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第12讲　万有引力定律及应用
【学习目标】
1.理解开普勒行星运动定律和万有引力定律，并会用来解决相关问题。
2.掌握计算天体质量和密度的方法。
考点一　开普勒行星运动定律
1.开普勒三大定律
定律 内容 图示或公式
开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是　椭圆　，太阳处在　椭圆　的一个焦点上
开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的　面积　相等
开普勒第三定律(周期定律) 所有行星轨道的半长轴的　三次方　跟它的公转周期的　二次方　的比都相等 =k，k是一个与行星无关的常量
注意：开普勒行星运动定律也适用于其他天体系统，例如月球、人造卫星绕地球的运动。此时k是一个与中心天体有关的常量。
2.对三大定律的理解
(1)同一行星在轨道的两个位置的速度大小之比与到太阳的距离成反比，即，近日点速度最大，远日点速度最小。
推导：由开普勒第二定律得Δl1r1=Δl2r2，v1Δt·r1=v2Δt·r2，解得。
(2)开普勒第三定律=k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，且该定律只适用于绕同一中心天体运动的星体。
(3)行星绕太阳运动的轨道通常按圆轨道处理：由=mr，解得，即k=。
1.所有行星绕太阳运行的轨道都是椭圆。(　√　)
2.行星在椭圆轨道上的运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越大。(　 　)
3.围绕同一天体运动的不同行星椭圆轨道不一样，但都有一个共同的焦点。(　√　)
4.开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因。(　 　)
[例1]　(2025·云南卷)国际编号为192391的小行星绕太阳公转的周期约为5.8年，该小行星与太阳系内八大行星几乎在同一平面内做圆周运动。规定地球绕太阳公转的轨道半径为1 AU，八大行星绕太阳的公转轨道半径如下表所示。忽略其他行星对该小行星的引力作用，则该小行星的公转轨道应介于(　C　)
行星 水星 金星 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
轨道半径 R/AU 0.39 0.72 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
A.金星与地球的公转轨道之间
B.地球与火星的公转轨道之间
C.火星与木星的公转轨道之间
D.天王星与海王星的公转轨道之间
【解析】 根据开普勒第三定律可知，其中r地=1 AU，T地=1年，T行=5.8年，代入解得r行≈3.23 AU，故可知该小行星的公转轨道应介于火星与木星的公转轨道之间。C正确。
[例2]　(多选)如图所示，八大行星沿椭圆轨道绕太阳公转，下列说法中，正确的有(　AC　)
A.太阳处在八大行星的椭圆轨道的一个公共焦点上
B.火星绕太阳运行过程中，速率不变
C.土星比地球的公转周期大
D.地球和土星分别与太阳的连线在相同时间内扫过的面积相等
【解析】 根据开普勒第一定律可知，太阳处在每颗行星运动的椭圆轨道的一个焦点上，故必然处在八大行星的椭圆轨道的一个公共焦点上，A正确；根据开普勒第二定律可知，火星绕太阳运行过程中，在离太阳较近的位置运行速率较大，在离太阳较远的位置运行速率较小，B错误；由题图可知土星轨道的半长轴比地球轨道的半长轴长，根据开普勒第三定律=k可知，土星比地球的公转周期大，C正确；根据开普勒第二定律可知，同一颗行星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等，而地球和土星不是同一颗行星，二者分别与太阳的连线在相同时间内扫过的面积不相等，D错误。
考点二　万有引力定律
1.万有引力定律
(1)内容
自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与　两物体的质量的乘积　成正比、与它们之间　距离的二次方　成反比。即F=G，G为引力常量，通常取G=6.67×10－11 N·m2/kg2，由物理学家卡文迪什测定。
(2)适用条件
①公式适用于　质点　间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的尺寸时，物体可视为质点。
②质量分布均匀的球体可视为质点，r是　两球心　间的距离。
2.星体表面及上空的重力加速度(以地球为例)
(1)地球表面附近的重力加速度大小g(不考虑地球自转)：由mg=G，得g=。
(2)地球上空的重力加速度大小g'：地球上空距离地球中心r=R＋h处，由mg'=，得g'=。
1.地球对人的万有引力大于人对地球的万有引力。(　 　)
2.地面上的物体所受地球的万有引力方向一定指向地心。(　√　)
3.两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大。(　 　)
[例3]　潮汐现象出现的原因之一是在地球的不同位置海水受到月球的引力不相同。图中a、b和c处单位质量的海水受月球引力大小在(　A　)
A.a处最大
B.b处最大
C.c处最大
D.a、c处相等，b处最小
【解析】 根据万有引力公式F=G，图中a处单位质量的海水受到月球的引力最大，A正确。
[例4]　(人教版必修第二册改编)有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点。现从球体中挖去半径为0.5R的小球体，如图所示，引力常量为G，则剩余部分对质点m的万有引力为(　A　)
A.
