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直通高考11　含源与含容电磁感应问题
含源 含容
题型一 题型二 题型三
说明 轨道水平光滑，杆cd质量为m，电阻不计，两导轨间距为L 轨道水平光滑，杆cd质量为m，电阻不计，两导轨间距为L，拉力F恒定 导轨光滑，电阻阻值为R，电容器电容为C
示意图
力学 观点 S闭合，杆cd受安培力F=，a=， 杆cd速度v↑ 感应电动势E感=BLv↑ I↓ 安培力F=BIL↓ 加速度a↓， 当E感=E时，v最大，且vm= 开始时a=，杆cd速度v↑ E=BLv↑， 经过Δt速度为v＋Δv，E'=BL(v＋Δv)，Δq=C(E'－E)=CBLΔv，I==CBLa，F安=CB2L2a，a=，所以杆匀加速运动 安培力为阻力，棒减速，E减小，有I=，电容器充电UC变大，当BLv=UC时，I=0，F安=0，棒匀速运动，有最终速度 电容器充电电荷量：q=CUC， 最终电容器两端电压UC=BLv 对棒应用动量定理： mv－mv0=－BIL·Δt=－BLq，v=
图像
能量 电源输出的电能转化为动能：W电=m F做的功一部分转化为动能，一部分转化为电场能：WF=mv2＋EC
电量 q来自电源和棒，所以q=不适用 棒做加速度a减小的减速运动，最终做匀速运动，此时I=0，但电容器带电荷量不为零
动量 F安Δt=mvm－0 BILΔt=mvm BLq=mvm
[例1]　 如图所示，上方足够长的水平导轨左端接一电源，电源电动势E=2.4 V，内阻r=1.4 Ω，导轨间距L=0.5 m。下方两个相同的绝缘圆弧导轨C1D1、C2D2正对上方导轨放置，间距也为L，半径r0=1.25 m、圆心角θ=37°，并与下方足够长水平导轨相切于D1、D2两点。已知上方水平导轨区域内存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度B1=3 T。导轨上放置一质量m1=0.5 kg，电阻R=0.6 Ω的金属棒。闭合开关后，金属棒能以最大速度从上方导轨水平抛出，恰能从C1C2处沿切线进入圆弧导轨。不计导轨电阻，所有导轨均光滑，重力加速度g取10 m/s2。
(1)求闭合开关瞬间通过金属棒的电流I以及金属棒达到的最大速度v1；
(2)求金属棒从开始运动到获得最大速度过程中，通过金属棒的电荷量q；
(3)下方水平导轨区域内存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度B2=3 T。导轨上放置质量m2=0.5 kg、电阻为3R、长度为L的另一金属棒。若要使两金属棒在运动过程中恰好不发生碰撞，求金属棒m2最终的速度和m1刚到达D1D2时两金属棒之间的距离。
【答案】 (1)1.2 A　1.6 m/s　(2) C　(3)1.5 m/s　0.8 m
【解析】 (1)由题意，根据闭合电路欧姆定律，可得闭合开关瞬间通过金属棒的电流I==1.2 A；
闭合开关后金属棒在水平导轨上向右运动至速度稳定时，金属棒能以最大速度从上方导轨水平抛出，此时有E=B1Lv1，
代入数据求得金属棒达到的最大速度v1=1.6 m/s。
(2)金属棒从开始运动到获得最大速度过程中，根据动量定理有F安t=B1ILt=B1qL=mv1－0，
代入数据求得通过金属棒的电荷量q= C。
(3)闭合开关后，金属棒能以最大速度从上方导轨水平抛出，恰能从C1C2处沿切线进入圆弧导轨，根据平抛运动规律，可得金属棒m1到达C1C2处的速度大小为v2==2 m/s；
