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第17讲　功能关系　能量守恒定律
考点一　功能关系的理解和应用
1.对功能关系的理解
(1)做功的过程就是　能量转化　的过程，不同形式的能量发生相互转化是通过做功来实现的。
(2)功是能量转化的　量度　。功和能的关系，一是体现在不同的力做功对应不同形式的能转化，具有一一对应关系；二是做功的多少与能量转化的多少在数值上相等。
2.常见的功能关系
做功 能量的变化 定量关系
合力做功 动能变化 W=ΔEk= Ek2－Ek1
重力做功 重力势能变化 W=－ΔEp= Ep1－Ep2
弹簧弹力做功 弹性势能变化
分子力做功 分子势能变化
静电力做功 电势能变化
安培力做功 电能变化
只有重力、弹力做功 不引起机械能变化 机械能守恒，ΔE机=0
除重力和弹力之外的其他力做功 机械能变化 (1)其他力做多少功，物体的机械能就变化多少 (2)W=ΔE机
一对相互作用的滑动摩擦力做功 内能变化 (1)作用于系统的一对滑动摩擦力一定做负功，系统内能增加 (2)Q=Ff·s相对
1.一个物体的能量增加，必定有别的物体能量减少。　(　√　)
2.合力做的功等于物体机械能的改变量。(　 　)
3.克服与势能有关的力(重力、弹簧弹力、静电力等)做的功等于对应势能的增加量。(　√　)
4.滑动摩擦力做功时，一定会引起机械能的转化。(　√　)
考向一　功能关系的理解
[例1]　(2024·浙江1月选考)如图所示，质量为m的足球从水平地面上位置1被踢出后落在位置3，在空中达到最高点2的高度为h，则足球(　B　)
A.从1到2动能减少mgh
B.从1到2重力势能增加mgh
C.从2到3动能增加mgh
D.从2到3机械能不变
【解析】 假设不受空气阻力，斜抛运动在最高点2位置左边斜抛上升阶段和其右侧平抛运动的轨迹具有对称性，题图显然不符合斜抛运动的规律，因此空气阻力不可忽略，所以从2到3阶段，机械能不守恒，D错误；从2到3阶段，假设仅有重力做功，根据动能定理，动能增加量等于重力所做的功，即增加mgh，但由于有空气阻力做功，所以动能变化量小于mgh，C错误；同理从1到2阶段，由于有空气阻力做功，动能变化量大于mgh，A错误；从1到2阶段，重力做负功WG=－mgh，所以重力势能增加了mgh，B正确。
[例2]　(2025·四川卷)如图所示，倾角为30°的光滑斜面固定在水平地面上，安装在其顶端的电动机通过不可伸长轻绳与小车相连，小车上静置一物块。小车与物块质量均为m，两者之间动摩擦因数为。电动机以恒定功率P拉动小车由静止开始沿斜面向上运动。经过一段时间，小车与物块的速度刚好相同，大小为v0。运动过程中轻绳与斜面始终平行，小车和斜面均足够长，重力加速度大小为g，忽略其他摩擦。则这段时间内(　C　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.物块的位移大小为
B.物块机械能增量为
C.小车的位移大小为
D.小车机械能增量为
【解析】 对物块根据牛顿第二定律有μmgcos 30°－mgsin 30°=ma，解得a=g，根据运动学公式有v02=2ax1，解得物块的位移大小x1=，A错误；物块机械能增量ΔE=m＋mgx1·sin 30°=mv02，B错误；对小车根据动能定理有Pt－x=mv02，其中t=，联立解得x=，C正确；小车机械能增量ΔE'=m＋mgxsin 30°=，D错误。
在应用功能关系解决具体问题的过程中：
(1)若只涉及动能的变化，用动能定理分析。
(2)若只涉及重力势能的变化，用重力做功与重力势能变化的关系分析。
(3)若只涉及机械能变化，用除重力和弹力之外的力做功与机械能变化的关系分析。
(4)若只涉及电势能的变化，用静电力做功与电势能变化的关系分析。
考向二　弹簧类问题
(1)由于弹簧发生形变时会具有弹性势能，系统的总动能将发生变化，若系统除重力、弹簧弹力以外的其他力不做功，系统机械能守恒。
(2)弹簧两端的物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能有最大值。
(3)对同一弹簧，弹性势能的大小为Ep=kx2，弹性势能由弹簧的形变量决定，弹簧的伸长量和压缩量相等时，弹簧的弹性势能相等。
[例3]　(多选)(2026·浙南名校联盟联考)如图所示，竖直轻弹簧固定在水平地面上，原长l=15 cm，质量m=0.1 kg的铁球由弹簧的正上方h=20 cm高处自由下落，与弹簧接触后压缩弹簧，当铁球下落到最低点时弹簧的压缩量Δx=5 cm。不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，下列说法中，正确的有(　BC　)
