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第八单元
机械振动与机械波
课程标准 核心考点 考情统计
1.通过实验，认识简谐运动的特征，能用公式和图像描述简谐运动 2.通过实验，探究单摆的周期与摆长的定量关系。知道单摆周期与摆长、重力加速度的关系，会用单摆测量重力加速度的大小 3.通过实验，认识受迫振动的特点，了解产生共振的条件及其应用 4.通过观察，认识波的特征。能区别横波和纵波，能用图像描述横波，理解波速、波长和频率的关系 5.知道波的反射和折射现象。通过实验，了解波的干涉与衍射现象 6.通过实验，认识多普勒效应。能解释多普勒效应产生的原因，能列举多普勒效应的应用实例 简谐运动 2024：浙江1月T10
简谐运动的公式和图像 2024：浙江1月T10
单摆及其周期公式 2024：浙江6月T9
机械波、横波的图像 2025：浙江1月T12
2023：浙江1月T6
受迫振动和阻尼振动 2023：浙江6月T10；1月T7
波的反射、折射、干涉、衍射，多普勒效应 2025：浙江1月T12
2024：浙江6月T11；1月T15
2023：浙江6月T11；1月T6
实验：用单摆测量重力 加速度的大小 2025：浙江6月T14.Ⅱ
【学习目标】1.知道简谐运动的概念，掌握简谐运动的特征，理解简谐运动的表达式和图像。
2.知道什么是单摆，熟记单摆的周期公式。
3.理解受迫振动和共振的概念，了解产生共振的条件。
考点一　简谐运动的基本特征
考点二　简谐运动的表达式和图像
考点三　单摆及其周期公式
内
容
索
引
课时作业
第20讲　机械振动
考点四　阻尼振动、受迫振动和共振
1.简谐运动：如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向_______________，这样的运动就是简谐运动。
2.平衡位置：物体在振动过程中____________为零的位置。
3.回复力
(1)定义：使物体在_______________附近做往复运动的力。
(2)方向：总是指向_______________。
考点一　简谐运动的基本特征
平衡位置
回复力
平衡位置
平衡位置
4.简谐运动的特点
－kx
受力 特点 回复力F=________，F(或a)的大小与位移x的大小成_________，方向_________
运动 特点 衡位置时，a、F、x都____________，v____________；远离平衡位置时，a、F、x都____________，v____________(均填“增大”或“减小”)
能量 特点 对同一个振动系统，振幅越大，能量越_________。在运动过程中，动能和势能相互转化，系统的机械能__________
周期性 特征 质点的位移、回复力、加速度和速度随时间做周期性变化，变化周期就是简谐运动的周期T；动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为
对称性 特征 关于平衡位置O对称的两点，速度的大小、动能、势能、相对平衡位置的位移大小相等，由对称点向平衡位置O运动时用时相等
正比
相反
减小
增大
增大
减小
大
守恒
1.简谐运动的平衡位置就是质点所受合力为零的位置。(　 　)
2.做简谐运动的质点，速度增大时，其加速度一定减小。(　 　)
3.振动物体经过半个周期，路程等于2倍振幅；经过个周期，路程等于振幅。(　 　)

√

简谐运动是最简单、最基本的振动，弹簧振子是一种典型的简谐运动。如图甲所示为一个以O点为平衡位置的水平方向的弹簧振子，在M、N两点间做简谐运动，图乙为这个弹簧振子的振动图像。下列说法中，正确的是(　 　)
A.弹簧振子受重力、支持力、弹簧的弹力、回复力
B.t=0.5 s时，弹簧振子的位移为2.5 cm
C.0~1 s时间内，弹簧振子的动能一直增加
D.在t=1 s与t=3 s两个时刻，弹簧振子的回复力不相同
例 1
D
考向一　简谐运动基本物理量的分析
甲 乙
【解析】 回复力是指振动物体所受的总是指向平衡位置的合外力，回复力是效果力，受力分析时不考虑效果力，A错误；弹簧振子在水平方向上做简谐运动，由图乙可得周期T=4 s，位移x随时间t变化的关系为x=5sin cm，当t=0.5 s时，弹簧振子的位移为x= cm≠2.5 cm，B错误；0~1 s时间内，弹簧振子远离平衡位置，速度减小，由Ek=mv2可知动能减小，C错误；在t=1 s与t=3 s两个时刻，位移大小相等，方向相反，所以回复力的大小相等，方向相反，即回复力不相同，D正确。
一弹簧振子做简谐运动，O为平衡位置，当t=0时刻，振子经过O点，t1=0.4 s时，第一次到达M点，t2=0.5 s时振子第二次到达M点，则弹簧振子的周期可能为(　 　)