根据机械能守恒定律可得金属棒m1到达水平导轨时，有m1＋m1gr0(1－cos 37°)=m1，求得v3=3 m/s；
当金属棒m1追上m2时二者速度恰好相同，两金属棒在运动过程中恰好不发生碰撞，根据动量守恒定律有m1v3=(m1＋m2)v4，
求得金属棒m2最终的速度v4=1.5 m/s；
对金属棒m2利用动量定理有B2I'LΔt=m2v4－0，I'Δt=q'=，联立即可求得m1刚到达D1D2时两金属棒之间的距离为Δx=0.8 m。
[例2]　如图所示，固定于绝缘水平面上的光滑导轨是由倾斜金属导轨和水平足够长的金属导轨共同组成，倾斜导轨底部G、H用绝缘材料(绝缘材料大小忽略不计)与水平导轨相接，导轨左端EF间接有一电容器C，导轨右端接有一降压限流器(其作用是：当电路电流大于等于0.2 A时能保持电路中电流恒为0.2 A，电流小于0.2 A时相当于短路)和一定值电阻R。倾斜导轨间有方向垂直于导轨平面向上的匀强磁场B1，水平导轨间有方向竖直向上的匀强磁场B2，磁感应强度大小B1=B2=0.5 T。现将倾斜导轨上的导体棒MN由静止释放，导体棒立即做匀加速运动，到达底端GH时的速度大小为v0=8 m/s，当MN经过GH后速度立即减为原来的一半。整个过程中，导体棒MN与导轨垂直且接触良好。已知电容器的电容C=2 F，导体棒MN的质量m=0.01 kg，导轨宽度均为d=0.1 m，倾斜轨道的倾角θ=37°，定值电阻R=0.5 Ω，其余电阻均不计，不计任何摩擦阻力。
(1)MN在倾斜导轨上运动时，电容器的　F　端电势高(填“E”或“F”)；
(2)MN在倾斜轨道上运动时的加速度a为多大？
(3)MN越过GH后，还能运动的距离x和通过降压限流器上的电荷量q各为多少？
【答案】 (2)4 m/s2　(3)10 m　0.8 C
【解析】 (1)导体棒由静止释放后沿斜面向下运动，由右手定则可知，N端是等效电源的正极，故F端电势高。
(2)在斜面上运动的过程中，设回路中的电流为i。对导体棒受力分析，受到重力、导轨支持力和安培力，如图所示。
由牛顿第二定律可得mgsin θ－B1id=ma，
又i==CB1da，
则导体棒做匀加速直线运动加速度为a==4 m/s2。
(3)导体棒越过GH后速度变为v1=v0=4 m/s；
此时，若假设降压限流器件的电阻为0，则回路中的电流I1==0.4 A＞0.2 A，则此时回路中的电流大小为0.2 A；
当降压限流器件的电阻恰好为0，则回路中的电流即将小于0.2 A，设此时导体棒的速度为v2，满足=0.2 A，得v2==2 m/s；
在导体棒速度从v1减到v2的过程中，通过导体棒的电流恒为I2=0.2 A，导体棒受到的安培力不变，则导体棒做匀减速直线运动，设加速度为a1，
由牛顿第二定律可知a1==1 m/s2；
导体棒做匀减速直线运动的时间t1==2 s；
这段时间内导体棒的位移大小x1=t1=6 m；
通过降压限流器上的电荷量为q1=I2t1=0.4 C；
此后，降压限流器件的电阻为0，导体棒接下来做加速度减小的减速直线运动，直到静止，设这段运动时间为t2，位移为x2。由动量定理－F安t2=Δp，可知－x2=0－mv2，得x2=4 m；
则导体棒越过GH后的运动距离x=x1＋x2=10 m；
设该过程中通过降压限流器上的电荷量为q2，由动量定理有－∑B2IdΔt=－B2dq2=0－mv2，
得q2=0.4 C；
则通过降压限流器上总的电荷量q=q1＋q2=0.8 C。(共27张PPT)
课时作业
内
容
索
引
直通高考11　含源与含容电磁感应问题
