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【学习目标】1.掌握平抛运动的规律，学会处理斜面或圆弧面约束下的平抛运动问题。
2.会处理平抛运动中的临界、极值问题。
3.学会运用运动的合成与分解处理斜抛运动问题。
考点一　平抛运动的规律及应用
考点二　与斜面或圆弧面有关的平抛运动
考点三　平抛运动的临界和极值问题
内
容
索
引
课时作业
第10讲　抛体运动
考点四　斜抛运动
1.定义：将物体以一定的初速度沿____________方向抛出，物体只在____________作用下的运动。
2.性质：平抛运动是加速度为g的____________曲线运动，运动轨迹是___________。
3.研究方法：化曲为直。
(1)水平方向：_______________运动；
(2)竖直方向：_______________运动。
考点一　平抛运动的规律及应用
水平
重力
匀变速
抛物线
匀速直线
自由落体
4.基本规律
(1)如图所示，以抛出点O为坐标原点，以初速度v0方向(水平方向)为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，建立平面直角坐标系xOy。
(2)平抛运动物体的速度变化量
因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度变化量Δv=gΔt是相同的，方向恒为竖直向下，如图所示。
(3)两个推论
①做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。
②做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，速度方向与水平方向的夹角θ和位移方向与水平方向的夹角α的关系为：tan θ=2tan α。
1.平抛运动的加速度方向与速度方向的夹角逐渐变小。(　 　)
2.做平抛运动的物体单位时间内的速度变化量越来越大。(　 　)
3.相等时间内，做平抛运动的物体速度大小变化相同。(　 　)
√


(2025·浙江6月选考)如图所示，在水平桌面上放置一斜面，在桌边水平放置一块高度可调的木板。让钢球从斜面上同一位置由静止滚下，越过桌边后做平抛运动。当木板离桌面的竖直距离为h 时，钢球在木板上的落点离桌边的水平距离为x，则(　 　)
A. 钢球的平抛初速度大小为x
B.钢球在空中飞行的时间为
C.增大h，钢球撞击木板的速度方向不变
D.减小h，钢球落点离桌边的水平距离不变
例 1
【解析】 竖直方向：h=gt2，得飞行时间t=，B正确；水平方向：x=v0t，初速度v0=x，A错误；撞击速度方向的偏转角tan θ=，可知h变化时θ变化，C错误；减小h则t减小，x=v0t也减小，D错误。
B
(2024·浙江1月选考)如图所示，小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高的两倍，在地面上平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A。已知桶高为h，直径为D，重力加速度为g，则水离开出水口的速度大小为(　 　)
A. B.
C. D.(＋1)D
例 2
【解析】 假设细水管口在距离桶右侧r处，实现题中过程的运动轨迹示意图如图所示，水经过桶口时，平抛运动过　　　
程满足，落至A点时，平抛运动过程满足
联立解得r=，v0=，C正确，A、B、D错误。
C
考点二　与斜面或圆弧面有关的平抛运动
已知条件 情景示例 解题策略
已知速 度方向 从斜面外平抛，垂直落在斜面上，如图所示。 已知速度方向垂直于斜面 分解速度
tan θ==
从圆弧形轨道外平抛，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道，如图所示。 已知速度方向沿该点圆弧的切线方向　 分解速度
tan θ==
已知条件 情景示例 解题策略
已知位 移方向 从斜面上平抛又落到斜面上，如图所示。 已知位移方向沿斜面向下 分解位移
tan θ==
=
从斜面外平抛，落在斜面上位移最小，如图所示。 已知位移方向垂直于斜面 分解位移
tan θ==
=
已知条件 情景示例 解题策略
利用位 移关系 从圆心处水平抛出，落到半径为R的圆弧上，如图所示。 已知位移大小等于半径R
从与圆心等高的圆弧上水平抛出，落到半径为R的圆弧上，如图所示。 已知水平位移x与R的差的平方与竖直位移的平方之和等于半径的平方
考向一　与斜面的结合
