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题型二　带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界、多解问题
题型一　带电粒子在有界匀强磁场中的运动
课时作业
内
容
索
引
专题七　带电粒子在有界匀强磁场中的运动
题型一　带电粒子在有界匀强磁场中的运动
1.圆心的确定方法
(1)若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，分别确定两点处洛伦兹力F的方向，其交点即为圆心，如图甲所示。
(2)若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向，弦的中垂线与速度垂线的交点即为圆心，如图乙所示。
(3)若已知粒子轨迹上某点速度方向，又能根据r=计算出轨迹半径r，则在该点沿洛伦兹力方向距离为r的位置为圆心，如图丙所示。
甲 乙 丙
2.半径的计算方法
方法一：由R=求得。
方法二：通过半径构建三角形，由数学方法解三角形或用勾股定理求得。
如图甲所示，由R=或R2=L2＋(R－d)2求得。
甲 乙
常用到的几何关系：
(1)粒子的偏转角等于半径扫过的圆心角，如图乙所示，φ=α。
(2)弦切角等于弦所对应的圆心角的一半，如图乙所示，θ=α。
3.时间的计算方法
方法一：利用圆心角θ、周期T求得t=T。
方法二：利用弧长l、线速度v求得t=。
直线边界(粒子进出磁场具有对称性，如图所示)
考向一　直线边界问题
ABD
例 1
(多选)如图所示，在竖直线EOF右侧足够大的区域内存在着磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场。质量相同、电荷量分别为＋q和－q的带电粒子从O点沿纸面以相同的初速度v先后射入磁场，已知初速度方向与OF的夹角θ=30°，两带电粒子在磁场中仅受洛伦兹力作用，则(　 　)
A.两带电粒子回到EOF竖直线时到O点的距离相等
B.两带电粒子回到EOF竖直线时的速度相同
C.两带电粒子在磁场中运动的时间相等
D.从射入到射出磁场的过程中，两带电粒子所受洛伦兹力的冲量相同
【解析】 两带电粒子与OF成θ=30°射入有界匀强磁场后，由左手定则可判断，带正电的粒子沿逆时针方向做匀速圆周运动，带负电的粒子沿顺时针方向做匀速圆周运动，如图所示(磁场未画出)，因两个粒子所带电荷量的绝对值和质量都相同，由r=和T=知，两个粒子的轨迹半径和周期相同，由几何关系知，带负电的粒子在磁场中转过的角度为2θ，带正电的粒子在磁场中转过的角度φ=2π－2θ，则两段圆弧所对应的弦长相等，即两带电粒子回到EOF竖直线时到O点的距离相等，A正确；因洛伦兹力不改变速度的大小，结合几何关系分析知，两粒子回到EOF竖直线时的速度大小和方向均相同，B正确；因两个粒子的运动周期相同，而在磁场中的偏转角度不同，所以两带电粒子在磁场中运动的时间不相等，C错误；因两带电粒子的初、末速度相同，根据动量定理可知两粒子所受洛伦兹力的冲量相同，D正确。
平行边界(如图所示，往往涉及临界条件)
考向二　平行边界问题
【解析】 粒子刚好没能从PQ边界射出磁场时，其运动轨迹刚好与PQ相切，如图所示，设带电粒子做圆周运动的轨迹半径为R，由几何关系有l=R＋Rcos θ，解得R=，根据牛顿第二定律得qv0B=m，解得v0=，运动的时间t=T=，A、C、D错误，B正确。
例 2
真空区域有宽度为l、磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向如图所示，MN、PQ是磁场的边界。质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)沿着与MN夹角为θ的方向垂直射入磁场中，刚好没能从PQ边界射出磁场，则粒子射入磁场的速度大小v0和在磁场中运动的时间t可能为
(　 　)
A.v0= B.v0=
C.t= D.t=
B
圆形边界(粒子进出磁场具有对称性)
(1)沿径向射入必沿径向射出，如图甲所示。
(2)不沿径向射入时，如图乙所示。
射入时粒子速度方向与半径的夹角为θ，射出磁场时速度方向与半径的夹角也为θ。
考向三　圆形边界问题
甲 乙
例 3