A.0.6 s B.1.2 s
C.2.0 s D.2.6 s
例 2
【解析】 若振子按如图甲所示的路线从O点开始向右振动，则振子的振动周期为T1=4× s=1.8 s。若振子按如图乙所示路线从O点开始向左振动，M1为与M点关于平衡位置O的对称位置，则振子的振动周期为T2=4× s=0.6 s，B、C、D错误，A正确。
考向二　简谐运动的周期性与对称性
甲 乙
A
1.简谐运动的表达式
x=__________________，ωt＋φ为____________，φ为_____________，ω为圆频率，ω与周期T的关系为ω=。
2.简谐运动的图像
表示做简谐运动的物体的____________随时间变化的规律，是一条正弦函数曲线。
考点二　简谐运动的表达式和图像
Asin(ωt＋φ)
甲　x=Asint　 乙　x=Asin
相位
初相位
位移
(人教版选择性必修第一册改编)已知物体A做简谐运动的表达式xA=3sin cm，物体B做简谐运动的表达式xB=5sin cm，下列说法中，正确的是(　 　)
A.振幅是矢量，A的振幅是6 cm，B的振幅是10 cm
B.周期是标量，A、B振动的周期都是100 s
C.A振动的相位始终超前B振动的相位
D.A振动的频率fA等于B振动的频率fB，均为50 Hz
例 3
【解析】 振幅和周期只有大小没有方向，是标量，根据两物体的振动位移表达式可知，A振动的振幅是3 cm，B振动的振幅是5 cm，A、B振动的周期为TA=TB= s，A、B错误；根据两物体的位移表达式可知，A振动的初相位为，B振动的初相位为，因此两物体振动的相位差为Δφ=，即A振动的相位始终超前B振动的相位，C正确；由于两物体振动的周期相同，因此A、B振动的频率相同，频率大小均为fA=fB= Hz，D错误。
C
(1)某时刻质点速度的大小和方向：曲线上各点切线的斜率的绝对值和正负分别表示各时刻质点的速度大小和方向，速度的方向也可根据下一相邻时刻质点的位移的变化来确定。
(2)某时刻质点的回复力和加速度的方向：回复力总是指向平衡位置，回复力和加速度的方向相同。
要点总结
1.如果细线的长度不可改变，细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与细线的长度相比也可以忽略，这样的装置叫作单摆，如图所示。
考点三　单摆及其周期公式
2.简谐单摆运动的条件：θ＜5°。
3.回复力：F回=mgsin θ=－x=－kx，负号表示回复力F回与位移x的方向相反，故单摆做简谐运动。
4.周期公式：T=2π。
(1)l为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离。
(2)g为当地重力加速度。
注意：当单摆处于月球上时，重力加速度为g月；当单摆处于超重或失重状态时，重力加速度为等效重力加速度。
5.单摆的等时性：单摆的振动周期取决于___________和___________________，与振幅和摆球的质量__________。
注意：对于回复力满足F回=－kx的简谐运动，其振动周期为T=2π。
摆长l
重力加速度g
无关
1.单摆在任何情况下的运动都是简谐运动。(　 　)
2.单摆的振动周期由摆球的质量和摆角共同决定。(　 　)
3.当单摆的摆球运动到最低点时，回复力为零，所受合力为零。(　 　)



一只单摆，在第一个星球表面上的振动周期为T1，在第二个星球表面上的振动周期为T2。若这两个星球的质量之比M1∶M2=4∶1，半径之比R1∶R2=2∶1，则T1∶T2等于(　 　)
A.1∶1 B.2∶1
C.4∶1 D.8∶1
例 4
【解析】 由单摆的周期公式可知T=2π，故，再由=mg，可得g=，可知=1，A正确。
考向一　单摆的周期
A
(2024·浙江6月选考)如图所示，不可伸长的光滑细线穿过质量为0.1 kg的小铁球，两端A、B悬挂在倾角为 30°的固定斜杆上，间距为1.5 m。小球平衡时，A端细线与杆垂直；当小球受到垂直纸面方向的扰动做微小摆动时，等效于悬挂点位于小球重垂线与AB交点的单摆，重力加速度g取10 m/s2，则(　 　)
A.摆角变小，周期变大 B.小球摆动周期约为2 s
C.小球平衡时，A端拉力为 N D.小球平衡时，A端拉力小于B端拉力
例 5
【解析】 根据单摆的周期公式T=2π可知周期与摆角无关，A错误；同一根绳
中，A端拉力等于B端拉力，平衡时对小球受力分析如图所示，可得2FAcos 30°
=mg，解得FA=FB= N，C、D错误；根据几何知识可知摆长为l=
=1 m，周期为T=2π≈2 s，B正确。
考向二　类单摆模型
B
类单摆模型问题
(1)类单摆模型
