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专题八　“动态圆”临界问题和磁聚焦、磁发散
【学习目标】
1.理解“平移圆”“旋转圆”“放缩圆”的适用条件和情景。
2.会用“平移圆法”“旋转圆法”“放缩圆法”分析临界问题。
3.理解磁聚焦、磁发散的原理。
4.会分析解决磁聚焦、磁发散的问题。
题型一　“动态圆”临界问题
考向一　“平移圆”
(1)适用情景：速度大小一定，方向相同，入射点不同但在同一直线上。
粒子源发射速度大小为v0，垂直于直线边界进入匀强磁场中，轨道半径R=，其轨迹和圆心如图所示。
(2)轨迹圆圆心共线：带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心所在的直线与入射点所在直线平行，若垂直于边界入射时，两直线重合。
(3)寻找临界条件的方法：将半径为R=的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆法”。
[例1]　如图所示，在xOy平面的第Ⅰ、Ⅳ象限内有一圆心为O、半径为R的半圆形匀强磁场，线状粒子源从y轴左侧平行于x轴正方向不断射出质量为m、电荷量为q、速度大小为v0的带正电粒子。磁场的磁感应强度大小为、方向垂直于平面xOy向里。不考虑粒子间的相互作用，不计粒子受到的重力。所有从不同位置进入磁场的粒子中，在磁场中运动的时间最长为(　C　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.
C. D.
【解析】 粒子在磁场中做匀速圆周运动，有qv0B=m，解得r=2R，如图所示，当粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角最大时，粒子在磁场中运动的时间最长，由于sin α=，要使圆心角α最大，则要使FE最长，经分析可知，当粒子从y轴上的D'点射入、从x轴上的E'点射出磁场时，粒子在磁场中运动的时间最长，有sin αm=，解得αm=，从D'点射入磁场的粒子在磁场中运动的时间tm=·，解得tm=，C正确。
考向二　“放缩圆”
(1)适用情景：粒子射入磁场时的速度方向一定，大小不同。
速度方向一定、大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径R随着速度v的变化而变化。
(2)轨迹圆圆心共线：以粒子带正电为例，速度v越大，运动半径也越大。带电粒子沿同一方向射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初于速度方向的直线PP'上，如图所示。
(3)寻找临界条件的方法：以入射点P为定点，圆心位于PP'直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆法”。
[例2]　一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，ab为半圆，ac、bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆的半径。一束质量为m、电荷量为q(q＞0)的粒子，在纸面内从c点垂直于ac以不同速率射入磁场。不计粒子的重力和粒子之间的相互作用。在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为(　C　)
A. B.
C. D.
【解析】 粒子在磁场中运动的时间与速度大小无关，由在磁场中的运动轨迹对应的圆心角决定。设轨迹交半圆于e点，ce中垂线交bc于O点，则O点为轨迹圆心，如图所示。
圆心角θ=π＋2β，当β最大时，θ有最大值，由几何知识分析可知，当ce与弧相切时，β最大，此时轨迹过直径ab中点，β=30°，可得θ=π，则t=T=，C正确。
考向三　“旋转圆”
(1)适用情景：粒子的速度大小一定，射入磁场的方向不同。