如图所示，圆形区域内存在着垂直于纸面向外的匀强磁场，比荷相同的两个粒子(不计重力)沿直径AB方向从A点射入磁场中，则分别从圆弧上的P、Q两点射出的粒子(　 　)
A.在磁场中经历时间之比为3∶1
B.在磁场中做匀速圆周运动周期之比为2∶1
C.在磁场中速率之比为1∶3
D.在磁场中运动轨道半径之比为3∶1
【解析】 作出带电粒子的运动轨迹如图所示：
根据几何关系可知，到达Q点的粒子在磁场中转过的角度为120°，到达P
点的粒子在磁场中转过的角度为60°，而粒子在磁场中做圆周运动的周期
T=，两粒子比荷相同且在同一磁场中做圆周运动，因此周期相同，则
可得tP=T=，tQ=，可得tP∶tQ=1∶2，A、B错误；设圆形磁场的
半径为R，根据几何关系可得=tan 30°，=tan 30°，解得rP∶rQ=3∶1，
而根据v=，可得vP∶vQ=3∶1，C错误，D正确。
D
例 4
(多选)如图所示，在半径为R的圆形匀强磁场区域，磁感应强度为B，方向垂直于圆平面向里，PQ为磁场圆的直径。比荷相同不计重力的负离子a和b以相同速率，由P点在纸面内分别沿与PQ夹角α=30°和沿PQ射入磁场中发生偏转后，又飞出磁场，则下列说法中，正确的有( 　 )
A.离子a和b射出磁场时动能不一定相等
B.离子a和b在磁场中所受洛伦兹力大小一定相等
C.如果离子a从Q点射出磁场，则离子b在磁场中的运动半径为2R
D.如果离子b射出磁场时速度偏转角为90°，则离子a和b在磁场中的运动时间之比为4∶3
ACD
【解析】 洛伦兹力不做功，离子比荷相同但质量不一定相同，由于离子的速率相同，根据动能公式Ek=mv2可知，离子的动能不一定相等，A正确；离子在磁场中受到的洛伦兹力F洛=qvB，由于离子速率相同，比荷相同，但带电荷量不一定相同，故在磁场中所受洛伦兹力大小不一定相等，B错误；如果离子a从Q点射出磁场，则离子a在磁场中做圆周运动的轨迹半径为r0==2R，由于离子在磁场中做圆周运动的半径r=，离子速率相同，比荷相同，故离子b在磁场中的运动半径也为2R，C正确；如果离子b射出磁场时速度偏转角为90°，则离子b做圆周运动的轨迹半径为rb=R，由于两离子在磁场中做圆周运动的轨迹半径相同，则ra=R，离子a的运动轨迹如图所示，由几何知识可知，离子a转过的圆心角θ=120°，由于两离子速率相同，比荷相同，则两离子在磁场中做圆周运动的周期T=
相同，两离子在磁场中做圆周运动的时间为t=T，故离子a和b
在磁场中的运动时间之比为，D正确。
题型二　带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界、多解问题
　　受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，在初速度相同的条件下，正、负粒子在磁场中的运动轨迹也会不同，因而形成多解。
考向一　带电粒子电性不确定形成多解
例 5
(多选)如图所示，在边长为L的正方形PQMN区域内存在垂直于纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，在MN边界放一刚性挡板，粒子碰到挡板则以原速率弹回。一质量为m、带电荷量为q的粒子以某一速度从P点射入，恰好从Q点射出，下列说法中，正确的是(　 　 )
A.带电粒子一定带负电荷
B.带电粒子的速度最小值为
C.若带电粒子与挡板碰撞，则受到挡板作用力的冲量为
D.带电粒子在磁场中运动时间可能为
BCD
【解析】 若粒子的运动轨迹如图甲所示，由左手定则可知，粒子带负电，粒子运动的轨迹半径最小，速度最小，轨迹半径r1=，由qv1B=m，解得v1=，B正确；若粒子带负电，运动轨迹如图乙所示，当轨迹半径等于L时，此时转过的圆心角为60°，所以在磁场中运动的时间为t=，D正确；若粒子带正电，与挡板MN碰撞后恰好从Q点射出，设轨迹半径为r2，运动轨迹如图丙所示，由图中几何关系可得L2＋(r2－0.5L)2=，解得r2=L，由洛伦兹力提供向心力有qv2B=m，解得v2=，由动量定理得I=2mv2=，A错误，C正确。
甲 乙 丙
例 6
(多选)一质量为m、电荷量为q的负电荷(重力不计)在磁感应强度为B的匀强磁场中绕固定的正电荷做匀速圆周运动，若磁场方向垂直于它的运动平面，且作用在负电荷的电场力恰好是磁场力的三倍，则负电荷做圆周运动的角速度可能是(　 　)
