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第11讲　圆周运动
【学习目标】
1.掌握描述圆周运动的各物理量及它们之间的关系。
2.掌握匀速圆周运动由周期性引起的多解问题的分析方法。
3.掌握圆周运动的动力学问题的处理方法。
考点一　圆周运动的运动学问题
1.描述圆周运动的物理量
2.匀速圆周运动
(1)定义：如果物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处　相等　，所做的运动叫作匀速圆周运动。
(2)特点：加速度大小　不变　，方向始终指向　圆心　，是变加速运动。
(3)条件：合外力大小　不变　，方向始终与　速度　方向垂直且指向圆心。
1.匀速圆周运动是匀变速曲线运动。(　 　)
2.匀速圆周运动的角速度是不变的。(　√　)
3.匀速圆周运动的线速度是不变的。(　 　)
4.物体做匀速圆周运动时，其合外力是变力。(　√　)
5.匀速圆周运动的向心加速度大小与运动半径成反比。(　 　)
[例1]　(2025·安徽卷)在竖直平面内，质点M绕定点O沿逆时针方向做匀速圆周运动，质点N沿竖直方向做直线运动，M、N在运动过程中始终处于同一高度。t=0时，M、N与O点位于同一直线上，如图所示。此后在M运动一周的过程中，N运动的速度v随时间t变化的图像可能是(　D　)
A. B.
C. D.
【解析】 因为M、N在运动过程中始终处于同一高度，所以N的速度vN与M在竖直方向的分速度vMy大小相等，设M做匀速圆周运动的角速度为ω，半径为r，其竖直方向的分速度vMy=ωrcos ωt，即vN=ωrcos ωt，D正确，A、B、C错误。
[例2]　(2025·江苏卷)游乐设施“旋转杯”的底盘和转杯分别以O、O'为转轴，在水平面内沿顺时针方向匀速转动。O'固定在底盘上。某时刻转杯转到图示位置，杯上A点与O、O'恰好在同一条直线上。则(　B　)
A.A点做匀速圆周运动
B.O'点做匀速圆周运动
C.此时A点的速度小于O'点的速度
D.此时A点的速度等于O'点的速度
【解析】 A点的运动为A点绕O'的圆周运动和O'相对于O的圆周运动的合运动，故轨迹不是圆周，不做匀速圆周运动，A错误；根据题意，O'固定在底盘上，可知O'围绕O点做匀速圆周运动，B正确；杯上A点与O、O'恰好在同一条直线上时且A在OO'延长线上，A点和O'点运动方向相同，又A点相对O'点做圆周运动，故此时A的速度大于O'的速度，C、D错误。
考点二　圆周运动的动力学问题
1.圆周运动的合力与向心力的关系
(1)匀速圆周运动的条件：合力等于向心力。
(2)变速圆周运动的合力(如图所示)
①与圆周相切的分力Fτ产生切向加速度aτ，改变线速度的大小，当aτ与v同向时，速度增大，做加速圆周运动，反向时做减速圆周运动。
②指向圆心的分力Fn提供向心力，产生向心加速度an，改变线速度的　方向　。
2.离心运动和近心运动
(1)离心运动：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需的向心力的情况下，就做　逐渐远离圆心　的运动。
(2)受力特点(如图所示)
①当F=0时，物体沿　切线　方向飞出，做匀速直线运动。
②当0＜F＜mrω2时，物体逐渐　远离　圆心，做　离心　运动。
③当F＞mrω2时，物体逐渐　向圆心靠近　，做　近心　运动。
(3)本质：离心运动的本质并不是受到离心力的作用，而是提供的力　小于　做匀速圆周运动需要的向心力。
3.圆周运动动力学问题的分析思路
注意：分析向心力时选取的线速度v是物体相对于圆轨道的速度而非对地速度。
1.变速圆周运动的向心力不指向圆心。(　 　)
2.向心力可以是物体受到的某一个力，也可以是物体受到的合力。(　√　)
