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专题五　电场中的功能关系及图像问题
题型一　电场中功能关系的综合问题
电场力做 功的计算 (1)功的定义式 WAB=qE·l·cos α(适用条件：匀强电场) (2)电势差法 WAB=qUAB(适用条件：任何静电场) (3)电势能法 WAB=EpA－EpB(适用条件：任何静电场) (4)动能定理 W电场力＋W其他=ΔEk(适用条件：任何力学过程)
电场中的 常见功能 关系 (1)合外力做的功等于动能的变化，即W合=Ek2－Ek1=ΔEk(动能定理) (适用条件：所有力学系统) (2)重力做的功等于物体重力势能的变化，即WG=Ep1－Ep2=－ΔEp (适用条件：重力场)
电场中的 常见功能 关系 (3)静电力做的功等于电势能的变化，即W电=Ep电1－Ep电2=－ΔEp电 (适用条件：任何静电场) (4)弹簧弹力做的功等于弹性势能的变化，即W弹=Ep1－Ep2=－ΔEp弹 (适用条件：弹簧系统) (5)除了系统内重力和弹簧弹力之外其他力做的总功等于系统机械能的变化，即W其他力=E机2－E机1=ΔE机 (适用条件：所有力学系统)
[例1]　(2025·宁波期末)电子束焊接机是一种先进的焊接技术。电子束焊接机中的电场线分布如图中虚线所示，其中K为阴极，A为阳极，两极之间的距离为h，在同一电场线上有B、C、D三点，C为A、K两极的中点，且BC=CD。在两极之间加上电压为U的高压电。现有一电子在K极附近由静止被加速运动到A极。已知电子电荷量大小为e，下列说法中，正确的是(　D　)
A.A、K之间的电场为匀强电场
B.电子沿电场线由K极到A极过程中电场力做的功为－eU
C.若将电子从C点由静止释放，到达A极时，动能增加为0.5eU
D.电子从D点运动到C点的时间大于其从C点运动到B点的时间
【解析】 根据电场线的分布情况，可以判断A、K之间不是匀强电场，A错误；电子由K沿电场线到A电场力做正功，即电场力做的功W=eU，B错误；由图可知K到C点之间的电场比C点到A的电场强度小，根据W=Fx可知，K到C点与C点到A的位移相等，但K到C点之间的电场力比C点到A的电场力小，所以，K到C点之间的电场力做的功比C点到A的电场力做的功少，即若将电子从C点由静止释放，到达A极时，动能增加大于0.5eU，C错误；电子从D点到C点再到B点的过程中，一直处于加速运动状态，即电子从C点运动到B点的任意时刻的速度大小都大于电子从D点运动到C点的速度大小，又因为位移相同，所以，电子从D点运动到C点的时间大于其从C点运动到B点的时间，D正确。
[例2]　如图所示，两个带等量正电的点电荷分别固定在绝缘水平桌面上的A、B两点，一绝缘圆形细管水平固定在桌面上A、B两点间，且圆形细管圆心O位于A、B连线的中点，细管与AB连线及AB连线的中垂线交点分别为C、E及D、F。一个带负电的小球在细管中按顺时针方向做完整的圆周运动，不计一切摩擦，下列说法中，正确的是(　C　)
A.小球从C点运动到D点的过程中，速度先减小后增大
B.在两个带正电的点电荷产生的电场中，C点的电势比F点的电势低
C.小球在C、E两点的速度大小相等，有相同的电势能
D.小球在D、F两点所受的电场力相同
【解析】 带负电的小球从C点运动到D点的过程中，电场力方向与速度方向的夹角一直是钝角，则电场力一直做负功，所以小球的速度一直减小，A错误；沿电场线方向电势降低，由等量正点电荷的电场线的分布可知φC＞φO＞φF，B错误；由对称性可知φC=φE，则小球在C、E两点的电势能相同，由能量守恒定律可得小球在C、E两点的动能相同，速度大小相等，C正确；等量正点电荷的电场线如图所示，D点电场与F点电场方向相反，因此小球在D、F两点所受的电场力方向相反，D错误。
题型二　电场中的图像问题
考向一　E－x图像
(1)E－x图像为静电场在x轴上的电场强度E随x的变化关系，若规定x轴正方向为电场强度E的正方向，则E＞0，电场强度E沿x轴正方向；E＜0，电场强度E沿x轴负方向。
(2)E－x图线与x轴所围图形的“面积”表示电势差，两点的电势高低根据电场方向判定。在与粒子运动相结合的题目中，可进一步确定粒子的电性、动能变化、电势能变化等情况。
[例3]　真空中有一固定的均匀带正电的球体，其半径为R，场强E沿半径r方向的分布如图所示，静电力常量为k，则(　D　)
A.r1和r2两处电势相等
B.球体表面处电势最高
C.r1和r2两处电势差为E0(r2－r1)
D.该球所带的电荷量Q=
