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2026年山东省枣庄市台儿庄区中考二模数学试题
一、单选题
1．的绝对值的相反数是（ ）
A． B． C．2026 D．
2．下列数学符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．在《哪吒之魔童闹海》等影片的带动下，今年的中国电影市场火热开局，一季度的中影票房达到244亿元．244亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．下图为乒乓球男团颁奖现场，领奖台的示意图如下，则此领奖台的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
5．某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队，如果小华和小丽每人随机选择参加其中一个宣传队，则她们恰好选到同一个宣传队的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．下列运算中，计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，设甲、乙两人间距离为s（单位：千米），甲行驶的时间为t（单位：小时），s与t之间的函数关系如图所示，有下列结论：
①出发1小时时，甲、乙在途中相遇；
②出发1.5小时时，乙比甲多行驶了60千米；
③出发3小时时，甲、乙同时到达终点；
④甲的速度是乙速度的一半．
其中，正确结论的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
8．若关于的方程的两根互为相反数，则的值是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在边长为2的正方形中，按如下步骤作图：
①分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于两侧，过两交点作直线，分别交，于点，；②连接，以为圆心，适当长为半径作弧，分别与，交于两点；再分别以这两点为圆心，适当长为半径作弧，两弧交于内一点，过与该交点作射线，交于点；③过点作于点．根据以上作图，线段的长为（ ）
A． B． C． D．
10．已知点在抛物线上，若，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．分解因式：____．
12．已知x、y满足方程组，则的值为__________．
13．如图，，直线与、分别交于点、，的平分线与交于点，过点作 于点，，则 ______度．
14．若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是_________．
15．如图，将⊙O沿弦折叠，恰经过圆O，若，则阴影部分的面积为_________．
16．如图，在菱形ABCD中，，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且，点P为线段BD上的一个动点，则的最小值是______．
三、解答题
17．计算：．
18．先化简，再求值：，其中m满足：.
19．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于、两点，与x轴交于点C，点D与点A关于点O对称，连接．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式：
(2)点P在x轴的负半轴上，且与相似，求点P的坐标．
20．某种落地灯如图1所示，立杆AB垂直于地面，其高为120cm，BC为支杆，它可绕点B旋转，其中BC长为30cm，CD为悬杆，滑动悬杆可调节CD的长度，支杆BC与悬杆CD之间的夹角∠BCD为70°．
(1)如图2，当A、B、C三点共线且CD＝50cm时，求灯泡悬挂点D距离地面的高度；
(2)在图2所示的状态下，将支杆BC绕点B顺时针旋转50°，同时调节CD的长（如图3），此时测得灯泡悬挂点D到地面的距离为160cm，求CD的长．（结果精确到1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）
21．某校开展“图书月”活动，为了解七年级学生的阅读情况，小华设计调查问卷，用随机抽样的方式调查了部分学生，并对相关数据进行了收集、整理、描述和分析．下面是其中的部分信息：
将学生每天阅读时长数据分组整理，绘制了如下两幅不完整的统计图表．
七年级学生每天阅读时长情况统计表
组别 每天阅读时长（单位：分钟） 人数（单位：人）
A 8
B n
C 16
D 8
b. 每天阅读时长在的具体数据如下：60，60，66，68，69，69，70，70，72，73，73，73，80，83，84，85
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表中 ，图中 ；
(2)C组这部分扇形的圆心角是 °；
(3)每天阅读时长在这组具体数据的中位数是 ，众数是 ；
(4)各组每天平均阅读时长如表：