含源 含容 题型一 题型二 题型三
说明 轨道水平光滑，杆cd质量为m，电阻不计，两导轨间距为L 轨道水平光滑，杆cd质量为m，电阻不计，两导轨间距为L，拉力F恒定 导轨光滑，电阻阻值为R，电容器电容为C
示意图
含源 含容 题型一 题型二 题型三
力学 观点 S闭合，杆cd受安培力F=，a=， 杆cd速度v↑ 感应电动势E感=BLv↑ I↓ 安培力F=BIL↓ 加速度a↓， 当E感=E时，v最大，且vm= 开始时a=，杆cd速度v↑ E=BLv↑， 经过Δt速度为v＋Δv，E'=BL(v＋Δv)，Δq=C(E'－E)=CBLΔv，I==CBLa，F安=CB2L2a，a=，所以杆匀加速运动 安培力为阻力，棒减速，E减小，有I=，电容器充电UC变大，当BLv=UC时，I=0，F安=0，棒匀速运动，有最终速度
电容器充电电荷量：q=CUC，
最终电容器两端电压UC=BLv
对棒应用动量定理：
mv－mv0=－BL·Δt=
－BLq，v=
含源 含容 题型一 题型二 题型三
图像
能量 电源输出的电能转化为动能：W电=m F做的功一部分转化为动能，一部分转化为电场能：WF=mv2＋EC
电量 q来自电源和棒，所以q=不适用 棒做加速度a减小的减速运动，最终做匀速运动，此时I=0，但电容器带电荷量不为零
动量 F安Δt=mvm－0 B__LΔt=mvm BLq=mvm
例 1
如图所示，上方足够长的水平导轨左端接一电源，电源电动势E=2.4 V，内阻r=1.4 Ω，导轨间距L=0.5 m。下方两个相同的绝缘圆弧导轨C1D1、C2D2正对上方导轨放置，间距也为L，半径r0=1.25 m、圆心角θ=37°，并与下方足够长水平导轨相切于D1、D2两点。已知上方水平导轨区域内存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度B1=3 T。导轨上放置一质量m1=0.5 kg，电阻R=0.6 Ω的金属棒。闭合开关后，金属棒能以最大速度从上方导轨水平抛出，恰能从C1C2处沿切线进入圆弧导轨。不计导轨电阻，所有导轨均光滑，重力加速度g取10 m/s2。
(1)求闭合开关瞬间通过金属棒的电流I以及金属棒达到的最大速度v1；
【解析】 由题意，根据闭合电路欧姆定律，可得闭合开关瞬间通过金属棒的电流I==1.2 A；
闭合开关后金属棒在水平导轨上向右运动至速度稳定时，金属棒能以最大速度从上方导轨水平抛出，此时有E=B1Lv1，
代入数据求得金属棒达到的最大速度v1=1.6 m/s。
【答案】 1.2 A　1.6 m/s　
(2)求金属棒从开始运动到获得最大速度过程中，通过金属棒的电荷量q；
【解析】 金属棒从开始运动到获得最大速度过程中，根据动量定理有F安t=B1ILt=B1qL=mv1－0，
代入数据求得通过金属棒的电荷量q= C。
【答案】 C　
(3)下方水平导轨区域内存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度B2=3 T。导轨上放置质量m2=0.5 kg、电阻为3R、长度为L的另一金属棒。若要使两金属棒在运动过程中恰好不发生碰撞，求金属棒m2最终的速度和m1刚到达D1D2时两金属棒之间的距离。
【解析】 闭合开关后，金属棒能以最大速度从上方导轨水平抛出，恰能从C1C2处沿切线进入圆弧导轨，根据平抛运动规律，可得金属棒m1到达C1C2处的速度大小为v2==2 m/s；
根据机械能守恒定律可得金属棒m1到达水平导轨时，有m1＋m1gr0(1－cos 37°)=m1，求得v3=3 m/s；
