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专题十三　电磁感应中的动力学和能量问题
题型一　电磁感应中的动力学问题
1.理解电磁感应过程中导体的两种状态
状态 特征 方法
平衡态 加速度为零 利用平衡条件列式解答
非平衡态 加速度不为零 利用牛顿第二定律结合运动学公式解答
2.抓住“两个研究对象”“四步分析”
3.关注两个“桥梁”：联系力学对象与电学对象的“桥梁”——感应电流I、切割速度v。
[例1]　如图所示，MN和PQ是竖直放置的两根平行光滑金属导轨，导轨足够长且电阻不计，MP间接定值电阻R，金属杆cd保持与导轨垂直且接触良好。杆cd由静止开始下落并计时，杆cd两端的电压U、杆cd所受安培力的大小F随时间t变化的图像，以及通过杆cd的电流I、杆cd加速度的大小a随杆的速率v变化的图像，合理的是(　D　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C. D.
【解析】 设杆长为L，杆下落过程中切割磁感线产生的感应电流大小为I=∝v，C错误；根据牛顿第二定律有mg－BIL=ma，即a=g－，D正确；杆所受安培力的大小为F=BIL=，杆下落过程中先做加速度减小的加速运动，当加速度为零时，速度保持不变，所以安培力随速度先增大后不变，最终大小为mg，B错误；杆两端的电压为U=IR=，速度先增大后不变，所以U先增大后不变，A错误。
[例2]　如图所示，足够长的光滑导轨固定在水平面内，导轨间距为L，左侧接有一电动势为E的电源，空间存在垂直于水平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。长度为L、质量为m、电阻为R的导体棒静止放在导轨上，除了导体棒有电阻外，其余电阻忽略不计，导体棒与导轨接触良好，始终垂直于导轨。现在闭合开关，同时对导体棒施加一水平向右的恒力F，则下列说法中，正确的是(　C　)
A.导体棒受到的安培力一直增大
B.导体棒受到的安培力的方向始终不变
C.导体棒能够达到的最大速度为
D.导体棒能够达到的最大速度为
【解析】 初始时刻安培力向右，导体棒加速，随着速度增加，回路电动势E总=E－BLv，逐渐减小，安培力不断减小，导体棒加速度减小。当E=BLv时，安培力为零，在外力的作用下导体棒继续加速，动生电动势BLv大于E，回路电动势方向反向，电流反向。安培力反向不断增加，加速度继续减小，直到安培力等于外力。稳定时F=BIL，E总=BLv－E=IR，解得v=，C正确，A、B、D错误。
[例3]　(多选)如图所示，空间存在竖直方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B=2 T，两根足够长水平金属直轨道平行放置，轨道间距L=0.5 m。将质量均为m=0.5 kg、长度均为L、电阻均为R=0.5 Ω的金属棒a、b垂直轨道放置，金属棒与直轨道间动摩擦因数均为μ=0.4。现用外力F使金属棒b保持静止，对金属棒a施加大小为F0=6 N，水平向右的恒力，当金属棒a匀速运动时，撤去固定金属棒b的外力F，在运动过程中，金属棒与导轨始终垂直且接触良好，导轨电阻不计，g取10 m/s2。下列说法中，正确的有(　AD　)
A.金属棒a匀速运动时的速度大小为4 m/s
B.金属棒a匀速运动时，其两端的电势差为4 V
C.撤去外力F后，a、b两金属棒的速度差不断增大