①等效摆长：等效摆长l'不再是悬点到摆球球心的距离，而是指摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离，摆动圆弧的圆心即为等效单摆的悬点。如图甲所示，小球(半径r R)在光滑圆弧轨道内的摆动可视为单摆，等效摆长l'=R。如图乙所示，等长的两根细线悬吊小球在垂直纸面的竖直平面内摆动，等效摆长l'=lcos θ。
要点总结
甲 乙
②等效重力加速度：对于不同星球表面，有g'=；单摆处于超重或失重状态时，g'=g±a；处于重力场与匀强电场中时，g'=。
(2)类单摆问题的解题方法：确定等效摆长l'及等效重力加速度g'后，利用公式T=2π或分析简谐运动规律求解。
要点总结
1.阻尼振动：由于实际的振动系统都会受到摩擦力、黏滞力等阻碍作用，振幅必然_____________，这种振动称为阻尼振动。
(1)阻尼振动的频率保持不变。
(2)振动系统能量衰减的方式：①由于受到摩擦阻力的作用，振动系统的机械能逐渐转化为____________；②由于振动系统引起邻近介质中各质点的振动，使能量_____________ _________。
2.受迫振动
(1)概念：系统在驱动力作用下的振动。
(2)振动特征：物体做受迫振动达到稳定后，物体振动的频率等于____________的频率，与物体的固有频率_________。
考点四　阻尼振动、受迫振动和共振
逐渐减小
内能
向四周辐射
出去
驱动力
无关
3.共振
(1)概念：当驱动力的频率等于物体的______________时，物体做受迫振动的振幅达到__________的现象。
(2)共振的条件：驱动力的频率等于物体的_______________。
(3)共振的特征：共振时___________最大。
(4)共振曲线(如图所示)。

f=f0时，A=_______，f与f0相差越大，物体做受迫振动的振幅____________。
固有频率
最大
固有频率
振幅
Am
越小
4.简谐运动、阻尼振动、受迫振动和共振的比较
振动 项目　　 简谐运动 阻尼振动 受迫振动 共振
受力情况 受回复力 受回复力和阻力 受驱动力作用 受驱动力作用
振动周 期、频率 由系统本身性质决定，即固有周期T0和固有频率f0 由系统本身性质决定，即固有周期T0和固有频率f0，与简谐运动相同 由驱动力的周期和频率决定，即T=T驱，f=f驱 T驱=T0，f驱=f0
振动能量 振动系统的机械能不变 不断减小 由产生驱动力的物体提供 振动物体获得的能量最大
常见例子 弹簧振子或单摆(θ＜5°) 受阻力的弹簧振子或摆球(θ＜5°) 机械工作时底座发生的振动 共振筛、声音的共鸣等
1.物体做受迫振动时，其振动频率与固有频率有关。(　 　)
2.物体在发生共振时的振动是受迫振动。(　 　)
3.驱动力的频率越大，物体做受迫振动的振幅越大。(　 　)
4.物体做阻尼振动时，振动频率越来越小。(　 　)

√


很多高层建筑都会安装减震耗能阻尼器，用来控制强风或地震导致的振动。台北101大楼使用的阻尼器是重达660吨的调谐质量阻尼器，阻尼器相当于一个巨型质量块。简单说就是将阻尼器悬挂在大楼上方，它的摆动会产生一个反作用力，在建筑物摇晃时往反方向摆动，会使大楼摆动的幅度减小。关于调谐质量阻尼器，下列说法中，正确的是(　 　)
A.阻尼器做的是阻尼振动，其振动频率大于大楼的振动频率
B.阻尼器的振动频率取决于自身的固有频率
C.阻尼器摆动后，摆动方向始终与大楼的振动方向相反
D.阻尼器摆动幅度不受风力大小影响
例 6
【解析】 由题意可知阻尼器做受迫振动，振动频率与大楼的振动频率相同，A错误；阻尼器的振动频率取决于大楼的振动频率，与自身的固有频率无关，B错误；由题意可知，大楼对阻尼器的力与阻尼器对大楼的力为一对相互作用力，根据回复力F=－kx，可知阻尼器摆动后，摆动方向始终与大楼的振动方向相反，C正确；阻尼器的摆动幅度会受到风力大小的影响，D错误。
C
一个单摆做受迫振动，其共振曲线(振幅A与驱动力的频率f的关系)如图所示，则下列说法中，正确的是(　 　)
A.此单摆的固有周期约为0.5 s
B.此单摆的摆长约为1 m
C.若摆长增大，单摆固有频率增大
D.若摆长增大，共振曲线的峰将向右移动
例 7
【解析】 由题图可知，振幅最大时，此单摆的振动频率与固有频率相等，则有f=0.5 Hz，可知此单摆的固有周期为T==2 s，根据单摆周期公式T=2π，可知此单摆的摆长为l=≈1 m，A错误，B正确；若摆长增大，由单摆周期公式T=2π可知，单摆的固有周期增大，则固有频率减小，所以共振曲线的峰将向左移动，C、D错误。
B
课时作业
答案速对