【解析】 由图可知，带正电的球体产生的电场强度方向一直是从球心沿半径向外，由于沿电场线方向电势降低，所以球心处电势最高，r1处的电势高于r2处的电势，A、B错误；E－r图像与横轴所围的面积表示电势差，由图可知，r1和r2两处电势差大于E0(r2－r1)，C错误；球外的电场可以看成是电荷量全部集中于球心处的点电荷产生的电场，则在r2处，有E0=，所以该球体所带的电荷量Q=，D正确。
考向二　φ－x图像
(1)电场强度的大小等于φ－x图像的切线斜率的绝对值，如果图线是曲线，电场为非匀强电场；如果图线是倾斜的直线，电场为匀强电场。切线的斜率为0时沿x轴方向电场强度为0。
(2)由φ－x图像可以直接判断各点电势的高低，并可根据电势高低关系确定电场强度的方向。
(3)由φ－x图像分析电荷移动过程中电势能的变化时，可用公式WAB=qUAB分析WAB的正负，然后做出判断。
[例4]　如图所示，空间中存在沿x轴的静电场，其电势φ沿x轴的分布如图所示，x1、x2、x3、x4是x轴上的四个点，质量为m、带电量为－q的粒子(不计重力)，以初速度v0从O点沿x轴正方向进入电场，关于粒子沿x轴运动的过程，下列说法中正确的是(　C　)
A.粒子在x2点的速度为0
B.从x1到x3点的过程中，粒子的电势能先减小后增大
C.若粒子能到达x4处，则v0的大小至少应为
D.若v0=，则粒子在运动过程中的最大动能为3qφ0
【解析】 图像的斜率的绝对值为电场强度大小，因为沿电场线方向电势降低，所以，沿x轴，在0~x1范围内电场强度沿x轴负方向，在x1~x3范围内电场强度沿x轴正方向，在x3~x4范围内电场强度沿x轴负方向，粒子到达x2处时，电势变化量为0，所以根据公式Ep=qU可知电势能变化量也为0，即电场力做功为0，根据功能关系可知，粒子的动能不变，所以粒子在x2点的速度仍为v0，A错误；x1~x3电场力对带电粒子做负功，电势能一直增大，B错误；由题意可知，若粒子能到达x4处，只需满足粒子能到达x3处，此时由功能关系可得m≥qφ0，由上式解得v0≥，C正确；由题意可知，粒子到达x1处时，速度最大，若v0=，由功能关系可得，粒子从O点运动到x1处的过程中有m＋qφ0=Ek，解得粒子在运动过程中的最大动能Ek=2qφ0，D错误。
考向三　Ep－x图像、Ek－x图像
(1)Ep－x图像
电场力做的功等于电势能的变化量，而电场力做的功就是力对位移的累积，由Ep0－Ep=Fx，得Ep=Ep0－Fx，故Ep－x图像的切线斜率k=，其绝对值等于电场力的大小，正负代表电场力的方向，纵截距表示初始电势能。
(2)Ek－x图像
合力做的功等于动能的变化量，如果带电粒子只受电场力的作用，则不能的变化量就是电场力做的功，由Ek－Ek0=Fx，得Ek=Ek0＋Fx，故Ek－x图像的斜率k=表示电场力，纵截距表示初动能。
[例5]　(多选)一带负电的微粒(电荷量不变，所受重力不计)只在电场力作用下沿x轴正方向运动，其电势能Ep随位移x变化的关系如图所示，其中0~x1段是曲线，x1~x2段是平行于x轴的直线，x2~x3段是倾斜直线，则下列说法中，正确的有(　CD　)
A.0~x1段电场强度逐渐增大
B.0~x1段电势逐渐升高
C.x1~x2段电场强度为零
D.x2~x3段微粒做匀加速直线运动
【解析】 Ep－x图像的斜率表示电场力，由图像可知，0~x1段微粒所受电场力减小，故0~x1段电场强度减小，同理，x1~x2段电场强度为零，A错误，C正确；x2~x3段微粒受到的电场力不变，电势能减少，则动能增加，所以微粒做匀加速直线运动，D正确；0~x1段微粒的电势能逐渐增大，而微粒带负电荷，所以其电势逐渐降低，B错误。
[例6]　(2025·温州期末)如图甲所示，在某电场中建立x坐标轴，A、B为x轴上的两点，其坐标分别为xA、xB。一电荷量为－q(q＞0)的带电粒子仅在电场力作用下沿x轴运动，该粒子的动能Ek随其坐标x变化的关系如图乙所示。下列说法中，正确的是(　B　)
　　
甲 乙
A.A点的场强小于B点的场强
B.A点的场强大小EA=
C.该带电粒子在A点时的电势能比在B点时小
D.A点的电势高于B点的电势
【解析】 根据动能定理可得qEx=ΔEk，可知Ek－x图像的斜率表示k=qE，结合图像可知，A点的场强等于B点的场强，大小为E=，A错误，B正确；由图乙可知，A到B的过程中，动能增大，电场力做正功，电势能减小，故带电粒子在A点时的电势能比在B点时大，C错误；由于A点到B点电场力做正功，则粒子所受电场力的方向从A指向B，由于粒子带负电荷，则电场线方向从B指向A，故A点的电势低于B点的电势，D错误。
考向四　电场分布与v－t图像相结合问题
　　根据v－t图像的速度变化、斜率变化(即加速度的变化)，可确定电荷所受的电场力方向与电场力大小变化情况，进而确定电场的方向、电势的高低及电势能的变化。