D.最终金属棒b以大小为2 m/s2的加速度运动
【解析】 当加速度为0时，金属棒a做匀速运动，此时有I=，又F0=μmg＋BIL，联立解得v=4 m/s，A正确；金属棒a匀速运动时，切割磁感线产生的感应电动势为E=BLv=4 V，由于两金属棒阻值相等，则金属棒a两端的电势差大小为U==2 V，B错误；撤去外力F后，对a、b由牛顿第二定律可得F安－μmg=mab，F0－μmg－F安=maa，最终两金属棒加速度相同，有F安=3 N，aa=ab=2 m/s2，D正确；又F安=，解得Δv=3 m/s，即最终两棒的速度差保持不变，C错误。
有恒定外力的等间距双棒模型
示意图 (举例) 两平行金属导轨固定在水平面内，导轨间距为L，电阻不计，两导体棒1、2质量分别为m1、m2，电阻分别为R1、R2，棒与导轨间的动摩擦因数均为μ，两棒初速度为零，F恒定
电路 特点 棒2相当于电源；棒1受安培力而运动
运动过 程分析 棒1：a1= 棒2：a2=，其中F安= 最初阶段，a2＞a1，只要a2＞a1，(v2－v1)↑ I↑ F安↑ a1↑ a2↓ 当a1=a2时，(v2－v1)恒定，I恒定，F安恒定；两棒都匀加速
规律
最终 状态 稳定时整体由牛顿第二定律得a1=a2=， 两棒以相同的加速度做匀加速运动，Δv恒定，I恒定
题型二　电磁感应中的能量问题
1.能量转化及焦耳热的求解
(1)能量转化
其他形式的能量电能焦耳热或其他形式的能量
(2)求解焦耳热Q的三种方法
①焦耳定律：Q=I2Rt，适用于电流恒定的情况；
②功能关系：Q=W克安(W克安为克服安培力做的功)；
③能量转化：Q=ΔE(其他能的减少量)。
2.解题的一般步骤
(1)确定研究对象(导体棒或回路)；
(2)弄清电磁感应过程中哪些力做功，以及哪些形式的能量相互转化；
(3)根据功能关系或能量守恒定律列式求解。
[例4]　如图所示，平行金属导轨固定在斜面上，导轨上下两端分别连着定值电阻R1和R2，且R1=R2=R。匀强磁场垂直于斜面向上，恒力F拉动阻值也为R的金属杆从静止开始沿导轨向上滑动，金属杆与导轨接触良好，导轨光滑且电阻不计。已知从静止开始到金属杆达到最大速度的过程中，恒力F做功为W，金属杆克服重力做功为W1，金属杆克服安培力做功为W2，定值电阻R1上产生的焦耳热为Q，金属杆动能的增加量为ΔEk，重力势能的增加量为ΔEp，则(　C　)
A.W=2Q＋W1＋W2＋ΔEk＋ΔEp
B.W=3Q＋ΔEk＋ΔEp
C.W=W2＋ΔEk＋ΔEp
D.W2=4Q，W1=ΔEp
【解析】 功是能量转化的量度，做功的过程就是能量转化的过程，力F做功转化为电路中产生的焦耳热、金属杆ab增加的动能和重力势能，所以有W=6Q＋ΔEk＋ΔEp，ab杆克服重力做的功等于ab杆重力势能的增加量，即W1=ΔEp，ab杆克服安培力做的功等于电路中产生的焦耳热，即W2=6Q，故W=W2＋ΔEk＋ΔEp，C正确。
[例5]　(多选)如图所示，两根间距为d的足够长光滑金属导轨，平行放置在倾角为θ=30°的绝缘斜面上，导轨的右端接有电阻R，整个装置放在磁感应强度大小为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向上。导轨上有一质量为m、电阻也为R的导体棒与两导轨垂直且接触良好，导体棒以一定的初速度v0在沿着导轨上滑一段距离L后返回，不计导轨电阻及感应电流间的相互作用，重力加速度为g。下列说法中，正确的有(　AC　)
