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江苏南通市海安高级中学2025-2026学年高一下学期期中练习数学试题
一、单选题
1．已知复数，则（ ）
A．1 B．2 C． D．5
2．已知，，，则（ ）
A．、、三点共线 B．、、三点共线
C．、、三点共线 D．、、三点共线
3．（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量，，若与垂直，则（ ）
A．13 B． C．11 D．
5．已知中，，，，则（ ）
A． B． C．或 D．或
6．若，其中，则＝（ ）
A． B． C． D．
7．是斜边上一点，若，则的值（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，是边上靠近点的三等分点，是边上的动点，则的取值范围为（ ）

A． B． C． D．
二、多选题
9．下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
10．下列结论中正确的是（ ）
A．若为非零向量，且，则
B．对向量非零向量，若，则存在唯一实数使得
C．在中，若，则与的面积之比为
D．已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
11．设中角，，所对的边长度分别为，，，满足，则以下选项中正确的有（ ）
A．为锐角三角形
B．若确定，则的面积确定
C．
D．
三、填空题
12．若非零向量，的夹角为，且，，则在上的投影向量为__________．
13．化简_______________.
14．在等边三角形的三边上各取一点，，，满足，，，则三角形的面积的最大值是______．
四、解答题
15．已知复数，其中，为虚数单位.
（1）若为纯虚数，求的值；
（2）若在复平面内对应的点在第一象限，求的取值范围.
16．如图，在长方形网格中，向量，满足：，，向量，.

(1)在图中，以为起点作向量，并求；
(2)若与共线，求实数的值；
(3)若与垂直，求实数的值.
17．已知函数．
(1)求函数的值域；
(2)若，求的值．
18．“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说……除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田．假设霍尔顿在一块成凸四边形的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将BD连接，设中边所对的角为，中边所对的角为，经测量知，．
(1)若，求；
(2)霍尔顿发现无论多长，为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值；
(3)霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关，记与的面积分别为和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出的最大值．
19．已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数.
（1）设函数，试求的相伴特征向量；
（2）记向量的相伴函数为，求当且，的值；
（3）已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.
参考答案
1．C
【详解】
2．A
【详解】对于A选项，，
故、、三点共线，A对；
对于B选项，因为，，故、不一定共线，B错；
对于C选项，因为，，
所以、不一定共线，C错；
对于D选项，因为，，则、不一定共线，D错.
故选：A.
3．D
【详解】，
故选：D
4．A
【详解】，若与垂直，则，
即：，解得：.
5．D
【详解】在中，由正弦定理，得，
所以，又，所以或.
故选：D
6．A
【详解】∵，则令①，
∵②，
由①2＋②2得，
又，∴．
∴．
故选：A.
7．D
【详解】在中，令，由，则，
，，
在中，，由正弦定理，，
即，整理得，
即，因，则有，即的值是.
故选：D
8．C
【详解】由，解得.
设，
则.
故选：C
9．ABD
【详解】对于A，，A正确；
对于B，，B正确；
对于C，取，则，C错误；
对于D，，D正确.
故选：ABD
10．BC
【详解】A.若 ，则，则或，故A错误；
B.此为共线定理，故B正确；
C.令 因，
则，则为的重心，故，
因，
同理可得，
则，故C正确；
D. ，当与共线时，有，得，
因与的夹角为锐角，则且与不共线，则且，故D错误；
故选：BC.
11．ABD
【详解】对于A，在中，因为，
令，
显然，若，则，
因为，所以，则，
所以，同理，，，与矛盾，
若，此时，
因为，所以，则，
所以，同理，，，
即，，为锐角，故为锐角三角形，A正确；
对于B，因为，
所以，①，②
①+②得，
所以，
因为，
所以，
因为，所以，
所以，③
①-②得，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，④
由③④可得，
解得，同理，
若确定，则唯一确定，则它的面积确定，B正确；
对于C，由B可知，，
所以，C错误；
对于D，由B可知，，
所以，D正确.
12．
【详解】因为，所以，
解得：，所以，
所以在上的投影向量为.
13．/0.5
【详解】
.
故答案为: .
14．
【详解】因为，，，所以，
设，，
则，，，
在中由正弦定理，即，
所以，
在中由正弦定理，即，
所以，所以
（其中），
所以，则，
即三角形的面积的最大值是．
故答案为：
15．（1）2；（2）.
【详解】（1）∵为纯虚数，
∴，解得
（2）由在复平面内对应的点在第一象限，
∴，解得或
∴实数的取值范围为
16．(1)作图见解析，；
(2)；
(3)
【详解】（1）如图所示：

；
（2）因为，，且与共线，
所以 ，解得；
（3）因为，，且与垂直，
所以，
，
，
解得.
17．(1)
(2)
【详解】（1）＝
＝＝＝，
因为，所以，所以，
即函数的值域为.
（2）由，，
得，
所以
＝.
18．(1)答案见解析
(2)验证见解析，1
(3)14
【详解】（1）由，．，
在中，由余弦定理得,
所以.
又，所以是等边三角形，
所以；
（2）在中，由余弦定理得
在中，由余弦定理得，
∴
所以为定值；
（3），
则，
由（2）知：，∴
代入上式得：，
配方得：，
∵
又,
所以当时，取到最大值14．
19．（1）；（2）；（3）存在，点.
解：（1）
的相伴特征向量.
（2）向量的相伴函数为，
，.
，，.
.
（3）由为的相伴特征向量知：
.
所以.
设，，
，，
又，.
，
，，
.
又，
当且仅当时，和同时等于，这时式成立.
在图像上存在点，使得.

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