[例7]　在光滑绝缘水平面上固定着两个等量点电荷，它们连线的中垂线上有A、B、C三点，如图甲所示。一质量m=0.01 kg、电荷量q=1.0×10－6 C带正电荷的小物块从A点由静止释放，并以此时为计时起点，沿光滑水平面经过B、C两点，其运动过程的v－t图像如图乙所示，其中图线在B点处的斜率最大。根据图像可以确定(　D　)
　　
甲 乙
A.两点电荷是负电荷
B.B点是A、C连线的中点
C.UBC=UAB
D.中垂线上B点电场强度最大，为EB=2.0×104 N/C
【解析】 由v－t图像可知，小物块从A到C的过程，速度一直增大，则动能一直增大，电场力一直做正功，由于小物块带正电，所以两点电荷是正电荷，A错误；由图像可知，小球经过A、B、C三点时速度分别为vA=0，vB=4 m/s，vC=7 m/s，则小物块从A到B的过程，根据动能定理得qUAB=mm=0.08 J，从B到C的过程，根据动能定理得qUBC=mm=0.165 J，由于小物块带正电，即q＞0，可得UBC＞UAB，C错误；v－t图像与时间轴所围的面积表示位移，由图像可知，xAB＜×4×7 m=14 m，xBC＞×(4＋7)×5 m= m，则xAB＜xBC，所以B点不是A、C连线的中点，B错误；v－t图像的斜率表示加速度，由图像可知，小物块在B点的加速度最大，则电场强度也最大，由图像可知，小球在B点的加速度aB= m/s2=2 m/s2，根据牛顿第二定律得qEB=maB，解得B点的电场强度EB=2.0×104 N/C，D正确。
[例8]　(2025·金华十校联考)如图所示，两个等量负点电荷固定在P、Q两点，O为PQ的中点，a、b关于O对称。将一电子由a点静止释放，电子由a运动到b的过程中，下列关于电子的速度v、加速度a、机械能E、电势能Ep与运动时间t或位移x的关系图像，可能正确的是(　A　)
A. B.
C. D.
【解析】 在等量负点电荷的连线上，从a到b的过程中电场强度先减小后反向增大，从a到b，电势先增大后减小，a、b两点关于O点对称，a、b两点电势相等。电子的加速度先减小后反向增大，电子的速度先增大后减小，a、b两点电势相等，所以从a到b，电场力做的功为0，故电子在b位置时速度为0，A正确；设P、Q所带电荷量均为q，二者间的距离为R，a到P的距离为r，则可得电子所受库仑力的大小F=，又F=ma，判断可知加速度随位移不是均匀变化的，B错误；电场力先做正功后做负功，电势能先减小后增大，根据能量守恒可知，机械能先增大后减小，C、D错误。(共35张PPT)
题型二　电场中的图像问题
题型一　电场中功能关系的综合问题
课时作业
内
容
索
引
专题五　电场中的功能关系及图像问题
题型一　电场中功能关系的综合问题
电场力做 功的计算 (1)功的定义式
WAB=qE·l·cos α(适用条件：匀强电场)
(2)电势差法
WAB=qUAB(适用条件：任何静电场)
(3)电势能法
WAB=EpA－EpB(适用条件：任何静电场)
(4)动能定理
W电场力＋W其他=ΔEk(适用条件：任何力学过程)
电场中的 常见功能 关系 (1)合外力做的功等于动能的变化，即W合=Ek2－Ek1=ΔEk(动能定理)
(适用条件：所有力学系统)
(2)重力做的功等于物体重力势能的变化，即WG=Ep1－Ep2=－ΔEp
(适用条件：重力场)
电场中的 常见功能 关系 (3)静电力做的功等于电势能的变化，即W电=Ep电1－Ep电2=－ΔEp电
(适用条件：任何静电场)
(4)弹簧弹力做的功等于弹性势能的变化，即W弹=Ep1－Ep2=－ΔEp弹
(适用条件：弹簧系统)
(5)除了系统内重力和弹簧弹力之外其他力做的总功等于系统机械能的变化，即
W其他力=E机2－E机1=ΔE机
(适用条件：所有力学系统)
【解析】 根据电场线的分布情况，可以判断A、K之间不是匀强电场，
A错误；电子由K沿电场线到A电场力做正功，即电场力做的功W=eU，
B错误；由图可知K到C点之间的电场比C点到A的电场强度小，根据W=Fx可知，K到C点与C点到A的位移相等，但K到C点之间的电场力比C点到A的电场力小，所以，K到C点之间的电场力做的功比C点到A的电场力做的功少，即若将电子从C点由静止释放，到达A极时，动能增加大于0.5eU，C错误；电子从D点到C点再到B点的过程中，一直处于加速运动状态，即电子从C点运动到B点的任意时刻的速度大小都大于电子从D点运动到C点的速度大小，又因为位移相同，所以，电子从D点运动到C点的时间大于其从C点运动到B点的时间，D正确。
例 1
(2025·宁波期末)电子束焊接机是一种先进的焊接技术。电子束焊接机中的电场线分布如图中虚线所示，其中K为阴极，A为阳极，两极之间的距离为h，在同一电场线上有B、C、D三点，C为A、K两极的中点，且BC=CD。在两极之间加上电压为U的高压电。现有一电子在K极附近由静止被加速运动到A极。已知电子电荷量大小为e，下列说法中，正确的是(　 　)