粒子源发射速度大小一定，方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度为v0，则圆周运动的半径R=，以带负电粒子为例，轨迹如图所示。
(2)轨迹圆圆心共圆：带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点为圆心、半径为R=的圆上。
(3)寻找临界条件的方法：将半径为R=的圆以入射点为轴旋转，从而探索粒子的临界条件，这种方法称为“旋转圆法”。
[例3]　 如图所示，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小B=0.60 T。磁场内有一块平面感光板ab，板面与磁场方向平行。在距ab为l=16 cm处，有一个点状的α粒子放射源S，它向各个方向发射α粒子，α粒子的速率均为v=3.0×106 m/s。已知α粒子的电荷量与质量之比=5.0×107 C/kg。现只考虑在纸面内运动的α粒子，求ab板上被α粒子打中区域的长度。
【答案】 20 cm
【解析】 α粒子带正电，故在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动。根据洛伦兹力提供向心力，有qvB=m，解得R==10 cm，代入数据解得R=10 cm，可见R＜l＜2R。
如图所示，因朝不同方向发射的α粒子的轨迹圆都过S，由此可知，某轨迹圆在N点左侧与ab相切，则此切点P1就是α粒子能打中的左侧最远点，为确定P1点的位置，可作平行于ab的直线cd，cd到ab的距离为R，以S为圆心，R为半径，作圆弧交cd于Q点，过Q作ab的垂线，它与ab的交点即为P1。从图中几何关系得NP1=。任何α粒子在运动中离S的距离不可能超过2R，以2R为半径、S为圆心作圆弧，交ab于N右侧的P2点，此即右侧能打到的最远点。
从图中几何关系得NP2=，所求长度为P1P2=NP1＋NP2，代入数据解得P1P2=20 cm。
[例4]　如图所示，在等腰直角三角形abc区域内存在垂直于纸面向外、磁感应强度为B的匀强磁场，O为ab边的中点，在O处有一粒子源沿纸面内不同方向、以相同的速率v=不断向磁场中释放相同的带正电的粒子，已知粒子的质量为m，电荷量为q，直角边ab长为2L，不计重力和粒子间的相互作用力。则(　B　)
A.从ac边射出的粒子中在磁场中运动的最短时间为
B.从ac边射出的粒子中在磁场中运动的最短时间为
C.粒子能从bc边射出的区域长度为L
D.粒子能从bc边射出的区域长度为2L
【解析】 根据qvB=m，将速度v=代入上式解得r=L，如图，Od与ac垂直，由几何关系可知，Od长为L，即最短弦长，对应最短时间，圆心角为60°，则最短时间为t=T，又T=，解得t=，A错误，B正确；粒子轨迹与ac相切时，交与bc边于e点，由几何关系可知，Oe长度为直径，则粒子能从bc边射出的区域eb的长度为L，C、D错误。
题型二　磁聚焦和磁发散
考向一　磁聚焦
(1)现象：大量的同种带正电粒子，速度大小相等，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等，则所有的带电粒子将从磁场圆的同一点射出，如图所示。
(2)证明过程：轨迹圆半径与磁场圆半径相等，所以依次连接入射点、轨迹圆圆心、出射点和磁场圆圆心得到的四边形OAO'B为菱形，对边平行且相等，则OB必平行于沿竖直方向的AO'，则从A点入射的带电粒子必然经过最低点B。
[例5]　(多选)如图所示，在平面直角坐标系xOy内，以坐标原点O为圆心，半径为R的圆形区域内存在垂直于坐标平面的匀强磁场(图中未画出)，磁场区域外右侧有宽度为R的粒子源，M、N为粒子源两端点，M、N连线垂直于x轴，粒子源中点P位于x轴上，粒子源持续沿x轴负方向发射质量为m、电荷量为q(q＞0)，速率为v的粒子。已知从粒子源中点P发出的粒子，经过磁场区域后，恰能从圆与y轴负半轴的交点Q处沿y轴负方向射出磁场，不计粒子重力及粒子间相互作用力，则(　AC　)