第八单元 第20讲　机械振动 题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 BD AD D AC B C D
题号 8 9 10 11 12 13 答案 C C D B D A 1.(多选)弹簧振子做简谐运动，下列说法中，正确的有(　 　)
A.若位移为负，则速度和加速度必为正
B.若位移为正，则加速度必为负，速度可正可负
C.振子每次通过同一位置时，加速度和速度都相同
D.振子每次通过同一位置时，加速度相同，速度不一定相同
BD
2.(多选)在水平方向做简谐运动的弹簧振子，其质量为m，最大速率为v，则下列说法中，正确的有(　 　)
A.从某时刻起，在半个周期内，弹力做功一定为0
B.从某时刻起，在半个周期内，弹力做的功可能是0到mv2之间的某一个值
C.从某时刻起，在半个周期内，弹力的冲量一定为0
D.从某时刻起，在半个周期内，弹力的冲量可能是0~2mv之间的某一个值
【解析】 弹力做功的大小等于弹性势能的变化量，从某时刻起，在半个周期内，由于位移大小具有对称性，所以弹力做功一定为0，A正确，B错误；对于简谐运动，经过半个周期后速度与之前的速度大小相等、方向相反，从某时刻起(除最大位移处开始计时外)，在半个周期速度变化量一定不为零，若从平衡位置开始计时，则速度的变化量大小最大为2v，根据动量定理可知，弹力的冲量I=Δp=mΔv，所以弹力的冲量大小可能是0~2mv间的某一个值，C错误，D正确。
AD
3.如图甲所示，一个小球与轻弹簧连接套在光滑水平细杆上，在A、B间做简谐运动，O点为AB的中点。以O点为坐标原点，水平向右为正方向建立坐标系，得到小球的振动图像如图乙所示。下列说法中，正确的是(　 　)
A.小球振动的频率是2 Hz
B.t=0.5 s时，小球在A位置
C.t=1 s时，小球经过O点向右运动
D.小球的振动方程是x=10sin(πt)cm
【解析】 小球的振动周期为2 s，频率f= Hz=0.5 Hz，A错误；因为水平向右为正方向，t=0.5 s时，小球在B位置，B错误；t=1 s时，小球经过O点向负方向运动，即向左运动，C错误；由题图乙可得小球的振动方程为x=10sin cm=10sin(πt) cm，D正确。
甲 乙
D
4.(多选)如图所示为某单摆振动的x－t图像，由此图像，下列说法中，正确的有(　 　)
A.在t时刻和(2n＋t)时刻(n取正整数)摆球速度大小相等
B.每个奇数秒时间内摆球所受合力的冲量均相同
C.每分钟摆球通过的路程约18 m
D.摆球做简谐运动的最大加速度可以达到1 m/s2
【解析】 在t时刻和(2n＋t)时刻，摆球所处的位置相同或关于平衡位置对称，其摆球速度大小相同，A正确；第1秒内，摆球由平衡位置运动到一侧最高点，此时合外力冲量大小为m。第3秒内，摆球由平衡位置运动到另一侧最高点，合外力冲量大小为m，但方向不同，B错误；每分钟单摆经历15个周期，每个周期路程约为4A=1.2 m，故每分钟路程为s=4A×15 =18 m，C正确；摆球在最大位移处加速度最大，此时am=gsin θ=g，可知am=0.74 m/s2，D错误。
AC
5.火车在行驶过程中，当车轮经过两根铁轨的接缝时，车轮就受到一次冲击，使装在弹簧上的车厢发生上下振动。若每段铁轨长12.5 m，车厢振动振幅A与火车速度v的关系如图所示，下列说法中，正确的是(　 　)
A.车速为72 km/h时，车厢振动的频率f=5.76 Hz
B.车速为72 km/h时，车厢振动的固有频率f=1.6 Hz
C.车速为108 km/h时，车厢振动的固有频率为f=2.4 Hz
D.车速为108 km/h时，车厢振动的频率为f=1.6 Hz
【解析】 车速为72 km/h=20 m/s时，车厢振动频率为f= Hz=1.6 Hz，此时车厢的振幅最大，说明发生了共振，则车厢振动的固有频率f=1.6 Hz，A错误，B正确；车速为108 km/h=
30 m/s时，车厢振动的频率为f'= Hz=2.4 Hz，车厢的固有频率与驱动力的频率无关，C、D错误。
B
6.(2025·四川卷) 如图所示，甲、乙、丙、丁四个小球用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，从左至右摆长依次增加，小球静止在纸面所示竖直平面内。将四个小球垂直纸面向外拉起一小角度，由静止同时释放。释放后小球都做简谐运动。当小球甲完成2个周期的振动时，小球丙恰好到达与小球甲同侧最高点，同时小球乙、丁恰好到达另一侧最高点。则(　 　)
A.小球甲第一次回到释放位置时，小球丙加速度为零
B.小球丁第一次回到平衡位置时，小球乙动能为零
C.小球甲、乙的振动周期之比为3∶4
D.小球丙、丁的摆长之比为1∶2
C