当金属棒m1追上m2时二者速度恰好相同，两金属棒在运动过程中恰好不发生碰撞，根据动量守恒定律有m1v3=(m1＋m2)v4，
求得金属棒m2最终的速度v4=1.5 m/s；
对金属棒m2利用动量定理有B2I'LΔt=m2v4－0，I'Δt=q'=，联立即可求得m1刚到达D1D2时两金属棒之间的距离为Δx=0.8 m。
【答案】 1.5 m/s　0.8 m
例 2
如图所示，固定于绝缘水平面上的光滑导轨是由倾斜金属导轨和水平足够长的金属导轨共同组成，倾斜导轨底部G、H用绝缘材料(绝缘材料大小忽略不计)与水平导轨相接，导轨左端EF间接有一电容器C，导轨右端接有一降压限流器(其作用是：当电路电流大于等于0.2 A时能保持电路中电流恒为0.2 A，电流小于0.2 A时相当于短路)和一定值电阻R。倾斜导轨间有方向垂直于导轨平面向上的匀强磁场B1，水平导轨间有方向竖直向上的匀强磁场B2，磁感应强度大小B1=B2=0.5 T。现将倾斜导轨上的导体棒MN由静止释放，导体棒立即做匀加速运动，到达底端GH时的速度大小为v0=8 m/s，当MN经过GH后速度立即减为原来的一半。整个过程中，导体棒MN与导轨垂直且接触良好。已知电容器的电容C=2 F，导体棒MN的质量m=0.01 kg，导轨宽度均为d=0.1 m，倾斜轨道的倾角θ=37°，定值电阻R=0.5 Ω，其余电阻均不计，不计任何摩擦阻力。
(1)MN在倾斜导轨上运动时，电容器的______端电势高(填“E”或“F”)；
【解析】 导体棒由静止释放后沿斜面向下运动，由右手定则可知，N端是等效电源的正极，故F端电势高。
(2)MN在倾斜轨道上运动时的加速度a为多大？
【解析】 在斜面上运动的过程中，设回路中的电流为i。对导体棒受力分析，受到重力、导轨支持力和安培力，如图所示。
由牛顿第二定律可得mgsin θ－B1id=ma，
又i==CB1da，
则导体棒做匀加速直线运动加速度为a==4 m/s2。
【答案】 4 m/s2　
F
(3)MN越过GH后，还能运动的距离x和通过降压限流器上的电荷量q各为多少？
【解析】 导体棒越过GH后速度变为v1=v0=4 m/s；
此时，若假设降压限流器件的电阻为0，则回路中的电流I1==0.4 A＞0.2 A，则此时回路中的电流大小为0.2 A；
当降压限流器件的电阻恰好为0，则回路中的电流即将小于0.2 A，设此时导体棒的速度为v2，满足=0.2 A，得v2==2 m/s；
在导体棒速度从v1减到v2的过程中，通过导体棒的电流恒为I2=0.2 A，导体棒受到的安培力不变，则导体棒做匀减速直线运动，设加速度为a1，
由牛顿第二定律可知a1==1 m/s2；
导体棒做匀减速直线运动的时间t1==2 s；
这段时间内导体棒的位移大小x1=t1=6 m；
通过降压限流器上的电荷量为q1=I2t1=0.4 C；
此后，降压限流器件的电阻为0，导体棒接下来做加速度减小的减速直线运动，直到静止，设这段运动时间为t2，位移为x2。由动量定理－F安t2=Δp，可知－x2=0－mv2，得x2=4 m；
则导体棒越过GH后的运动距离x=x1＋x2=10 m；
设该过程中通过降压限流器上的电荷量为q2，由动量定理有－∑B2IdΔt=－B2dq2=0－mv2，
得q2=0.4 C；
则通过降压限流器上总的电荷量q=q1＋q2=0.8 C。
【答案】 10 m　0.8 C
课时作业
答案速对
第十二单元　直通高考11　含源与含容电磁感应问题 题号 1 2 3 4