A.A、K之间的电场为匀强电场
B.电子沿电场线由K极到A极过程中电场力做的功为－eU
C.若将电子从C点由静止释放，到达A极时，动能增加为0.5eU
D.电子从D点运动到C点的时间大于其从C点运动到B点的时间
D
【解析】 带负电的小球从C点运动到D点的过程中，电场力方向与速度方向的夹角一直是钝角，则电场力一直做负功，所以小球的速度一直减小，A错误；沿电场线方向电势降低，由等量正点电荷的电场线的分布可知φC＞φO＞φF，B错误；由对称性可知φC=φE，则小球在C、E两点的电势能相同，由能量守恒定律可得小球在C、E两点的动能相同，速度
大小相等，C正确；等量正点电荷的电场线如图所示，D点电场与F点
电场方向相反，因此小球在D、F两点所受的电场力方向相反，D错误。
例 2
如图所示，两个带等量正电的点电荷分别固定在绝缘水平桌面上的A、B两点，一绝缘圆形细管水平固定在桌面上A、B两点间，且圆形细管圆心O位于A、B连线的中点，细管与AB连线及AB连线的中垂线交点分别为C、E及D、F。一个带负电的小球在细管中按顺时针方向做完整的圆周运动，不计一切摩擦，下列说法中，正确的是(　 　)
A.小球从C点运动到D点的过程中，速度先减小后增大
B.在两个带正电的点电荷产生的电场中，C点的电势比F点的电势低
C.小球在C、E两点的速度大小相等，有相同的电势能
D.小球在D、F两点所受的电场力相同
C
题型二　电场中的图像问题
(1)E－x图像为静电场在x轴上的电场强度E随x的变化关系，若规定x轴正方向为电场强度E的正方向，则E＞0，电场强度E沿x轴正方向；E＜0，电场强度E沿x轴负方向。
(2)E－x图线与x轴所围图形的“面积”表示电势差，两点的电势高低根据电场方向判定。在与粒子运动相结合的题目中，可进一步确定粒子的电性、动能变化、电势能变化等情况。
考向一　E－x 图像
例 3
真空中有一固定的均匀带正电的球体，其半径为R，场强E沿半径r方向的分布如图所示，静电力常量为k，则(　 　)
A.r1和r2两处电势相等
B.球体表面处电势最高
C.r1和r2两处电势差为E0(r2－r1)
D.该球所带的电荷量Q=
【解析】 由图可知，带正电的球体产生的电场强度方向一直是从球心沿半径向外，由于沿电场线方向电势降低，所以球心处电势最高，r1处的电势高于r2处的电势，A、B错误；E－r图像与横轴所围的面积表示电势差，由图可知，r1和r2两处电势差大于E0(r2－r1)，C错误；球外的电场可以看成是电荷量全部集中于球心处的点电荷产生的电场，则在r2处，有E0=，所以该球体所带的电荷量Q=，D正确。
D
(1)电场强度的大小等于φ－x图像的切线斜率的绝对值，如果图线是曲线，电场为非匀强电场；如果图线是倾斜的直线，电场为匀强电场。切线的斜率为0时沿x轴方向电场强度为0。
(2)由φ－x图像可以直接判断各点电势的高低，并可根据电势高低关系确定电场强度的方向。
(3)由φ－x图像分析电荷移动过程中电势能的变化时，可用公式WAB=qUAB分析WAB的正负，然后做出判断。
考向二　φ－x图像
例 4
如图所示，空间中存在沿x轴的静电场，其电势φ沿x轴的分布如图所示，x1、x2、x3、x4是x轴上的四个点，质量为m、带电量为－q的粒子(不计重力)，以初速度v0从O点沿x轴正方向进入电场，关于粒子沿x轴运动的过程，下列说法中正确的是(　 　)
A.粒子在x2点的速度为0
B.从x1到x3点的过程中，粒子的电势能先减小后增大
C.若粒子能到达x4处，则v0的大小至少应为
D.若v0=，则粒子在运动过程中的最大动能为3qφ0
C
【解析】 图像的斜率的绝对值为电场强度大小，因为沿电场线方向电势降低，所以，沿x轴，在0~x1范围内电场强度沿x轴负方向，在x1~x3范围内电场强度沿x轴正方向，在x3~x4范围内电场强度沿x轴负方向，粒子到达x2处时，电势变化量为0，所以根据公式Ep=qU可知电势能变化量也为0，即电场力做功为0，根据功能关系可知，粒子的动能不变，所以粒子在x2点的速度仍为v0，A错误；x1~x3电场力对带电粒子做负功，电势能一直增大，B错误；由题意可知，若粒子能到达x4处，只需满足粒子能到达x3处，此时由功能关系可得m≥qφ0，由上式解得v0≥，C正确；由题意可知，粒子到达x1处时，速度最大，若v0=，由功能关系可得，粒子从O点运动到x1处的过程中有m＋qφ0=Ek，解得粒子在运动过程中的最大动能Ek=2qφ0，D错误。
(1)Ep－x图像
电场力做的功等于电势能的变化量，而电场力做的功就是力对位移的累积，由Ep0－Ep=Fx，得Ep=Ep0－Fx，故Ep－x图像的切线斜率k=，其绝对值等于电场力的大小，正负代表电场力的方向，纵截距表示初始电势能。
(2)Ek－x图像