A. B. C. D.
【解析】 由题中条件“磁场方向垂直于它的运动平面”，磁场方向有两种可能，且这两种可能方向相反。在方向相反的两个匀强磁场中，由左手定则可知负电荷所受的洛伦兹力的方向也是相反的。当负电荷所受的洛伦兹力与电场力方向相同时，根据牛顿第二定律可知4Bqv=m，得v=，此种情况下，负电荷运动的角速度为ω=；当负电荷所受的洛伦兹力与电场力方向相反时，有2Bqv=m，v=，此种情况下，负电荷运动的角速度为ω=，A、C正确。
考向二　磁场方向不确定形成多解
　　有些题目只告诉了磁感应强度的大小，而未具体指出磁场的方向，此时必须考虑由磁场方向不确定而形成的多解。
AC
例 7
(多选)如图所示，空间中有一个底角均为60°的梯形，上底与腰长相等，均为L，梯形处于磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外的匀强磁场中，现c点存在一个粒子源，可以不断发射速度方向沿cd、大小可变的电子，电子的比荷为k，则能从ab边射出的电子的速度大小可能为(　 　)
A.　 B.
C.　 D.
考向三　临界状态不唯一形成多解
　　带电粒子在磁场中运动，由于临界状态的不确定，粒子的轨迹有多种可能性，故而形成多解。
BC
【解析】 从b点射出时电子的轨迹半径最小，有r1=L，如图甲所示，


从a点射出时电子的轨迹半径最大，有r2=L，如图乙所示，由牛顿第二定律有qvB=m，解得r=，则有L≤≤L，要使电子从ab边射出磁场区域，电子的速度范围为≤v≤kBL，B、C正确，A、D错误。
甲 乙
例 8
如图所示，两方向相反、磁感应强度大小均为B的匀强磁场被边长为L的等边三角形AOC分开，三角形内磁场方向垂直于纸面向里，三角形顶点A处有一质子源，能沿∠OAC的角平分线发射速度不同的质子(质子重力不计)，所有质子均能通过C点，质子比荷为k，则下列说法中，正确的是(　 　)
A.质子的速度可能为BkL
B.质子的速度可能为BkL
C.质子由A到C的时间可能为
D.质子由A到C的时间可能为
考向四　运动的周期性形成多解
　　带电粒子在部分是磁场、部分是电场的空间运动时，运动往往具有周期性，从而形成多解。
C
【解析】 因质子带正电，且经过C点，其可能的轨迹如图所示，所有圆弧所对圆心角均为60°，质子可能的运动半径r=(n=1，2，3，…)，由洛伦兹力提供向心力得Bqv=m，即v=(n=1，2，3，…)，则质子的速度不可能为BkL和BkL，A、B错误；质子由A到C的时间可能为t=×n×(n=1，2，3，…)，则质子由A到C的时间可能为，但不能为，C正确，D错误。
课时作业
答案速对
第十一单元　专题七　带电粒子在有界匀强磁场中的运动 题号 1 2 3 4 5 6
答案 C A C C BD D
题号 7 8 9 答案 C (1)　(2) 见答案 1.(人教版选择性必修第二册改编)如图所示，在xOy坐标系的第一象限内存在匀强磁场。一带电粒子在P点以与x轴正方向成60°的方向垂直于磁场射入，并恰好垂直于y轴射出磁场。已知带电粒子质量为m、电荷量为q，OP=a。不计粒子重力。根据上述信息可以得出(　 　)
A.该匀强磁场的磁感应强度
B.带电粒子在磁场中运动的速率
C.带电粒子在磁场中运动的轨道半径
D.带电粒子在磁场中运动的时间
C
【解析】 粒子恰好垂直于y轴射出磁场，作两速度的垂线，交点为圆心O1，轨迹如图所示，根据几何关系可得cos 30°=，所以R=a，C正确；在磁场中由洛伦兹力提供向心力，即qBv=m，解得带电粒子在磁场中运动的速率为v=，因轨迹圆的半径R可求出，但磁感应强度B未知，则无法求出带电粒子在磁场中运动的速率，A、B错误；带电粒子做圆周运动的圆心角为π，而周期为T=，则带电粒子在磁场中运动的时间为t=T=，因为磁感应强度B未知，则带电粒子在磁场中运动时间无法求出，D错误。