A.导体棒返回时先做加速运动，最后做匀速直线运动
B.导体棒沿着导轨上滑过程中通过R的电荷量q=
C.导体棒沿着导轨上滑过程中克服安培力做的功W=(m－mgL)
D.导体棒沿着导轨上滑过程中电阻R上产生的热量Q=(m－mgL)
【解析】 导体棒返回时先做加速度减小的加速运动，最后受力平衡，做匀速直线运动，A正确；根据q=，则导体棒沿着导轨上滑过程中通过R的电荷量为q=，B错误；设导体棒沿着导轨上滑过程中克服安培力做的功为W，由能量守恒可得W＋mgLsin 30°=m，解得W=(m－mgL)，C正确；根据功能关系可得，导体棒沿着导轨上滑过程中电阻R上产生的热量为Q=W，则Q=(m－mgL)，D错误。
[例6]　(2025·浙北G2联考)如图所示，e1f1g1和e2f2g2是两根足够长且电阻不计的固定光滑平行金属导轨，其中f1g1和f2g2为导轨的水平部分，e1f1和e2f2是倾角θ=37°的倾斜部分。在f1f2右侧空间中存在磁感应强度大小B=2 T，方向竖直向上的匀强磁场，不计导体棒在导轨连接处的动能损失。将导体棒ab置于倾斜导轨上，距离斜面轨道底端高度h=5 m，另一完全相同的导体棒cd静止于水平导轨上，导轨间距均为L=1 m，导体棒ab的质量为m=1 kg，电阻R=10 Ω，t=0时刻，导体棒ab从静止释放，到两棒最终稳定运动过程中，ab、cd棒未发生碰撞，且两导体棒始终与导轨保持垂直，g取10 m/s2。求：
(1)ab棒刚滑到斜面轨道底端时回路中产生的电流；
(2)从cd棒开始运动，到最终运动达到稳定的过程中，cd棒产生的热量；
(3)从开始计时到两棒最终稳定运动过程中，通过回路的电荷量。
【答案】 (1)1 A　(2)12.5 J　(3)2.5 C
【解析】 (1)ab棒从斜面轨道滑到底端，根据动能定理有mgh=m－0，解得v0=10 m/s；
ab棒产生的感应电动势为E=BLv0，由闭合电路欧姆定律有I=，解得E=20 V，I=1 A。
(2)金属轨道光滑，且两导体棒所受的安培力始终大小相等、方向相反，将两棒组成的系统作为研究对象，系统动量守恒，两棒最终稳定运动时，速度相等，由动量守恒定律有mv0=mv1＋mv1，解得v1=5 m/s；
系统产生的总的焦耳热Q=m－2×m=25 J；
稳定时cd棒上产生的焦耳热Qcd=Q=12.5 J。
(3)从ab棒刚进入磁场到与cd棒共速，对导体棒ab，由动量定理得－BILΔt=mv1－mv0，其中q=IΔt，解得q=2.5 C。(共30张PPT)
题型二　电磁感应中的能量问题
题型一　电磁感应中的动力学问题
课时作业
内
容
索
引
专题十三　电磁感应中的动力学和能量问题
题型一　电磁感应中的动力学问题
1.理解电磁感应过程中导体的两种状态
状态 特征 方法
平衡态 加速度为零 利用平衡条件列式解答
非平衡态 加速度不为零 利用牛顿第二定律结合运动学公式解答
2.抓住“两个研究对象”“四步分析”

3.关注两个“桥梁”：联系力学对象与电学对象的“桥梁”——感应电流I、切割速度v。
例 1
如图所示，MN和PQ是竖直放置的两根平行光滑金属导轨，导轨足够长且电阻不计，MP间接定值电阻R，金属杆cd保持与导轨垂直且接触良好。杆cd由静止开始下落并计时，杆cd两端的电压U、杆cd所受安培力的大小F随时间t变化的图像，以及通过杆cd的电流I、杆cd加速度的大小a随杆的速率v变化的图像，合理的是(　 　)