3.做匀速圆周运动的物体，当所受的合外力突然减小时，物体将沿切线方向飞出。(　 　)
[例3]　 (人教版必修第二册改编)列车转弯时的受力分析如图所示，铁路转弯处的圆弧半径为R，两铁轨之间的距离为d，内、外轨的高度差为h，铁轨平面和水平面间的夹角为α(α很小，可近似认为tan α≈sin α)，重力加速度为g，下列说法中，正确的是(　B　)
A.列车转弯时受到重力、支持力和向心力的作用
B.列车在转弯处的速度v=时，列车轮缘不会挤压内轨和外轨
C.列车在转弯处的速度v＜时，列车轮缘会挤压外轨
D.若减小α角，可提高列车安全过转弯处的速度
【解析】 列车以规定速度转弯时受到重力、支持力作用，且重力和支持力的合力提供向心力，A错误；当重力和支持力的合力提供向心力时，有m=mgtan α≈mgsin θ=mg，解得v=，此时列车轮缘不会挤压内轨和外轨，B正确；列车在转弯处的速度v＜时，转弯所需的合力F＜mgtan α，此时内轨受列车轮缘挤压，C错误；若要提高列车的速度，则列车所需的向心力增大，需要增大α，D错误。
[例4]　(人教版必修第二册改编)质量为m的小球，用长为l的细线悬挂在O点，在O点的正下方处有一光滑的钉子P，把小球拉到与钉子P等高的位置，细线被钉子挡住。如图所示，让小球从静止释放，当小球第一次经过最低点时(　B　)
A.小球运动的线速度突然减小
B.小球的角速度突然减小
C.小球的向心加速度突然增大
D.细线的拉力突然增大
【解析】 当小球第一次经过最低点时，由于重力与细线的拉力都与速度垂直，所以小球运动的线速度大小不变，A错误；线速度大小不变，小球做圆周运动的半径变大，根据v=rω，可知角速度减小，B正确；线速度大小不变，轨迹半径变大，根据向心加速度公式an=可得，小球的向心加速度减小，C错误；细线上的拉力F=mg＋m=mg＋man，可知细线的拉力突然减小，D错误。
素养提升　圆锥摆类问题
1.模型特点：一根质量不计、不可伸长的细线，上端固定，下端系一个可以视为质点的摆球在水平面内做匀速圆周运动，细线所掠过的路径为圆锥表面。
2.受力特点：只受两个力，即竖直向下的重力mg和沿摆线方向的拉力FT。两个力的合力提供摆球做圆周运动的向心力Fn，如图所示(也可以理解为拉力FT的竖直分力与摆球的重力平衡，FT的水平分力提供向心力)。
3.运动特点：设图中摆长为L，摆线与竖直方向的夹角为θ，由牛顿第二定律得mgtan θ=mr，而r=Lsin θ，解得T=2π=2π。由此可得：(1)摆高h=Lcos θ越小，θ越大，周期T越小，圆锥摆转得越快；(2)摆线拉力FT=，圆锥摆转得越快，θ越大，摆线拉力FT越大；(3)摆球的加速度a=gtan θ。
[例5]　(多选)四个完全相同的小球A、B、C、D均在水平面内做圆锥摆运动。如图甲所示，小球A、B在同一水平面内做圆锥摆运动(连接B球的绳较长)；如图乙所示，小球C、D在不同水平面内做圆锥摆运动，但是连接C、D的绳与竖直方向的夹角相等(连接D球的绳较长)，则下列说法中，正确的是(　ACD　)
　　
甲 乙
A.小球A、B的角速度大小相等
B.小球A、B的线速度大小相等
C.小球C、D的向心加速度大小相等
D.小球D受到绳的拉力与小球C受到绳的拉力大小相等
【解析】 对题图甲中A、B分析，设绳与竖直方向的夹角为θ，绳长为l，小球的质量为m，小球A、B到悬点O的竖直距离为h，则mgtan θ=mω2lsin θ，解得ω=，可知小球A、B的角速度大小相等，因A、B做圆周运动的半径不同，其线速度大小不相等，A正确，B错误；对题图乙中C、D分析，设绳与竖直方向的夹角为θ，小球的质量为m，绳上的拉力为FT，则有mgtan θ=man，FTcos θ=mg，得an=gtan θ，FT=，可知小球C、D的向心加速度大小相等，小球C、D受到绳的拉力大小也相等，C、D正确。