A.带电粒子在磁场中运动的半径为R
B.匀强磁场的磁感应强度大小为
C.在磁场中运动的带电粒子路程最长为
D.带电粒子在磁场中运动的时间最短为
【解析】 从粒子源中点P发出的粒子，在磁场中的轨迹如图甲所示，由几何知识可知带电粒子在磁场中运动的半径为R，A正确；根据牛顿第二定律有qvB=m，解得B=，B错误；从M点发出的粒子在磁场中的轨迹，如图乙所示，此时轨迹最长，由几何知识可知四边形O2DOQ为菱形，则∠QO2D=120°，则在磁场中运动的带电粒子路程最长为l=×2πR=，C正确；从N点发出的粒子在磁场中的轨迹如图丙所示，可知四边形OBO1Q为菱形，则∠QO1B=60°，可知此时粒子经过磁场区域时间最短，则t=，D错误。
　　
甲 乙 丙
考向二　磁发散
现象：如图所示，圆形磁场圆心为O，从P点有大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入圆形匀强磁场，不计粒子的重力，如果粒子轨迹圆半径与圆形匀强磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行。证明过程与磁聚焦的证明过程相似，不再重复。
[例6]　(多选)如图所示，坐标原点O有一粒子源，能向坐标平面第一、二象限内发射大量质量为m、电荷量为q的正粒子(不计重力)，所有粒子速度大小相等，不计粒子间的相互作用。圆心在(0，R)、半径为R的圆形区域内，有垂直于坐标平面向外的匀强磁场(未画出)，磁感应强度大小为B。磁场右侧有一长度为R、平行于y轴的光屏，其中心位于(2R，R)。已知初速度沿y轴正方向的粒子经过磁场后，恰能垂直射在光屏上，则(　AC　)
A.粒子速度大小为
B.所有粒子均能垂直射在光屏上
C.能射在光屏上的粒子中，在磁场中运动时间最长为
D.能射在光屏上的粒子初速度方向与x轴正方向夹角满足45°≤θ≤135°
【解析】 由题可知，初速度沿y轴正方向的粒子经过磁场后，恰能垂直射在光屏上，有qBv=m，r=R，解得v=，A正确；由于所有粒子的速度大小相等，方向不同，但粒子离开磁场区域的出射点距离O点的竖直高度最大值为2R，并不会全部垂直打在光屏上，B错误；如图甲所示，
　　
甲 乙
由几何关系可得，能射在光屏上的粒子中，运动时间最长的对应轨迹的圆心角为π，根据周期公式T=，可得t=T=，C正确；若能打在光屏下端，如图乙所示，由几何关系可得θ1=60°，即初速度与x轴正方向夹角为θ1=60°，同理，粒子打在光屏上端时，初速度与x轴正方向夹角为θ2=120°，则60°≤θ≤120°，D错误。(共35张PPT)
题型二　磁聚焦和磁发散
题型一　“动态圆”临界问题
课时作业
内
容
索
引
专题八　“动态圆”临界问题和磁聚焦、磁发散
【学习目标】1.理解“平移圆”“旋转圆”“放缩圆”的适用条件和情景。
2.会用“平移圆法”“旋转圆法”“放缩圆法”分析临界问题。
3.理解磁聚焦、磁发散的原理。
4.会分析解决磁聚焦、磁发散的问题。
题型一　“动态圆”临界问题
(1)适用情景：速度大小一定，方向相同，入射点不同但在同一直线上。
粒子源发射速度大小为v0，垂直于直线边界进入匀强磁场中，轨道半径R=，其轨迹和圆心如图所示。
考向一　“平移圆”
(2)轨迹圆圆心共线：带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心所在的直线与入射点所在直线平行，若垂直于边界入射时，两直线重合。
(3)寻找临界条件的方法：将半径为R=的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆法”。
例 1
如图所示，在xOy平面的第Ⅰ、Ⅳ象限内有一圆心为O、半径为R的半圆形匀强磁场，线状粒子源从y轴左侧平行于x轴正方向不断射出质量为m、电荷量为q、速度大小为v0的带正电粒子。磁场的磁感应强度大小为、方向垂直于平面xOy向里。不考虑粒子间的相互作用，不计粒子受到的重力。所有从不同位置进入磁场的粒子中，在磁场中运动的时间最长为(　 　)