跳台滑雪是一种勇敢者的滑雪运动，运动员在滑雪道上获得一定的速度后从跳台飞出，在空中飞行一段距离后落地。如图所示，运动员从跳台A处沿水平方向以v0=20 m/s的速度飞出，落在斜坡上的B处，斜坡与水平方向的夹角θ为37°，不计空气阻力，已知sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，g取10 m/s2，求：
(1)运动员在空中飞行的时间；
【解析】 运动员做平抛运动，设在空中飞行的时间为t，则有x=v0t，y=gt2，由图可知tan θ=，联立解得t=tan θ=3 s。
【答案】 3 s　
例 3
(2)运动员落在B处时的速度大小；
【解析】 运动员落在B处时有vx=v0，vy=gt，所以vB==10 m/s。
【答案】 10 m/s　
(3)运动员在空中离坡面的最大距离。
【解析】 取沿斜坡向下方向(x方向)与垂直于斜坡向上方向(y方向)分解运动员的运动，则在垂直于斜坡方向上，vy0'=v0sin θ=12 m/s，ay=－gcos θ=－8 m/s2，当vy'=0时，运动员在空中离坡面的距离最大，最大距离d==9 m。
【答案】 9 m
(1)AB的距离l为多少？
【答案】 由x=v0t得x=60 m，则l==75 m。
(2)若运动员从跳台A处沿水平方向飞出的速度变为原来的一半，则运动员在空中飞行的时间变为原来的多少倍？沿斜坡飞行的距离变为原来的多少倍？
【答案】 由(1)问知t=tan θ，可知t∝v0，故运动员在空中飞行的时间变为原来的。由l==可知l∝，即沿斜坡飞行的距离变为原来的。
(3)初速度改变后，落在斜坡上的速度方向与斜坡夹角会改变吗？
【答案】 落在斜坡上时，位移方向相同，由平抛运动的推论可知速度方向相同，即速度方向与斜坡的夹角不变。
拓展
如图所示，科考队员站在半径为10 m的半圆形陨石坑(直径水平)边，沿水平方向向坑中抛出一石子(视为质点)，石子在坑中的落点P和圆心O的连线与水平方向的夹角为37°，已知石子的抛出点在半圆形陨石坑左端的正上方，且到半圆形陨石坑左端的高度为1.2 m。sin 37° =0.6，cos 37°=0.8，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力。则石子抛出时的速度大小为
(　 　)
A.9 m/s　 B.12 m/s　
C.15 m/s　 D.18 m/s
例 4
【解析】 由题意可知，石子竖直方向的位移h=h1＋Rsin 37°，根据公式h=gt2，代入数据解得t=1.2 s，石子水平方向的位移x=R＋Rcos 37°，又x=v0t，代入数据可得石子抛出时的速度大小v0=15 m/s，C正确。
C
考向二　与圆弧面的结合
1.常见的三种临界特征
(1)有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等词，明显表明题述的过程中存在着临界点。
(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界点。
(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等词，表明题述的过程中存在着极值，这个极值点往往是临界点。
2.平抛运动临界问题的分析方法
(1)确定研究对象的运动性质；
(2)根据题意确定临界状态；
(3)确定临界轨迹，画出轨迹示意图；
(4)应用平抛运动的规律结合临界条件列方程求解。
考点三　平抛运动的临界和极值问题
如图所示为网球比赛训练中运动员在球场的底角处发球时的情景，发球时将网球上抛到最高处水平击出，要求落地点位于对角的长方形区域内且不触网即为发球有效。假设每次发球时的最高点高度不变，击球水平速度大小可变，已知比赛场地尺寸如图所示，是23.77 m(长) ×10.97 m(宽)。发球落点有效区长6.4 m，宽4.115 m。网的高度h=1.07 m，不考虑空气阻力的影响，则下列阴影部分表示有效发球时网球的可能落点区域正确的是
例 5
【解析】 从球水平抛出到刚好过网的过程中，球的竖直位移相同，则根据h1=g可知时间相同，所有球沿球场长边方向的位移都相同，若设球水平抛出时初速度方向与球场长边方向的夹角为θ，则v0t1cos θ=x1(x1为球沿球场边缘方向的位移，数值为11.885 m)；球过网后落在场地上时，因抛出时的高度相同，则所有球的运动时间也都相等，设为t2，则球落地时沿球场长边方向的位移x2=v0t2cos θ，也都是相等的，即落地时的位置连线应该是与球网平行的直线上，A正确。