2.如图所示，有界匀强磁场边界线SP∥MN，速率不同的同种带电粒子(重力不计且忽略粒子间的相互作用)从S点沿SP方向同时射入磁场。其中穿过a点的粒子速度v1与MN垂直；穿过b点的粒子速度v2与MN成60°角，则粒子从S点分别到a、b所需时间之比为(　 　)
A.3∶2 B.4∶3
C.1∶3 D.1∶1
【解析】 两带电粒子的运动轨迹如图所示：
圆周运动的圆心角分别为90°和60°。根据t=，则粒子从S点分别到a、b所需时间之比为t1∶t2=3∶2，A正确。
A
3.如图所示，在MNQP中有一垂直于纸面向里的匀强磁场，质量和电荷量大小都相等的带电粒子a、b、c以不同的速率从O点沿垂直于PQ的方向射入磁场，图中实线是它们的轨迹。已知O是PQ的中点，不计粒子重力，下列说法中，正确的是(　 　)
A.粒子a带负电，粒子b、c带正电
B.射入磁场时粒子a的速率最小
C.粒子c在磁场中运动的时间最长
D.粒子a在磁场中运动的周期最小
【解析】 根据左手定则，粒子a带正电，粒子b、c带负电，A错误；根据洛伦兹力提供向心力有qvB=m，可得v=，由题图可知射入磁场时粒子c的运动半径最小，故射入磁场时粒子c的速率最小，B错误；粒子在磁场中运动的周期为T=，可知三个粒子在磁场中运动的周期相等，粒子在磁场中运动的时间为t=T=，射入磁场时粒子c轨迹对应的圆心角最大，故粒子c在磁场中运动的时间最长，C正确，D错误。
C
4.如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场存在于两个同心圆之间，内圆的半径为2R，外圆的半径为3R。一带电粒子以一定的速度正对圆心射入该磁场区域，轨迹恰好与内圆相切，不计粒子重力，则该粒子的轨道半径为(　 　)
A.R
B.R
C.R
D.R
【解析】 设粒子轨道半径为r，轨迹恰好与内圆相切，由几何关系可得r2＋(3R)2=(2R＋r)2，解得r=R，C正确。
C
5.(多选)如图所示，圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，三个质量和电荷量都相同的带电粒子a、b、c，以不同的速率对准圆心O沿着AO方向射入磁场，运动轨迹如图所示，其中∠AOa= 90°，∠AOb=120°，∠AOc=150°。若带电粒子只受洛伦兹力的作用。则下列说法中，正确的是(　 )
A.三个粒子都带负电荷
B.b粒子的速率是a粒子速率的倍
C.a粒子在磁场中运动时间最短
D.三个粒子在磁场中运动的时间之比为3∶2∶1
【解析】 a、b、c三个带电粒子在磁场中运动的圆心和圆心角如图所示：
由左手定则可知，三个粒子均带正电，A错误；设磁场半径为R，由几
何关系可知ra=R，rb=R，由洛伦兹力提供向心力，有qvB=，所以
v=，将ra、rb代入得vb=va，B正确；根据粒子运动时间t=T=，所以时间t∝θ，由图中几何关系可知三个粒子在磁场中运动的时间之比ta∶tb∶tc=3∶2∶1，可见a粒子在磁场中运动的时间最长，C错误，D正确。
BD
6.如图所示，圆形区域内有一垂直于纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点。现有无数个相同的带电粒子在纸面内沿各个不同方向以相同的速率通过P点进入磁场。这些粒子射出边界的位置均处于磁场边界的某一段弧上，这段圆弧的弧长是圆周长的。若将磁感应强度的大小从原来的B1变为B2，相应的弧长将变为原来的一半，则这些带电粒子在前后两种磁场中运动的周期之比等于(　 　)
A.2 B. C.3 D.