[例6]　(多选)天花板下悬挂的轻质光滑小圆环P可绕过悬挂点的竖直轴无摩擦地旋转。一根轻绳穿过P，两端分别连接质量为m1和m2的小球A、B(m1≠m2)。设两球同时做如图所示的圆锥摆运动，且在任意时刻两球均在同一水平面内，则(　AC　)
A.两球运动的周期相等
B.两球的向心加速度大小相等
C.球A、B到P的距离之比等于m2∶m1
D.球A、B到P的距离之比等于m1∶m2
【解析】 对其中一个小球受力分析，其受到重力和绳的拉力FT，绳的拉力在竖直方向的分力与重力平衡，设轻绳与竖直方向的夹角为θ，则有FTcos θ=mg，拉力在水平方向上的分力提供向心力，设该小球到P的距离为l，则有FTsin θ=mgtan θ=mlsin θ，解得周期T=2π=2π，因为任意时刻两球均在同一水平面内，故两球运动的周期相等，A正确；连接两球的绳的张力FT相等，由于向心力Fn=FTsin θ=mω2lsin θ，故m与l成反比，即，又小球的向心加速度an=ω2htan θ=htan θ，可知两球的向心加速度大小不相等，C正确，B、D错误。
[例7]　(多选)如图所示，一个内壁光滑的圆锥筒固定在地面上，圆锥筒的轴线竖直。一个小球贴着筒的内壁在水平面内做圆周运动，由于微弱的空气阻力作用，小球的运动轨迹由A轨道缓慢下降到B轨道，则在此过程中(　CD　)
A.小球的向心加速度逐渐减小
B.小球运动的角速度逐渐减小
C.小球运动的线速度逐渐减小
D.小球运动的周期逐渐减小
【解析】 以小球为研究对象，对小球受力分析，小球受力如图所示。由牛顿第二定律得=ma=m=mrω2，可知小球在A、B轨道的向心力大小相等，a=，向心加速度大小不变，A错误；角速度ω=，由于半径减小，则角速度增大，B错误；线速度v=，由于半径减小，线速度减小，C正确；由周期T=，角速度增大，知周期减小，D正确。(共32张PPT)
【学习目标】1.掌握描述圆周运动的各物理量及它们之间的关系。
2.掌握匀速圆周运动由周期性引起的多解问题的分析方法。
3.掌握圆周运动的动力学问题的处理方法。
考点一　圆周运动的运动学问题
考点二　圆周运动的动力学问题
内
容
索
引
课时作业
第11讲　圆周运动
1.描述圆周运动的物理量
考点一　圆周运动的运动学问题
2.匀速圆周运动
(1)定义：如果物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处____________，所做的运动叫作匀速圆周运动。
(2)特点：加速度大小____________，方向始终指向____________，是变加速运动。
(3)条件：合外力大小____________，方向始终与____________方向垂直且指向圆心。
相等
1.匀速圆周运动是匀变速曲线运动。(　 　)
2.匀速圆周运动的角速度是不变的。(　 　)
3.匀速圆周运动的线速度是不变的。(　 　)
4.物体做匀速圆周运动时，其合外力是变力。(　 　)
5.匀速圆周运动的向心加速度大小与运动半径成反比。(　 　)
不变
圆心
不变
速度

√

√

(2025·安徽卷)在竖直平面内，质点M绕定点O沿逆时针方向做匀速圆周运动，质点N沿竖直方向做直线运动，M、N在运动过程中始终处于同一高度。t=0时，M、N与O点位于同一直线上，如图所示。此后在M运动一周的过程中，N运动的速度v随时间t变化的图像可能是(　 　)
例 1
【解析】 因为M、N在运动过程中始终处于同一高度，所以N的速度vN与M在竖直方向的分速度vMy大小相等，设M做匀速圆周运动的角速度为ω，半径为r，其竖直方向的分速度vMy=ωrcos ωt，即vN=ωrcos ωt，D正确，A、B、C错误。
