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2026 年 5 月高一年级训练卷
数学试题
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．如图，梯形中，，且，对角线相交于点，若，则（ ）
A． B．
C． D．
4．已知正实数，满足，则代数式的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，是水平放置的的直观图，但部分图象被茶渍覆盖，已知为坐标原点，顶点、均在坐标轴上，且的面积为12，则的长度为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知，是方程的两根，且，，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
7．设，则，，则，，的大小关系是（ ）．
A． B． C． D．
8．已知向量与单位向量所成的角为，且满足对任意的，恒有，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则的值为
B．若，则的值为
C．若，则与的夹角为锐角
D．若，则
10．已知函数部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．点是图象的一个对称中心
C．的图象可由函数的图象向右平移个单位长度，再将横坐标变为原来的（纵坐标不变）得到
D．若，则或
11．关于函数（），如下结论中正确的是（ ）
A．函数的最小正周期是
B．函数的图象关于直线对称
C．函数的值域是
D．函数在上单调递减
三、填空题
12．如图，在中，已知，，，是的中点，，设与相交于点，则______．

13．已知函数，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若是偶函数，在上恰有4个零点，则__________.
14．已知函数，若不等式对任意均成立，则m的取值范围为______．
四、解答题
15．已知复数满足，且复数在复平面内的对应点为．
(1)确定点的集合构成图形的形状；
(2)求的最大值和最小值．
16．的内角的对边分别为，已知.
(1)求的值；
(2)若的面积为，求的周长.
17．已知，且，且．
(1)求a的值及的单调区间.
(2)若对于，，使得成立，求实数t的取值范围.
18．已知函数，
(1)求的最小正周期和单调递减区间；
(2)当时，求的最大值和最小值
(3)若，，求的值
19．已知偶函数和奇函数的定义域均为，且，令.
(1)分别求函数和的解析式；
(2)若关于的方程在上恰有3个解，求实数的取值范围：
(3)把区间等分成份，记等分点的横坐标依次为，设，记，是否存在正整数，使关于的不等式恒成立？若存在，求出所有的值，若不存在，说明理由.
参考答案
1．A
【详解】由题意得，，则．
故选：A．
2．D
【详解】，
复数在复平面内对应的点的坐标是，位于第四象限．
故选：D
3．B
【详解】
，，
，故，
则，，
而，
，
故选：B．
4．A
【详解】由可得，可得；
所以；
因此，
当且仅当时，即时，等号成立；
此时.
故选：A
5．B
【详解】画出的原图为直角三角形，且，
因为，所以，所以.
故选：B
6．B
【详解】由题知，，是方程的两根，
所以，即，
因为，，
所以，，
所以，
因为，
所以，
故选：B
7．B
【详解】，所以有，
因为，所以有，
故选：B
8．C
【详解】∵已知向量与单位向量所成的角为，
∴，，
又∵对任意的，恒有，
∴
即
∴，对任意的恒成立，
∴
即
∴，
且
，
即，
，
∴的最小值为，
故选：C.
9．AB
【详解】对于A：若，则，解得，故A正确；
对于B：若，则，解得，故B正确；
对于C：当时，与同向，此时与的夹角为，故C错误；
对于D：若，则，即，即，解得，
当时，，，，，显然，
当时，，，，，此时，故D错误．
故选：AB．
10．ABD
【详解】由图知，，即，解得，
所以，将代入得，
所以，解得
又，所以，故A正确；
由上知，所以，
所以点是图象的一个对称中心，故B正确；
将函数的图象向右平移个单位长度，再将横坐标变为原来的（纵坐标不变）得到图象的函数解析式为，
与的解析式不同，所以C错误；
由得，
所以或，
解得或，故D正确.
11．BD
【详解】A选项，，
故函数的最小正周期不是，A错误；
B选项，，
故函数的图象关于直线对称，B正确；
C选项，，
故是的一个正周期，
又的图象关于直线对称，
当时，，
因为，故，
当时，，
因为，故，
故当时，，
结合函数对称性可得，C错误；
D选项，时，
，
由于在上单调递减，且，
而在上单调递增，
由复合函数单调性可知，函数在上单调递减，D正确.
故选：BD
12．
【详解】因为是的中点，所以，
，
因为，，
，
所以，
所以.
故答案为：.
13．4
【详解】解：将函数的图象向右平移个单位长度得到，
函数，
因为是偶函数，所以，即，
因为，所以，则，
因为，所以，
因为在上恰有4个零点，
所以，即，
所以当时，，
故答案为：4
14．
【详解】函数的定义域为R，
因为，
所以函数是奇函数，
由复合函数的单调性可知在上单调递增，而在上也单调递增，且函数是奇函数，，
所以函数在R上单调递增，所以，
即，
所以，即，
所以，令，则，
求解在上的最小值，
因为该二次函数对称轴为，
所以在上单调递增，所以，故，
即m的取值范围为．
故答案为：．
15．(1)点的集合是以点为圆心，2为半径的圆
(2)最大值为7，最小值为3
【详解】（1）设复数在复平面内的对应点为，
则，
故点的集合是以点为圆心，2为半径的圆，如下图所示．
（2）设复数在复平面内的对应点为，则,如下图所示，
，
则的最大值即的最大值是；
的最小值即的最小值是．
16．(1)
(2).
【详解】（1）由余弦定理可知，.
因为，所以，
即.
由，且，
解得，则.
（2）的面积，则.
因为，所以由，
可得，
则，
故的周长为.
17．(1)，函数在上单调递增，在上单调递减；
(2).
【详解】（1）由得，即，
所以，所以，
所以，
因为，所以，故的定义域为；
，
因为函数在上单调递增，在上单调递减，
又函数为增函数，
由复合函数的单调性可得：函数在上单调递增，在上单调递减．
（2）令，
，，使得，即，
其中由（1）知，
又在上单调递增，
，
，．
18．(1)的最小正周期为；单调递减区间为
(2)的最大值为，最小值为；
(3)
【详解】（1）
，
所以的最小正周期为，
由，解得，
所以的单调递减区间为；
（2）因为，所以，所以，
所以，
所以的最大值为，最小值为；
（3）由，所以，所以，
因为，所以，
所以
.
19．(1)
(2)
(3)存在，满足条件的正整数的值为1或2
【详解】（1）为偶函数，为奇函数，且，
，
由解得；
（2），
在上单调递增，，
在上单调递增，且为奇函数，
，当且仅当时取等，
在单调递减，在单调递增，
，，
令，则，
当或时，有一个解，
当时，有2个解，
方程，
即，
又为增函数，所以，即，
整理得，
又关于的方程在上恰有3个解，
所以在和分别有一个解，
，解得；
（3）把区间等分成份，则等分点的横坐标为，，又，
，
所以
所以
，
因为，
又，当且仅当时取等，
，
所以
即.
故存在正整数n=1或2，使不等式恒成立．

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