【解析】 设磁场圆的半径为r，当磁感应强度为B1时，从P点射入的粒子与磁场边
界的最远交点为M，最远的点轨迹是直径与磁场边界圆的交点，∠POM=120°，
如图所示，设粒子做圆周运动的半径为R，则sin 60°=，解得R=r，当磁感应
强度为B2时，从P点射入的粒子与磁场边界的最远交点为N，最远的点是轨迹直径
与磁场边界圆的交点，∠PON=60°，设粒子做圆周运动的半径为R'，则sin 30°
=，解得R'=r，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由圆周运动公式得T=，
则，D正确。
D
7.(2025·平湖期末)边长为L的等边三角形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，带电粒子从A点沿AB边以v≤v0的速度射入磁场时，粒子在磁场中的运动时间相等，v＞v0时，粒子在磁场中的运动时间变短。已知粒子质量为m，电荷量大小为q，不计粒子的重力，下列说法中，正确的是
(　 　)
A.粒子带负电
B.当粒子速度小于v0时，粒子可能从BC边射出
C.磁场的磁感应强度大小为
D.当粒子速度小于v0时，粒子在磁场中的运动时间为
C
【解析】 根据带电粒子从A点沿AB边以v≤v0的速度射入磁场时，粒子在磁场中的运动时间相等，粒子一定向上偏转，带正电，当从AC边射出时，粒子在磁场中的偏转角相等，都为120°，A、B错误；根据题意，当粒子以v0射入磁场时，粒子从C点射出，如图所示，粒子的轨道半径r=，根据qv0B=，可得B=，C正确；根据t=T、T=，可得t=，代入可知t=，D错误。
8.(2025·浙江七彩阳光联盟)如图所示，半径为R的实线圆形边界内存在垂直于纸面向外的匀强磁场(未画出)，一质量为m、电荷量为＋q的粒子(不计重力)从圆周上的A点以速度v0射入磁场，从B点射出磁场，运动轨迹的半径为2R，粒子在圆形边界内的运动时间为速率相同情况下运动时间的最大值，D点是入射速度延长线与出射速度反向延长线的交点，C点是出射速度延长线上一点，D、C两点间的距离为R，过C点的虚线CE、CM分别与AD平行和垂直，虚线MN与CE平行，且MN与CE的间距为4R，CM、CE与MN所围区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场(未画出)，粒子从C点进入磁场，到达MN时轨迹正好与MN相切于P点，求：
(1)实线圆形边界内匀强磁场的磁感应强度大小B1；
【解析】 由洛伦兹力充当向心力可得B1qv0=，解得B1=。
【答案】 　
(2)CE与MN间匀强磁场的磁感应强度大小B2。
【解析】 由题可知，AB为圆形边界的直径，AB=2R，过A、B两点作速度的垂线即轨迹圆的半径，设AD与AB的夹角为θ，由几何关系可得sin θ=，解得θ=；设速度的偏转角为α，则有α=2θ=，过C、P两点作速度的垂线，设轨迹圆的半径为r，如图所示，由几何关系可得= cos 60°，由洛伦兹力充当向心力可得B2qv0=，综合解得B2=。
【答案】
9.(2022·浙江6月选考)离子速度分析器截面图如图所示。半径为R的空心转筒P，可绕过O点、垂直于xOy平面(纸面)的中心轴逆时针匀速转动(角速度大小可调)，其上有一小孔S。整个转筒内部存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场。转筒下方有一与其共轴的半圆柱面探测板Q，板Q与y轴交于A点。离子源M能沿着x轴射出质量为m、电荷量为－q(q＞0)、速度大小不同的离子，其中速度大小为v0的离子进入转筒，经磁场偏转后恰好沿y轴负方向离开磁场。落在接地的筒壁或探测板上的离子被吸收且失去所带电荷，不计离子的重力和离子间的相互作用。
(1)①求磁感应强度B的大小；
②若速度大小为v0的离子能打在板Q的A处，求转筒P角速度ω的大小。
【解析】 ①离子在磁场中做圆周运动有qv0B=，则B=。
②离子在磁场中的运动时间t=，转筒转动的角度ωt=2kπ，