A. B.
C. D.
(　 　)
A
如图所示，自动喂鱼投料机安装在鱼塘上方的水平平台上，投料口距水面的高度为1.25 m。投料机开机运行时饵料通过机内的小孔向下落入带挡板的银色转盘中，转盘在电动机的带动下转动将饵料甩出，从而实现自动投喂。某次投喂时调好电动机转速，饵料投送的距离在2~17 m的范围内，若忽略空气阻力的影响，重力加速度g取10 m/s2，下列说法中，正确的是
(　 　)
A.饵料被水平甩出时的最大速度为17 m/s
B.饵料被水平甩出时的最小速度为1 m/s
C.增大投料机的安装高度同时减小电动机转速，饵料的
最大投放距离一定增大
D.降低投料机的安装高度同时增大电动机转速，饵料的最大投放距离可以不变
例 6
【解析】 饵料被水平甩出后做平抛运动，竖直方向有h=gt2，得t==0.5 s，水平方向有x=vt，又2 m≤x≤17 m，解得4 m/s≤v≤34 m/s，则饵料被水平甩出时的最大径向速度为34 m/s，最小径向速度为4 m/s，A、B错误；增大投料机的安装高度同时减小电动机转速，t增大、v减小，可知饵料的最大投放距离可能增大，也可能减小，还可能不变，C错误；降低投料机的安装高度同时增大电动机转速，t减小、v增大，可知饵料的最大投放距离可能增大，也可能减小，还可能不变，D正确。
D
1.定义：将物体以初速度v0_________________或斜向下方抛出，物体只在_________作用下的运动。
2.性质：斜抛运动是加速度为g的_____________曲线运动，运动轨迹是___________。
3.研究方法：运动的合成与分解。
(1)水平方向可视为____________直线运动；
(2)竖直方向可视为___________直线运动。
考点四　斜抛运动
斜向上方
重力
匀变速
抛物线
匀速
匀变速
4.基本规律
以斜抛运动的抛出点为坐标原点O，水平向右为x轴的正方向，竖直向上为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系xOy。
(1)初速度可以分解为
=v0cos θ，=v0sin θ
在水平方向，物体的位移和速度分别为
x=t=(v0cos θ)t
vx==v0cos θ
在竖直方向，物体的位移和速度分别为
y=t－gt2=(v0sin θ)t－gt2
vy=－gt=v0sin θ－gt
(2)当斜抛物体的落点位置与抛出点等高时
①射高：h=。
②斜抛运动的飞行时间：t=。
③射程：s=v0cos θ·t=，对于给定的v0，当θ=45°时，射程达到最大值，smax=。
如图所示，网球运动员训练时，从同一高度的前后两个不同位置将网球击出后，垂直击中竖直墙上的同一点。不计空气阻力，下列说法中，正确的是(　 　)
A.两轨迹中网球撞墙前的速度可能相等
B.沿轨迹1运动的网球被击出时的初速度大
C.从击出到撞墙，沿轨迹2运动的网球在空中运动的时间短
D.沿轨迹1运动的网球刚要撞墙时的速度小
例 7
【解析】 根据逆向思维法，将网球看成是从竖直墙上水平射出做平抛运动，则竖直方向有h=gt2，可得t=，水平方向有x=vxt，可得vx=x，由于两轨迹高度相同，则网球沿两轨迹在空中运动的时间相等；由于沿轨迹1运动的网球水平位移大，则有vx1＞vx2，即沿轨迹1运动的网球刚要撞墙时的速度较大，A、C、D错误；根据v=，vx1＞vx2，可知沿轨迹1运动的网球被击出时的初速度较大，B正确。
B
逆向思维法处理斜抛运动问题
对斜上抛运动，从抛出点到最高点的运动可对其逆过程分析，看成平抛运动。分析完整的斜上抛运动，还可根据对称性求解某些问题。
技能点拨
如图甲所示，我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图乙所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为O，且轨迹交于P点，抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为v1和v2，其中v1方向水平，v2方向斜向上。忽略空气阻力，关于两谷粒在空中的运动，下列说法中正确的是(　 　)
例 8
B
甲 乙
A.谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度
B.谷粒2在最高点的速度小于v1
C.两谷粒从O到P的运动时间相等
D.两谷粒从O到P的平均速度相等
【解析】 抛出的两谷粒在空中均仅受重力作用，加速度均为重力加速度，故谷粒1的加速度等于谷粒2的加速度，A错误；在竖直方向上谷粒2做竖直上抛运动，谷粒1做自由落体运动，竖直方向上位移相同，谷粒2运动的时间较长，C错误；两谷粒水平方向的分运动均为匀速直线运动，水平位移相同，但谷粒2运动的时间较长，故谷粒2水平方向上的速度小于v1，B正确；两谷粒从O点运动到P点的位移相同，运动时间不同，故平均速度不相等，谷粒1的平均速度大于谷粒2的平均速度，D错误。
课时作业
答案速对
第四单元 第10讲　抛体运动 题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 C D C D D AC A
题号 8 9 10 11 答案 C B ABC 见答案 1.(2025·绍兴一模)某型号战斗机沿水平方向向右匀加速直线飞行，某时刻开始以相等的时间间隔自由释放无动力炸弹(图中用小球替代)，不计空气阻力，炸弹落地前在空中形成的排列图景是(　 　)
【解析】 战斗机沿水平向右匀加速直线飞行，以飞机为参考系，则释放的炸弹水平方向做向左的匀加速直线运动，水平位移x=at2，竖直方向做自由落体运动，有y=gt2，设合位移与水平方向的夹角为θ，则有tan θ=，可知空中的所有炸弹均与飞机排成一列斜线，先释放的炸弹靠左，后释放的靠右，C正确。