A.在整个下落过程中铁球最大速度为2 m/s
B.在整个下落过程中铁球和弹簧组成的系统机械能不变
C.弹簧的劲度系数为200 N/m
D.铁球下落到最低点时弹簧的弹性势能为0.2 J
【解析】 铁球从接触弹簧下降过程中，开始时重力大于弹力，合力向下，小球做加速运动，当重力和弹力相等时，速度最大，当铁球接触到弹簧瞬间，根据动能定理有mgh=mv2，解得v=2 m/s，所以在整个下落过程中铁球最大速度大于2 m/s，A错误；由机械能守恒定律可知，铁球下落过程中小球和弹簧组成的系统机械能守恒，所以在整个下落过程中铁球和弹簧组成的系统机械能不变，B正确；根据能量守恒，有mg(h＋Δx)=k(Δx)2，解得k=200 N/m，铁球下落到最低点时弹簧的弹性势能为EP=k(Δx)2=0.25 J，C正确，D错误。
[例4]　如图所示，一顶角为直角的“”形光滑细杆竖直放置。质量均为m的两金属环套在细杆上，高度相同，用一劲度系数为k的轻质弹簧相连，此时弹簧为原长l0。两金属环同时由静止释放，运动过程中弹簧处于弹性限度内，且弹簧始终保持水平，已知弹簧的长度为l时，弹性势能为k(l－l0)2，重力加速度为g，下列说法中，正确的是(　A　)
A.金属环在最高点与最低点加速度大小相等
B.左边金属环下滑过程机械能守恒
C.弹簧的最大拉力为3mg
D.金属环的最大速度为2g
【解析】 左边金属环下滑过程，除重力以外，弹簧的弹力对它做功，故对金属环而言，下滑过程中机械能不守恒，B错误；金属环下降h'达到最低点时，速度减小为0，形变量最大为2h'，根据两金属环与弹簧系统机械能守恒有2mgh'=k(2h')2，解得h'=，弹簧的最大伸长量Δx=2h'=，弹簧的最大拉力为Fm=kΔx=2mg，C错误；在最高点时金属环只受重力和支持力作用，此时重力沿杆方向的分力提供加速度，有a1=gsin 45°，在最低点，可知Fm=2mg，根据牛顿第二定律可知Fmcos 45°－mgsin 45°=ma2，解得a2=gsin 45°，则a1=a2，金属环在最高点与最低点加速度大小相等，A正确；当金属环的加速度为0时，速度最大，金属环受力如图所示。
金属环受到重力、杆的弹力和弹簧的弹力，沿杆方向加速度为0，即合力为0，有mgsin 45°=Fcos 45°，又F=kΔx，解得形变量Δx=，根据几何知识，两个金属环下降的高度为h=，对两个金属环和弹簧，根据机械能守恒有2mgh=k(Δx)2＋×2mv2，解得v=g，D错误。
考向三　摩擦力做功与摩擦生热的计算
(1)两种摩擦力做功的不同点
类别 静摩擦力 滑动摩擦力
不同点 只有能量的转移，没有能量的转化 既有能量的转移，又有能量的转化
一对静摩擦力所做功的代数和等于零 一对滑动摩擦力所做功的代数和为负值，总功W=－Ff·s相对，即摩擦时产生的热量
(2)求解相对滑动物体的能量问题的方法
①正确分析物体的运动过程，做好受力分析。
②利用运动学公式，结合牛顿第二定律分析物体的速度关系及位移关系。
③公式Q=Ff·x相对中x相对为两接触物体间的相对位移，若物体在传送带上做往复运动时，则x相对为总的相对路程。
[例5]　(多选)如图所示，质量为M、长为L=4 m的木板Q放在光滑的水平面上，可视为质点的质量为m的物块P放在木板的最左端。t=0时刻给物块水平向右的初速度，当物块P滑到木板Q的最右端时，木板Q的位移为x=7 m。下列说法中，正确的有(　BC　)
A.P、Q所受的摩擦力之比为m∶M
B.摩擦力对P、Q所做的功的绝对值之比为11∶7
C.P减小的动能与P、Q间因摩擦而产生的热量之比为11∶4
D.Q增加的动能与系统损失的机械能之比为11∶4
【解析】 P对Q的摩擦力与Q对P的摩擦力是作用力和反作用力，故P、Q所受的摩擦力之比为1∶1，A错误。摩擦力对物块P所做的功为=－FfxP=－Ff(x＋L)，摩擦力对木板Q所做的功为=FfxQ=Ffx，摩擦力对P、Q所做的功的绝对值之比为||∶||=(x＋L)∶x=11∶7，B正确；对P由动能定理P损失的动能ΔEkP=Ff(x＋L)，对Q由动能定理得Q获得的动能ΔEkQ=Ffx，P、Q组成的系统因摩擦而产生的热量等于系统损失的机械能，则有Q热=ΔEkP－ΔEkQ，则|ΔEkP|∶Q热=(x＋L)∶L=11∶4，ΔEkQ∶Q热=L∶x=7∶4，C正确，D错误。
[例6]　如图甲所示，炒茶厂有水平传送带装置，可简化为如图乙所示的模型，传送带始终以v=2 m/s的速度向右运动，传送带长L=6 m。将质量m=1 kg的一小盒茶叶轻轻放到传送带左端，盒子与传送带之间的动摩擦因数μ=0.2，忽略盒子的大小，g取10 m/s2，则(　D　)
　　
甲 乙
A.盒子在传送带上始终受到重力、弹力和摩擦力的作用
B.盒子从左端运动到右端的时间为t= s