ω=(4k＋1)(k=0，1，2，…)。
【答案】 ①　②(4k＋1)(k=0，1，2，…)
(2)较长时间后，转筒P每转一周有N个离子打在板Q的C处，OC与x轴负方向的夹角为θ，求转筒转动一周的时间内，C处受到平均冲力F的大小。
【解析】 设速度大小为v的离子在磁场中做圆周运动的半径为R'，有R'=Rtan ，则有v=v0tan ，离子在磁场中的运动时间t'=(π－θ)，转筒的转动角度ω't'=2πn ＋ θ(n=1，2，…)，转筒转动的角速度ω'=·(n=0，1，2，…)，由动量定理有F=Nmv，
平均冲力F=tan (n=0，1，2，…)。
【答案】 tan (n=0，1，2，…)　
(3)若转筒P的角速度小于，且A处探测到离子，求板Q上能探测到离子的其他θ'的值(θ'为探测点位置和O点连线与x轴负方向的夹角)。
【解析】 转筒的转动角速度，其中k=1，解得θ'=π，n=0，2，或者k=0，n=0，θ=(舍去)，可得θ'=π或π。
【答案】 π或π专题七　带电粒子在有界匀强磁场中的运动
题型一　带电粒子在有界匀强磁场中的运动
1.圆心的确定方法
(1)若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，分别确定两点处洛伦兹力F的方向，其交点即为圆心，如图甲所示。
(2)若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向，弦的中垂线与速度垂线的交点即为圆心，如图乙所示。
(3)若已知粒子轨迹上某点速度方向，又能根据r=计算出轨迹半径r，则在该点沿洛伦兹力方向距离为r的位置为圆心，如图丙所示。
　　　　
甲 乙 丙
2.半径的计算方法
方法一：由R=求得。
方法二：通过半径构建三角形，由数学方法解三角形或用勾股定理求得。
如图甲所示，由R=或R2=L2＋(R－d)2求得。
　　
甲 乙
常用到的几何关系：
(1)粒子的偏转角等于半径扫过的圆心角，如图乙所示，φ=α。
(2)弦切角等于弦所对应的圆心角的一半，如图乙所示，θ=α。
3.时间的计算方法
方法一：利用圆心角θ、周期T求得t=T。
方法二：利用弧长l、线速度v求得t=。
考向一　直线边界问题
直线边界(粒子进出磁场具有对称性，如图所示)
[例1]　(多选)如图所示，在竖直线EOF右侧足够大的区域内存在着磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场。质量相同、电荷量分别为＋q和－q的带电粒子从O点沿纸面以相同的初速度v先后射入磁场，已知初速度方向与OF的夹角θ=30°，两带电粒子在磁场中仅受洛伦兹力作用，则(　ABD　)
A.两带电粒子回到EOF竖直线时到O点的距离相等
B.两带电粒子回到EOF竖直线时的速度相同
C.两带电粒子在磁场中运动的时间相等
D.从射入到射出磁场的过程中，两带电粒子所受洛伦兹力的冲量相同
【解析】 两带电粒子与OF成θ=30°射入有界匀强磁场后，由左手定则可判断，带正电的粒子沿逆时针方向做匀速圆周运动，带负电的粒子沿顺时针方向做匀速圆周运动，如图所示(磁场未画出)，因两个粒子所带电荷量的绝对值和质量都相同，由r=和T=知，两个粒子的轨迹半径和周期相同，由几何关系知，带负电的粒子在磁场中转过的角度为2θ，带正电的粒子在磁场中转过的角度φ=2π－2θ，则两段圆弧所对应的弦长相等，即两带电粒子回到EOF竖直线时到O点的距离相等，A正确；因洛伦兹力不改变速度的大小，结合几何关系分析知，两粒子回到EOF竖直线时的速度大小和方向均相同，B正确；因两个粒子的运动周期相同，而在磁场中的偏转角度不同，所以两带电粒子在磁场中运动的时间不相等，C错误；因两带电粒子的初、末速度相同，根据动量定理可知两粒子所受洛伦兹力的冲量相同，D正确。
考向二　平行边界问题
平行边界(如图所示，往往涉及临界条件)