A. B. C. D.
C
2.(2025·七彩阳光联考)如图所示为用频闪照相的方法记录的做平抛运动的小球每隔相等时间的位置图。刚水平抛出的小球位置标记为1，并依次将其他位置标记为2、3、4、5。不计空气阻力，则(　 　)
A.3速度大小是2速度大小的二倍
B.5速度大小是3速度大小的二倍
C.2、3之间的距离是1、2之间的三倍
D.3、5之间的竖直距离是1、3之间的三倍
【解析】 根据平抛运动竖直方向的运动规律vy=gt，有vy3=g·2t，vy2=g·t，故vy3=2vy2，但根据v=，知v3≠2v2，A错误；同理，vy5=g·4t=2·(g·2t)=2vy3，但根据v=，知v5≠2v3，B错误；根据初速度为零的匀变速直线运动规律的推论知2、3之间的竖直距离是1、2之间的三倍，又2、3之间的水平距离等于1、2之间的水平距离，根据勾股定理知2、3之间的距离不是1、2之间的三倍，C错误；根据初速度为零的匀变速直线运动规律的推论知，3、5之间的竖直距离是1、3之间的三倍，D正确。
D
3.(2024·湖北卷)如图所示，有五片荷叶伸出荷塘水面，一只青蛙要从高处的荷叶跳到低处的荷叶上。设低处的荷叶a、b、c、d和青蛙在同一竖直平面内，a、b高度相同，c、d高度相同，a、b分别在c、d正上方。将青蛙的跳跃视为平抛运动，若以最小的初速度完成跳跃，则它应跳到
(　 　)
A.荷叶a
B.荷叶b
C.荷叶c
D.荷叶d
C
4.(2023·浙江6月选考)铅球被水平推出后的运动过程中，不计空气阻力，下列关于铅球在空中运动时的加速度大小a、速度大小v、动能Ek和机械能E随运动时间t的变化关系中，正确的是
(　 　)
D
A. B. C. D.
5.(2025·金华期末)如图所示为某款流行小游戏，物体需要从平台A跳跃到前方更高的平台B上。不同的操作方式会使同一物体的运动轨迹出现如图所示的两种水平线情况，不计阻力，则可推断出(　 　)
A.轨迹甲的起跳速度较大
B.轨迹乙的动量变化较大
C.两条轨迹最高点的速度相同
D.两条轨迹起跳瞬间重力的功率相同
【解析】 甲、乙能达到的竖直高度相同，根据h=gt2可知，运动时间相同；因甲的水平位移较小，则根据vx=可知，甲的水平速度较小；根据vy=gt可知，甲、乙竖直速度相同，可知甲的起跳速度较小，A错误；根据Δp=mgt，因甲、乙时间相同，可知甲、乙动量变化相同，B错误；甲的水平速度较小，可知甲轨迹最高点的速度较小，C错误；根据PG=mgvy，因甲、乙竖直速度相等，可知两条轨迹起跳瞬间重力的功率相同，D正确。
D
6.(多选)如图所示为抽水机抽水灌溉农田的情景，已知抽水机出水流量为Q(单位时间从管口流出水的体积)，水平出水口处的水柱横截面积为S，出水口与水的落点间的高度差为h，重力加速度为g。则(　 　)
A.空中水的体积为Q B.空中水的体积为Q
C.水的落点离出水口的水平距离为 D.水的落点离出水口的水平距离为QS
【解析】 水在空中运动的时间t=，则空中水的体积V=Qt=Q，
A正确，B错误；由Q=Sv得到v=，水的落点离出水口水平距离x=
v，C正确，D错误。
AC
7.如图所示，某喷泉中间有一喷水口竖直向上喷水，外面的喷水口环绕成一个圆形，圆的半径为10 m，调节外圈喷水孔的喷射角度，让喷出的水全部汇聚到中间喷水口，并且让外圈的水最高喷射5 m，若g取10 m/s2，不考虑空气阻力，则外圈喷出水的合速度的大小为(　 　)
A.5 m/s
B.5 m/s
C.10 m/s
D.15 m/s
【解析】 外圈喷水口喷出水的运动可以简化为斜抛运动，如图所示，将此运动分解为水平、竖直两个方向，竖直方向为竖直上抛运动，水平方向为匀速直线运动，竖直方向喷水高度y=·g，竖直方向上升和下降过程具有对称性，则总时间t=2t1=2 s，水平速度v2= m/s=5 m/s，竖直速度vy=gt1=10 m/s，则外圈喷出水的合速度大小v==5 m/s，A正确。
A
8.(2025·温州三模)如图所示为一种投弹式干粉消防车。某次灭火行动
中，消防车出弹口到高楼的水平距离x=12 m，发射灭火弹的初速度
与水平面的夹角θ=53°，且灭火弹恰好垂直射入建筑玻璃窗。已知