答案 AC 见答案 见答案 见答案
1.(多选)电动汽车在正常行驶时靠电源通过电动机提供动力，在减速或刹车时，又可以将汽车的动能通过发电机反馈给电源充电，实现能量回收目的。小敏同学为了研究电动汽车这一工作原理，设计了一个小实验。如图所示，两根相距为L的平行光滑金属导轨水平放置，导轨间分布着竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为B，一导体棒ab垂直置于导轨上并与金属导轨接触良好。图示左侧为充、放电电路，已知电源的电动势为E，电容器开始不带电，除了电源、金属棒的电阻外，其它电阻不计。下列说法中，正确的有(　 　)
A.S接1时，导体棒受到安培力水平向右
B.S接1时，导体棒的最大速度为vmax=
C.S接2时，若导体棒水平向右运动，电容器上极板带正电荷
D.S接2时，导体棒做减速运动，速度一直减小至0
AC
【解析】 S接1时，电流由a流向b，根据左手定则，导体棒受到安培力水平向右，A正确；当导体棒产生的电动势等于电源电动势时，导体棒速度最大，则有E=BLvmax，解得vmax=，B错误；S接2时，导体棒给电容器充电。若导体棒水平向右运动，根据右手定则可知，导体棒内的电流方向由b至a，所以电容器上极板带正电荷，C正确；导体棒给电容器充电，导体棒速度逐渐减小，当导体棒产生的感应电动势等于电容器两端电压时，回路电流为零，安培力为零，导体棒之后做匀速运动，D错误。
2.(2025·湖州期中)水平面上固定有平行等间距的光滑导轨P、Q，导轨相距L=0.5 m，不计电阻且足够长，有一长度也为L、质量为m=1 kg、电阻R0=0.9 Ω的金属棒垂直导轨放置且接触良好，导轨左端可通过选择开关S分别与A、B、C连接，其中电源E=3 V、内阻r=0.1 Ω，电阻R=0.1 Ω，恒流源接入电路后能维持电路中电流恒为I=2 A。空间存在垂直导轨平面向下的匀强磁场(图中未画出)，磁感应强度B=2 T。
(1)若给金属棒一向右的初速度v0=3 m/s，S接A，从接通到金属棒停止运动过程中，求电阻R上的焦耳热、流过电阻R的电量；
【解析】 由功能关系和串联电路中能量分配规律有QR=m=0.45 J；
根据动量定理有－B LΔt=－BqL=0－mv0，
解得q=3 C。
【答案】 3 C　
(2)若金属棒一开始静止，S接B，求接通瞬间金属棒的加速度大小和金属棒能达到的最大速度；
【解析】 接通瞬间，根据欧姆定律有I'==3 A；
根据牛顿第二定律有F安=BI'L=ma，解得a=3 m/s2；
金属棒达到最大速度时存在E=BLvm，解得vm=3 m/s。
【答案】 3 m/s2　3 m/s　
(3)若金属棒一开始静止，S接C，计此时为t=0时刻，求恒流源向电路提供的电压U随时间t的变化规律。
【解析】 由回路电流恒定可得F安'=BIL=ma，解得a=2 m/s2；
恒定时的电流为I=，
解得U=(2t＋1.8) V。
【答案】 U=(2t＋1.8) V
3.(2025·台州期中)我国第三艘航空母舰福建号上加装的是最先进的电磁弹射系统，其原理是在飞机起飞时利用电磁作用力使它快速加速。为研究问题的方便，我们将其简化为如图所示的模型。足够长的光滑水平金属导轨间隔l=0.5 m，电阻不计。轨道的左端接一线圈，线圈的面积S=0.1 m2，内阻r=1 Ω，匝数n=200匝。在线圈上加随时间均匀增大的磁感应强度B1，磁感应强度变化率=0.2 T/s。导轨间有磁感应强度B2=2 T的匀强磁场垂直导轨向里。一根长为l=0.5 m，质量m=0.2 kg、电阻R=3 Ω的导体棒ab垂直导轨静止放置。电容器的电容C=1 F，1、2、3是一个组合开关的接口，可以任意连接两个接口。