B.
C.
D.
【解析】 挖去小球前球与质点的万有引力F1=G，挖去的小球体的质量M'=M=，被挖部分对质点的万有引力为F2=，则剩余部分对质点m的万有引力F=F1－F2=，A正确。
考点三　万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。
(1)在赤道上：G=mg1＋mω2R。　
(2)在两极上：G=mg0。
(3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和。
越靠近两极，向心力越小，g值越大。由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即G=mg。
[例5]　2025年7月15日5时34分，搭载天舟九号货运飞船的长征七号遥十运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，发射任务取得圆满成功。飞船在远离地球的过程中，所受地球引力而产生的重力加速度g随距地面的高度h变化的关系图像可能正确的是(　B　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C. D.
【解析】 根据万有引力定律可知F=G=mg，可知g随h的增大而减小，且g与h不是一次函数关系，B正确。
[拓展]　如果不是在地球之外的空中，而是潜水器中下潜到地球内部，若把地球看作质量分布均匀的球体，且球壳对球内任一质点的万有引力为零，则下潜所在处的重力加速度g和下潜深度h的关系图像可能是上题图中的哪个？
【答案】 设地球的质量为M，地球的半径为R，潜水器下潜h深度后，以地心为球心、以(R－h)为半径的球体的质量为M'，则由密度相等有，由于球壳对球内任一质点的万有引力为零，根据万有引力定律有G=mg，联立以上两式整理可得g=(R－h)，由该表达式可知，关系图像可能为A图。
星体内部万有引力的两个推论
推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即F引=0。
推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(质量为m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(质量为M')对它的万有引力，即F=G。
考点四　天体质量和密度的计算
1.利用天体表面重力加速度
不考虑天体自转，已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。
(1)由G=mg，解得天体质量M=。
(2)天体密度ρ=。
2.利用运行天体
已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。
(1)由G=mr，解得M=。
(2)若已知天体的半径为R，则天体的密度为ρ=。
若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度为ρ=，故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。
[例6]　(2025·金华模拟)2025年5月29日，“天问二号”成功发射升空，至今已完成采样装置展开、电子设备自检等测试。假设“天问二号”绕地球的运动可视为匀速圆周运动，距地面的高度为h，飞行n圈所用时间为t，“天问二号”的总质量为m，地球半径为R，引力常量为G，则(　B　)
A.地球的质量M=
B.地球表面的重力加速度g=(R＋h)3
C.探测器的向心加速度a=
D.探测器的线速度v=
【解析】 “天问二号”绕地球做圆周运动的周期T=，根据G=m(R＋h)可得地球的质量M=，A错误；根据G=m0g，地球表面的重力加速度g=(R＋h)3，B正确；根据G=ma，探测器的向心加速度a=，C错误；探测器的线速度v=(R＋h)=，D错误。
[例7]　(2025·湖南卷)我国研制的“天问二号”探测器，任务是对伴地小行星及彗星交会等进行多目标探测。某同学提出探究方案，通过释放卫星绕小行星进行圆周运动，可测得小行星半径R和质量M。为探测某自转周期为T0的小行星，卫星先在其同步轨道上运行，测得距离小行星表面高度为h，接下来变轨到小行星表面附近绕其做匀速圆周运动，测得周期为T1。已知引力常量为G，不考虑其他天体对卫星的引力，可根据以上物理得到R=h，M=。下列选项中，正确的是(　A　)