[例2]　真空区域有宽度为l、磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向如图所示，MN、PQ是磁场的边界。质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)沿着与MN夹角为θ的方向垂直射入磁场中，刚好没能从PQ边界射出磁场，则粒子射入磁场的速度大小v0和在磁场中运动的时间t可能为(　B　)
A.v0=
B.v0=
C.t=
D.t=
【解析】 粒子刚好没能从PQ边界射出磁场时，其运动轨迹刚好与PQ相切，如图所示，设带电粒子做圆周运动的轨迹半径为R，由几何关系有l=R＋Rcos θ，解得R=，根据牛顿第二定律得qv0B=m，解得v0=，运动的时间t=T=，A、C、D错误，B正确。
考向三　圆形边界问题
圆形边界(粒子进出磁场具有对称性)
(1)沿径向射入必沿径向射出，如图甲所示。
(2)不沿径向射入时，如图乙所示。
射入时粒子速度方向与半径的夹角为θ，射出磁场时速度方向与半径的夹角也为θ。
　　
甲 乙
[例3]　如图所示，圆形区域内存在着垂直于纸面向外的匀强磁场，比荷相同的两个粒子(不计重力)沿直径AB方向从A点射入磁场中，则分别从圆弧上的P、Q两点射出的粒子(　D　)
A.在磁场中经历时间之比为3∶1
B.在磁场中做匀速圆周运动周期之比为2∶1
C.在磁场中速率之比为1∶3
D.在磁场中运动轨道半径之比为3∶1
【解析】 作出带电粒子的运动轨迹如图所示：
根据几何关系可知，到达Q点的粒子在磁场中转过的角度为120°，到达P点的粒子在磁场中转过的角度为60°，而粒子在磁场中做圆周运动的周期T=，两粒子比荷相同且在同一磁场中做圆周运动，因此周期相同，则可得tP=T=，tQ=，可得tP∶tQ=1∶2，A、B错误；设圆形磁场的半径为R，根据几何关系可得=tan 30°，=tan 30°，解得rP∶rQ=3∶1，而根据v=，可得vP∶vQ=3∶1，C错误，D正确。
[例4]　(多选)如图所示，在半径为R的圆形匀强磁场区域，磁感应强度为B，方向垂直于圆平面向里，PQ为磁场圆的直径。比荷相同不计重力的负离子a和b以相同速率，由P点在纸面内分别沿与PQ夹角α=30°和沿PQ射入磁场中发生偏转后，又飞出磁场，则下列说法中，正确的有(　ACD　)
A.离子a和b射出磁场时动能不一定相等
B.离子a和b在磁场中所受洛伦兹力大小一定相等
C.如果离子a从Q点射出磁场，则离子b在磁场中的运动半径为2R
D.如果离子b射出磁场时速度偏转角为90°，则离子a和b在磁场中的运动时间之比为4∶3
【解析】 洛伦兹力不做功，离子比荷相同但质量不一定相同，由于离子的速率相同，根据动能公式Ek=mv2可知，离子的动能不一定相等，A正确；离子在磁场中受到的洛伦兹力F洛=qvB，由于离子速率相同，比荷相同，但带电荷量不一定相同，故在磁场中所受洛伦兹力大小不一定相等，B错误；如果离子a从Q点射出磁场，则离子a在磁场中做圆周运动的轨迹半径为r0==2R，由于离子在磁场中做圆周运动的半径r=，离子速率相同，比荷相同，故离子b在磁场中的运动半径也为2R，C正确；如果离子b射出磁场时速度偏转角为90°，则离子b做圆周运动的轨迹半径为rb=R，由于两离子在磁场中做圆周运动的轨迹半径相同，则ra=R，离子a的运动轨迹如图所示，由几何知识可知，离子a转过的圆心角θ=120°，由于两离子速率相同，比荷相同，则两离子在磁场中做圆周运动的周期T=相同，两离子在磁场中做圆周运动的时间为t=T，故离子a和b在磁场中的运动时间之比为，D正确。
题型二　带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界、多解问题
考向一　带电粒子电性不确定形成多解
　　受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，在初速度相同的条件下，正、负粒子在磁场中的运动轨迹也会不同，因而形成多解。