灭火弹可视为质点，不计空气阻力，sin 53°=0.8，则灭火弹在空中
运动的轨迹长度最接近(　 　)
A.13 m B.14 m
C.15 m D.20 m
【解析】 灭火弹恰好垂直射入建筑玻璃窗，此时灭火弹的竖直分速度为0，设灭火弹的初速度为v0，则有0=v0sin 53°－gt，x=v0cos 53°·t，联立解得v0=5 m/s，t= s，则灭火弹的竖直位移大小y=·t=8 m，则灭火弹的合位移大小s合= m =4 m≈14.4 m，则灭火弹在空中运动的轨迹长度应略大于灭火弹的合位移大小，所以最接近于15 m，C正确。
C
9.(2025·强基联盟一模)打水漂是一项很有趣的运动，其成功与否的条件之一是石块入水速度与水面的夹角。小明某次打水漂时，将一小石块从离水高度45 cm的地方水平抛出，石块首次入水速度与水面的夹角等于37°，结果打水漂失败。为提高成功率，小明降低抛出点以同一速度平抛石块，这次石块首次入水速度与水面的夹角等于26.5°，打水漂成功。抛出点下移的距离为(不计空气阻力，tan 26.5°≈0.50，g取10 m/s2)(　 　)
A.20 cm B.25 cm
C.30 cm D.35 cm
【解析】 打水漂过程中石块做平抛运动，第一次打水漂，h1=45 cm，在竖直方向有= 2gh1，解得vy1=3 m/s，根据速度夹角关系有tan 37°=，解得v0=4 m/s，第二次打水漂，设石块刚落到水面时竖直方向的速度为vy2，根据速度夹角关系有tan 26.5°=，解得vy2=2 m/s，设此过程竖直方向的高度为h2，则有h2==0.2 m=20 cm，故抛出点下移的距离Δh=h1－h2= 25 cm，B正确。
B
10.(多选)如图所示，一光滑宽阔的斜面，倾角为θ，高为h，现有一小球在A处以水平速度v0射出，最后从B处离开斜面，下列说法中，正确的有(重力加速度为g)(　 　)
A.小球的运动轨迹为抛物线
B.小球的加速度为gsin θ
C.小球从A处到达B处所用的时间为
D.小球到达B处的水平方向位移大小s=v0
【解析】 小球受重力和支持力两个力，合力沿斜面向下，与初速度方向垂直，小球做类平抛运动，其运动轨迹为抛物线，A正确；根据牛顿第二定律知，小球的加速度a==gsin θ，B正确；小球在沿加速度方向上的位移为，根据at2，解得t=，C正确；小球在沿初速度方向的位移x=v0t=，小球在沿加速度方向的位移的水平分位移y=cos θ =，则小球在到达B处的水平方向的总位移s=＞v0，D错误。
ABC
11. 如图所示，竖直平面内有一倾角θ=37°的直轨道AB，其右侧放置一长L=0.7 m的水平传送带，传送带以速度v沿顺时针方向传动，直轨道末端B与传送带的间距可近似为零。现将一小物块从距离传送带高h=2.4 m处的A点由静止释放，假设小物块从直轨道B端运动到传送带上C点时，速度大小不变，方向变为水平向右。小物块经过水平传送带在D点水平抛出，落在水平地面上，落点为E。已知D点距水平面高H=0.2 m，E点与D点间的水平距离为x。小物块与直轨道和传送带间的动摩擦因数均为μ=0.5。求：(小物块可认为从D点水平飞出，g=10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8)
(1)小物块到达B端时速度的大小；
【解析】 从A到B过程，由牛顿第二定律有mgsin θ－
μmgcos θ=ma1，从A到B过程小物块做匀加速运动，
有=2a1，解得vB=4 m/s。
【答案】 4 m/s　
(2)若传送带的速度为4 m/s，小物块从A点运动到E点的时间；
【解析】 A到B阶段运动的时间t1==2 s，C到D阶段运动的时间t2= s，D到E阶段运动的时间t3满足H=g，则t3==0.2 s，运动的总时间t=t1＋t2＋t3=2.375 s。
【答案】 2.375 s　
(3)若传送带的速度取值范围为1 m/s＜v＜6 m/s，小物块落点E与D点间的水平距离x与传送带速度v之间满足的关系。