A.a为T1，b为T0，c为T1
B.a为T1，b为T0，c为T0
C.a为T0，b为T1，c为T1
D.a为T0，b为T1，c为T0
【解析】 根据题意，卫星在同步轨道和表面附近轨道运行时轨道半径分别为R＋h、R，设小行星和卫星的质量分别为M、m，由开普勒第三定律有，解得R=h，卫星绕小行星表面附近做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力有=mR，解得M=，对应结果可得a为T1，b为T0，c为T1。A正确。(共37张PPT)
第五单元
万有引力与航天
课程标准 核心考点 考情统计
1.通过史实，了解万有引力定律的发现过程。知道万有引力定律。认识发现万有引力定律的重要意义。认识科学定律对人类探索未知世界的作用 2.会计算人造卫星的环绕速度。知道第二宇宙速度和第三宇宙速度 3.知道经典力学的局限性，初步了解相对论时空观和微观世界的量子特征。体会人类对自然界的探索是不断深入的 开普勒行星运动定律 2025：浙江6月T13；1月T6
2024：浙江6月T8
2023：浙江1月T10
万有引力定律及其应用 2025：浙江6月T13；1月T6
2024：浙江6月T8
2023：浙江6月T9
三个宇宙速度 2024：浙江1月T9
卫星的变轨问题 2024：浙江6月T8
【学习目标】1.理解开普勒行星运动定律和万有引力定律，并会用来解决相关问题。
2.掌握计算天体质量和密度的方法。
考点一　开普勒行星运动定律
考点二　万有引力定律
考点三　万有引力与重力的关系
内
容
索
引
课时作业
第12讲　万有引力定律及应用
考点四　天体质量和密度的计算
1.开普勒三大定律
考点一　开普勒行星运动定律
定律 内容 图示或公式
开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是____________，太阳处在____________的一个焦点上
开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的__________相等
椭圆
椭圆
面积
注意：开普勒行星运动定律也适用于其他天体系统，例如月球、人造卫星绕地球的运动。此时k是一个与中心天体有关的常量。
三次方
定律 内容 图示或公式
开普勒第三定律(周期定律) 所有行星轨道的半长轴的__________它的公转周期的____________的比都相等 =k，k是一个与行星无关的常量
二次方
2.对三大定律的理解
(1)同一行星在轨道的两个位置的速度大小之比与到太阳的距离成反比，即，近日点速度最大，远日点速度最小。

推导：由开普勒第二定律得Δl1r1=Δl2r2，v1Δt·r1=v2Δt·r2，解得。
(2)开普勒第三定律=k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，且该定律只适用于绕同一中心天体运动的星体。
(3)行星绕太阳运动的轨道通常按圆轨道处理：由=mr，解得，即k=。
1.所有行星绕太阳运行的轨道都是椭圆。(　 　)
2.行星在椭圆轨道上的运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越大。(　 　)
3.围绕同一天体运动的不同行星椭圆轨道不一样，但都有一个共同的焦点。(　 　)
4.开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因。(　 　)
√

√

(2025·云南卷)国际编号为192391的小行星绕太阳公转的周期约为5.8年，该小行星与太阳系内八大行星几乎在同一平面内做圆周运动。规定地球绕太阳公转的轨道半径为1 AU，八大行星绕太阳的公转轨道半径如下表所示。忽略其他行星对该小行星的引力作用，则该小行星的公转轨道应介于(　 　)
A.金星与地球的公转轨道之间 B.地球与火星的公转轨道之间
C.火星与木星的公转轨道之间 D.天王星与海王星的公转轨道之间
例 1
【解析】 根据开普勒第三定律可知，其中r地=1 AU，T地=1年，T行=5.8年，代入解得r行≈3.23 AU，故可知该小行星的公转轨道应介于火星与木星的公转轨道之间。C正确。
C
行星 水星 金星 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