A. B. C. D.
【解析】 设杆长为L，杆下落过程中切割磁感线产生的感应电流大小为I=∝v，C错误；根据牛顿第二定律有mg－BIL=ma，即a=g－，D正确；杆所受安培力的大小为F=BIL=，杆下落过程中先做加速度减小的加速运动，当加速度为零时，速度保持不变，所以安培力随速度先增大后不变，最终大小为mg，B错误；杆两端的电压为U=IR=，速度先增大后不变，所以U先增大后不变，A错误。
D
【解析】 初始时刻安培力向右，导体棒加速，随着速度增加，回路电动势E总=E－BLv，逐渐减小，安培力不断减小，导体棒加速度减小。当E=BLv时，安培力为零，在外力的作用下导体棒继续加速，动生电动势BLv大于E，回路电动势方向反向，电流反向。安培力反向不断增加，加速度继续减小，直到安培力等于外力。稳定时F=BIL，E总=BLv－E=IR，解得v=，C正确，A、B、D错误。
例 2
如图所示，足够长的光滑导轨固定在水平面内，导轨间距为L，左侧接有一电动势为E的电源，空间存在垂直于水平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。长度为L、质量为m、电阻为R的导体棒静止放在导轨上，除了导体棒有电阻外，其余电阻忽略不计，导体棒与导轨接触良好，始终垂直于导轨。现在闭合开关，同时对导体棒施加一水平向右的恒力F，则下列说法中，正确的是(　 　)
A.导体棒受到的安培力一直增大
B.导体棒受到的安培力的方向始终不变
C.导体棒能够达到的最大速度为
D.导体棒能够达到的最大速度为
C
例 3
(多选)如图所示，空间存在竖直方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B=2 T，两根足够长水平金属直轨道平行放置，轨道间距L=0.5 m。将质量均为m=0.5 kg、长度均为L、电阻均为R=0.5 Ω的金属棒a、b垂直轨道放置，金属棒与直轨道间动摩擦因数均为μ=0.4。现用外力F使金属棒b保持静止，对金属棒a施加大小为F0=6 N，水平向右的恒力，当金属棒a匀速运动时，撤去固定金属棒b的外力F，在运动过程中，金属棒与导轨始终垂直且接触良好，导轨电阻不计，g取10 m/s2。下列说法中，正确的有(　 　)
A.金属棒a匀速运动时的速度大小为4 m/s
B.金属棒a匀速运动时，其两端的电势差为4 V
C.撤去外力F后，a、b两金属棒的速度差不断增大
D.最终金属棒b以大小为2 m/s2的加速度运动
AD
【解析】 当加速度为0时，金属棒a做匀速运动，此时有I=，又F0=μmg＋BIL，联立解得v=4 m/s，A正确；金属棒a匀速运动时，切割磁感线产生的感应电动势为E=BLv=4 V，由于两金属棒阻值相等，则金属棒a两端的电势差大小为U==2 V，B错误；撤去外力F后，对a、b由牛顿第二定律可得F安－μmg=mab，F0－μmg－F安=maa，最终两金属棒加速度相同，有
F安=3 N，aa=ab=2 m/s2，D正确；又F安=，解得Δv=3 m/s，即最终两棒的速度差保持不变，C错误。
有恒定外力的等间距双棒模型
要点总结
示意图 (举例) 两平行金属导轨固定在水平面内，导轨间距为L，电阻不计，两导体棒1、2质量分别为m1、m2，电阻分别为R1、R2，棒与导轨间的动摩擦因数均为μ，两棒初速度为零，F恒定

电路特点 棒2相当于电源；棒1受安培力而运动
运动过 程分析 棒1：a1=
棒2：a2=，其中F安=
最初阶段，a2＞a1，只要a2＞a1，(v2－v1)↑ I↑ F安↑ a1↑ a2↓
当a1=a2时，(v2－v1)恒定，I恒定，F安恒定；两棒都匀加速
要点总结
规律

最终状态 稳定时整体由牛顿第二定律得a1=a2=，
两棒以相同的加速度做匀加速运动，Δv恒定，I恒定