【解析】 小物块在传送带上运动的加速度大小a2==μg=5 m/s2，假设物块在传送带上一直减速，由=－2a2L 得vD=3 m/s，假设物块在传送带上一直加速，由vD'2－=2a2L，得vD'= m/s，则当1 m/s＜v≤3 m/s时，x=vDt3=0.6 m，当3 m/s＜v＜ m/s时，x=vt3=0.2v (m)，当 m/s≤v＜6 m/s时，x=vD't3= m。
【答案】 见解析第10讲　抛体运动
【学习目标】
1.掌握平抛运动的规律，学会处理斜面或圆弧面约束下的平抛运动问题。
2.会处理平抛运动中的临界、极值问题。
3.学会运用运动的合成与分解处理斜抛运动问题。
考点一　平抛运动的规律及应用
1.定义：将物体以一定的初速度沿　水平　方向抛出，物体只在　重力　作用下的运动。
2.性质：平抛运动是加速度为g的　匀变速　曲线运动，运动轨迹是　抛物线　。
3.研究方法：化曲为直。
(1)水平方向：　匀速直线　运动；
(2)竖直方向：　自由落体　运动。
4.基本规律
(1)如图所示，以抛出点O为坐标原点，以初速度v0方向(水平方向)为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，建立平面直角坐标系xOy。
(2)平抛运动物体的速度变化量
因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度变化量Δv=gΔt是相同的，方向恒为竖直向下，如图所示。
(3)两个推论
①做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。
②做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，速度方向与水平方向的夹角θ和位移方向与水平方向的夹角α的关系为：tan θ=2tan α。
1.平抛运动的加速度方向与速度方向的夹角逐渐变小。(　√　)
2.做平抛运动的物体单位时间内的速度变化量越来越大。(　 　)
3.相等时间内，做平抛运动的物体速度大小变化相同。(　 　)
[例1]　(2025·浙江6月选考)如图所示，在水平桌面上放置一斜面，在桌边水平放置一块高度可调的木板。让钢球从斜面上同一位置由静止滚下，越过桌边后做平抛运动。当木板离桌面的竖直距离为h 时，钢球在木板上的落点离桌边的水平距离为x，则(　B　)
A. 钢球的平抛初速度大小为x
B.钢球在空中飞行的时间为
C.增大h，钢球撞击木板的速度方向不变
D.减小h，钢球落点离桌边的水平距离不变
【解析】 竖直方向：h=gt2，得飞行时间t=，B正确；水平方向：x=v0t，初速度v0=x，A错误；撞击速度方向的偏转角tan θ=，可知h变化时θ变化，C错误；减小h则t减小，x=v0t也减小，D错误。
[例2]　(2024·浙江1月选考)如图所示，小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高的两倍，在地面上平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A。已知桶高为h，直径为D，重力加速度为g，则水离开出水口的速度大小为(　C　)
A.
B.
C.
D.(＋1)D
【解析】 假设细水管口在距离桶右侧r处，实现题中过程的运动轨迹示意图如图所示，水经过桶口时，平抛运动过　　　
程满足，落至A点时，平抛运动过程满足联立解得r=，v0=，C正确，A、B、D错误。
考点二　与斜面或圆弧面有关的平抛运动
已知条件 情景示例 解题策略
已知速 度方向 从斜面外平抛，垂直落在斜面上，如图所示。 已知速度方向垂直于斜面 分解速度 tan θ==
从圆弧形轨道外平抛，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道，如图所示。 已知速度方向沿该点圆弧的切线方向　 分解速度 tan θ==
已知位 移方向 从斜面上平抛又落到斜面上，如图所示。 已知位移方向沿斜面向下 分解位移 tan θ== =
从斜面外平抛，落在斜面上位移最小，如图所示。 已知位移方向垂直于斜面 分解位移 tan θ== =
利用位 移关系 从圆心处水平抛出，落到半径为R的圆弧上，如图所示。 已知位移大小等于半径R