轨道半径R/AU 0.39 0.72 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
(多选)如图所示，八大行星沿椭圆轨道绕太阳公转，下列说法中，正确的有(　 　)
A.太阳处在八大行星的椭圆轨道的一个公共焦点上
B.火星绕太阳运行过程中，速率不变
C.土星比地球的公转周期大
D.地球和土星分别与太阳的连线在相同时间内扫过的
面积相等
例 2
【解析】 根据开普勒第一定律可知，太阳处在每颗行星运动的椭圆轨道的一个焦点上，故必然处在八大行星的椭圆轨道的一个公共焦点上，A正确；根据开普勒第二定律可知，火星绕太阳运行过程中，在离太阳较近的位置运行速率较大，在离太阳较远的位置运行速率较小，B错误；由题图可知土星轨道的半长轴比地球轨道的半长轴长，根据开普勒第三定律=k可知，土星比地球的公转周期大，C正确；根据开普勒第二定律可知，同一颗行星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等，而地球和土星不是同一颗行星，二者分别与太阳的连线在相同时间内扫过的面积不相等，D错误。
AC
1.万有引力定律
(1)内容
自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与_________________________成正比、与它们之间______________________成反比。即F=G，G为引力常量，通常取G=6.67×10－11 N·m2/kg2，由物理学家卡文迪什测定。
(2)适用条件
①公式适用于____________间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的尺寸时，物体可视为质点。
②质量分布均匀的球体可视为质点，r是______________间的距离。
考点二　万有引力定律
两物体的质量的乘积
距离的二次方
质点
两球心
2.星体表面及上空的重力加速度(以地球为例)
(1)地球表面附近的重力加速度大小g(不考虑地球自转)：由mg=G，得g=。
(2)地球上空的重力加速度大小g'：地球上空距离地球中心r=R＋h处，由mg'=，得g'=。
1.地球对人的万有引力大于人对地球的万有引力。(　 　)
2.地面上的物体所受地球的万有引力方向一定指向地心。(　 　)
3.两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大。(　 　)

√

潮汐现象出现的原因之一是在地球的不同位置海水受到月球的引力不相同。图中a、b和c处单位质量的海水受月球引力大小在(　 　)
A.a处最大
B.b处最大
C.c处最大
D.a、c处相等，b处最小
例 3
【解析】 根据万有引力公式F=G，图中a处单位质量的海水受到月球的引力最大，A正确。
A
(人教版必修第二册改编)有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点。现从球体中挖去半径为0.5R的小球体，如图所示，引力常量为G，则剩余部分对质点m的万有引力为(　 　)
A. B.
C. D.
例 4
【解析】 挖去小球前球与质点的万有引力F1=G，挖去的小球体的质量M'= M=，被挖部分对质点的万有引力为F2=，则剩余部分对质点m的万有引力F=F1－F2=，A正确。
A
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。

(1)在赤道上：G=mg1＋mω2R。　
(2)在两极上：G=mg0。
(3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和。
越靠近两极，向心力越小，g值越大。由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即G=mg。
考点三　万有引力与重力的关系
2025年7月15日5时34分，搭载天舟九号货运飞船的长征七号遥十运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，发射任务取得圆满成功。飞船在远离地球的过程中，所受地球引力而产生的重力加速度g随距地面的高度h变化的关系图像可能正确的是(　 　)