C.盒子从左端运动到右端的过程中，摩擦力对盒子做的功为4 J
D.盒子从左端运动到右端的过程中，传送带由于带动盒子运动，电动机多消耗了4 J的电能
【解析】 盒子刚放上传送带时受到重力、支持力和摩擦力作用，加速度大小为a=μg=2 m/s2，当盒子加速至v=2 m/s时，位移大小为x==1 m＜L，所以盒子先做匀加速运动，后随传送带做匀速运动，当盒子匀速运动时，处于平衡状态，只受到重力和支持力作用，A错误；盒子匀加速运动的时间为t1==1 s，匀速运动的时间为t2==2.5 s，所以盒子从左端运动到右端的时间为t=t1＋t2=3.5 s，B错误；盒子从左端运动到右端的过程中，摩擦力对盒子做的功为Wf=μmgx=2 J，C错误；根据能量守恒定律可知，盒子从左端运动到右端的过程中，传送带由于带动盒子运动，电动机多消耗的电能等于传送带克服摩擦力所做的功，即ΔE=Wf克=μmgvt1=4 J，D正确。
考点二　能量守恒与功能关系STSE问题
　　新高考的命题导向要求考生在学习高中物理时要注重理论联系实际，注意物理与生产、生活及科技发展的联系，关注物理学的技术在社会中的应用，培养社会参与意识和社会责任感，完成从“解题”向“解决问题”思路的转变。
[例7]　(2025·浙江6月选考)如图所示，风光互补环保路灯的主要构件有：风力发电机，单晶硅太阳能板，额定电压为48 V、容量为200 A·h的储能电池，功率为60 W的LED灯。已知该路灯平均每天照明10 h；1 kg标准煤完全燃烧可发电2.8度，并排放二氧化碳2.6 kg。下列说法中，正确的是(　D　)
A.风力发电机的输出功率与风速的平方成正比
B.太阳能板上接收到的太阳辐射能全部转换成电能
C.该路灯正常运行6年，可减少二氧化碳排放量约1.2×106 kg
D.储能电池充满电后，即使连续一周无风且阴雨，路灯也能正常工作
【解析】 设时间Δt，风力发电机的扇叶半径为r，假设风的动能全部变成发电机输出，输出功率P出=ρπr2v3，即风力发电机的输出功率与风速的三次方成正比，A错误；太阳能板上接收到的辐射能不能全部转换成电能，存在能量损耗，B错误；已知路灯的功率P=60 W=0.06 kW，每天照明t=10 h，一年按365天计算，6年的总时间t总=6×365×10 h=21 900 h，可得总耗电量W=Pt总=0.06 kW×21 900 h=1 314 kW·h=1 314度，因1 kg标准煤完全燃烧可发电2.8度，排放二氧化碳2.6 kg，则减少的二氧化碳排放量M=×2.6 kg≈1 220 kg≠1.2×106 kg，C错误；已知储能电池的额定电压U=48 V，容量Q=200 Ah，则电池的电能为E=UQ=9 600 W·h=9.6 kW·h，而路灯连续一周的耗电量为W=Pt=0.06 kW×7×10 h=4.2 kW·h＜9.6 kW·h，所以储能电池充满电后，即使连续一周无风且阴雨，路灯也能正常工作，D正确。
[例8]　(2025·山东卷)一辆电动小车上的光伏电池，将太阳能转换成的电能全部给电动机供电，刚好维持小车以速度v做匀速运动，此时电动机的效率为50%。已知小车的质量为m，运动过程中受到的阻力f=kv(k为常量)，该光伏电池的光电转换效率为η，则光伏电池单位时间内获得的太阳能为(　A　)
A. B.
C. D.
【解析】 根据题意，小车做匀速运动，则有F=f=kv，小车的机械功率P机=Fv=kv2，由于电动机的效率为50%，则有P电==2kv2，光伏电池的光电转换效率为η，即η=，可得P光=，A正确。
[例9]　(2021·浙江1月选考)一辆汽车在水平高速公路上以80 km/h的速度匀速行驶，其1 s内能量分配情况如图所示，则汽车(　C　)
A.发动机的输出功率为70 kW
B.每1 s消耗的燃料最终转化成的内能是5.7×104 J
C.每1 s消耗的燃料最终转化成的内能是6.9×104 J
D.每1 s消耗的燃料最终转化成的内能是7.0×104 J
【解析】 每秒钟来自燃料的能量为7.0×104 J，说明输入总功率为7.0×104 J，其中发动机输入总功率为6.9×104 J，发动机的输出功率为1.7×104 J，根据示意图，除了燃料蒸发带走1 000 J之外，根据能量守恒定律，剩余能量均转化为内能，因此每1 s消耗的燃料最终转化成的内能是6.9×104 J，A、B、D错误，C正确。(共37张PPT)
考点一　功能关系的理解和应用
考点二　能量守恒与功能关系STSE问题
内
容
索
引
课时作业
第17讲　功能关系　能量守恒定律
1.对功能关系的理解
(1)做功的过程就是______________的过程，不同形式的能量发生相互转化是通过做功来实现的。