题型二　电磁感应中的能量问题
1.能量转化及焦耳热的求解
(1)能量转化
其他形式的能量 电能 焦耳热或其他形式的能量
(2)求解焦耳热Q的三种方法
①焦耳定律：Q=I2Rt，适用于电流恒定的情况；
②功能关系：Q=W克安(W克安为克服安培力做的功)；
③能量转化：Q=ΔE(其他能的减少量)。
2.解题的一般步骤
(1)确定研究对象(导体棒或回路)；
(2)弄清电磁感应过程中哪些力做功，以及哪些形式的能量相互转化；
(3)根据功能关系或能量守恒定律列式求解。
例 4
如图所示，平行金属导轨固定在斜面上，导轨上下两端分别连着定值电阻R1和R2，且R1=R2 =R。匀强磁场垂直于斜面向上，恒力F拉动阻值也为R的金属杆从静止开始沿导轨向上滑动，金属杆与导轨接触良好，导轨光滑且电阻不计。已知从静止开始到金属杆达到最大速度的过程中，恒力F做功为W，金属杆克服重力做功为W1，金属杆克服安培力做功为W2，定值电阻R1上产生的焦耳热为Q，金属杆动能的增加量为ΔEk，重力势能的增加量为ΔEp，则(　 　)
A.W=2Q＋W1＋W2＋ΔEk＋ΔEp
B.W=3Q＋ΔEk＋ΔEp
C.W=W2＋ΔEk＋ΔEp
D.W2=4Q，W1=ΔEp
【解析】 功是能量转化的量度，做功的过程就是能量转化的过程，力F做功转化为电路中产生的焦耳热、金属杆ab增加的动能和重力势能，所以有W=6Q＋ΔEk＋ΔEp，ab杆克服重力做的功等于ab杆重力势能的增加量，即W1=ΔEp，ab杆克服安培力做的功等于电路中产生的焦耳热，即W2=6Q，故W=W2＋ΔEk＋ΔEp，C正确。
C
【解析】 导体棒返回时先做加速度减小的加速运动，最后受力平衡，做匀速直线运动，A正确；根据q=，则导体棒沿着导轨上滑过程中通过R的电荷量为q=，B错误；设导体棒沿着导轨上滑过程中克服安培力做的功为W，由能量守恒可得W＋mgLsin 30°=m，解得W=(m－mgL)，C正确；根据功能关系可得，导体棒沿着导轨上滑过程中电阻R上产生的热量为Q=W，则Q=(m－mgL)，D错误。
例 5
(多选)如图所示，两根间距为d的足够长光滑金属导轨，平行放置在倾角为θ=30°的绝缘斜面上，导轨的右端接有电阻R，整个装置放在磁感应强度大小为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向上。导轨上有一质量为m、电阻也为R的导体棒与两导轨垂直且接触良好，导体棒以一定的初速度v0在沿着导轨上滑一段距离L后返回，不计导轨电阻及感应电流间的相互作用，重力加速度为g。下列说法中，正确的有(　 )
A.导体棒返回时先做加速运动，最后做匀速直线运动
B.导体棒沿着导轨上滑过程中通过R的电荷量q=
C.导体棒沿着导轨上滑过程中克服安培力做的功W=(m－mgL)
D.导体棒沿着导轨上滑过程中电阻R上产生的热量Q=(m－mgL)
AC
例 6
(2025·浙北G2联考)如图所示，e1f1g1和e2f2g2是两根足够长且电阻不计的固定光滑平行金属导轨，其中f1g1和f2g2为导轨的水平部分，e1f1和e2f2是倾角θ=37°的倾斜部分。在f1f2右侧空间中存在磁感应强度大小B=2 T，方向竖直向上的匀强磁场，不计导体棒在导轨连接处的动能损失。将导体棒ab置于倾斜导轨上，距离斜面轨道底端高度h=5 m，另一完全相同的导体棒cd静止于水平导轨上，导轨间距均为L=1 m，导体棒ab的质量为m=1 kg，电阻R=10 Ω，t=0时刻，导体棒ab从静止释放，到两棒最终稳定运动过程中，ab、cd棒未发生碰撞，且两导体棒始终与导轨保持垂直，g取10 m/s2。求：
(1)ab棒刚滑到斜面轨道底端时回路中产生的电流；
【解析】 ab棒从斜面轨道滑到底端，根据动能定理有mgh=m－0，解得v0=10 m/s；