例 5
【解析】 根据万有引力定律可知F=G=mg，可知g随h的增大而减小，且g与h不是一次函数关系，B正确。
B
A. B. C. D.
如果不是在地球之外的空中，而是潜水器中下潜到地球内部，若把地球看作质量分布均匀的球体，且球壳对球内任一质点的万有引力为零，则下潜所在处的重力加速度g和下潜深度h的关系图像可能是上题图中的哪个？
【答案】 设地球的质量为M，地球的半径为R，潜水器下潜h深度后，以地心为球心、以(R－h)为半径的球体的质量为M'，则由密度相等有，由于球壳对球内任一质点的万有引力为零，根据万有引力定律有G=mg，联立以上两式整理可得g=(R－h)，由该表达式可知，关系图像可能为A图。
拓展
星体内部万有引力的两个推论
推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即F引=0。
推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(质量为m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(质量为M')对它的万有引力，即F=G。
要点总结
1.利用天体表面重力加速度
不考虑天体自转，已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。
(1)由G=mg，解得天体质量M=。
(2)天体密度ρ=。
2.利用运行天体
已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。
(1)由G=mr，解得M=。
(2)若已知天体的半径为R，则天体的密度为ρ=。
若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度为ρ=，故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。
考点四　天体质量和密度的计算
(2025·金华模拟)2025年5月29日，“天问二号”成功发射升空，至今已完成采样装置展开、电子设备自检等测试。假设“天问二号”绕地球的运动可视为匀速圆周运动，距地面的高度为h，飞行n圈所用时间为t，“天问二号”的总质量为m，地球半径为R，引力常量为G，则(　 　)
A.地球的质量M=
B.地球表面的重力加速度g=(R＋h)3
C.探测器的向心加速度a=
D.探测器的线速度v=
例 6
B
【解析】 “天问二号”绕地球做圆周运动的周期T=，根据G=m(R＋h)可得地球的质量M=，A错误；根据G=m0g，地球表面的重力加速度g=(R＋h)3，B正确；根据G=ma，探测器的向心加速度a=，C错误；探测器的线速度v=(R＋h)=，D错误。
(2025·湖南卷)我国研制的“天问二号”探测器，任务是对伴地小行星及彗星交会等进行多目标探测。某同学提出探究方案，通过释放卫星绕小行星进行圆周运动，可测得小行星半径R和质量M。为探测某自转周期为T0的小行星，卫星先在其同步轨道上运行，测得距离小行星表面高度为h，接下来变轨到小行星表面附近绕其做匀速圆周运动，测得周期为T1。已知引力常量为G，不考虑其他天体对卫星的引力，可根据以上物理得到R=h，M=。下列选项中，正确的是(　 　)
A.a为T1，b为T0，c为T1 B.a为T1，b为T0，c为T0
C.a为T0，b为T1，c为T1 D.a为T0，b为T1，c为T0
例 7
【解析】 根据题意，卫星在同步轨道和表面附近轨道运行时轨道半径分别为R＋h、R，设小行星和卫星的质量分别为M、m，由开普勒第三定律有，解得R=h，卫星绕小行星表面附近做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力有=mR，解得M=，对应结果可得a为T1，b为T0，c为T1。A正确。
A
课时作业
答案速对
第五单元 第12讲　万有引力定律及应用 题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 A A A A D ABC BC
题号 8 9 10 11 12 答案 D BC CD C C 1.(2025·浙江6月选考)2025年4月30日，“神舟十九号载人飞船”返回舱安全着陆，航天员顺利出舱。关于其返回过程，下列说法中正确的是(　 　)
A.研究返回舱运行轨迹时，可将其视为质点
B.随着返回舱不断靠近地面，地球对其引力逐渐减小
C.返回舱落地前，反推发动机点火减速，航天员处于失重状态
D.用返回舱的轨迹长度和返回时间，可计算其平均速度的大小
A
2.(2026·浙江Z20联盟一模)若哈雷彗星在近日点与太阳中心的距离为r1，线速度大小为v1，加速度大小为a1，机械能为E1；在远日点与太阳中心的距离为r2，线速度大小为v2，加速度大小为a2，机械能为E2。地球公转周期为T地，半径为r，哈雷彗星公转周期为T彗。下列说法中，正确的是
(　 　)