(2)功是能量转化的____________。功和能的关系，一是体现在不同的力做功对应不同形式的能转化，具有一一对应关系；二是做功的多少与能量转化的多少在数值上相等。
考点一　功能关系的理解和应用
能量转化
量度
2.常见的功能关系
做功 能量的变化 定量关系
合力做功 动能变化 W=ΔEk= Ek2－Ek1
重力做功 重力势能变化 W=－ΔEp=
Ep1－Ep2
弹簧弹力做功 弹性势能变化 分子力做功 分子势能变化 静电力做功 电势能变化 安培力做功 电能变化 只有重力、弹力做功 不引起机械能变化 机械能守恒，ΔE机=0
除重力和弹力之外的其他力做功 机械能变化 (1)其他力做多少功，物体的机械能就变化多少
(2)W=ΔE机
一对相互作用的滑动摩擦力做功 内能变化 (1)作用于系统的一对滑动摩擦力一定做负功，系统内能增加
(2)Q=Ff·s相对
1.一个物体的能量增加，必定有别的物体能量减少。　(　 　)
2.合力做的功等于物体机械能的改变量。(　 　)
3.克服与势能有关的力(重力、弹簧弹力、静电力等)做的功等于对应势能的增加量。
(　 　)
4.滑动摩擦力做功时，一定会引起机械能的转化。(　 　)
√

√
√
(2024·浙江1月选考)如图所示，质量为m的足球从水平地面上位置1被踢出后落在位置3，在空中达到最高点2的高度为h，则足球(　 　)
A.从1到2动能减少mgh
B.从1到2重力势能增加mgh
C.从2到3动能增加mgh
D.从2到3机械能不变
例 1
【解析】 假设不受空气阻力，斜抛运动在最高点2位置左边斜抛上升阶段和其右侧平抛运动的轨迹具有对称性，题图显然不符合斜抛运动的规律，因此空气阻力不可忽略，所以从2到3阶段，机械能不守恒，D错误；从2到3阶段，假设仅有重力做功，根据动能定理，动能增加量等于重力所做的功，即增加mgh，但由于有空气阻力做功，所以动能变化量小于mgh，C错误；同理从1到2阶段，由于有空气阻力做功，动能变化量大于mgh，A错误；从1到2阶段，重力做负功WG=－mgh，所以重力势能增加了mgh，B正确。
B
考向一　功能关系的理解
(2025·四川卷)如图所示，倾角为30°的光滑斜面固定在水平地面上，安装在其顶端的电动机通过不可伸长轻绳与小车相连，小车上静置一物块。小车与物块质量均为m，两者之间动摩擦因数为。电动机以恒定功率P拉动小车由静止开始沿斜面向上运动。经过一段时间，小车与物块的速度刚好相同，大小为v0。运动过程中轻绳与斜面始终平行，小车和斜面均足够长，重力加速度大小为g，忽略其他摩擦。则这段时间内(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　
A.物块的位移大小为
B.物块机械能增量为
C.小车的位移大小为
D.小车机械能增量为
例 2
C
【解析】 对物块根据牛顿第二定律有μmgcos 30°－mgsin 30°=ma，解得a=g，根据运动学公式有v02=2ax1，解得物块的位移大小x1=，A错误；物块机械能增量ΔE=m＋mgx1
·sin 30°=mv02，B错误；对小车根据动能定理有Pt－x=mv02，其中t=，联立解得x=，C正确；小车机械能增量ΔE'=m＋mgxsin 30°=，D错误。
在应用功能关系解决具体问题的过程中：
(1)若只涉及动能的变化，用动能定理分析。
(2)若只涉及重力势能的变化，用重力做功与重力势能变化的关系分析。
(3)若只涉及机械能变化，用除重力和弹力之外的力做功与机械能变化的关系分析。
(4)若只涉及电势能的变化，用静电力做功与电势能变化的关系分析。
技能点拨
(1)由于弹簧发生形变时会具有弹性势能，系统的总动能将发生变化，若系统除重力、弹簧弹力以外的其他力不做功，系统机械能守恒。
(2)弹簧两端的物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能有最大值。
(3)对同一弹簧，弹性势能的大小为Ep=kx2，弹性势能由弹簧的形变量决定，弹簧的伸长量和压缩量相等时，弹簧的弹性势能相等。
考向二　弹簧类问题
(多选)(2026·浙南名校联盟联考)如图所示，竖直轻弹簧固定在水平地面上，原长l=15 cm，质量m=0.1 kg的铁球由弹簧的正上方h=20 cm高处自由下落，与弹簧接触后压缩弹簧，当铁球下落到最低点时弹簧的压缩量Δx=5 cm。不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，下列说法中，正确的有(　 　)
A.在整个下落过程中铁球最大速度为2 m/s
B.在整个下落过程中铁球和弹簧组成的系统机械能不变
C.弹簧的劲度系数为200 N/m
D.铁球下落到最低点时弹簧的弹性势能为0.2 J
例 3