【解析】 根据单摆周期公式T=2π，可知T丁＞T丙＞T乙＞T甲，设甲的周期为T甲，根据题意可得2T甲==T丙=，可得T丙=2T甲，T乙=T甲，T丁=4T甲，可得T甲∶T乙=3∶4，T丙∶T丁=1∶2，根据单摆周期公式T=2π，结合T丙∶T丁=1∶2，可得小球丙、丁的摆长之比L丙∶L丁=1∶4，C正确，D错误；小球甲第一次回到释放位置时，即经过T甲时间，小球丙到达另一侧最高点，此时速度为零，位移最大，根据a=－可知此时加速度最大，A错误；根据上述分析可得T乙=T丁，小球丁第一次回到平衡位置时，小球乙振动的时间为可知此时小球乙在平衡位置，速度最大，动能最大，B错误。
7.如图所示为甲、乙弹簧振子的振动图像，下列说法中，正确的是(　 　)
A.两弹簧振子的初相位不同
B.甲系统的机械能比乙系统的大
C.甲、乙两个弹簧振子在前2 s内加速度方向相反
D.t=2 s时，甲具有负方向最大速度，乙具有正方向最大位移
【解析】 由题图可知两弹簧振子的周期不相等，初相位相同，A错误；甲的振幅大，由于甲、乙两弹簧振子的质量、两个弹簧劲度系数未知，无法判断甲、乙两系统的机械能大小，B错误；甲、乙两个弹簧振子在前2 s内加速度方向相同，都沿x轴负方向，C错误；x－t图像斜率的绝对值表示速度大小，t=2 s时，甲图像斜率的绝对值最大，且斜率为负，甲具有负方向最大速度，由x－t图像可知此时乙具有正方向最大位移，D正确。
D
8.如图所示，在倾角为α的斜面顶端固定一摆长为L的单摆，单摆在斜面上做小角度摆动，摆球经过平衡位置时的速度为v，重力加速度为g，则以下判断中，正确的是(　 　)
A.T=2π为单摆在斜面上摆动的周期
B.摆球经过平衡位置时受到的回复力大小为F=m
C.若摆球带正电，并加一沿斜面向下的匀强电场，则单摆的振动周期将减小
D.若摆球带正电，并加一垂直斜面向下的匀强磁场，则单摆的振动周期将发生变化
【解析】 单摆在平衡位置时，等效重力加速度为g'=gsin α，所以单摆在斜面上摆动的周期T=2π=2π，A错误；回复力大小与偏离平衡位置位移大小成正比，摆球经过平衡位置时受到的回复力大小为0，B错误；若摆球带正电，并加一沿斜面向下的匀强电场，单摆在平衡位置时，等效重力加速度为g″=gsin α，所以单摆在斜面上摆动的周期T=2π=2π，周期减小，C正确；若摆球带正电，并加一垂直斜面向下的匀强磁场，则摆球摆动过程中洛伦兹力始终垂直速度，不产生回复力的效果，周期不变，D错误。
C
9.如图甲所示，小球在光滑弧面上的A、B之间来回运动。t=0时刻将小球从A点由静止释放，弧面对小球的支持力大小F随时间t变化的曲线如图乙所示，若弧长AB远小于半径，重力加速度g取
10 m/s2，则(　 　)
A.小球运动的周期为0.2π s
B.光滑弧面的半径为0.1 m
C.小球的质量为0.05 kg
D.小球的最大速度约为0.10 m/s
【解析】 小球在一个周期内经过两次最低点，根据题图乙可知，小球的运动周期为0.4π s，A错误；小球在光滑弧面上做简谐运动，因弧长AB远小于小球半径，周期公式T=2π中的L等效为光滑弧面的半径R，代入数据可得R=L=0.4 m，B错误；设小球在光滑弧面上最高点时与其做圆周运动的圆心连线和竖直方向的夹角为θ，小球到达最低点时的速度为v，则在最高点有mgcos θ=F1，在最低点有F2－mg=m，从最高点到最低点由动能定理有mgR(1－cos θ)=mv2，其中F1=0.495 N，F2=0.510 N，联立以上各式解得m=0.05 kg，v= m/s，D错误，C正确。
甲 乙
C
10. (2024·浙江1月选考)如图甲所示，质量相等的小球和点光源，分别用相同的弹簧竖直悬挂于同一水平杆上，间距为l，竖直悬挂的观测屏与小球水平间距为2l，小球和光源做小振幅运动时，在观测屏上可观测小球影子的运动。以竖直向上为正方向，小球和光源的振动图像如图乙所示，则
(　 　)
A.t1时刻小球向上运动
B.t2时刻光源的加速度向上
C.t2时刻小球与影子相位差为π
D.t3时刻影子的位移为5A
【解析】 根据题图乙可知，光源的振动周期和小球的振动周期是相同的，t1时刻小球经过平衡位置向下运动，A错误；t2时刻光源的位置在正向最大位移处，所以回复力方向竖直向下，加速度方向竖直向下，B错误；当小球和光源到达最大位移处，小球的影子的最大位移设为x，示意图如图所示，由几何关系得，即x=5A，D正确；由图可知，小球的振动与影子是时刻同步的，没有相位差，C错误。
甲 乙
D
11.如图所示，AOB为放置在竖直平面内半径为R的光滑圆弧轨道，A、B两点位于圆弧上等高处，弧AB的长度远小于R，在B点和O点之间固定一光滑直轨道，圆弧轨道和直轨道顺滑连接。现将一小球(半径可忽略)由点A静止释放，重力加速度为g，则A→O→B过程小球的运动时间为(　 　)
A.π　 B.　 C.　 D.