A. B.
C. D.
【解析】 根据开普勒第二定律有r1v1Δt=r2v2Δt，可得，A正确；根据牛顿第二定律有=ma可得a=∝，则有，B错误；哈雷彗星运动过程，只有万有引力做功，机械能守恒，所以有E1=E2，C错误；设地球的轨道半径为r，根据开普勒第三定律有，可得，D错误。
A
3.位于贵州的“中国天眼”(FAST)可以测量地球与木星之间的距离。当FAST接收到来自木星的光线传播方向恰好与地球公转线速度方向相同时，测得地球与木星的距离是地球与太阳距离的k倍。若地球和木星绕太阳的运动均视为匀速圆周运动且轨道共面，则可知木星的公转周期为
(　 　)
A.(1＋k2年　 B.年　
C.年　 D.年
【解析】 设地球与太阳距离为r，根据题述可知木星与太阳的距离R==r，设木星的公转周期为T，根据开普勒第三定律，则有，T地=1年，解得T= 年，B、C、D错误，A正确。
A
4.(2025·陕晋青宁卷)我国计划于2028年前后发射“天问三号”火星探测系统，实现火星取样返回。其轨道器将环绕火星做匀速圆周运动，轨道半径约3 750 km，轨道周期约2 h。引力常量G取6.67×10－11 N·m2/kg2，根据以上数据可推算出火星的(　 　)
A.质量 B.体积
C.逃逸速度 D.自转周期
【解析】 轨道器绕火星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，可得G=m=mω2r=mr =ma，题中已知的物理量有轨道半径r，轨道周期T，引力常量G，可推算出火星的质量，A正确；若想推算火星的体积和逃逸速度，则还需要知道火星的半径r，B、C错误；根据上述分析可知，不能通过所提供物理量推算出火星的自转周期，D错误。
A
5.(2025·广东卷)一颗绕太阳运行的小行星，其轨道近日点和远日点到太阳的距离分别约为地球到太阳距离的5倍和7倍。关于该小行星，下列说法中正确的是(　 　)
A.公转周期约为6年
B.从远日点到近日点所受太阳引力大小逐渐减小
C.从远日点到近日点线速度大小逐渐减小
D.在近日点加速度大小约为地球公转加速度的
【解析】 根据题意，设地球与太阳间的距离为R，则小行星公转轨道的半长轴为a==6R，由开普勒第三定律有，解得T==6年，A错误；从远日点到近日点，小行星与太阳间距离减小，由万有引力定律F=可知，小行星受太阳引力增大，B错误；由开普勒第二定律可知，从远日点到近日点，小行星线速度逐渐增大，C错误；由牛顿第二定律有=ma，解得a=，可知，即小行星在近日点的加速度是地球公转加速度的，D正确。
D
6.(多选)已知火星半径是地球半径的，质量是地球质量的，自转周期也基本相同。地球表面重力加速度是g，若某人在地球表面上能向上跳起的最大高度是h，在忽略自转影响的条件下，下列说法中，正确的有　　(　 　)
A.该人以相同的初速度在火星上起跳时，能达到的最大高度是
B.火星表面的重力加速度是g
C.火星的平均密度是地球平均密度的
D.该人在火星表面受到的万有引力是在地球表面受到的万有引力的
ABC
【解析】 由万有引力定律得F=G，有×22=，该人在火星表面受到的万有引力是在地球表面受到的万有引力的，D错误；根据G=mg，可得×22=，则火星表面的重力加速度为g，B正确；根据ρ=∝，可得×23=，C正确；因为火星表面的重力加速度是地球表面重力加速度的，根据h=知该人以相同的初速度在火星上跳起的最大高度是在地球上跳起的最大高度的倍，A正确。
7.(多选)海边会发生潮汐现象，潮来时，水面升高；潮退时，水面降低。有人认为这是由于太阳对海水的引力变化以及月球对海水的引力变化所造成的。中午，太阳对海水的引力方向指向海平面上方；半夜，太阳对海水的引力方向指向海平面下方；拂晓和黄昏，太阳对海水的引力方向跟海平面平行。月球对海水的引力方向的变化也有类似情况。太阳、月球对某一区域海水引力的周期性变化，就引起了潮汐现象。已知地球质量为M，半径为R。太阳质量约为地球质量的3×105倍，太阳与地球的距离约为地球半径的2×104倍，地球质量约为月球质量的80倍，月球与地球的距离约为地球半径的60倍。对于地球上同一片质量为m的海水来说，下列说法中，正确的有(　 　)
A.太阳对这片海水的引力与地球对这片海水的引力之比约为