【解析】 铁球从接触弹簧下降过程中，开始时重力大于弹力，合力向下，小球做加速运动，当重力和弹力相等时，速度最大，当铁球接触到弹簧瞬间，根据动能定理有mgh=mv2，解得v=2 m/s，所以在整个下落过程中铁球最大速度大于2 m/s，A错误；由机械能守恒定律可知，铁球下落过程中小球和弹簧组成的系统机械能守恒，所以在整个下落过程中铁球和弹簧组成的系统机械能不变，B正确；根据能量守恒，有mg(h＋Δx)=k(Δx)2，解得k=200 N/m，铁球下落到最低点时弹簧的弹性势能为EP=k(Δx)2=0.25 J，C正确，D错误。
BC
如图所示，一顶角为直角的“ ”形光滑细杆竖直放置。质量均为m的两金属环套在细杆上，高度相同，用一劲度系数为k的轻质弹簧相连，此时弹簧为原长l0。两金属环同时由静止释放，运动过程中弹簧处于弹性限度内，且弹簧始终保持水平，已知弹簧的长度为l时，弹性势能为k(l－l0)2，重力加速度为g，下列说法中，正确的是(　 　)
A.金属环在最高点与最低点加速度大小相等
B.左边金属环下滑过程机械能守恒
C.弹簧的最大拉力为3mg
D.金属环的最大速度为2g
例 4
A
【解析】 左边金属环下滑过程，除重力以外，弹簧的弹力对它做功，故对金属环而言，下滑过程中机械能不守恒，B错误；金属环下降h'达到最低点时，速度减小为0，形变量最大为2h'，根据两金属环与弹簧系统机械能守恒有2mgh'=k(2h')2，解得h'=，弹簧的最大伸长量Δx=2h' =，弹簧的最大拉力为Fm=kΔx=2mg，C错误；在最高点时金属环只受重力和支持力作用，此时重力沿杆方向的分力提供加速度，有a1=gsin 45°，在最低点，可知Fm=2mg，根据牛顿第二定律可知Fmcos 45°－mgsin 45°=ma2，解得a2=gsin 45°，则a1=a2，金属环在最高点与最低点加速度大小相等，A正确；当金属环的加速度为0时，速度最大，金属环受力如图所示。

金属环受到重力、杆的弹力和弹簧的弹力，沿杆方向加速度为0，即合力为0，有mgsin 45°= Fcos 45°，又F=kΔx，解得形变量Δx=，根据几何知识，两个金属环下降的高度为h=，对两个金属环和弹簧，根据机械能守恒有2mgh=k(Δx)2＋×2mv2，解得v=g，D错误。
(1)两种摩擦力做功的不同点
考向三　摩擦力做功与摩擦生热的计算
类别 静摩擦力 滑动摩擦力
不同点 只有能量的转移，没有能量的转化 既有能量的转移，又有能量的转化
一对静摩擦力所做功的代数和等于零 一对滑动摩擦力所做功的代数和为负值，总功W=－Ff·s相对，即摩擦时产生的热量
(2)求解相对滑动物体的能量问题的方法
①正确分析物体的运动过程，做好受力分析。
②利用运动学公式，结合牛顿第二定律分析物体的速度关系及位移关系。
③公式Q=Ff·x相对中x相对为两接触物体间的相对位移，若物体在传送带上做往复运动时，则x相对为总的相对路程。
(多选)如图所示，质量为M、长为L=4 m的木板Q放在光滑的水平面上，可视为质点的质量为m的物块P放在木板的最左端。t=0时刻给物块水平向右的初速度，当物块P滑到木板Q的最右端时，木板Q的位移为x=7 m。下列说法中，正确的有(　 　)
A.P、Q所受的摩擦力之比为m∶M
B.摩擦力对P、Q所做的功的绝对值之比为11∶7
C.P减小的动能与P、Q间因摩擦而产生的热量之比为11∶4
D.Q增加的动能与系统损失的机械能之比为11∶4
例 5
【解析】 P对Q的摩擦力与Q对P的摩擦力是作用力和反作用力，故P、Q所受的摩擦力之比为1∶1，A错误。摩擦力对物块P所做的功为=－FfxP=－Ff(x＋L)，摩擦力对木板Q所做的功为=FfxQ=Ffx，摩擦力对P、Q所做的功的绝对值之比为||∶||=(x＋L)∶x= 11∶7，B正确；对P由动能定理P损失的动能ΔEkP=Ff(x＋L)，对Q由动能定理得Q获得的动能ΔEkQ=Ffx，P、Q组成的系统因摩擦而产生的热量等于系统损失的机械能，则有Q热=ΔEkP－ΔEkQ，则|ΔEkP|∶Q热=(x＋L)∶L=11∶4，ΔEkQ∶Q热=L∶x=7∶4，C正确，D错误。
BC
如图甲所示，炒茶厂有水平传送带装置，可简化为如图乙所示的模型，传送带始终以v=2 m/s的速度向右运动，传送带长L=6 m。将质量m=1 kg的一小盒茶叶轻轻放到传送带左端，盒子与传送带之间的动摩擦因数μ=0.2，忽略盒子的大小，g取10 m/s2，则(　 　)
A.盒子在传送带上始终受到重力、弹力和摩擦力的作用
B.盒子从左端运动到右端的时间为t= s
C.盒子从左端运动到右端的过程中，摩擦力对盒子做
的功为4 J
D.盒子从左端运动到右端的过程中，传送带由于带动
盒子运动，电动机多消耗了4 J的电能
例 6
D
