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青海西宁市大通回族土族自治县第二完全中学2025~2026学年高一第二学期期中教学质量检测数学试题
一、单选题
1．的虚部为（ ）
A．4 B． C． D．2
2．已知向量，若，则（ ）
A． B． C．4 D．9
3．已知的内角，，的对边分别为，，，，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图，用斜二测画法作出的直观图，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知棱台的上、下底面面积分别是1，4，高为3，则该棱台的体积是（ ）
A．3 B．7 C．9 D．21
6．已知复数，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．已知为单位向量，，，则在上的投影向量的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，为了测量某楼的高度，测量人员选取了与该楼AB在同一铅垂面内的楼CD，B，C在同一水平直线上，现测得，在楼底B点处测得楼CD的顶点D的仰角为，在点D处测得楼AB的顶点A的仰角为，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．正四棱柱的侧面都是正方形
B．棱台的侧棱延长后交于一点
C．正六棱锥的侧面都是全等的等腰三角形
D．四面体的每个侧面都是等边三角形
10．已知复数，，为的共轭复数，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．为实数 B．
C．若，则 D．
11．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则是锐角三角形
C．若，，，则有两解
D．若的面积为S，且，则
三、填空题
12．若从同一发射源射出的两个粒子，在某一时刻的位移分别为，，则该时刻相对于的位移的坐标为_______.
13．已知为虚数单位，且，则______.
14．如图，在正三棱锥中，，从点拉紧一条无弹性的细绳绕过侧棱，回到点，若细绳的最短长度为，则该三棱锥的侧棱长为__________.
四、解答题
15．已知向量，．
(1)求；
(2)求与垂直的单位向量的坐标．
16．已知复数，.
(1)若复数是纯虚数，求的值；
(2)若是关于的方程的一个根，求的值.
17．一个边长为4的正方形剪去一个腰长为2的等腰直角三角形，得到如图所示的五边形，将五边形绕直线旋转一周.
(1)求所得几何体的体积；
(2)求所得几何体的表面积.
18．设锐角的内角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)若，求的面积；
(3)若，求的取值范围.
19．如图，在等腰梯形中，，，满足，，其中，，与交于点.
(1)用向量，表示，.
(2)若，，求的值；
(3)若，求的取值范围.
参考答案
1．D
【详解】因为，所以的虚部为2.
2．C
【详解】由向量，因为，
可得，解得.
故选：C.
3．B
【详解】由余弦定理，得.
4．B
【详解】根据斜二测画法可知，，又，所以，所以
5．B
【详解】由棱台的体积公式，可得.
故选：B.
6．B
【详解】根据的周期性可知，，，
所以，
所以z在复平面内对应的点为，位于第二象限.
7．C
【详解】由题意可知，，，
所以，解得，
则在上的投影向量为，
所以在上的投影向量的坐标为.
8．D
【详解】在中，则，即．
在中，则，，
由正弦定理得，，所以．
故选：D．
9．BC
【详解】正四棱柱的底面为正方形，侧棱垂直于底面，则其侧面为矩形，不一定为正方形，A错误；
用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，把底面和截面之间那部分多面体叫做棱台，所以棱台的侧棱延长后交于一点，B正确；
正六棱锥的底面为正六边形，侧棱都相等，所以侧面都是全等的等腰三角形，C正确；
四面体的每个侧面都是三角形，不一定为等边三角形，D错误.
10．ABD
【详解】对于A，设复数，则，
则，为实数，故A正确；
对于B，，，则，故B正确；
对于C，若，不妨取，则不成立，故C错误；
对于D，，则
，
，则
，
则，故D正确.
故选：ABD.
11．AD
【详解】对于A，由，可得，由正弦定理可得，所以A正确；
对于B，由正弦定理得，所以，所以C为锐角，但A，B可能为钝角，不能确定为锐角三角形，故B错误；
对于C，已知，，，根据正弦定理可知，解得，所以无解，C错误；
对于D，若的面积为S，因为，则，所以，则，由于，则，故D正确.
12．
【详解】相对于的位移为.
故答案为：
13．-1
【详解】由得，即，
所以解得，所以.
14．
【详解】依题意，正三棱锥侧面沿剪开，将展开置于同一平面内，连接，
则线段就是绳的最短长度，此时，由，
得，解得，所以该三棱锥的侧棱长为.
15．(1)
(2)或．
【详解】（1）因为，，所以，
所以．
（2）由题意知，
设与垂直的单位向量的坐标为，所以
解得，或，，
即与垂直的单位向量的坐标为或.
16．(1)
(2)
【详解】（1）由题意可知：，
因为z是纯虚数，则，解得.
（2）因为是关于的方程的一个根，
则，整理得，
则，解得，，所以.
17．(1)
(2)
【详解】（1）将五边形绕直线旋转一周得到的几何体是一个底面半径为4高为4的圆柱挖去一个底面半径为2高为2的圆锥，
所以所得几何体的体积；
（2）易知圆锥的母线为，所以，
，
所得几何体的表面积.
18．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由正弦边角关系得，所以，又，所以；
（2）由余弦定理得，解得，
故的面积为.
（3）由，得，所以，
因为，所以，
则
因为为锐角三角形，所以，则，
所以，故，
因此的取值范围为.
19．(1)，
(2)
(3)
【详解】（1）由题意可知，，
.
（2）若，，，
设，，，
则，，
，
因为，不共线，所以，解得，
所以，所以.
（3）由题意可知，
若，则，
，
当时，，
则，
所以的取值范围为.

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