B.太阳对这片海水的引力与月球对这片海水的引力之比约为
C.我国农历中的“朔”是指太阳、月球和地球共线、且月球位于太阳和地球之间的月相，此
时，海边容易形成大潮
D.对于同一片海水而言，地球、月球、太阳对它的引力的矢量和可能为零
BC
【解析】 设地球质量为M，半径为R，由题意，根据万有引力定律有，A错误，B正确；当月球位于太阳和地球之间时，同一片海水受到月球和太阳引力的合力最大，此时海边容易形成大潮，C正确；设地球对同一片海水的引力大小为F，根据前面分析可知太阳和月亮对这一片海水的引力大小分别为F1=F，F2=F，由于其中任何一个力都不在另外两个力的合力大小范围之内，所以对于同一片海水而言，地球、月球、太阳对它的引力的矢量和不可能为零，D错误。
8. (2023·浙江6月选考)木星的卫星中，木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为1∶2∶4。木卫三周期为T，公转轨道半径是月球绕地球轨道半径r的n倍。月球绕地球公转周期为T0，则(　 　)
A.木卫一轨道半径为r B.木卫二轨道半径为r
C.周期T与T0之比为 D.木星质量与地球质量之比为n3
【解析】 设木卫一、木卫二、木卫三的轨道半径分别为R1、R2、R3，由万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，有=m3R3，=mr，且=n，则n3，D正确；若地球、木星质量相等，则根据上式可知=n3，但木星、地球质量并不相等，C错误；根据开普勒第三定律=k可知，∶T2=1∶4∶16，所以木卫一的轨道半径应该为，木卫二的轨道半径为，A、B错误。
D
9.(多选)(2025·安徽卷)2025年4月，我国已成功构建国际首个基于DRO(远距离逆行轨道)的地月空间三星星座，DRO具有“低能进入、稳定停泊、机动转移”的特点。若卫星甲从DRO变轨进入环月椭圆轨道，该轨道的近月点和远月点距月球表面的高度分别为a和b，卫星的运行周期为T；卫星乙从DRO变轨进入半径为r的环月圆形轨道，周期也为T。月球的质量为M，半径为R，引力常量为G。假设只考虑月球对甲、乙的引力，则(　 　)
A.r= B.r=R
C.M= D.M=
【解析】 对于题述环月椭圆轨道和环月圆轨道，根据开普勒第三定律有，可得r=R，A错误，B正确；对于环月圆轨道，根据万有引力提供向心力可得=mr，可得M=，C正确，D错误。
BC
10.(多选)我国计划在2030年前实现载人登月，这一目标是其航天事业的重要里程碑。为实现这一目标，我国正在积极研发关键装备，包括长征十号火箭、新一代载人飞船、月面着陆器和载人月球车。假设在一次模拟实验中，科研人员将一质量为m的物体放在月球“赤道上”，受到的“重力”为mg0；而将该物体放在月球的“北极点”，物体受到的“重力”为mg。月球可视为质量分布均匀的球体，其半径为R，引力常量为G。则月球的(　 　)
A.自转周期为2π B.质量为
C.质量为 D.自转周期为2π
【解析】 在极点处，有=mg，可得月球质量为M=，B错误，C正确；在赤道处，有=mg0＋mR，联立解得月球自转周期为T=2π，A错误，D正确。
CD
11.某类地天体可视为质量分布均匀的球体，由于自转的原因，其表面“赤道”处的重力加速度为g1，“极点”处的重力加速度为g2，若已知自转周期为T，则该天体的半径为(　 　)
A. B.
C.　 D.
【解析】 设该天体的半径为R，在“极点”处，mg2=，在其表面“赤道”处，－mg1=mR，解得R=，C正确。
C
12.如图所示，A、B两颗卫星绕地球做匀速圆周运动，O为地心，在两卫星运行过程中，AB连线和OA连线的夹角最大为θ，则A、B两卫星(　 　)
A.做圆周运动的周期之比为2
B.做圆周运动的周期之比为
C.与地心O连线在相等时间内扫过的面积之比为
D.与地心O连线在相等时间内扫过的面积之比为
【解析】 由可知，夹角最大时，OB与AB垂直，根据几何关系有rB=rAsin θ，由开普勒第三定律可得，则，A、B错误；t时间内，卫星与地心连线扫过的面积S=·πr2，则·，D错误，C正确。
C

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