合力做的功等于动能的变化量，如果带电粒子只受电场力的作用，则不能的变化量就是电场力做的功，由Ek－Ek0=Fx，得Ek=Ek0＋Fx，故Ek－x图像的斜率k=表示电场力，纵截距表示初动能。
考向三　Ep－x图像、Ek－x图像
例 5
(多选)一带负电的微粒(电荷量不变，所受重力不计)只在电场力作用下沿x轴正方向运动，其电势能Ep随位移x变化的关系如图所示，其中0~x1段是曲线，x1~x2段是平行于x轴的直线，x2~x3段是倾斜直线，则下列说法中，正确的有(　 　)
A.0~x1段电场强度逐渐增大
B.0~x1段电势逐渐升高
C.x1~x2段电场强度为零
D.x2~x3段微粒做匀加速直线运动
【解析】 Ep－x图像的斜率表示电场力，由图像可知，0~x1段微粒所受电场力减小，故0~x1段电场强度减小，同理，x1~x2段电场强度为零，A错误，C正确；x2~x3段微粒受到的电场力不变，电势能减少，则动能增加，所以微粒做匀加速直线运动，D正确；0~x1段微粒的电势能逐渐增大，而微粒带负电荷，所以其电势逐渐降低，B错误。
CD
【解析】 根据动能定理可得qEx=ΔEk，可知Ek－x图像的斜率表示k=qE，结合图像可知，A点的场强等于B点的场强，大小为E=，A错误，B正确；由图乙可知，A到B的过程中，动能增大，电场力做正功，电势能减小，故带电粒子在A点时的电势能比在B点时大，C错误；由于A点到B点电场力做正功，则粒子所受电场力的方向从A指向B，由于粒子带负电荷，则电场线方向从B指向A，故A点的电势低于B点的电势，D错误。
例 6
(2025·温州期末)如图甲所示，在某电场中建立x坐标轴，A、B为x轴上的两点，其坐标分别为xA、xB。一电荷量为－q(q＞0)的带电粒子仅在电场力作用下沿x轴运动，该粒子的动能Ek随其坐标x变化的关系如图乙所示。下列说法中，正确的是(　 　)
A.A点的场强小于B点的场强
B.A点的场强大小EA=
C.该带电粒子在A点时的电势能比在B点时小
D.A点的电势高于B点的电势
甲 乙
B
　　根据v－t图像的速度变化、斜率变化(即加速度的变化)，可确定电荷所受的电场力方向与电场力大小变化情况，进而确定电场的方向、电势的高低及电势能的变化。
考向四　电场分布与v－t图像相结合问题
例 7
在光滑绝缘水平面上固定着两个等量点电荷，它们连线的中垂线上有A、B、C三点，如图甲所示。一质量m=0.01 kg、电荷量q=1.0×10－6 C带正电荷的小物块从A点由静止释放，并以此时为计时起点，沿光滑水平面经过B、C两点，其运动过程的v－t图像如图乙所示，其中图线在B点处的斜率最大。根据图像可以确定(　 　)
A.两点电荷是负电荷
B.B点是A、C连线的中点
C.UBC=UAB
D.中垂线上B点电场强度最大，为EB=2.0×104 N/C
甲 乙
D
【解析】 由v－t图像可知，小物块从A到C的过程，速度一直增大，则动能一直增大，电场力一直做正功，由于小物块带正电，所以两点电荷是正电荷，A错误；由图像可知，小球经过A、B、C三点时速度分别为vA=0，vB=4 m/s，vC=7 m/s，则小物块从A到B的过程，根据动能定理得qUAB=mm=0.08 J，从B到C的过程，根据动能定理得qUBC= mm=0.165 J，由于小物块带正电，即q＞0，可得UBC＞UAB，C错误；v－t图像与时间轴所围的面积表示位移，由图像可知，xAB＜×4×7 m=14 m，xBC＞×(4＋7)×
5 m= m，则xAB＜xBC，所以B点不是A、C连线的中点，B错误；v－t图像的斜率表示加速度，由图像可知，小物块在B点的加速度最大，则电场强度也最大，由图像可知，小球在B点的加速度aB= m/s2=2 m/s2，根据牛顿第二定律得qEB=maB，解得B点的电场强度EB=2.0×104 N/C，D正确。
【解析】 在等量负点电荷的连线上，从a到b的过程中电场强度先减小后反向增大，从a到b，电势先增大后减小，a、b两点关于O点对称，a、b两点电势相等。电子的加速度先减小后反向增大，电子的速度先增大后减小，a、b两点电势相等，所以从a到b，电场力做的功为0，故电子在b位置时速度为0，A正确；设P、Q所带电荷量均为q，二者间的距离为R，a到P的距离为r，则可得电子所受库仑力的大小F=，又F=ma，判断可知加速度随位移不是均匀变化的，B错误；电场力先做正功后做负功，电势能先减小后增大，根据能量守恒可知，机械能先增大后减小，C、D错误。
例 8
(2025·金华十校联考)如图所示，两个等量负点电荷固定在P、Q两点，O为PQ的中点，a、b关于O对称。将一电子由a点静止释放，电子由a运动到b的过程中，下列关于电子的速度v、加速度a、机械能E、电势能Ep与运动时间t或位移x的关系图像，可能正确的是(　 　)