【解析】 小球在A→O过程为单摆运动，运动时间为t1=，设弦OB对应的圆心角为θ，根据几何知识可得直导轨OB的长度为OB=2Rsin ，此时直导轨的倾角为，小球的加速度大小为a=gsin ，根据机械能守恒定律可知vB=0，故小球从O点做匀减速直线运动到B点的时间与小球从B点无初速度释放运动到O点的时间相同，即OB=a，解得t2=2，故A→O→B过程小球的运动时间为t=t1＋t2=，B正确。
B
12.如图甲所示，在拉力传感器的下端竖直悬挂一个弹簧振子，拉力传感器可以实时测量弹簧弹力大小。如图乙所示为小球简谐振动时传感器示数随时间变化的图像。下列说法中，正确的是(　 　)
A.小球的质量为0.8 kg，振动的周期为8 s
B.0~2 s内，小球受回复力的冲量大小为0
C.1~2 s和2~3 s内，小球受弹力的冲量相同
D.1~3 s内，小球受弹力的冲量大小为16 N·s，
方向向上
甲 乙
【解析】 根据图像可知，t=1 s时，弹簧弹力最大，为16 N，小球位于最低点；t=3 s时，弹簧弹力最小，为零，小球位于最高点。由对称性可知，小球振动的周期为4 s，小球位于平衡位置时，弹力为F==8 N=mg，解得m=0.8 kg，A错误；小球受到的合外力提供回复力，0~2 s内，小球初末速度不为零且大小相等，而方向相反，则速度变化量不为零，根据动量定理可知回复力的冲量大小不为0，B错误；1~2 s和2~3 s内，平均弹力大小不同，小球受弹力的冲量不同，C错误；1~3 s内，由动量定理得I弹－mgt=0－0，解得I弹=16 N·s，方向向上，D正确。
D
13.如图所示，两个完全相同的弹性小球A和B(均可看作质点)，分别挂在长和L的细线上，重心在同一水平面上、且小球恰好互相接触，把小球A向左拉开一个较小角度(小于5°)后由静止释放，经过多长时间两球发生第2次碰撞(碰撞均为弹性碰撞)(　 　)
A.π B.3π
C.π D.4π
【解析】 两个质量相等的弹性小球做弹性正碰时，碰撞后速度交换，且由单摆周期公式得TA=2π=π，TB=2π，则从释放小球A到第1次相碰经历时间t1=TA=，
从小球B摆起到第2次相碰经历时间t2=TB=π，t=t1＋t2=，A正确。
A第20讲　机械振动
【学习目标】
1.知道简谐运动的概念，掌握简谐运动的特征，理解简谐运动的表达式和图像。
2.知道什么是单摆，熟记单摆的周期公式。
3.理解受迫振动和共振的概念，了解产生共振的条件。
考点一　简谐运动的基本特征
1.简谐运动：如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向　平衡位置　，这样的运动就是简谐运动。
2.平衡位置：物体在振动过程中　回复力　为零的位置。
3.回复力
(1)定义：使物体在　平衡位置　附近做往复运动的力。
(2)方向：总是指向　平衡位置　。
4.简谐运动的特点
受力 特点 回复力F=　－kx　，F(或a)的大小与位移x的大小成　正比　，方向　相反　
运动 特点 衡位置时，a、F、x都　减小　，v　增大　；远离平衡位置时，a、F、x都　增大　，v　减小　(均填“增大”或“减小”)
能量 特点 对同一个振动系统，振幅越大，能量越　大　。在运动过程中，动能和势能相互转化，系统的机械能　守恒　
周期性 特征 质点的位移、回复力、加速度和速度随时间做周期性变化，变化周期就是简谐运动的周期T；动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为
对称性 特征 关于平衡位置O对称的两点，速度的大小、动能、势能、相对平衡位置的位移大小相等，由对称点向平衡位置O运动时用时相等
1.简谐运动的平衡位置就是质点所受合力为零的位置。(　 　)
2.做简谐运动的质点，速度增大时，其加速度一定减小。(　√　)
3.振动物体经过半个周期，路程等于2倍振幅；经过个周期，路程等于振幅。(　 　)
考向一　简谐运动基本物理量的分析
[例1]　简谐运动是最简单、最基本的振动，弹簧振子是一种典型的简谐运动。如图甲所示为一个以O点为平衡位置的水平方向的弹簧振子，在M、N两点间做简谐运动，图乙为这个弹簧振子的振动图像。下列说法中，正确的是(　D　)
甲 乙
A.弹簧振子受重力、支持力、弹簧的弹力、回复力
B.t=0.5 s时，弹簧振子的位移为2.5 cm
C.0~1 s时间内，弹簧振子的动能一直增加
D.在t=1 s与t=3 s两个时刻，弹簧振子的回复力不相同