ab棒产生的感应电动势为E=BLv0，由闭合电路欧姆定律有I=，解得E=20 V，I=1 A。
【答案】 1 A　
(2)从cd棒开始运动，到最终运动达到稳定的过程中，cd棒产生的热量；
【解析】 金属轨道光滑，且两导体棒所受的安培力始终大小相等、方向相反，将两棒组成的系统作为研究对象，系统动量守恒，两棒最终稳定运动时，速度相等，由动量守恒定律有mv0=mv1＋mv1，解得v1=5 m/s；
系统产生的总的焦耳热Q=m－2×m=25 J；
稳定时cd棒上产生的焦耳热Qcd=Q=12.5 J。
【答案】 12.5 J　
(3)从开始计时到两棒最终稳定运动过程中，通过回路的电荷量。
【解析】 从ab棒刚进入磁场到与cd棒共速，对导体棒ab，由动量定理得－BLΔt=mv1－mv0，其中q=Δt，解得q=2.5 C。
【答案】 2.5 C
课时作业
答案速对
第十二单元　 专题十三　电磁感应中的动力学和能量问题
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 B BD B BD CD 见答案 见答案
1.如图所示，固定在水平桌面上的光滑金属导轨cd、eg处于方向竖直向下的匀强磁场中，金属杆ab与导轨接触良好。在两根导轨的端点d、e之间连接一电阻，其他部分电阻忽略不计。现用一水平向右的外力F1作用在金属杆ab上，使金属杆由静止开始向右沿导轨滑动，滑动中杆ab始终垂直于导轨。金属杆受到的安培力用FA表示，则下列关于F1与FA随时间t变化的关系图像，可能的是(　 　)
A. B. C. D.
【解析】 安培力FA=，可知安培力与v成正比，而由选项图可知，安培力与时间t成正比，则v与t成正比，即导体棒做匀加速直线运动，对导体棒有F1－FA=ma，所以这两个力的差值保持不变，就意味着F1必定均匀增大的，B正确。
B
2.(多选)在如图所示的甲、乙、丙中除导体棒ab可动外，其余部分均固定不动。图甲中的电容器C原来不带电，设导体棒、导轨和直流电源的电阻均可忽略，导体棒和导轨间的摩擦不计。图中装置均在水平面内，且都处于方向垂直于水平面(即纸面)向下、大小相等的匀强磁场中，导轨足够长，现均给导体棒一个向右的初速度v0，导体棒的最终运动状态是(　 　)
A.三种情况下，导体棒最终均静止
B.图甲、丙中导体棒最终将以不同的速度做匀速运动；图乙中导体棒最终静止
C.图甲、丙中，导体棒最终将以相同的速度做匀速运动
D.图甲、乙中，电阻R上产生的焦耳热一定不同
BD
甲 乙 丙
【解析】 题图甲中，导体棒向右运动切割磁感线产生感应电流而使电容器充电，当电容器极板间电压与导体棒产生的感应电动势相等时，电路中没有电流，导体棒不受安培力，其向右做匀速运动；题图乙中，导体棒向右运动切割磁感线产生感应电流，通过电阻R转化为内能，导体棒速度减小，当导体棒的动能全部转化为内能时，导体棒静止；题图丙中，导体棒先受到向左的安培力作用向右做减速运动，速度减为零后再在安培力作用下向左做加速运动，当导体棒产生的感应电动势与电源的电动势相等时，电路中没有电流，导体棒向左做匀速运动，A、C错误，B正确；题图甲中，导体棒的部分动能转化为内能，题图乙中，导体棒的动能全部转化为内能，故有Q甲＜Q乙，D正确。
3.如图所示，两个由不同导电材料做成质量相同、边长相同的线框A和线框B，线框的电阻RA大于RB。现将两个线框从同一高度由静止释放，下落到某一高度时进入磁场，磁场一直延伸到地面位置。不计空气阻力，设两线框落地时的动能大小分别为EkA和EkB，落地所用时间分别为tA和tB，下列说法中，正确的是(　 　)
A.EkA=EkB，tA=tB
B.EkA＞EkB，tA＜tB
C.EkA＞EkB，tA＞tB
D.EkA＜EkB，tA＜tB