A. B. C. D.
A
课时作业
答案速对
第九单元 专题五　电场中的功能关系及图像问题 题号 1 2 3 4 5 6
答案 B B D D BC C
题号 7 8 9 10 11 答案 D C A C C 1.如图所示，在水平向右的匀强电场中，质量为m的带电小球以初速度v从M点竖直向上运动，通过N点时，速度大小为2v，方向与电场方向相反，则小球从M运动到N的过程中(　 　)
A.动能增加mv2
B.机械能增加2mv2
C.重力势能增加mv2
D.电势能增加2mv2
【解析】 带电小球以初速度v从M运动到N的过程中，竖直方向上只受重力，水平方向上只受电场力，到达N点时，竖直方向的速度为0，由运动学公式有0－v2=－2gh，所以重力势能增加量ΔEpG=mgh=mv2，水平方向上有2x=(2v)2－0，所以电势能减少量ΔEp电=qEx=m(2v)2=2mv2，C、D错误；减少的电势能全部转化为小球的机械能，所以机械能增加了2mv2，B正确；小球的动能增加量ΔEk=m(2v)2－mv2=mv2，A错误。
B
2.(2025·嘉兴期中)关于如图所示的电场中的两点A、B，下列说法中正确的是(　 　)
A.B点的电场强度比A点大
B.B点电势比A点电势高
C.正点电荷从A点移到B点过程中机械能守恒
D.正点电荷从A点移到B点过程中电势能减小
【解析】 根据电场线的疏密程度可知，B点的电场强度比A点小，A错误；根据沿电场方向电势降低，可知B点电势比A点电势高，B正确；正点电荷从A点移到B点过程中，有WAB=qUAB＜0，可知电场力做负功，正点电荷的机械能减小，电势能增加，C、D错误。
B
3.(2025·海南卷)某静电场中电势φ在x轴上的分布如图所示，图线关于φ轴对称，M、P、N是x轴上的三点，OM=ON；有一电子从M点静止释放，仅受沿x轴方向的电场力作用，下列说法中，正确的是(　 　)
A.P点电场强度方向沿x轴负方向
B.M点的电场强度小于N点的电场强度
C.电子在P点的动能小于在N点的动能
D.电子在M点的电势能大于在P点的电势能
【解析】 由图可知在x正半轴沿＋x方向电势降低，且电子仅受沿x轴方向的电场力作用，则电场强度方向沿x正方向，A错误；φ－x图像斜率表示电场强度，由图可知M点的电场强度大小等于N点的电场强度，方向相反，B错误；电子在电势低处电势能大，故电子在P点的电势能小于在N点的电势能，根据能量守恒可知，电子在P点的动能大于在N点的动能，C错误；电子在电势低处电势能大，故电子在M点的电势能大于在P点的电势能，D正确。
D
4.如图甲所示，电子仅在电场力作用下沿x轴正方向运动，经过A、B、C三点，已知xC－xB=xB－xA。该电子的电势能Ep随坐标x变化的关系如图乙所示，下列说法中，正确的是(　 　)
A.A点的电势高于B点的电势
B.电子在A点的速度大于在B点的速度
C.A点的电场强度小于B点的电场强度
D.电子从A到B的过程中静电力做的功大于从B到C的过程中静电力做的功
D
甲 乙
【解析】 电子从A到C电势能逐渐减小，可知电势逐渐升高，则电场在x坐标轴上电场强度方向沿x轴负方向，而沿电场方向电势逐渐降低，可知A点电势低于B点电势，A错误；电子仅在电场力作用下沿x轴正方向运动，只有电场力做功，因电势能逐渐减小，则动能逐渐增大，即电子在A点的速度小于在B点的速度，B错误；Ep－x图像的斜率等于电场力，可知从A到B电子受电场力逐渐减小，场强逐渐减小，可知A点电场强度大于B点电场强度，C错误；因从A到B的电场力大于从B到C的电场力，根据W=Fx可知，电子从A运动到B电场力做的功大于从B运动到C电场力做的功，D正确。
5.(多选)如图所示，有一均匀带正电的圆环，半径为R。以圆环的圆心为坐标原点，以垂直于圆面向右为 x轴正方向，建立一维坐标系。带负电的粒子以一定的初速度由坐标原点沿x轴正方向运动，运动过程中仅受静电力作用。设无穷远处为零电势点。下列说法中，正确的有(　 　)
A.在坐标原点处的电势为0
B.带电粒子在运动过程中，电势能和动能之和保持不变
C.带电粒子的运动可能为往复运动
D.带电粒子从坐标原点开始在沿x轴正方向运动的过程中，所受静电力一定先增大后减小
BC