A. B.
C. D.
C
【解析】 粒子在磁场中做匀速圆周运动，有qv0B=m，解得r=2R，如图所示，当粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角最大时，粒子在磁场中运动的时间最长，由于sin α=，要使圆心角α最大，则要使FE最长，经分析可知，当粒子从y轴上的D'点射入、从x轴上的E'点射出磁场时，粒子在磁场中运动的时间最长，有sin αm=，解得αm=，从D'点射入磁场的粒子在磁场中运动的时间tm=·，解得tm=，C正确。
(1)适用情景：粒子射入磁场时的速度方向一定，大小不同。
速度方向一定、大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径R随着速度v的变化而变化。
(2)轨迹圆圆心共线：以粒子带正电为例，速度v越大，运动半径也越大。带电粒子沿同一方向射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初于速度方向的直线PP'上，如图所示。
(3)寻找临界条件的方法：以入射点P为定点，圆心位于PP'直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆法”。
考向二　“放缩圆”
【解析】 粒子在磁场中运动的时间与速度大小无关，由在磁场中的运动轨迹对应的圆心角决定。设轨迹交半圆于e点，ce中垂线交bc于O点，则O点为轨迹圆心，如图所示。
圆心角θ=π＋2β，当β最大时，θ有最大值，由几何知识分析可知，当ce与弧相切时，β最大，此时轨迹过直径ab中点，β=30°，可得θ=π，则t=T=，C正确。
例 2
一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，ab为半圆，ac、bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆的半径。一束质量为m、电荷量为q(q＞0)的粒子，在纸面内从c点垂直于ac以不同速率射入磁场。不计粒子的重力和粒子之间的相互作用。在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为(　 　)
A. B.
C. D.
C
(1)适用情景：粒子的速度大小一定，射入磁场的方向不同。
粒子源发射速度大小一定，方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度为v0，则圆周运动的半径R=，以带负电粒子为例，轨迹如图所示。

(2)轨迹圆圆心共圆：带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点为圆心、半径为R=的圆上。
(3)寻找临界条件的方法：将半径为R=的圆以入射点为轴旋转，从而探索粒子的临界条件，这种方法称为“旋转圆法”。
考向三　“旋转圆”
例 3
如图所示，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小B=0.60 T。磁场内有一块平面感光板ab，板面与磁场方向平行。在距ab为l=16 cm处，有一个点状的α粒子放射源S，它向各个方向发射α粒子，α粒子的速率均为v=3.0×106 m/s。已知α粒子的电荷量与质量之比=5.0×107 C/kg。现只考虑在纸面内运动的α粒子，求ab板上被α粒子打中区域的长度。
【解析】 α粒子带正电，故在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动。根据洛伦兹力提供向心力，有qvB=m，解得R==10 cm，代入数据解得R=10 cm，可见R＜l＜2R。
如图所示，因朝不同方向发射的α粒子的轨迹圆都过S，由此可知，某轨迹圆在N点左侧与ab相切，则此切点P1就是α粒子能打中的左侧最远点，为确定P1点的位置，可作平行于ab的直线cd，cd到ab的距离为R，以S为圆心，R为半径，作圆弧交cd于Q点，过Q作ab的垂线，它与ab的交点即为P1。从图中几何关系得NP1=。任何α粒子在运动中离S的距离不可能超过2R，以2R为半径、S为圆心作圆弧，交ab于N右侧的P2点，此即右侧能打到的最远点。