[例5]　(多选)如图所示，在边长为L的正方形PQMN区域内存在垂直于纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，在MN边界放一刚性挡板，粒子碰到挡板则以原速率弹回。一质量为m、带电荷量为q的粒子以某一速度从P点射入，恰好从Q点射出，下列说法中，正确的是(　BCD　)
A.带电粒子一定带负电荷
B.带电粒子的速度最小值为
C.若带电粒子与挡板碰撞，则受到挡板作用力的冲量为
D.带电粒子在磁场中运动时间可能为
【解析】 若粒子的运动轨迹如图甲所示，由左手定则可知，粒子带负电，粒子运动的轨迹半径最小，速度最小，轨迹半径r1=，由qv1B=m，解得v1=，B正确；若粒子带负电，运动轨迹如图乙所示，当轨迹半径等于L时，此时转过的圆心角为60°，所以在磁场中运动的时间为t=，D正确；若粒子带正电，与挡板MN碰撞后恰好从Q点射出，设轨迹半径为r2，运动轨迹如图丙所示，由图中几何关系可得L2＋(r2－0.5L)2=，解得r2=L，由洛伦兹力提供向心力有qv2B=m，解得v2=，由动量定理得I=2mv2=，A错误，C正确。
　　
甲 乙
丙
考向二　磁场方向不确定形成多解
　　有些题目只告诉了磁感应强度的大小，而未具体指出磁场的方向，此时必须考虑由磁场方向不确定而形成的多解。
[例6]　(多选)一质量为m、电荷量为q的负电荷(重力不计)在磁感应强度为B的匀强磁场中绕固定的正电荷做匀速圆周运动，若磁场方向垂直于它的运动平面，且作用在负电荷的电场力恰好是磁场力的三倍，则负电荷做圆周运动的角速度可能是(　AC　)
A. B.
C. D.
【解析】 由题中条件“磁场方向垂直于它的运动平面”，磁场方向有两种可能，且这两种可能方向相反。在方向相反的两个匀强磁场中，由左手定则可知负电荷所受的洛伦兹力的方向也是相反的。当负电荷所受的洛伦兹力与电场力方向相同时，根据牛顿第二定律可知4Bqv=m，得v=，此种情况下，负电荷运动的角速度为ω=；当负电荷所受的洛伦兹力与电场力方向相反时，有2Bqv=m，v=，此种情况下，负电荷运动的角速度为ω=，A、C正确。
考向三　临界状态不唯一形成多解
　　带电粒子在磁场中运动，由于临界状态的不确定，粒子的轨迹有多种可能性，故而形成多解。
[例7]　(多选)如图所示，空间中有一个底角均为60°的梯形，上底与腰长相等，均为L，梯形处于磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外的匀强磁场中，现c点存在一个粒子源，可以不断发射速度方向沿cd、大小可变的电子，电子的比荷为k，则能从ab边射出的电子的速度大小可能为(　BC　)
A.　 B.
C.　 D.
【解析】 从b点射出时电子的轨迹半径最小，有r1=L，如图甲所示，
　　
甲 乙
从a点射出时电子的轨迹半径最大，有r2=L，如图乙所示，由牛顿第二定律有qvB=m，解得r=，则有L≤≤L，要使电子从ab边射出磁场区域，电子的速度范围为≤v≤kBL，B、C正确，A、D错误。
考向四　运动的周期性形成多解
　　带电粒子在部分是磁场、部分是电场的空间运动时，运动往往具有周期性，从而形成多解。
[例8]　如图所示，两方向相反、磁感应强度大小均为B的匀强磁场被边长为L的等边三角形AOC分开，三角形内磁场方向垂直于纸面向里，三角形顶点A处有一质子源，能沿∠OAC的角平分线发射速度不同的质子(质子重力不计)，所有质子均能通过C点，质子比荷为k，则下列说法中，正确的是(　C　)
A.质子的速度可能为BkL
B.质子的速度可能为BkL
C.质子由A到C的时间可能为
D.质子由A到C的时间可能为
【解析】 因质子带正电，且经过C点，其可能的轨迹如图所示，所有圆弧所对圆心角均为60°，质子可能的运动半径r=(n=1，2，3，…)，由洛伦兹力提供向心力得Bqv=m，即v=(n=1，2，3，…)，则质子的速度不可能为BkL和BkL，A、B错误；质子由A到C的时间可能为t=×n×(n=1，2，3，…)，则质子由A到C的时间可能为，但不能为，C正确，D错误。

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