【解析】 对x轴上任意一点进行分析，根据微元法和对称性对电场强度叠加，可知x轴的正半轴上所有点的电场方向都沿正方向，x轴的负半轴上所有点的电场方向都沿负方向，由于沿着电场线方向电势降低，且无穷远处为零电势点，所以在坐标原点处的电势最大且大于0，A错误；由于带电粒子运动过程中只受静电力，故只有静电力做功，总能量在电势能和动能之间转化，带电粒子的电势能和动能之和保持不变，B正确；由于粒子与圆环带异种电荷，故粒子远离圆环时，静电力做负功，而粒子靠近圆环时，静电力做正功，当粒子速度减小到0时，会反向运动，所以带电粒子可能做往复运动，C正确；可以把圆环在x轴产生的电场看成等量同种点电荷的中垂线上的电场，其特点是电场强度先增大后减小，故带电粒子从坐标原点开始在沿x轴正方向运动的过程中，所受静电力与带电粒子的初速度有关系，可能是先增大后减小，也可能是一直增大，D错误。
6.在O点处固定一个正点电荷，P点在O点左上方。从P点由静止释放一个带电的小
球，小球仅在重力和电场力作用下在竖直面内运动，其一段轨迹如图所示。M、N
是轨迹上的两点，OP ＞ OM = ON，则小球(　 　)
A.带负电荷
B.在M点的机械能小于在N点的机械能
C.在P点的电势能小于在N点的电势能
D.从M点运动到N点的过程中，电场力始终不做功
【解析】 带电小球所受的合力指向轨迹的凹侧方向，由图可知，小球所受电场力的方向大致指向左上方，所以小球带正电，A错误；由于OP ＞ OM = ON，根据正点电荷的电势分布情况可知φM=φN＞φP，根据Ep=qφ，可知EpP＜EpM=EpN，带正电的小球仅在重力和电场力作用下在竖直面内运动，则小球的电势能和机械能之和不变，带正电的小球在M点的电势能等于在N点的电势能，由能量守恒定律可知，带正电的小球在M点的机械能等于在N点的机械能，B错误，C正确；从M点运动到N点的过程中，根据电场力与运动方向的夹角，刚开始夹角为钝角，做负功，后来变为锐角，做正功，故电场力先做负功后做正功，D错误。
C
7.(2025·平湖期中)水平光滑绝缘桌面上方空间存在着沿x轴方向的电场，将一个质量为m、电荷量为－q可视为点电荷的小球从坐标原点O静止释放，其加速度a随位置x变化的图像如图所示，设小球在运动过程中电荷不发生变化，下列说法中，正确的是(　 　)
A.该电场为匀强电场
B.该电场的方向沿x轴正方向
C.小球运动到x0位置时的速率为
D.从O到x0的过程，粒子的电势能减小了2ma0x0
【解析】 根据牛顿第二定律，可得qE=ma，由图像知a＞0且不断减小，q＜0，故电场为非匀强电场，方向沿x轴负方向，A、B错误；由v2=2ax，结合图像中图线与横轴的面积的物理意义，可得v2=2×x0，则小球运动到x0位置时的速率v=2，C错误；依题意，从O到x0的过程，电场力做正功，粒子的动能增加，电势能减小，可得ΔEp=mv2=2ma0x0，D正确。
D
8.为了测定某一平行于纸面的匀强电场的场强，某同学进行了如下操作：取电场内某一位置为坐标原点O，建立x轴，选取x轴上到O点距离为r的P点，以O为圆心、r为半径作圆，如图甲所示，从P点起沿圆周逆时针测量圆上各点的电势φ和转过的角度θ，可以用此数据绘制φ－θ图，当半径r分别取r0、2r0、3r0时，分别绘制出如图乙所示的三条曲线，三条曲线均在θ=θ0时达到最大值，最大值分别为4φ0、3φ0、2φ0。下列说法中，正确的是(　 　)
A.曲线①对应的r取值为r0
B.电场方向沿x轴正方向
C.坐标原点O的电势为φ0
D.电场强度的大小为
甲 乙
【解析】 沿电场方向电势降低最快，在匀强电场中表现为距离相同的两点的连线沿电场方向时电势差最大，根据图像可知，电场方向与x轴负方向成θ0角，B错误；根据图像可知，曲线①的峰值最大，则曲线①对应的r最大，为3r0，A错误；曲线③的最大值为2φ0，最小值为0，对应的两点与坐标原点O在一条直线上，且O点与这两点距离相等，因为是匀强电场，故坐标原点O的电势φ= =φ0，C正确；曲线③对应的半径为r0，则电场强度的大小E=，D错误。
C
9.(2025·衢州期中)真空中有带电荷量分别为＋4Q和－Q的A、B两个点电荷固定在x轴上，其中A的坐标xA=－d，B的坐标xB=0，如图所示，规定x轴正方向为电场强度的正方向，无穷远处为零电势点。现将一个带负电荷的试探电荷C从坐标a处(0＜a＜d)静止释放，用Ep和Ek分别表示试探电荷C的电势能和动能，x轴正半轴上各点的电场强度E和电势φ随x变化。下列图像中，正确的是(　 　)
