6 页
所以圆 O的标准方程为 x2＋y2＝1．······················································1分
2
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