组别 A B C D
平均阅读时长（分钟） 20 45 75.5 99
求被调查学生的平均阅读时长．
22．如图，在Rt△ABC中，，平分交于点D，O为上一点，经过点A、D的分别交、于点E、F．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径；
(3)求证：．
23．已知点在正方形的对角线上，正方形与正方形有公共点．
(1)如图1，当点在上，在上，求的值为多少；
(2)将正方形绕点逆时针方向旋转，如图2，求：的值为多少；
(3)，，将正方形绕逆时针方向旋转，当，，三点共线时，请直接写出的长度．
24．在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C．
　　
(1)求a，b满足的关系式及c的值；
(2)当a＝时，若点P是抛物线对称轴上的一个动点，求△PAB周长的最小值；
(3)当a＝1时，若点Q是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点Q作QD⊥AB于点D，当QD的值最大时，求此时点Q的坐标及QD的最大值．
参考答案
1．D
解：的绝对值是，
的相反数是，
即的绝对值的相反数是，
故选：D．
2．D
解:A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则A不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，则B不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，则C不符合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，则D符合题意．
故选：D．
3．C
解：244亿用科学记数法表示为．
故选：C．
4．C
解：由题意得，此领奖台的左视图是：
故选：C．
5．C
【详解】根据题意，设三个宣传队分别为列表如下：
小华\小丽
总共由9种等可能情况，她们恰好选择同一个宣传队的情况有3种，
则她们恰好选到同一个宣传队的概率是．
故选C
6．B
解：A、，选项 A不符合题意；
B、，选项 B符合题意；
C、， 选项C不符合题意；
D、， 选项D不符合题意．
7．B
解：由图象可得：出发1小时，甲、乙在途中相遇，故①正确；
甲骑摩托车的速度为：120÷3=40（千米/小时），设乙开汽车的速度为a千米/小时，
则，
解得：a=80，
∴乙开汽车的速度为80千米/小时，
∴甲的速度是乙速度的一半，故④正确；
∴出发1．5小时，乙比甲多行驶了：1．5×（80﹣40）=60（千米），故②正确；
乙到达终点所用的时间为1．5小时，甲得到终点所用的时间为3小时，故③错误；
∴正确的有①②④，共3个，
故选B．
8．C
解：设方程两根为，，
∵方程两根互为相反数，
∴，
对于一元二次方程，由根与系数的关系得：，
∴，
解得：，即，
∵要使方程有两个实根，
∴判别式，即，
代入得：，
∴，即，
∵，，
∴．
9．D
解：四边形是正方形，边长为，
∴， ，
由步骤①可知，是线段的垂直平分线，
∴，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴在中，，
由步骤②可知，平分，即，
如图，在上截取，连接、，
在和中，
，
，
，，
，
设，则，，
在中，，
∴，
在 中，，
∴，
，
解得，
．
10．A
解：∵，
∴当时，，
∴抛物线过点，
∴抛物线的开口向上，对称轴为，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵，
∴，
∵，，
∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，小于到对称轴的距离，
∴；
故选：A．
11．
解： ．
12．1
解：
①得： ③
③－②得：
把代入①：
所以方程组的解是：
故答案为：
13．50
解：平分，
．
，
．
，
．
14．m＞-3且m≠-2
解：方程两边同时乘以x-1得，，
解得，
∵x为正数，
∴m+3＞0，解得m＞-3．
∵x≠1，
∴m+3≠1，即m≠-2．
∴m的取值范围是m＞-3且m≠-2．
故答案为：m＞-3且m≠-2．
15．
解：过点作于点，交劣弧于点，如图所示：
由题意可得：，
∴，
，
，
∴弓形的面积为，
∴阴影部分的面积为；
故答案为：．
16．
解：过M点作MH垂直BC于H点，与OB的交点为P点，此时MP+PB的长度最小
∵菱形ABCD中，AB=AC=8
∴AB=BC=AC=8，△ABC为等边三角形
∴∠PBC=30°，∠ACB=60°
∴在直角△PBH中，∠PBH=30°
∴PH=PB
∴此时MP+PB得到最小值，MP+PB=MP+PH=MH
∵AC=8，AM=2，
∴MC=6
又∠ACB=60°且△MHC为直角三角形
∴HC=MC=3，
∴MH==．
故答案为：．
17．
解：原式
．
18．，1．
解：原式为
=
=
=
=，
又∵m满足，即，将代入上式化简的结果，
∴原式=．
19．(1)一次函数解析式为：，反比例函数解析式为．
(2)点P的坐标为或
（1）解：把代入反比例函数，则，