A
A. B.
C. D.
【解析】 根据电势决定式φ=，由于电势是标量，设x0(x0＞0)处的电势为0，得0=，解得x0=，故可知当0＜x＜时，φ＜0，当x＞时φ＞0，对φ=关于x求导，且令φ'=0，得x=d，所以φ在x=d处取最大值，A正确；试探电荷的受力存在一个转折点，即吸引力和排斥力平衡点，设该点坐标为x1(x1＞0)，根据，解得x1=d，可知电场强度为0的点位于x轴正半轴上距离坐标原点为d的点，B错误；从静止释放到x1=d的位置，电场力做正功，动能增大，过了x1=d的位置再往正方向运动时，电场力做负功，动能减小，C错误；从静止释放到x1=d的位置，电场力做正功，电势能减小，过了x1=d的位置再往正方向运动时，电场力做负功，电势能增大，故 x1=d是电势能的最低点，但无穷远处电势趋于0，故无穷远处电势能趋于0，不会存在大于0的情况，D错误。
10.如图甲所示，在粗糙绝缘的水平地面上，一质量m=1 kg的带正电荷小滑块(可视为质点)在x=1 m处以v0=2 m/s的初速度沿x轴正方向运动，滑块与地面间的动摩擦因数μ=0.05。在x=0及x=5 m处分别放有电荷量为Q1和Q2的两个点电荷，其电性均未知。滑块在不同位置具有的电势能Ep如图乙所示，P点是图线最低点；虚线AB是图像在x=1 m处的切线，g取10 m/s2。下列说法中，正确的是(　 　)
A.滑块在x=3 m处所受合外力为0
B.两个点电荷均带正电，且|Q1|＜|Q2|
C.滑块向右一定可以经过x=4 m处的位置
D.滑块向右运动过程中，速度始终减小
C
甲 乙
【解析】 Ep－x图像斜率的绝对值表示滑块所受电场力的大小，滑块在x=3 m处所受电场力为0，所受合外力f=μmg=0.5 N，A错误；滑块在x=3 m处所受电场力为0，电场强度为0，则k=k，由于r1＞r2，所以Q1＞Q2，滑块在x=3 m处电势能最低，因为滑块带正电，所以该处电势最低，易得两场源电荷均带正电，B错误；由图可知，滑块在x=1 m处和x=4 m处电势能相等，根据能量守恒定律可知，若滑块能够经过x=4 m处，则应满足Ek0≥Wf，由于初始动能Ek0=m× 1×22=2 J，摩擦力做的功Wf=fΔx=0.5×3 J=1.5 J所以滑块一定可以经过x=4 m处的位置，C正确；由图像斜率可知滑块在x=1 m处所受电场力大小为1 N，大于其所受滑动摩擦力，合力方向与运动方向相同，所以刚开始物块做加速运动，D错误。
11.如图所示，用绝缘支架将带电荷量为＋Q的小球a固定在O点，一粗糙绝缘直杆与水平方向的夹角θ=30°，直杆与小球a位于同一竖直面内，杆上有A、B、C三点，C与O两点位于同一水平线上，B为AC的中点，OA=OC=L。小球b的质量为m，带电荷量为－q，套在直杆上，并从A点由静止开始下滑，第一次经过B点时速度是v，运动到C点时速度为0。在＋Q产生的电场中取C点的电势为0，重力加速度为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列说法中，正确的是(　 　)
A.小球b经过B点时加速度为0
B.小球b从A点到C点过程中产生的内能为mgL
C.小球b的电势能最小值为－mv2
D.小球b到C点后又从C点返回到A点
C
【解析】 根据几何关系有AC=2OAcos 30°=L，小球b从A点到C点过程中，根据动能定理有mgxACsin 30°－Wf=0，解得小球b从A点到C点过程中产生的内能Q=Wf=mgL，B错误；小球b从A点到B点过程中，库仑力逐渐增大，摩擦力逐渐增大，小球b从B点到C点过程中，库仑力逐渐减小，摩擦力逐渐减小，由于mgxACsin 30°－xAC=0，知=mgsin 30°，即小球b的重力沿直杆向下的分力等于小球b从A点到C点过程中受到的平均摩擦力，B点处小球b受到的摩擦力最大，则小球b的重力沿直杆向下的分力小于B点处小球b受到的摩擦力，小球b经过B点时加速度不为0，A错误；B点离小球a最近，B点的电势最高，小球b的电势能最小，根据对称性有WfAB= WfBC=Wf，小球b从B点到C点过程中，根据动能定理，mgxBCsin 30°－WfBC＋UBC(－q)=0－mv2，其中UBC=φB－φC=φB，小球b的电势能最小值Ep=φB·(－q)=－mv2，C正确；从C点返回到A点需克服摩擦力、重力做功，C点速度为零，A、C两点电势相等，故小球b到C点后不能从C点返回到A点，D错误。

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