D
A. B. C. D.
(2025·江苏卷)游乐设施“旋转杯”的底盘和转杯分别以O、O'为转轴，在水平面内沿顺时针方向匀速转动。O'固定在底盘上。某时刻转杯转到图示位置，杯上A点与O、O'恰好在同一条直线上。则(　 　)
A.A点做匀速圆周运动
B.O'点做匀速圆周运动
C.此时A点的速度小于O'点的速度
D.此时A点的速度等于O'点的速度
例 2
【解析】 A点的运动为A点绕O'的圆周运动和O'相对于O的圆周运动的合运动，故轨迹不是圆周，不做匀速圆周运动，A错误；根据题意，O'固定在底盘上，可知O'围绕O点做匀速圆周运动，B正确；杯上A点与O、O'恰好在同一条直线上时且A在OO'延长线上，A点和O'点运动方向相同，又A点相对O'点做圆周运动，故此时A的速度大于O'的速度，C、D错误。
B
1.圆周运动的合力与向心力的关系
(1)匀速圆周运动的条件：合力等于向心力。
(2)变速圆周运动的合力(如图所示)

①与圆周相切的分力Fτ产生切向加速度aτ，改变线速度的大小，当aτ与v同向时，速度增大，做加速圆周运动，反向时做减速圆周运动。
②指向圆心的分力Fn提供向心力，产生向心加速度an，改变线速度的____________。
考点二　圆周运动的动力学问题
方向
2.离心运动和近心运动
(1)离心运动：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需的向心力的情况下，就做_____________________的运动。
(2)受力特点(如图所示)
①当F=0时，物体沿____________方向飞出，做匀速直线运动。
②当0＜F＜mrω2时，物体逐渐____________圆心，做____________运动。
③当F＞mrω2时，物体逐渐__________________，做____________运动。
(3)本质：离心运动的本质并不是受到离心力的作用，而是提供的力__________做匀速圆周运动需要的向心力。
逐渐远离圆心
切线
远离
离心
向圆心靠近
近心
小于
3.圆周运动动力学问题的分析思路
注意：分析向心力时选取的线速度v是物体相对于圆轨道的速度而非对地速度。
1.变速圆周运动的向心力不指向圆心。(　 　)
2.向心力可以是物体受到的某一个力，也可以是物体受到的合力。(　 　)
3.做匀速圆周运动的物体，当所受的合外力突然减小时，物体将沿切线方向飞出。
(　 　)

√

(人教版必修第二册改编)列车转弯时的受力分析如图所示，铁路转弯处的圆弧半径为R，两铁轨之间的距离为d，内、外轨的高度差为h，铁轨平面和水平面间的夹角为α(α很小，可近似认为tan α≈sin α)，重力加速度为g，下列说法中，正确的是(　 　)
A.列车转弯时受到重力、支持力和向心力的作用
B.列车在转弯处的速度v=时，列车轮缘不会挤压内轨和外轨
C.列车在转弯处的速度v＜时，列车轮缘会挤压外轨
D.若减小α角，可提高列车安全过转弯处的速度
例 3
【解析】 列车以规定速度转弯时受到重力、支持力作用，且重力和支持力的合力提供向心力，A错误；当重力和支持力的合力提供向心力时，有m=mgtan α≈mgsin θ=mg，解得v=，此时列车轮缘不会挤压内轨和外轨，B正确；列车在转弯处的速度v＜时，转弯所需的合力F＜mgtan α，此时内轨受列车轮缘挤压，C错误；若要提高列车的速度，则列车所需的向心力增大，需要增大α，D错误。
B
(人教版必修第二册改编)质量为m的小球，用长为l的细线悬挂在O点，在O点的正下方处有一光滑的钉子P，把小球拉到与钉子P等高的位置，细线被钉子挡住。如图所示，让小球从静止释放，当小球第一次经过最低点时(　 　)
A.小球运动的线速度突然减小