从图中几何关系得NP2=，所求长度为P1P2=NP1＋NP2，代入数据解得P1P2=20 cm。
【答案】 20 cm
Q
例 4
如图所示，在等腰直角三角形abc区域内存在垂直于纸面向外、磁感应强度为B的匀强磁场，O为ab边的中点，在O处有一粒子源沿纸面内不同方向、以相同的速率v=不断向磁场中释放相同的带正电的粒子，已知粒子的质量为m，电荷量为q，直角边ab长为2L，不计重力和粒子间的相互作用力。则(　 　)
A.从ac边射出的粒子中在磁场中运动的最短时间为
B.从ac边射出的粒子中在磁场中运动的最短时间为
C.粒子能从bc边射出的区域长度为L
D.粒子能从bc边射出的区域长度为2L
【解析】 根据qvB=m，将速度v=代入上式解得r=L，如图，Od与ac垂直，由几何关系可知，Od长为L，即最短弦长，对应最短时间，圆心角为60°，则最短时间为t=T，又T=，解得t=，A错误，B正确；粒子轨迹与ac相切时，交与bc边于e点，由几何关系可知，Oe长度为直径，则粒子能从bc边射出的区域eb的长度为L，C、D错误。
B
题型二　磁聚焦和磁发散
(1)现象：大量的同种带正电粒子，速度大小相等，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等，则所有的带电粒子将从磁场圆的同一点射出，如图所示。
(2)证明过程：轨迹圆半径与磁场圆半径相等，所以依次连接入射点、轨迹圆圆心、出射点和磁场圆圆心得到的四边形OAO'B为菱形，对边平行且相等，则OB必平行于沿竖直方向的AO'，则从A点入射的带电粒子必然经过最低点B。
考向一　磁聚焦
例 5
(多选)如图所示，在平面直角坐标系xOy内，以坐标原点O为圆心，半径为R的圆形区域内存在垂直于坐标平面的匀强磁场(图中未画出)，磁场区域外右侧有宽度为R的粒子源，M、N为粒子源两端点，M、N连线垂直于x轴，粒子源中点P位于x轴上，粒子源持续沿x轴负方向发射质量为m、电荷量为q(q＞0)，速率为v的粒子。已知从粒子源中点P发出的粒子，经过磁场区域后，恰能从圆与y轴负半轴的交点Q处沿y轴负方向射出磁场，不计粒子重力及粒子间相互作用力，则(　 　)
A.带电粒子在磁场中运动的半径为R
B.匀强磁场的磁感应强度大小为
C.在磁场中运动的带电粒子路程最长为
D.带电粒子在磁场中运动的时间最短为
AC
【解析】 从粒子源中点P发出的粒子，在磁场中的轨迹如图甲所示，由几何知识可知带电粒子在磁场中运动的半径为R，A正确；根据牛顿第二定律有qvB=m，解得B=，B错误；从M点发出的粒子在磁场中的轨迹，如图乙所示，此时轨迹最长，由几何知识可知四边形O2DOQ为菱形，则∠QO2D=120°，则在磁场中运动的带电粒子路程最长为l=×2πR= ，C正确；从N点发出的粒子在磁场中的轨迹如图丙所示，可知四边形OBO1Q为菱形，则∠QO1B=60°，可知此时粒子经过磁场区域时间最短，则t=，D错误。
甲 乙 丙
考向二　磁发散
现象：如图所示，圆形磁场圆心为O，从P点有大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入圆形匀强磁场，不计粒子的重力，如果粒子轨迹圆半径与圆形匀强磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行。证明过程与磁聚焦的证明过程相似，不再重复。
例 6
(多选)如图所示，坐标原点O有一粒子源，能向坐标平面第一、二象限内发射大量质量为m、电荷量为q的正粒子(不计重力)，所有粒子速度大小相等，不计粒子间的相互作用。圆心在(0，R)、半径为R的圆形区域内，有垂直于坐标平面向外的匀强磁场(未画出)，磁感应强度大小为B。磁场右侧有一长度为R、平行于y轴的光屏，其中心位于(2R，R)。已知初速度沿y轴正方向的粒子经过磁场后，恰能垂直射在光屏上，则(　 　)
A.粒子速度大小为
B.所有粒子均能垂直射在光屏上