【解析】 盒子刚放上传送带时受到重力、支持力和摩擦力作用，加速度大小为a=μg=2 m/s2，当盒子加速至v=2 m/s时，位移大小为x==1 m＜L，所以盒子先做匀加速运动，后随传送带做匀速运动，当盒子匀速运动时，处于平衡状态，只受到重力和支持力作用，A错误；盒子匀加速运动的时间为t1==1 s，匀速运动的时间为t2==2.5 s，所以盒子从左端运动到右端的时间为t=t1＋t2=3.5 s，B错误；盒子从左端运动到右端的过程中，摩擦力对盒子做的功为Wf=μmgx=2 J，C错误；根据能量守恒定律可知，盒子从左端运动到右端的过程中，传送带由于带动盒子运动，电动机多消耗的电能等于传送带克服摩擦力所做的功，即ΔE=Wf克=μmgvt1=4 J，D正确。
　　新高考的命题导向要求考生在学习高中物理时要注重理论联系实际，注意物理与生产、生活及科技发展的联系，关注物理学的技术在社会中的应用，培养社会参与意识和社会责任感，完成从“解题”向“解决问题”思路的转变。
考点二　能量守恒与功能关系STSE问题
(2025·浙江6月选考)如图所示，风光互补环保路灯的主要构件有：风力发电机，单晶硅太阳能板，额定电压为48 V、容量为200 A·h的储能电池，功率为60 W的LED灯。已知该路灯平均每天照明10 h；1 kg标准煤完全燃烧可发电2.8度，并排放二氧化碳2.6 kg。下列说法中，正确的是(　 　)
A.风力发电机的输出功率与风速的平方成正比
B.太阳能板上接收到的太阳辐射能全部转换成电能
C.该路灯正常运行6年，可减少二氧化碳排放量约1.2×106 kg
D.储能电池充满电后，即使连续一周无风且阴雨，路灯也能正
常工作
例 7
D
【解析】 设时间Δt，风力发电机的扇叶半径为r，假设风的动能全部变成发电机输出，输出功率P出=ρπr2v3，即风力发电机的输出功率与风速的三次方成正比，A错误；太阳能板上接收到的辐射能不能全部转换成电能，存在能量损耗，B错误；已知路灯的功率P=60 W=0.06 kW，每天照明t=10 h，一年按365天计算，6年的总时间t总=6×365×10 h=21 900 h，可得总耗电量W=Pt总=0.06 kW×21 900 h=1 314 kW·h =1 314度，因1 kg标准煤完全燃烧可发电2.8度，排放二氧化碳2.6 kg，则减少的二氧化碳排放量M=×2.6 kg≈1 220 kg≠1.2×106 kg，C错误；已知储能电池的额定电压U=48 V，容量Q=200 Ah，则电池的电能为E=UQ=9 600 W·h=9.6 kW·h，而路灯连续一周的耗电量为W=Pt=0.06 kW×7×10 h=4.2 kW·h＜9.6 kW·h，所以储能电池充满电后，即使连续一周无风且阴雨，路灯也能正常工作，D正确。
(2025·山东卷)一辆电动小车上的光伏电池，将太阳能转换成的电能全部给电动机供电，刚好维持小车以速度v做匀速运动，此时电动机的效率为50%。已知小车的质量为m，运动过程中受到的阻力f=kv(k为常量)，该光伏电池的光电转换效率为η，则光伏电池单位时间内获得的太阳能为(　 　)
A. B.
C. D.
例 8
【解析】 根据题意，小车做匀速运动，则有F=f=kv，小车的机械功率P机=Fv=kv2，由于电动机的效率为50%，则有P电==2kv2，光伏电池的光电转换效率为η，即η=，可得P光=，A正确。
A
(2021·浙江1月选考)一辆汽车在水平高速公路上以80 km/h的速度匀速行驶，其1 s内能量分配情况如图所示，则汽车(　 　)
例 9
A.发动机的输出功率为70 kW
B.每1 s消耗的燃料最终转化成的
内能是5.7×104 J
C.每1 s消耗的燃料最终转化成的内
能是6.9×104 J
D.每1 s消耗的燃料最终转化成的内
能是7.0×104 J
【解析】 每秒钟来自燃料的能量为7.0×104 J，说明输入总功率为7.0×104 J，其中发动机输入总功率为6.9×104 J，发动机的输出功率为1.7×104 J，根据示意图，除了燃料蒸发带走
1 000 J之外，根据能量守恒定律，剩余能量均转化为内能，因此每1 s消耗的燃料最终转化成的内能是6.9×104 J，A、B、D错误，C正确。
C
课时作业
答案速对
第六单元 第17讲　功能关系　能量守恒定律 题号 1 2 3 4 5
答案 C C C ABD D
题号 6 7 8 9 答案 A BC B 见答案 1.从地面竖直上抛一个质量为m的小球，小球上升的最大高度为h，设上升和下降过程中空气阻力大小恒为Ff。重力加速度为g，下列说法中，正确的是(　 　)
A.小球上升的过程中动能减少了mgh
B.小球上升和下降的整个过程中机械能减少了Ffh
C.小球上升的过程中重力势能增加了mgh
D.小球上升和下降的整个过程中动能减少了Ffh