B.小球的角速度突然减小
C.小球的向心加速度突然增大
D.细线的拉力突然增大
例 4
【解析】 当小球第一次经过最低点时，由于重力与细线的拉力都与速度垂直，所以小球运动的线速度大小不变，A错误；线速度大小不变，小球做圆周运动的半径变大，根据v=rω，可知角速度减小，B正确；线速度大小不变，轨迹半径变大，根据向心加速度公式an=可得，小球的向心加速度减小，C错误；细线上的拉力F=mg＋m=mg＋man，可知细线的拉力突然减小，D错误。
B
1.模型特点：一根质量不计、不可伸长的细线，上端固定，下端系一个可以视为质点的摆球在水平面内做匀速圆周运动，细线所掠过的路径为圆锥表面。
2.受力特点：只受两个力，即竖直向下的重力mg和沿摆线方向的拉力FT。
两个力的合力提供摆球做圆周运动的向心力Fn，如图所示(也可以理解为
拉力FT的竖直分力与摆球的重力平衡，FT的水平分力提供向心力)。
素养提升　圆锥摆类问题
3.运动特点：设图中摆长为L，摆线与竖直方向的夹角为θ，由牛顿第二定律得mgtan θ= mr，而r=Lsin θ，解得T=2π=2π。由此可得：(1)摆高h=Lcos θ越小，θ越大，周期T越小，圆锥摆转得越快；(2)摆线拉力FT=，圆锥摆转得越快，θ越大，摆线拉力FT越大；(3)摆球的加速度a=gtan θ。
(多选)四个完全相同的小球A、B、C、D均在水平面内做圆锥摆运动。如图甲所示，小球A、B在同一水平面内做圆锥摆运动(连接B球的绳较长)；如图乙所示，小球C、D在不同水平面内做圆锥摆运动，但是连接C、D的绳与竖直方向的夹角相等(连接D球的绳较长)，则下列说法中，正确的是(　 　)
A.小球A、B的角速度大小相等
B.小球A、B的线速度大小相等
C.小球C、D的向心加速度大小相等
D.小球D受到绳的拉力与小球C受到绳的拉力大小相等
例 5
【解析】 对题图甲中A、B分析，设绳与竖直方向的夹角为θ，绳长为l，小球的质量为m，小球A、B到悬点O的竖直距离为h，则mgtan θ=mω2lsin θ，解得ω=，可知小球A、B的角速度大小相等，因A、B做圆周运动的半径不同，其线速度大小不相等，A正确，B错误；对题图乙中C、D分析，设绳与竖直方向的夹角为θ，小球的质量为m，绳上的拉力为FT，则有mgtan θ=man，FTcos θ=mg，得an=gtan θ，FT=，可知小球C、D的向心加速度大小相等，小球C、D受到绳的拉力大小也相等，C、D正确。
ACD
甲 乙
(多选)天花板下悬挂的轻质光滑小圆环P可绕过悬挂点的竖直轴无摩擦地旋转。一根轻绳穿过P，两端分别连接质量为m1和m2的小球A、B(m1≠m2)。设两球同时做如图所示的圆锥摆运动，且在任意时刻两球均在同一水平面内，则(　 　)
A.两球运动的周期相等
B.两球的向心加速度大小相等
C.球A、B到P的距离之比等于m2∶m1
D.球A、B到P的距离之比等于m1∶m2
例 6
【解析】 对其中一个小球受力分析，其受到重力和绳的拉力FT，绳的拉力在竖直方向的分力与重力平衡，设轻绳与竖直方向的夹角为θ，则有FTcos θ=mg，拉力在水平方向上的分力提供向心力，设该小球到P的距离为l，则有FTsin θ=mgtan θ=mlsin θ，解得周期T=2π=2π，因为任意时刻两球均在同一水平面内，故两球运动的周期相等，A正确；连接两球的绳的张力FT相等，由于向心力Fn=FTsin θ=mω2lsin θ，故m与l成反比，即，又小球的向心加速度an=ω2htan θ=htan θ，可知两球的向心加速度大小不相等，C正确，B、D错误。
AC
(多选)如图所示，一个内壁光滑的圆锥筒固定在地面上，圆锥筒的轴线竖直。一个小球贴着筒的内壁在水平面内做圆周运动，由于微弱的空气阻力作用，小球的运动轨迹由A轨道缓慢下降到B轨道，则在此过程中(　 　)