C.能射在光屏上的粒子中，在磁场中运动时间最长为
D.能射在光屏上的粒子初速度方向与x轴正方向夹角满足45°≤θ≤135°
AC
【解析】 由题可知，初速度沿y轴正方向的粒子经过磁场后，恰能垂直射在光屏上，有qBv=m，r=R，解得v=，A正确；由于所有粒子的速度大小相等，方向不同，但粒子离开磁场区域的出射点距离O点的竖直高度最大值为2R，并不会全部垂直打在光屏上，B错误；如图甲所示，
由几何关系可得，能射在光屏上的粒子中，运动时间最长的对应轨迹的圆心角为π，根据周期公式T=，可得t=T=，C正确；若能打在光屏下端，如图乙所示，由几何关系可得θ1=60°，即初速度与x轴正方向夹角为θ1=60°，同理，粒子打在光屏上端时，初速度与x轴正方向夹角为θ2=120°，则60°≤θ≤120°，D错误。
甲 乙
课时作业
答案速对
第十一单元 专题八　“动态圆”临界问题和磁聚焦、磁发散
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 AB C BD D AD D 见答案 见答案
1.(多选)如图所示，在矩形GHIJ区域内分布着垂直于纸面向里的匀强磁场，P点是GH边的中点，四个完全相同的带电粒子仅在洛伦兹力的作用下，以大小不同的速率从P点沿同一方面射入匀强磁场，它们轨迹在同一平面(纸面)内，忽略粒子重力及相互作用，下列说法正确的是(　 　)
A.①、②、③、④这四个粒子在矩形GHIJ磁场区域的运动周期相同
B.④粒子的速率最大
C.③粒子的向心加速度最大
D.②粒子在矩形GHIJ磁场区域运动的时间最长
【解析】 对于完全相同的粒子，其相同，又T=，则在同一匀强磁场中，
周期都相同，由题图知③粒子在磁场中转过的圆心角最大，所以③粒子在矩
形GHIJ磁场区域运动的时间最长，A正确，D错误；根据qvB=m，可得r=，由于④粒子的半径最大，则④粒子的速率最大，因为a=，T=得粒子的向心加速度a=v，可知④粒子的向心加速度最大，B正确，C错误。
AB
2.一线状粒子源垂直于匀强磁场边界不断地发射速度相同的同种粒子，其在匀强磁场中做圆周运动的直径大于线状粒子源的长度。不考虑粒子的重力和粒子间的相互作用，则粒子经过磁场的区域(阴影部分)可能是(　 　)

【解析】 粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，如图所示，粒子源最左端发射的粒子落在A点，最右端发射的粒子落在B点，由于粒子源不间断发射，粒子经过的磁场区域上边界应为平行与磁场边界的直线，又由粒子在匀强磁场中做圆周运动的直径大于线状离子源的长度，磁场边界会有无粒子经过的部分，综上判断，C正确。
A. B. C. D.
C
3.(多选)如图所示，空间存在着垂直于纸面、磁感应强度为B的匀强磁场(图中未画出)，M是垂直于x轴的荧光屏，O点到屏M的距离为R。O点为一粒子源，从O点沿Oy方向发射出一束速度不同、比荷相同的带正电粒子，经磁场偏转后均能水平向右垂直打在屏M上，已知粒子以最大速度v0在磁场中运动轨迹如图中所示，不计粒子的重力及粒子间的相互作用，则(　 )
A.磁场方向垂直于纸面向里 B.带电粒子的比荷为
C.磁场区域最小面积为 D.磁场区域最小面积为
【解析】 根据左手定则可知，磁场方向垂直于纸面向外，A错误；根据R=，可知比荷为，B正确；速度小于v0的粒子也能水平向右垂直打在屏M上，所以磁场边界是过O点与x轴夹角为45°斜线，如图所示，则磁场区域最小面积为阴影部分面积Smin=R2=，C错误，D正确。
BD
4.如图所示，在半径为R的圆形区域内充满磁感应强度为B的匀强磁场，MN是一竖直放置的感光板。从圆形磁场最高点P以速度v垂直于磁场射入大量的带正电的粒子，且粒子所带电荷量为q、质量为m。不考虑粒子重力及粒子间的相互作用，这些粒子的运动，下列说法正确的是
(　 　)
A.只要对着圆心入射，出射后均可垂直打在MN上
B.对着圆心入射的粒子，其出射方向的反向延长线不一定过圆心
C.对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的弧长越长，时