【解析】 不计空气阻力，质量相同的线框A和线框B在同一高度时，所具有的重力势能相等，线框下落进入磁场区域时，做切割磁感线运动，将机械能转化为电能，即重力势能部分转化为动能，部分转化为电能。线框A电阻大，进入磁场时产生的感应电流小，克服安培力做功小，产生焦耳热小，所以落地时，A的动能大于B的动能；进入磁场时，线框A所受向上的磁场力小，进入磁场时的速度比线框B大，所以落地所用时间小。综上有EkA＞EkB，tA＜tB，B正确。
B
4.(多选)用一段横截面半径为r、电阻率为ρ、密度为ρ0的均匀导体材料做成一个半径为R(r R)的圆环。圆环竖直向下落入如图所示的径向磁场中，圆环的圆心始终在N极的轴线上，圆环所在位置的磁感应强度大小均为B。圆环在加速下落过程中某一时刻的速度为v，忽略电感的影响，重力加速度为g，下列说法中，正确的有(　 　)
A.下落过程圆环中磁通量不变
B.此时圆环受到竖直向上的安培力作用
C.此时圆环的加速度a=g
D.如果径向磁场足够深，则圆环的最大速度vmax=
BD
【解析】 圆环下落过程中切割磁感线，产生感应电流，则圆环中磁通量一定变化，A错误；根据右手定则可知，圆环中有顺时针(俯视)的感应电流，根据左手定则可知，圆环受到的安培力竖直向上，阻碍圆环的运动，B正确；速度为v时，圆环产生的感应电动势E=Blv=B·2πRv，圆环的电阻R0=ρ，感应电流I=，圆环所受的安培力大小F=BI·2πR=，由牛顿第二定律得mg－F=ma，由于有r R，则质量m=ρ0V=ρ0·2πR·πr2，联立解得a=g－，C错误；当圆环做匀速直线运动时，安培力与重力等大反向，加速度为零，速度最大，即有g－=0，解得vmax=，D正确。
5.(多选)如图甲所示，足够长导轨与水平面的夹角θ=37°，导轨间距L=1 m，其下端连接一个阻值R=1 Ω的定值电阻，两导轨间存在垂直于导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小B=1 T。一质量为m的导体棒ab垂直于导轨放置，导体棒与导轨间的动摩擦因数μ=0.5。现将导体棒由静止释放，对应过程的x－t图像如图乙所示，0~6 s内为曲线、6 s后为直线。运动过程中，导体棒始终与导轨垂直且接触良好，不计空气阻力和导体棒、导轨电阻，g取10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8。下列说法中，正确的有(　 　)
A.导体棒的加速度大小为0.5 m/s2时，导体棒的速度大小为1.2 m/s
B.导体棒的质量为2.4 kg
C.0~8 s内，通过定值电阻的电荷量为16.32 C
D.0~6 s内，系统产生的焦耳热为24.192 J
CD
甲 乙
【解析】 对导体棒受力分析，由牛顿第二定律得mgsin θ－μmgcos θ－=ma，6~8 s过程中导体棒达到最大速度，则vmax==2.4 m/s，此时a=0，代人上式解得m=1.2 kg，B错误；将m=
1.2 kg，a=0.5 m/s2代入方程mgsin θ－μmgcos θ－=ma，解得v=1.8 m/s，A错误；前8 s内，q==16.32 C，C正确；前6 s内由动能定理得(mgsin θ－μmgcos θ)x－W=m，系统产生的焦耳热Q=W=24.192 J，D正确。
6.(2024·全国甲卷改编)如图所示，金属导轨平行且水平放置，导轨间距为L，导轨光滑无摩擦。定值电阻大小为R，其余电阻忽略不计，电容大小为C。在运动过程中，金属棒始终与导轨保持垂直。整个装置处于竖直方向且磁感应强度大小为B的匀强磁场中。
(1)开关S闭合时，对金属棒施加以水平向右的恒力，金属棒能达到的最大速度为v0。当外力功率为定值电阻功率的2倍时，求金属棒速度v的大小；
【解析】开关S闭合后，当外力与安培力相等时，金属棒的速度最大，则F=F安=BIL，