A.小球的向心加速度逐渐减小
B.小球运动的角速度逐渐减小
C.小球运动的线速度逐渐减小
D.小球运动的周期逐渐减小
例 7
【解析】 以小球为研究对象，对小球受力分析，小球受力如图所示。由牛顿第二定律得=ma=m=mrω2，可知小球在A、B轨道的向心力大小相等，a=，向心加速度大小不变，A错误；角速度ω=，由于半径减小，则角速度增大，B错误；线速度v=，由于半径减小，线速度减小，C正确；由周期T=，角速度增大，知周期减小，D正确。
CD
课时作业
答案速对
第四单元 第11讲　圆周运动 题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 D A C C AC C B
题号 8 9 10 11 12 答案 D BD C AB 见答案 1.如图所示为中国运动员在短道速滑比赛中勇夺金牌的精彩瞬间。假定此时他正沿圆弧形弯道匀速率滑行，则他(　 　)
A.所受的合力为零，做匀速运动
B.所受的合力恒定，做匀加速运动
C.所受的合力恒定，做变加速运动
D.所受的合力变化，做变加速运动
D
2.甲、乙两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动，在相同时间内，它们通过的路程之比是4∶3，运动方向改变的角度之比是3∶2，则它们(　 　)
A.线速度大小之比为4∶3
B.角速度之比为3∶4
C.做圆周运动的半径之比为2∶1
D.向心加速度大小之比为1∶2
A
3.(2025·河北卷)某同学在傍晚用内嵌多个彩灯的塑料绳跳绳，照片记录了彩灯在曝光时间内的运动轨迹，简图如图。彩灯的运动可视为匀速圆周运动，相机本次曝光时间是s，圆弧对应的圆心角约为30°，则该同学每分钟跳绳的圈数约为(　 　)
A.90 B.120
C.150 D.1 801
【解析】 根据题意可知跳绳的转动角速度ω= rad/s=5π rad/s，
故每分钟跳绳的圈数n==150，C正确。
C
4.(2025·山东卷)某同学用不可伸长的细线系一个质量为0.1 kg的发光小球，让小球在竖直面内绕一固定点做半径为0.6 m的圆周运动。在小球经过最低点附近时拍摄了一张照片，曝光时间为 s。由于小球运动，在照片上留下了一条长度约为半径的圆弧形径迹。根据以上数据估算小球在最低点时细线的拉力大小为(　 　)
A.11 N B.9 N
C.7 N D.5 N
【解析】 根据题意可知在曝光时间内小球运动的长度Δl=r=×0.6 m=0.12 m，近似认为在曝光时间内小球做匀速直线运动，故有v= m/s=6 m/s，在最低点根据牛顿第二定律有T－mg =m，代入数据解得T=7 N，C正确。
C
5.(多选)(2025·广东卷)将可视为质点的小球沿光滑冰坑内壁推出，使小球在水平面内做匀速圆周运动，如图所示。已知圆周运动的半径R为0.4 m，小球所在位置处的切面与水平面的夹角θ为45°，小球质量为0.1 kg，重力加速度g取10 m/s2。关于该小球，下列说法中正确的有
(　 　)
A.角速度为5 rad/s
B.线速度大小为4 m/s
C.向心加速度大小为10 m/s2
D.所受的支持力大小为1 N
【解析】 对小球受力分析可知F向=mgtan 45°=mω2R，解得ω=5 rad/s，A正确；线速度大小v=ωR=2 m/s，B错误；向心加速度大小an=ω2R=10 m/s2，C正确；所受的支持力大小N= N，D错误。
AC
6.如图所示，小球用细线悬于B点，在水平面内绕O点做匀速圆周运动，保持圆心O到悬点B的距离h不变，改变细线长度l。下列关于小球做匀速圆周运动的角速度ω与细线长度l的关系图像，正确的是(　 　)