【解析】 回复力是指振动物体所受的总是指向平衡位置的合外力，回复力是效果力，受力分析时不考虑效果力，A错误；弹簧振子在水平方向上做简谐运动，由图乙可得周期T=4 s，位移x随时间t变化的关系为x=5sin cm，当t=0.5 s时，弹簧振子的位移为x= cm≠2.5 cm，B错误；0~1 s时间内，弹簧振子远离平衡位置，速度减小，由Ek=mv2可知动能减小，C错误；在t=1 s与t=3 s两个时刻，位移大小相等，方向相反，所以回复力的大小相等，方向相反，即回复力不相同，D正确。
考向二　简谐运动的周期性与对称性
[例2]　一弹簧振子做简谐运动，O为平衡位置，当t=0时刻，振子经过O点，t1=0.4 s时，第一次到达M点，t2=0.5 s时振子第二次到达M点，则弹簧振子的周期可能为(　A　)
A.0.6 s B.1.2 s
C.2.0 s D.2.6 s
【解析】 若振子按如图甲所示的路线从O点开始向右振动，则振子的振动周期为T1=4× s=1.8 s。若振子按如图乙所示路线从O点开始向左振动，M1为与M点关于平衡位置O的对称位置，则振子的振动周期为T2=4× s=0.6 s，B、C、D错误，A正确。
甲 乙
考点二　简谐运动的表达式和图像
1.简谐运动的表达式
x=　Asin(ωt＋φ)　，ωt＋φ为　相位　，φ为　初相位　，ω为圆频率，ω与周期T的关系为ω=。
2.简谐运动的图像
表示做简谐运动的物体的　位移　随时间变化的规律，是一条正弦函数曲线。
甲　x=Asint　
乙　x=Asin
[例3]　(人教版选择性必修第一册改编)已知物体A做简谐运动的表达式xA=3sin cm，物体B做简谐运动的表达式xB=5sin cm，下列说法中，正确的是(　C　)
A.振幅是矢量，A的振幅是6 cm，B的振幅是10 cm
B.周期是标量，A、B振动的周期都是100 s
C.A振动的相位始终超前B振动的相位
D.A振动的频率fA等于B振动的频率fB，均为50 Hz
【解析】 振幅和周期只有大小没有方向，是标量，根据两物体的振动位移表达式可知，A振动的振幅是3 cm，B振动的振幅是5 cm，A、B振动的周期为TA=TB= s，A、B错误；根据两物体的位移表达式可知，A振动的初相位为，B振动的初相位为，因此两物体振动的相位差为Δφ=，即A振动的相位始终超前B振动的相位，C正确；由于两物体振动的周期相同，因此A、B振动的频率相同，频率大小均为fA=fB= Hz，D错误。
(1)某时刻质点速度的大小和方向：曲线上各点切线的斜率的绝对值和正负分别表示各时刻质点的速度大小和方向，速度的方向也可根据下一相邻时刻质点的位移的变化来确定。
(2)某时刻质点的回复力和加速度的方向：回复力总是指向平衡位置，回复力和加速度的方向相同。
考点三　单摆及其周期公式
1.如果细线的长度不可改变，细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与细线的长度相比也可以忽略，这样的装置叫作单摆，如图所示。
2.简谐单摆运动的条件：θ＜5°。
3.回复力：F回=mgsin θ=－x=－kx，负号表示回复力F回与位移x的方向相反，故单摆做简谐运动。
4.周期公式：T=2π。
(1)l为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离。
(2)g为当地重力加速度。
注意：当单摆处于月球上时，重力加速度为g月；当单摆处于超重或失重状态时，重力加速度为等效重力加速度。
5.单摆的等时性：单摆的振动周期取决于　摆长l　和　重力加速度g　，与振幅和摆球的质量　无关　。
注意：对于回复力满足F回=－kx的简谐运动，其振动周期为T=2π。
1.单摆在任何情况下的运动都是简谐运动。(　 　)
2.单摆的振动周期由摆球的质量和摆角共同决定。(　 　)
3.当单摆的摆球运动到最低点时，回复力为零，所受合力为零。(　 　)
考向一　单摆的周期
[例4]　一只单摆，在第一个星球表面上的振动周期为T1，在第二个星球表面上的振动周期为T2。若这两个星球的质量之比M1∶M2=4∶1，半径之比R1∶R2=2∶1，则T1∶T2等于(　A　)
A.1∶1 B.2∶1
C.4∶1 D.8∶1
【解析】 由单摆的周期公式可知T=2π，故，再由=mg，可得g=，可知=1，A正确。
考向二　类单摆模型
[例5]　(2024·浙江6月选考)如图所示，不可伸长的光滑细线穿过质量为0.1 kg的小铁球，两端A、B悬挂在倾角为 30°的固定斜杆上，间距为1.5 m。小球平衡时，A端细线与杆垂直；当小球受到垂直纸面方向的扰动做微小摆动时，等效于悬挂点位于小球重垂线与AB交点的单摆，重力加速度g取10 m/s2，则(　B　)
A.摆角变小，周期变大
B.小球摆动周期约为2 s
C.小球平衡时，A端拉力为 N
D.小球平衡时，A端拉力小于B端拉力