间也越长
D.只要速度满足v=，沿不同方向入射的粒子出射后均可垂直打
在MN上
D
【解析】 带电粒子的运动轨迹是圆弧，根据几何知识可知，对着圆心入射的粒子，其出射方向的反向延长线也一定过圆心，只有轨道半径为R的粒子出射后可垂直打在MN上，A、B错误；由洛伦兹力提供向心力可得qvB=m，可知r=，对着圆心入射的粒子，速度越大，在磁场中轨迹半径越大，弧长越长，轨迹对应的圆心角越小，由t=T可知，运动时间t越短，C错误；当速度满足v=，粒子的轨迹半径为r=R，入射点、出射点、O点与轨迹的圆心构成菱形，射出磁场时的轨迹半径与过入射点的磁场半径平行，如图所示，粒子一定垂直打在MN板上，D正确。
5.(多选)在现代电磁技术中，当一束粒子平行射入圆形磁场时，会在磁场力作用下汇聚于圆上的一点，此现象称为磁聚焦，反之，称为磁发散。如图所示，以O为圆心、R为半径的圆形区域内，存在一垂直于纸面向里的匀强磁场，半径OC⊥OD。一质量为m、电荷量为q的粒子(重力不计)，从C点以速度v沿纸面射入磁场，速度v的方向与CO夹角为30°，粒子由圆周上的M点(图中未画出)沿平行OD方向向右射出磁场，下列说法正确的是(　 　)
A.粒子带负电
B.若粒子在M点以速度v沿平行DO方向向左射入磁场，将由C点射出磁场
C.粒子运动过程中不会经过O点
D.匀强磁场的磁感应强度B=
AD
【解析】 由题可知，粒子由圆周上的M点沿平行OD方向向右射出磁场，则粒子在磁场中向右偏转，粒子刚进入磁场时受到垂直于v向上的洛伦兹力，由左手定则可知，粒子带负电，A正确；粒子带负电，若粒子在M点以速度v沿平行DO方向向左射入磁场，由左手定则可知，粒子将向上偏转，粒子不会从C点射出磁场，B错误；由题意可知，从C点射入磁场的粒子离开磁场时的速度均平行于OD射出磁场，则从C沿某方向射入磁场的粒子从D射出磁场时的速度方向水平向右，CD= R为粒子运动轨迹对应的弦长，弦切角∠ODC=45°，则粒子在磁场中转过的圆心角为90°，粒子做圆周运动的轨道半径为R，粒子运动轨迹如图甲所示，粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得qvB=m，解得B=，D正确；粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径r=R，从C点以速度v沿纸面射入磁场，速度v的方向与CO夹角为30°的粒子运动轨迹如图乙所示，CO'MO是菱形，O点在运动轨迹上，即粒子运动过程经过O点，C错误。
6.如图所示，在xOy平面内，有一粒子源沿x正方向发射速率相等的质量为m、电荷量为＋q的带电粒子。粒子射入一个半径为R、中心位于原点O的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于xOy平面向里，磁感应强度的大小为B。已知沿x轴入射的粒子经磁场偏转后从P点射出。下列说法中，正确的是(　 　)
A.粒子的速率v=
B.沿x轴入射的粒子在磁场中的运动时间t=
C.不同位置入射的粒子会从不同位置离开磁场
D.关于x轴对称入射的两个粒子从磁场中离开时的速度方向关于y轴对称
D
【解析】 粒子源沿x轴正方向射入的粒子经圆形磁场区域偏转后从P点射出，则该粒子的轨道半径与磁场区域的半径相等，偏转角为90°，故粒子做圆周运动的轨道半径r=R，粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得qvB=m，解得v=，A错误；粒子源沿x轴正方向射入的粒子经圆形磁场区域偏转后从P点射出，则偏转角为90°，沿x轴入射的粒子在磁场中的运动时间t=T=，B错误；如图甲所示，粒子的轨道半径与磁场区域的半径相等，由几何关系可知粒子源沿x轴正方向射入的粒子经圆形磁场区域偏转后均从P点射出，C错误；
甲　
如图乙所示，设关于x轴对称入射的两个粒子从a、b点进入磁场，从磁场中离开时的速度方向与y轴夹角分别为α、β，两个粒子做圆周运动的圆心分别是O1、O2，过P点作a、b点连线的垂线段，垂足为c点。由几何关系可得∠O1PC=α，∠O2PC=β，根据O1P=O2P=R，可知∠O1PC=∠O2PC，证得α=β，即关于x轴对称入射的两个粒子从磁场中离开时的速度方向关于y轴对称，D正确。