A. B. C. D.
【解析】 设细线与竖直方向的夹角为θ，已知小球在水平面内绕O点做匀速圆周运动，在竖直方向受力平衡，则有FTcos θ=mg，在水平方向根据牛顿第二定律可得FTsin θ=mω2r，其中r=lsin θ，cos θ=，联立可得ω=，由题意知圆心O到悬点B的距离h不变，故小球做匀速圆周运动的角速度保持不变，A、B、D错误，C正确。
C
7.(2025·重庆卷)“魔幻”重庆的立体交通层叠交错，小明选取其中两条线探究车辆的运动。如图所示，轻轨列车与汽车以速度2v0分别从M和N向左同时出发，列车做匀速直线运动，汽车在长为s的NO段做匀减速直线运动并以速度v0进入半经为R的OP圆孤段做匀速圆周运动。两车均视为质点，则(　 　)
A.汽车到O点时，列车行驶的距离为s
B.汽车到O点时，列车行驶的距离为
C.汽车在OP段向心加速度大小为
D.汽车在OP段向心加速度大小为
【解析】 对汽车，根据速度位移关系=－2as，可得匀减速运动的加速度大小a=，汽车做匀减速运动的时间t=，这段时间列车行驶的距离s'=2v0·t=，B正确，A错误；根据an=可得汽车在OP段的向心加速度大小an=，C、D错误。
B
8.如图所示，两根长均为L的轻绳a和b固定在质量为m的小球上，轻绳a的另一端固定在天花板上的A点，AB为竖直线，轻绳b的另一端系有轻质小环c，小环c套在竖直光滑杆CD上。情境一：竖直杆CD缓慢右移，使轻绳a与竖直方向的夹角为37°；情境二：竖直杆CD绕竖直线AB做匀速圆周运动，使轻绳a与竖直方向的夹角为37°。已知小球可看作质点，sin 37°=0.6。下列说法中，正确的是(　 　)
A.在情境一中，轻绳a对小球的拉力大小为mg
B.在情境一中，轻绳b对小球的拉力大小为mg
C.在情境二中，转速越大，轻绳a对小球的拉力越大
D.在情境二中，转动角速度为时，轻绳b对小球的拉力为0
D
【解析】 对小球受力分析，根据平衡条件可得Facos 37°=mg，Fb=Fasin 37°，解得Fa= mg，Fb=mg，A、B错误；在情境二中，当绳b中无拉力时，小球受到绳a的拉力及小球的重力，二者的合力为其圆周运动提供向心力，竖直方向上受力平衡，结合上述分析可知Fa=mg，Fasin 37°=mω2Lsin 37°，解得ω=，即当角速度ω≤时，根据牛顿第二定律有Fasin 37°－Fb=mω2Lsin 37°，绳子b的拉力随角速度的增大而减小；当ω＞时，有Fasin 37°＋Fb=mω2Lsin 37°，随着转动的角速度增大，绳子b的拉力随之增大，综上所述，当ω≤时，绳b的拉力随角速度的增大而减小，当ω＞时，绳b的拉力随角速度的增大而增大，C错误，D正确。
9.(多选)如图所示，有一竖直放置在水平地面上的光滑圆锥形漏斗，圆锥中轴线与母线的夹角θ=45°，可视为质点的小球A、B在不同高度的水平面内沿漏斗内壁做同方向的匀速圆周运动，两个小球的质量分别为mA=2m、mB=m，若A、B两球轨道平面距圆锥顶点O的高度分别为4h和h，图示时刻两球刚好在同一条母线上，下列说法中，正确的有(重力加速度为g)(　 　)
A.球A和球B的向心加速度大小分别为2g和g
B.两球所受的漏斗支持力大小之比与其向心力大小之比相等
C.球A和球B的线速度大小之比为1∶2
D.从图示时刻开始，球B旋转两周与球A在同一条母线上相遇一次
【解析】 对球A、B进行受力分析，有mg=matan θ，其中θ=45°，由牛顿第二定律可得aA= aB=g，A错误；由题意可知，对两球受力分析都有F支 cos θ=F向，即，两球所受的漏斗支持力大小之比与其向心力大小之比相等，B正确；由F向=ma=m 结合几何关系可得球A和球B的线速度大小之比为2∶1，C错误；由ω= 及上述分析可得，球A与球B的角速度之比ωA∶ωB==1∶2，则从图示时刻起，两球再一次位于同一条母线上时有ωBt－ωAt =2π，则ωBt=4π，即球B旋转两周与球A在同一条母线上相遇一次，D正确。
BD
10.高速离心机用于快速沉淀或分离物质。如图所示，水平试管固定在高速离心机上，离心机的转速为n，在水平试管中有质量为m的某固体颗粒，某时刻颗粒离转轴的距离为r。已知试管中充满液体，颗粒与试管内壁不接触。下列说法中，正确的是(　 　)