【解析】 小球上升的过程中，重力和阻力都做负功，其中克服重力做功等于mgh，故重力势能增加了mgh，总功大于mgh，根据动能定理可知，总功等于动能的变化量，故动能的减少量大于mgh，A错误，C正确。小球上升和下降的整个过程中，重力做功等于零，阻力做功等于－2Ffh，根据动能定理可知，动能减小2Ffh，除重力外其余力做的功等于机械能的变化量，克服阻力做功为2Ffh，故机械能减少了2Ffh，B、D错误。
C
2.小明操作一无人机从某一高度处由静止开始竖直向下飞行，图乙为它运动的v－t图像，下列说法中，正确的是(　 　)
A.在t3~t4过程中无人机处于失重状态
B.在t1~t2过程中无人机的机械能一定增加
C.在t3~t4过程中无人机的机械能一定减少
D.空气对无人机的作用力和无人机对空气
的作用力是一对平衡力
【解析】 由图乙可知，在t3~t4过程中无人机减速下降，其加速度方向竖直向上，处于超重状态，A错误；由图乙可知，在t1~t2过程中无人机加速下降，加速度方向向下，如果加速度小于重力加速度，则除了重力，还有竖直向上的其他力，且其他力做负功，则无人机的机械能减少，B错误；由图乙可知，在t3~t4过程中无人机减速下降，其加速度方向竖直向上，则除了重力，还有竖直向上的其他力，且其他力对无人机做负功，则无人机的机械能减少，C正确；空气对无人机的作用力和无人机对空气的作用力是一对相互作用力，D错误。
甲 乙
C
3.(2021·浙江6月选考)中国制造的某一型号泵车如图所示，表中列出了其部分技术参数。已知混凝土的密度为2.4×103 kg/m3，假设泵车的泵送系统以150 m3/h的输送量给30 m高处输送混凝土，则每小时泵送系统对混凝土做的功至少为(　 　)


A.1.08×107 J B.5.04×107 J
C.1.08×108 J D.2.72×108 J
【解析】 每小时输送的混凝土的体积为150 m3，则增加的重力势能约为mgh=2.4×103×150× 10×30 J=1.08×108 J，C正确。
发动机最大输出功率(kW) 332 最大输送高度(m) 63
整车满载质量(kg) 5.4×104 最大输送量(m3/h) 180
C
4.(多选)如图所示，载有防疫物资的无人驾驶小车，在水平MN段以恒定功率200 W、速度5 m/s匀速行驶，在斜坡PQ段以恒定功率570 W、速度2 m/s匀速行驶，已知小车总质量为50 kg，MN=PQ=20 m，PQ段的倾角为30°，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力。下列说法中，正确的有(　 　)
A.从M到N，小车牵引力大小为40 N
B.从M到N，小车克服摩擦力做功800 J
C.从P到Q，小车重力势能增加1×104 J
D.从P到Q，小车克服摩擦力做功700 J
【解析】 小车匀速行驶时有F牵=Ff，在MN段F牵==40 N，W克=Ff=800 J，A、B正确；从P到Q，ΔEp=mgΔh，ΔEp=5×103 J，C错误；从P到Q，F牵'==285 N，F牵'=Ff'＋mgsin θ，解得Ff'=35 N，W克'=Ff'=700 J，D正确。
ABD
5.如图所示，由于空气阻力的影响，炮弹的实际飞行轨道不是抛物线，而是图中的“弹道曲线”，图中a、c高度相同，b为弹道曲线最高点，则炮弹(　 　)
A.到达b点时加速度竖直向下
B.在下落过程中机械能增加
C.在ab段运动的时间等于在bc段运动的时间
D.经过c点时的机械能小于经过b点时的机械能
【解析】 由图线可知，炮弹除了会受到竖直向下的重力，还会受到水平方向的空气阻力，因此炮弹在b点的合力不是竖直向下的，由牛顿第二定律可知，到达b点时加速度也不是竖直向下的，A错误；下落过程中由于有空气阻力做功，因此机械能减少，B错误；因为炮弹上升过程受到竖直向下的重力和空气阻力分量，所以其加速度大于g，而下降过程受到竖直向上的空气阻力分量和竖直向下的重力，所以其加速度小于g，将炮弹上升或下降过程竖直方向的运动看作初速度为零的匀加速直线运动，则根据h=at2可知，竖直高度相同，加速度越大，经历的时间越短，故上升过程经历的时间小于下降过程经历的时间，所以炮弹在ab段运动的时间小于在bc段运动的时间，C错误；由于空气阻力一直做负功，所以炮弹从O点出发到c点的过程中，炮弹的机械能一直在减小，故炮弹经过c点时的机械能小于经过b点时的机械能，D正确。
D
6.把一个小球放在竖立的弹簧上，并把小球向下按至A位置，如图甲所示。迅速松手后，弹簧把小球弹起，小球升至最高点C，如图乙所示，经过图中B位置时弹簧正好处于原长状态。弹簧的质量和空气的阻力均可忽略，重力加速度为g。下列关于小球从A至C的运动过程中加速度大小a、速度大小v、动能Ek和机械能E随运动时间t的变化关系图像，正确的是(　 　)