乙
7.如图所示，在正方形区域abcd内充满方向垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场。在t=0时刻，一位于正方形区域中心O的粒子源在abcd平面内向各个方向发射出大量带正电的粒子，所有粒子的初速度大小均相同，粒子在磁场中做圆周运动的半径恰好等于正方形边长，不计重力和粒子之间的相互作用力。已知平行于ad方向发射的粒子在t=t0时刻刚好从磁场边界cd上的某点离开磁场，求：
(1)粒子的比荷；
【解析】 初速度平行于ad方向发射的粒子在磁
场中运动的轨迹如图甲所示，
其圆心为O1，由几何关系有∠OO1k=，则有t0=T，即T=12t0，粒子做圆周运动的向心力由洛伦兹力提供。设粒子做圆周运动的半径为R，根据牛顿第二定律有qvB=m，又v=，联立以上可得。
【答案】 　
甲
(2)从粒子发射到粒子全部离开磁场所用的时间；
【解析】 在磁场中运动时间最长的粒子的轨迹应过正方形的顶点，如图乙所示，
设粒子运动轨迹对应的圆心角为θ，则sin ，在磁场中运动的最长时间t=T，所以从粒子发射到粒子全部离开磁场所用的时间为t=t0。
【答案】 t0　
乙
(3)假设粒子发射的粒子在各个方向均匀分布，在t=t0时刻仍在磁场中的粒子数与粒子发射的总粒子数之比。
【解析】 由题可知，同一时刻仍在磁场中的粒子到O点距离相等，在t0时刻仍在磁场中的粒子应位于以O为圆心、Ok为半径的弧上，如图丙所示，
由几何关系知∠nOk=，此时刻仍在磁场中的粒子数与粒子源发射的总粒子数之比为。
【答案】
丙
8.如图所示，在平面直角坐标系xOy平面内存在两处磁感应强度大小均为B、方向垂直于xOy平面的匀强磁场，第一象限内的匀强磁场分布在三角形OAC之外的区域，方向向里，A、C两点分别位于x轴和y轴上，∠OAC=30°，OC的长度为2R；第二象限内的匀强磁场分布在半径为R的圆形区域内，圆形区域的圆心坐标为(－R，R)，圆形区域与x、y轴的切点分别为P、Q，第三、四象限内均无磁场。置于P点的离子发射器，能持续地从P点在xOy平面内向x轴上方180°范围内以恒定速率发射同种正离子，离子质量均为m，电荷量均为q；在y轴上的CG之间放置一个长CG=2R的探测板，所有打到探测板上的离子都被板吸收。已知从P点垂直于x轴发射的离子恰好经过Q点进入第一象限，不计重力及离子间的相互作用，求：
(1)圆形区域内磁场的方向及离子的发射速率v0；
【解析】 从P点垂直于x轴发射的正离子恰好经过Q点进入第一象限，说明正离子在P点受向右的磁场力，由左手定则知磁场方向垂直于纸面向外。如图所示，
设离子在圆形区域圆周运动的半径为r，则r=R，又有qv0B=m，解得v0=。
【答案】 垂直于纸面向外　　
(2)从P点垂直于x轴发射的离子，从发射到第二次经过边界AC所用的时间t；
【解析】 设离子在两磁场中做圆周运动的周期为T，则T=，离子在圆形区域磁场中运动圆心角为90°，则运动时间t1=T=。离子在两磁场之间匀速直线运动时间t2=，离子在AC右侧区域磁场中运动圆心角为300°，运动时间t3=T=，则离子从发射到第二次经过边界AC所用的时间t=t1＋t2＋t3=。
【答案】
(3)探测板CG上有离子打到的区域长度。
【解析】 如图所示，因所有离子均以恒定速率发射，故离子在圆形磁场中的轨迹半径均为r，又已知r=R，易得所有离子经过圆形磁场后均水平向右飞出圆形磁场，然后穿过AC进入右侧磁场。从C点进入右侧磁场的离子，经过半个周期打到屏上E点，则CE=2R，从M点进入右侧磁场的离子，轨迹恰好与屏CG相切与D点，图中CF垂直于O2M，
则有FM=Rtan 30°=R，CD=O2F=R－R，
则探测板上有离子打到的区域为DE，其长度DE=CE－CD=RR。
【答案】 RR

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