A.颗粒运动的角速度为
B.颗粒此时受到的合外力大小为4π2mrn2
C.离转轴越远，分离沉淀效果越好
D.此款高速离心沉淀机，适用于任何颗粒，颗粒都会到试管底部沉淀
【解析】 由ω=2πn得，颗粒运动的角速度为2πn，A错误；由向心力公式可得Fn=mω2r= m(2πn)2r=4π2mrn2，颗粒此时受到的合外力大小不一定为4π2mrn2，一般都是小于这个值，正是因为合外力提供不了所需的向心力，颗粒才会沉淀，B错误；离转轴越远，r越大，液体提供的“浮力”与颗粒在该处做匀速圆周运动所需向心力的差距越大，则分离沉淀效果越好，C正确；只有颗粒的密度大于液体的密度，颗粒才会在试管底部沉淀，如果颗粒的密度小于液体的密度，颗粒会在试管管口“沉淀”，即漂浮在管口，D错误。
C
11.(多选)如图所示为赛车场的一个水平“梨形”赛道，两个弯道分别为半径R=90 m的大圆弧和半径r=40 m的小圆弧，直道与弯道相切。大、小圆弧圆心O、O'间的距离L=100 m。赛车沿弯道路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力是赛车重力的2.25倍。假设赛车在直道上做匀变速直线运动，在弯道上做匀速圆周运动。要使赛车不打滑，绕赛道一圈时间最短(发动机功率足够大，重力加速度g取10 m/s2，π=3.14)，则赛车(　 　)
A.在绕过小圆弧弯道后加速
B.在大圆弧弯道上的速率为45 m/s
C.在直道上的加速度大小为5.63 m/s2
D.通过小圆弧弯道的时间为5.58 s
【解析】 要使赛车绕赛道一圈时间最短，则通过弯道的速度都应最大，由Ff=2.25mg=m可知，通过小圆弧弯道的速度v1=30 m/s，通过大圆弧弯道的速度v2=45 m/s，故绕过小圆弧弯道后要加速，A、B正确；如图所示，由几何关系可得AB长x==50 m，故在直道上的加速度a= m/s2≈6.5 m/s2，C错误；由=sin 60°可知，小圆弧对应的圆心角为，故通过小圆弧弯道的时间t= s≈2.79 s，D错误。
AB
12.一种离心测速器的简化工作原理如图所示。细杆的一端固定在竖直转轴OO'上的O点，并可随轴一起转动。杆上套有一轻质弹簧，弹簧一端固定于O点，另一端与套在杆上的圆环相连。当测速器稳定工作时，圆环将相对细杆静止，通过圆环的位置可以确定细杆匀速转动的角速度大小。已知细杆长度L=0.2 m，杆与竖直转轴的夹角α始终为60°，弹簧原长x0=0.1 m，弹簧劲度系数k=100 N/m，圆环质量m=1 kg；弹簧始终在弹性限度内，重力加速度大小取10 m/s2，摩擦力可忽略不计。
(1)若细杆和圆环处于静止状态，求圆环到O点的距离；
【解析】 当细杆和圆环处于平衡状态，对圆环受力分析，如图甲所示，得T0=mgcos α=5 N，根据胡克定律F=kΔx得Δx0==0.05 m，弹簧弹力沿杆向上，故弹簧处于压缩状态，弹簧此时的长度即为圆环到O点的距离x1=x0－Δx0=0.05 m。
【答案】 0.05 m　
甲
(2)求弹簧处于原长时，细杆匀速转动的角速度大小；
【解析】 若弹簧处于原长，则圆环仅受重力和支持力，其合力使得圆环沿水平方向做匀速圆周运动。根据牛顿第二定律得=mr，由几何关系得圆环此时转动的半径r=x0sin α，联立解得ω0= rad/s。
【答案】 rad/s　
(3)求圆环处于细杆末端P时，细杆匀速转动的角速度大小。
【解析】 圆环处于细杆末端P时，弹簧伸长，弹力沿杆向下。受力分析如图乙所示，根据胡克定律得T=k(L－x0)=10 N。对圆环受力分析并正交分解，竖直方向受力平衡，水平方向合力提供向心力，则有mg＋Tcos α=FNsin α，Tsin α＋FNcos α=mω2r'，由几何关系得r'=Lsin α，联立解得ω=10 rad/s。
【答案】 10 rad/s
乙

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