从与圆心等高的圆弧上水平抛出，落到半径为R的圆弧上，如图所示。 已知水平位移x与R的差的平方与竖直位移的平方之和等于半径的平方
考向一　与斜面的结合
[例3]　跳台滑雪是一种勇敢者的滑雪运动，运动员在滑雪道上获得一定的速度后从跳台飞出，在空中飞行一段距离后落地。如图所示，运动员从跳台A处沿水平方向以v0=20 m/s的速度飞出，落在斜坡上的B处，斜坡与水平方向的夹角θ为37°，不计空气阻力，已知sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，g取10 m/s2，求：
(1)运动员在空中飞行的时间；
(2)运动员落在B处时的速度大小；
(3)运动员在空中离坡面的最大距离。
【答案】 (1)3 s　(2)10 m/s　(3)9 m
【解析】 (1)运动员做平抛运动，设在空中飞行的时间为t，则有x=v0t，y=gt2，由图可知tan θ=，联立解得t=tan θ=3 s。
(2)运动员落在B处时有vx=v0，vy=gt，所以vB==10 m/s。
(3)取沿斜坡向下方向(x方向)与垂直于斜坡向上方向(y方向)分解运动员的运动，则在垂直于斜坡方向上，vy0'=v0sin θ=12 m/s，ay=－gcos θ=－8 m/s2，当vy'=0时，运动员在空中离坡面的距离最大，最大距离d==9 m。
[拓展]　(1)AB的距离l为多少？
【答案】 由x=v0t得x=60 m，则l==75 m。
(2)若运动员从跳台A处沿水平方向飞出的速度变为原来的一半，则运动员在空中飞行的时间变为原来的多少倍？沿斜坡飞行的距离变为原来的多少倍？
【答案】 由(1)问知t=tan θ，可知t∝v0，故运动员在空中飞行的时间变为原来的。由l==可知l∝，即沿斜坡飞行的距离变为原来的。
(3)初速度改变后，落在斜坡上的速度方向与斜坡夹角会改变吗？
【答案】 落在斜坡上时，位移方向相同，由平抛运动的推论可知速度方向相同，即速度方向与斜坡的夹角不变。
考向二　与圆弧面的结合
[例4]　如图所示，科考队员站在半径为10 m的半圆形陨石坑(直径水平)边，沿水平方向向坑中抛出一石子(视为质点)，石子在坑中的落点P和圆心O的连线与水平方向的夹角为37°，已知石子的抛出点在半圆形陨石坑左端的正上方，且到半圆形陨石坑左端的高度为1.2 m。sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力。则石子抛出时的速度大小为(　C　)
A.9 m/s　
B.12 m/s　
C.15 m/s　
D.18 m/s
【解析】 由题意可知，石子竖直方向的位移h=h1＋Rsin 37°，根据公式h=gt2，代入数据解得t=1.2 s，石子水平方向的位移x=R＋Rcos 37°，又x=v0t，代入数据可得石子抛出时的速度大小v0=15 m/s，C正确。
考点三　平抛运动的临界和极值问题
1.常见的三种临界特征
(1)有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等词，明显表明题述的过程中存在着临界点。
(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界点。
(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等词，表明题述的过程中存在着极值，这个极值点往往是临界点。
2.平抛运动临界问题的分析方法
(1)确定研究对象的运动性质；
(2)根据题意确定临界状态；
(3)确定临界轨迹，画出轨迹示意图；
(4)应用平抛运动的规律结合临界条件列方程求解。
[例5]　如图所示为网球比赛训练中运动员在球场的底角处发球时的情景，发球时将网球上抛到最高处水平击出，要求落地点位于对角的长方形区域内且不触网即为发球有效。假设每次发球时的最高点高度不变，击球水平速度大小可变，已知比赛场地尺寸如图所示，是23.77 m(长)×10.97 m(宽)。发球落点有效区长6.4 m，宽4.115 m。网的高度h=1.07 m，不考虑空气阻力的影响，则下列阴影部分表示有效发球时网球的可能落点区域正确的是(　A　)
A.
B.
C.
D.