(1)求线圈产生的电动势大小E。
【解析】 根据法拉第电磁感应定律得E=nS，代入数据解得E=4 V。
【答案】 4 V　
(2)开关打在1、3接口，导体棒ab从静止开始被弹射出去。求：
①导体棒弹射出去后的最大速度vm；
【解析】 导体棒切割产生的电动势E2等于线圈产生的感应电动势E时，导体棒速度达到最大后做匀速运动，有E=B2Lvm，代入数据得vm=4 m/s。
【答案】 4 m/s　
②测得导体棒从静止到最大速度的过程中，闭合回路的电荷量q=0.8 C，则该过程中导体棒ab上的焦耳热。
【解析】 根据能量守恒得Eq=mQ，代入数据得Q=1.6 J；
根据热量分配得：导体棒ab的焦耳热Qab=Q=1.2 J。
【答案】 1.2 J　
(3)开关先打在1、2接口，对电容器进行充电，充好电后开关再打在2、3接口，导体棒ab从静止开始被弹射出去，求电容器充满电后的电荷量q1和导体棒的最大速度v'。
【解析】 充满电后的电荷量q1=CE，
代入数据得q1=4 C；
对导体棒应用动量定理得B2lq=mv'，
其中：q=q1－q2=q1－CB2lv'，
代入上式得v'= m/s。
【答案】 4 C　 m/s
4.(2025·衢州期末)间距L=1 m的平行金属导轨MN、M'N'置于水平面内，OO'两侧的导轨用极短的绝缘材料连接。以O为坐标原点、水平向右为正方向建立坐标轴x，导轨间x＜0区域存在磁感应强度大小B1=1 T的匀强磁场，方向竖直向下，x＞0区域存在B2=2x(T)的非匀强磁场，方向竖直向上(图中未画出)。左侧导轨间接有E=10 V直流电源和电容C=0.2 F的电容器，右侧导轨间接有恒流源，接通后能为电路提供I=0.4 A的恒定电流。质量m=0.2 kg、电阻r=5 Ω的导体棒PQ垂直导轨放置，与导轨接触良好。将开关S先打到1，稳定后再打到2，导体棒PQ开始向右运动，且在到达x=0位置前已达最大速度。x＞0侧导轨足够长。除导体棒外其他电阻均不计，忽略一切摩擦阻力，已知简谐运动的周期T=2π，其中M为振子的质量，k为回复力大小与位移大小之比的常数，π取3。
(1)求开关S打到2瞬间导体棒的加速度大小a；
【解析】 因为UC=E=10 V，UC=I1r，
由牛顿第二定律可得B1IL=ma，
联立解得a=10 m/s2。
【答案】 10 m/s2　
(2)求导体棒的最大速度vm；
【解析】 对导体棒由动量定理有B1LΔt=B1LΔq=mvm，
对电容器Δq=C(UC－B1Lvm)，
联立得vm=5 m/s。
(答案】 5 m/s　
(3)设导体棒向右运动到最远处的坐标为xm(未知)。
①导体棒t1时刻第一次到达x=0，t2时刻第一次到达x=，求t2－t1；
【解析】 x＞0时，F=－B2IL=－0.8x，
T=2π=3 s，
可得t2－t1==0.25 s；
【答案】 0.25 s　
②求导体棒第二次到达x=时，恒流源输出的电功率P。
【解析】 当x=0时，B2=0，F1=0，当x=xm时，B2=2xm，F2=B2IL=0.8xm，
xm=m，当x=时，B2=xm，F3=B2IL=0.4xm，
mv2，
联立解得v= m/s；
则恒流源输出的电压U=B2Lv＋Ir，B2=2.5 T，
解得U= V，恒流源输出的电功率P=UI= W。
【答案】 W

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