A
A. B.
C. D.
【解析】 在小球所受弹簧的弹力大小等于小球的重力之前，根据牛顿第二定律有kx－mg=ma，可得a=－g，则小球开始一段时间上升的加速度逐渐减小，从重力和弹力大小相等的平衡位置到B过程中，小球加速度向下，根据牛顿第二定律有mg－kx=ma，可得a=g－，可知小球的加速度大小逐渐增大，在B位置继续向上，弹簧弹力为零，小球的加速度始终为重力加速度不变，A正确；根据A选项分析可知小球先做加速度减小的加速运动，再做加速度增大的减速运动，后做加速度不变的减速运动，B错误；无论加速阶段还是减速阶段，小球的位移和时间都不是线性关系，且力也不是恒力，所以Ek－t图像不可能是线性关系图线，C错误；小球在到达B位置前，弹簧弹力对小球做正功，小球的机械能增大，到达B位置继续向上，小球只受重力，机械能守恒，即保持不变，D错误。
7.(多选)(2025·台州六校期中)如图所示，人们用滑道从高处向低处运送货物，可看作质点的货物静止释放，沿滑道运动到圆弧末端Q点过程中克服阻力做的功为440 J。已知货物质量为20 kg，滑道高度h为4 m，且过Q点的切线水平。g取10 m/s2。在货物从P点运动到Q点的过程，下列说法中，正确的是(　 　)
A.重力势能减少了440 J
B.到达Q点时的速度大小为6 m/s
C.机械能减少了440 J
D.重力的功率先减小后增大
【解析】 从P点到Q点，货物下降了4 m，则重力势能减少量为mgh=800 J，A错误；由动能定理得mgh－W阻=mv2－0，可得到达Q点时的速度大小为v=6 m/s，B正确；根据功能关系可知，货物减少的机械能等于克服阻力做的功，减少440 J，C正确；从P点到Q点过程中，货物所受重力不变，其竖直方向的速度先增大后减小，则重力的功率先增大后减小，D错误。
BC
8.如图所示，一部质量为M=1 800 kg的电梯静止在某一楼层，电梯箱下表面和缓冲弹簧上端相距d=7.0 m，此时钢缆突然断裂，夹在电梯导轨上的安全装置立即启动，对电梯施加的阻力恒为Ff=5.5×103 N。已知缓冲弹簧的劲度系数k=2.0×105 N/m，弹簧的弹性势能为Ep=kx2，g取10 m/s2。则在钢缆断裂后(　 　)
A.电梯先处于超重状态，后处于失重状态
B.缓冲弹簧被电梯压缩的最大压缩量为1.0 m
C.电梯在运动过程中的最大加速度约为9.8 m/s2
D.电梯被弹回后离开弹簧上升的最大高度为4.7 m
B
【解析】 在钢缆断裂后，电梯先向下做匀加速直线运动，压缩缓冲弹簧后，随着弹簧弹力的增大，电梯先向下做加速度减小的加速运动，之后向下做加速度增大的减速运动，电梯向下运动的过程，电梯先处于失重状态，后处于超重状态，A错误；设缓冲弹簧被电梯压缩的最大压缩量为xm，根据功能关系可得Mg(d＋xm)=kFf(d＋xm)，代入数据解得xm=1.0 m，B正确；电梯向下运动到最大压缩量瞬间，根据牛顿第二定律可得kxm＋Ff－Mg=Ma，解得a= m/s2≈104 m/s2，C错误；设电梯被弹回后离开弹簧上升的最大高度为h，根据能量守恒定律可得Mg(d－h)=Ff(d＋2xm＋h)，解得h=3.26 m，D错误。
9.如图所示，在水平直轨道上竖直放置一半径R=1 m的圆形光滑轨道和细管弯成的两个半圆组成的反S形光滑轨道，其半径r=0.05 m。两轨道最低点B、D相距L1=4 m，B、D间铺设特殊材料，其动摩擦因数μ1=0.2＋0.2x(x表示DB上一点到B的距离)。一个质量为1 kg、可视为质点的小球P从倾角θ=37°、动摩擦因数为μ3=0.8的斜面上以初动能Ek0沿斜面滑下，经A点无能量损失进入长度L2=3 m、动摩擦因数为μ2=0.2的AB直轨道，然后冲上圆形轨道。小球P释放点到水平轨道的高度h=3 m，圆形轨道最低点B处入、出口靠近且相互错开，不计空气阻力，g取10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8。(提示：可以用F－x图像下的“面积”代表力F做的功)
(1)若小球P恰好通过圆形轨道最高点C，求小球在B点对轨道的压力大小；
【解析】 小球P恰好通过圆形轨道最高点C，则有mg=m，解得vC= m/s，从C到B，根据动能定理有2mgR=mm，解得vB= m/s，在B点，则有FN－mg=m，解得FN=60 N。根据牛顿第三定律，小球在B点对轨道的压力大小为60 N。
【答案】 60 N　
(2)调整释放的初动能Ek0，使小球P离开反S形轨道最高点E后第一次落到水平直轨道上离E点的水平位移大小x=1 m，求初动能Ek0的大小；
【解析】 根据平抛运动规律有4r=gt2，x=vEt，联立解得t=0.2 s，vE=5 m/s，在轨道BD上，有Ff=μ1mg=mg(0.2＋0.2x)=2＋2x，Ff－x关系图像如图所示，


则摩擦力做功为Wf=×4 J=24 J，从初始位置到E，则有mgh－μ3mg－μ2mgL2－Wf－4mgr=m－Ek0，解得Ek0=46.5 J。
【答案】 46.5 J　
(3)调整释放的初动能Ek0，要使小球P整个运动过程中不脱离轨道，且不停在水平轨道AB段上，求Ek0的取值范围。
【解析】 ①若小球P恰好返回到A点处，则有mgh－μ3mg·=0－Ek0，解得Ek0=2 J。所以0≤Ek0≤2 J。②若小球P恰好返回到轨道AD上与O点等高处，则有mgh－μ3mg－μ2mgL2－mgR=0－Ek0，解得Ek0=18 J，由于经过A点，则有mgh－μ3mg－2μ2mgL2=0－Ek0，解得Ek0=14 J，所以14 J≤Ek0≤18 J。③若小球P恰好能到达C点，vC= m/s，则有mgh－μ3mg－μ2mgL2－2mgR=m－Ek0，解得Ek0=33 J。若小球P恰好能到达E点，则有mgh－μ3mg－μ2mgL2－Wf－4mgr=0－Ek0，解得Ek0=34 J。所以33 J≤Ek0≤34 J。综上，0≤Ek0≤2 J或14 J≤Ek0≤18 J或33 J≤Ek0≤34 J。
【答案】 0≤Ek0≤2 J或14 J≤Ek0≤18 J或33 J≤Ek0≤34 J

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