【解析】 从球水平抛出到刚好过网的过程中，球的竖直位移相同，则根据h1=g可知时间相同，所有球沿球场长边方向的位移都相同，若设球水平抛出时初速度方向与球场长边方向的夹角为θ，则v0t1cos θ=x1(x1为球沿球场边缘方向的位移，数值为11.885 m)；球过网后落在场地上时，因抛出时的高度相同，则所有球的运动时间也都相等，设为t2，则球落地时沿球场长边方向的位移x2=v0t2cos θ，也都是相等的，即落地时的位置连线应该是与球网平行的直线上，A正确。
[例6]　 如图所示，自动喂鱼投料机安装在鱼塘上方的水平平台上，投料口距水面的高度为1.25 m。投料机开机运行时饵料通过机内的小孔向下落入带挡板的银色转盘中，转盘在电动机的带动下转动将饵料甩出，从而实现自动投喂。某次投喂时调好电动机转速，饵料投送的距离在2~17 m的范围内，若忽略空气阻力的影响，重力加速度g取10 m/s2，下列说法中，正确的是(　D　)
A.饵料被水平甩出时的最大速度为17 m/s
B.饵料被水平甩出时的最小速度为1 m/s
C.增大投料机的安装高度同时减小电动机转速，饵料的最大投放距离一定增大
D.降低投料机的安装高度同时增大电动机转速，饵料的最大投放距离可以不变
【解析】 饵料被水平甩出后做平抛运动，竖直方向有h=gt2，得t==0.5 s，水平方向有x=vt，又2 m≤x≤17 m，解得4 m/s≤v≤34 m/s，则饵料被水平甩出时的最大径向速度为34 m/s，最小径向速度为4 m/s，A、B错误；增大投料机的安装高度同时减小电动机转速，t增大、v减小，可知饵料的最大投放距离可能增大，也可能减小，还可能不变，C错误；降低投料机的安装高度同时增大电动机转速，t减小、v增大，可知饵料的最大投放距离可能增大，也可能减小，还可能不变，D正确。
考点四　斜抛运动
1.定义：将物体以初速度v0　斜向上方　或斜向下方抛出，物体只在　重力　作用下的运动。
2.性质：斜抛运动是加速度为g的　匀变速　曲线运动，运动轨迹是　抛物线　。
3.研究方法：运动的合成与分解。
(1)水平方向可视为　匀速　直线运动；
(2)竖直方向可视为　匀变速　直线运动。
4.基本规律
以斜抛运动的抛出点为坐标原点O，水平向右为x轴的正方向，竖直向上为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系xOy。
(1)初速度可以分解为
=v0cos θ，=v0sin θ
在水平方向，物体的位移和速度分别为
x=t=(v0cos θ)t
vx==v0cos θ
在竖直方向，物体的位移和速度分别为
y=t－gt2=(v0sin θ)t－gt2
vy=－gt=v0sin θ－gt
(2)当斜抛物体的落点位置与抛出点等高时
①射高：h=。
②斜抛运动的飞行时间：t=。
③射程：s=v0cos θ·t=，对于给定的v0，当θ=45°时，射程达到最大值，smax=。
[例7]　如图所示，网球运动员训练时，从同一高度的前后两个不同位置将网球击出后，垂直击中竖直墙上的同一点。不计空气阻力，下列说法中，正确的是(　B　)
A.两轨迹中网球撞墙前的速度可能相等
B.沿轨迹1运动的网球被击出时的初速度大
C.从击出到撞墙，沿轨迹2运动的网球在空中运动的时间短
D.沿轨迹1运动的网球刚要撞墙时的速度小
【解析】 根据逆向思维法，将网球看成是从竖直墙上水平射出做平抛运动，则竖直方向有h=gt2，可得t=，水平方向有x=vxt，可得vx=x，由于两轨迹高度相同，则网球沿两轨迹在空中运动的时间相等；由于沿轨迹1运动的网球水平位移大，则有vx1＞vx2，即沿轨迹1运动的网球刚要撞墙时的速度较大，A、C、D错误；根据v=，vx1＞vx2，可知沿轨迹1运动的网球被击出时的初速度较大，B正确。
逆向思维法处理斜抛运动问题
对斜上抛运动，从抛出点到最高点的运动可对其逆过程分析，看成平抛运动。分析完整的斜上抛运动，还可根据对称性求解某些问题。
[例8]　如图甲所示，我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图乙所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为O，且轨迹交于P点，抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为v1和v2，其中v1方向水平，v2方向斜向上。忽略空气阻力，关于两谷粒在空中的运动，下列说法中正确的是(　B　)
　　
甲 乙
A.谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度
B.谷粒2在最高点的速度小于v1
C.两谷粒从O到P的运动时间相等
D.两谷粒从O到P的平均速度相等
【解析】 抛出的两谷粒在空中均仅受重力作用，加速度均为重力加速度，故谷粒1的加速度等于谷粒2的加速度，A错误；在竖直方向上谷粒2做竖直上抛运动，谷粒1做自由落体运动，竖直方向上位移相同，谷粒2运动的时间较长，C错误；两谷粒水平方向的分运动均为匀速直线运动，水平位移相同，但谷粒2运动的时间较长，故谷粒2水平方向上的速度小于v1，B正确；两谷粒从O点运动到P点的位移相同，运动时间不同，故平均速度不相等，谷粒1的平均速度大于谷粒2的平均速度，D错误。

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