由闭合电路欧姆定律得I=，
金属棒切割磁感线产生的感应电动势E=BLv0，联立可得，恒定的外力F=。
在加速阶段，外力的功率PF=Fv=v，定值电阻的功率PR=I2R=，
当PF=2PR时，即v=2，
化简可得金属棒速度v的大小v=。
【答案】 　
(2)当金属棒速度为v时，断开开关S，改变水平外力并使金属棒匀速运动。当外力功率为定值电阻功率的2倍时，求电容器两端的电压以及从开关断开到此刻外力所做的功。
【解析】 断开开关S，电容器充电，则电容器与定值电阻串联，有E=BLv=IR，
当金属棒匀速运动时，电容器不断充电，电荷量q不断增大，电路中电流不断减小，则金属棒所受安培力F安=BIL不断减小，而拉力的功率PF=F'v=BILv，
定值电阻功率PR=I2R。
当PF=2PR时，有BILv=2I2R，可得IR=。
根据E=BLv=IR可得此时电容器两端电压UC=BLv0。
从开关断开到外力功率为定值电阻功率的两倍的时刻，外力所做的功
W=∑BIL(v·Δt)=BLv∑I·Δt=BLvq，
其中q=，
联立可得W=。
【答案】 　
7.(2025·浙江七彩阳光联盟)如图所示，光滑平行金属导轨MM'、NN'水平部分固定在水平平台上，圆弧部分在竖直面内，足够长的光滑平行金属导轨QQ'、PP'固定在水平面上，导轨间距均为L，N'点与P点高度差为h，水平距离也为h，导轨MM'、NN'左端接阻值为R的定值电阻，水平部分处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，平行金属导轨QQ'、PP'完全处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，两磁场的磁感应强度大小均为B。质量为m的金属棒b放在金属导轨QQ'、PP'上，质量为m的金属棒a从距离导轨MM'、NN'水平部分高度为h处由静止释放，从M'N'处飞出后恰好落在P、Q端，并沿金属导轨QQ'、PP'向右滑行，金属棒a落到导轨QQ'、PP'上时，竖直方向的分速度完全损失，水平方向的分速度不变，最终a、b两金属棒恰好不相碰，重力加速度大小为g，不计一切摩擦、导轨电阻及空气阻力。a、b两金属棒接入电路的电阻均为R，运动过程中始终与导轨垂直并接触良好。求：
(1)导体棒a刚进入磁场时的加速度大小；
【解析】 设金属棒a刚进入磁场时的速度大小为v0，根据动能定理有mgh=m，解得v0=；
金属棒进入磁场的瞬间，金属棒a中感应电动势E=BLv0，感应电流I=，根据牛顿第二定律有BIL=ma，解得a=。
【答案】 　
(2)平行金属导轨MM'、NN'水平部分长度d；
【解析】 设金属棒a从M'、N'飞出时的速度为v1，飞出后做平抛运动，则有h=gt2，h=v1t，解得v1=；
金属棒a在金属导轨MM'、NN'水平部分运动过程中，根据动量定理有－BLΔt=mv1－mv0，
根据电流的定义式有=，
该过程感应电动势的平均值=，
感应电流的平均值=，
又q=，解得d=。
【答案】 　
(3)通过导体棒b中的电荷量及整个过程金属棒a产生的焦耳热。
【解析】金属棒a落到金属导轨QQ'、PP'上向右滑行时的初速度大小为v1，金属棒a、b组成的系统动量守恒，设最后的共同速度为v2，根据动量守恒定律有mv1=2mv2，
解得v2=；
对金属棒b进行分析，根据动量定理有BLΔt1=mv2，
根据电流的定义式有，
解得qb=；
金属棒a在导轨MM'、NN'上运动时产生的焦耳热Q1=，解得Q1=mgh；
金属棒a在导轨QQ'、PP'上运动时产生的焦耳热Q2=，解得Q2=mgh，因此金属棒a中产生的焦耳热Q=Q1＋Q2=mgh。
【答案】 　mgh

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