则反比例函数解析式为：，
把代入，
则，
∴，
再把，代入，
则，
解得：，
则一次函数的解析式为：．
（2）解：令时，则，
∴，
∵点D与点A关于点O对称，
∴
设点，
∵，
∴
又∵，，
∴，，，
∵与相似，，
∴分两种情况：或，
当时，
即，
解得：，
此时，点，
当，
即，
解得：，
此时，
综上：当点P在x轴的负半轴上，且与相似，点P的坐标为或
20．(1)133cm
(2)42cm
（1）解：过D作于E，如图所示：
∵在中，，，
，
∴cm，
∴（cm）
答：灯泡悬挂点D距离地面的高度133cm．
（2）过D作于E，过C作于F，过B作于G，如图所示：
由题，，，
在中，，
解得：cm，
∴（cm），
∴（cm），
∵在中，，
∴（cm），
答：CD的长约为42cm．
21．(1)48，60
(2)72
(3)71，73
(4)被调查学生的平均阅读时长为54分钟
【详解】（1）抽样调查的学生总数为：（人）
故答案为：48，60；
（2）C组这部分扇形的圆心角是：，
故答案为：72；
（3）平均每天阅读时长在的人数是16，从小到大排列依次为：60，60，66，68，69，69，70，70，72，73，73，73，80，83，84，85；最中间有两个数为70,72，所以中位数为：，73出现的次数最多，众数是73；
故答案为：71，73；
（4）
求被调查学生的平均阅读时长为 54分钟．
22．(1)证明见解析
(2)5
(3)证明见解析
【详解】（1）证明：如图，连接OD，则OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠OAD＝∠CAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD//AC，
∴∠ODB＝∠C＝90°，
∵点D在⊙O上，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：由（1）知，OD⊥BC，
∴∠BDO＝90°，
设⊙O的半径为R，则OA＝OD＝OE＝R，
∵BE＝8，
∴OB＝BE＋OE＝8＋R，
在Rt△BDO中，sinB＝，
∴sinB＝＝，
∴R＝5；
（3）证明：连接OD，DF，EF，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠AFE＝90°＝∠C，
∴EF//BC，
∴∠B＝∠AEF，
∵∠AEF＝∠ADF，
∴∠B＝∠ADF，
由（1）知，∠BAD＝∠DAF，
∴△ABD∽△ADF，
∴，
∴AD2＝AB AF．
23．(1)2
(2)
(3)或
（1）解：正方形与正方形有公共点，点在上，在上，
四边形是正方形
（2）解：如图，连接，
正方形绕点逆时针方向旋转，
，
（3）解：①如图，
，，
,,，
三点共线，
中，，
，
由（2）可知，
，
．
②如图：
由（2）知△ADG∽△ACE，
∴，
∴DG=CE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC=8，AC=，
∵AG=AD，
∴AG=AD=8，
∵四边形AFEG是正方形，
∴∠AGE=90°，GE=AG=8，
∵C，G，E三点共线．
∴∠AGC=90°
∴CG=，
∴CE=CG+EG=8+8，
∴DG=CE=．
综上，当C，G，E三点共线时，DG的长度为或．
24．(1)2a=b+1，c=-2；
(2)△PAB的周长最小值是2+2；
(3)此时Q（-1，-2），DQ最大值为．
（1）解：∵直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴点A的坐标为(-2，0)，点B的坐标为(0，-2)，
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A，B两点，
∴，
∴2a=b+1，c=-2；
（2）解：当a=时，则b=-，
∴抛物线的解析式为y=x2-x-2，
抛物线的对称轴为直线x=1，
∵点A的坐标为(-2，0)，
∴点C的坐标为(4，0) ，
△PAB的周长为：PB+PA+AB，且AB是定值，
∴当PB+PA最小时，△PAB的周长最小，
∵点A、C关于直线x=1对称，
∴连接BC交直线x=1于点P，此时PB+PA值最小，
∵AP=CP，
∴△PAB的周长最小值为：PB+PA+AB=BC+AB，
∵A（-2，0），B（0，-2），C（4，0），
∴OA=2，OB=2，OC=4，
由勾股定理得BC=2，AB=2，
∴△PAB的周长最小值是：2+2．
（3）解：当a=1时，b=1，
∴抛物线的解析式为y=x2+x-2，
过点Q作QF⊥x轴交于F点，交直线AB于点E，
∵A（-2，0），B（0，-2），
∴OA=OB，
∴∠OAB=45°，
∵QD⊥AB，
∴∠AEF=∠QED=∠EQD=45°，
∴QD=ED=EQ，
设Q（t，t2+t-2），E（t，-t-2），　
∴QE=-t-2-(t2+t-2)=-t2-2t，
∴DQ=QE=-(t2+2t)= -(t+1)2+，
当t=-1时，DQ有最大值，此时Q（-1，-2）．

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