【解析】 根据单摆的周期公式T=2π可知周期与摆角无关，A错误；同一根绳中，A端拉力等于B端拉力，平衡时对小球受力分析如图所示，可得2FAcos 30°=mg，解得FA=FB= N，C、D错误；根据几何知识可知摆长为l==1 m，周期为T=2π≈2 s，B正确。
类单摆模型问题
(1)类单摆模型
①等效摆长：等效摆长l'不再是悬点到摆球球心的距离，而是指摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离，摆动圆弧的圆心即为等效单摆的悬点。如图甲所示，小球(半径r R)在光滑圆弧轨道内的摆动可视为单摆，等效摆长l'=R。如图乙所示，等长的两根细线悬吊小球在垂直纸面的竖直平面内摆动，等效摆长l'=lcos θ。
甲 乙
②等效重力加速度：对于不同星球表面，有g'=；单摆处于超重或失重状态时，g'=g±a；处于重力场与匀强电场中时，g'=。
(2)类单摆问题的解题方法：确定等效摆长l'及等效重力加速度g'后，利用公式T=2π或分析简谐运动规律求解。
考点四　阻尼振动、受迫振动和共振
1.阻尼振动：由于实际的振动系统都会受到摩擦力、黏滞力等阻碍作用，振幅必然　逐渐减小　，这种振动称为阻尼振动。
(1)阻尼振动的频率保持不变。
(2)振动系统能量衰减的方式：①由于受到摩擦阻力的作用，振动系统的机械能逐渐转化为　内能　；②由于振动系统引起邻近介质中各质点的振动，使能量　向四周辐射出去　。
2.受迫振动
(1)概念：系统在驱动力作用下的振动。
(2)振动特征：物体做受迫振动达到稳定后，物体振动的频率等于　驱动力　的频率，与物体的固有频率　无关　。
3.共振
(1)概念：当驱动力的频率等于物体的　固有频率　时，物体做受迫振动的振幅达到　最大　的现象。
(2)共振的条件：驱动力的频率等于物体的　固有频率　。
(3)共振的特征：共振时　振幅　最大。
(4)共振曲线(如图所示)。
f=f0时，A=　Am　，f与f0相差越大，物体做受迫振动的振幅　越小　。
4.简谐运动、阻尼振动、受迫振动和共振的比较
振动 项目　　 简谐运动 阻尼振动 受迫振动 共振
受力情况 受回复力 受回复力和阻力 受驱动力作用 受驱动力作用
振动周 期、频率 由系统本身性质决定，即固有周期T0和固有频率f0 由系统本身性质决定，即固有周期T0和固有频率f0，与简谐运动相同 由驱动力的周期和频率决定，即T=T驱，f=f驱 T驱=T0， f驱=f0
振动能量 振动系统的机械能不变 不断减小 由产生驱动力的物体提供 振动物体获得的能量最大
常见例子 弹簧振子或单摆(θ＜5°) 受阻力的弹簧振子或摆球(θ＜5°) 机械工作时底座发生的振动 共振筛、声音的共鸣等
1.物体做受迫振动时，其振动频率与固有频率有关。(　 　)
2.物体在发生共振时的振动是受迫振动。(　√　)
3.驱动力的频率越大，物体做受迫振动的振幅越大。(　 　)
4.物体做阻尼振动时，振动频率越来越小。(　 　)
[例6]　很多高层建筑都会安装减震耗能阻尼器，用来控制强风或地震导致的振动。台北101大楼使用的阻尼器是重达660吨的调谐质量阻尼器，阻尼器相当于一个巨型质量块。简单说就是将阻尼器悬挂在大楼上方，它的摆动会产生一个反作用力，在建筑物摇晃时往反方向摆动，会使大楼摆动的幅度减小。关于调谐质量阻尼器，下列说法中，正确的是(　C　)
A.阻尼器做的是阻尼振动，其振动频率大于大楼的振动频率
B.阻尼器的振动频率取决于自身的固有频率
C.阻尼器摆动后，摆动方向始终与大楼的振动方向相反
D.阻尼器摆动幅度不受风力大小影响
【解析】 由题意可知阻尼器做受迫振动，振动频率与大楼的振动频率相同，A错误；阻尼器的振动频率取决于大楼的振动频率，与自身的固有频率无关，B错误；由题意可知，大楼对阻尼器的力与阻尼器对大楼的力为一对相互作用力，根据回复力F=－kx，可知阻尼器摆动后，摆动方向始终与大楼的振动方向相反，C正确；阻尼器的摆动幅度会受到风力大小的影响，D错误。
[例7]　一个单摆做受迫振动，其共振曲线(振幅A与驱动力的频率f的关系)如图所示，则下列说法中，正确的是(　B　)
A.此单摆的固有周期约为0.5 s
B.此单摆的摆长约为1 m
C.若摆长增大，单摆固有频率增大
D.若摆长增大，共振曲线的峰将向右移动
【解析】 由题图可知，振幅最大时，此单摆的振动频率与固有频率相等，则有f=0.5 Hz，可知此单摆的固有周期为T==2 s，根据单摆周期公式T=2π，可知此单摆的摆长为l=≈1 m，A错误，B正确；若摆长增大，由单摆周期公式T=2π可知，单摆的固有周期增大，则固有频率减小，所以共振曲线的峰将向左移动，C、D错误。

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