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(共37张PPT)
题型二　复合场中的摆线问题
题型一　带电粒子在叠加场中的运动
课时作业
内
容
索
引
专题十一　带电粒子在叠加场中的运动
【学习目标】1.了解叠加场的特点，会处理一般的带电粒子在叠加场中的运动问题。
2.会用配速法解决带电粒子在复合场中的摆线问题。
3.掌握解决带电粒子在立体空间中的运动问题的解题思路和处理方法。
题型三　带电粒子在立体空间中的运动
题型一　带电粒子在叠加场中的运动
1.叠加场：电场、磁场、重力场共存，或其中某两种场共存。
2.带电粒子在叠加场中常见的几种运动形式
运动性质 受力特点 方法规律
匀速直 线运动 粒子所受的合力为0 平衡条件
匀速圆 周运动 除洛伦兹力外，电场力和重力的合力为零，即qE=mg 牛顿第二定律、圆周运动的规律
较复杂的 曲线运动 三力的合力不为0，且与速度方向不垂直 动能定理、能量守恒定律
例 1
地面附近空间中存在着水平方向的匀强电场和匀强磁场，已知磁场方向垂直于纸面向里。一个带电油滴沿着一条与竖直方向成α角的直线MN运动。由此可以判断(　 　)
A.如果油滴带正电，它是从N点运动到M点
B.如果油滴带正电，它是从M点运动到N点
C.如果水平电场方向向右，油滴是从M点运动到N点
D.不改变电场大小，如果将水平电场变为竖直电场，油滴将做匀速圆周运动
【解析】 根据做直线运动的条件和受力情况(如图所示)可知，如果油滴带正电，水平电场的方向只能向左，由左手定则判断可知，油滴从M点运动到N点，A错误，B正确；如果水平电场方向向右，油滴只能带负电，电场力水平向左，由左手定则判断可知，油滴从N点运动到M点，C错误；不改变电场大小，如果将水平电场变为竖直电场，则油滴做匀速圆周运动需要满足条件qE=mg，qvB=m，D错误。
考向一　带电粒子在叠加场中的直线运动
B
例 2
(多选)(2024·安徽卷)空间中存在竖直向下的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。一质量为m的带电油滴a，在纸面内做半径为R的圆周运动，轨迹如图所示。当a运动到最低点P时，瞬间分成两个小油滴Ⅰ、Ⅱ，二者带电量、质量均相同。Ⅰ在P点时与a的速度方向相同，并做半径为3R的圆周运动，轨迹如图所示。Ⅱ的轨迹未画出。已知重力加速度大小为g，不计空气阻力与浮力以及Ⅰ、Ⅱ分开后的相互作用，则
(　 　)
A.油滴a带负电，所带电荷量的大小为
B.油滴a做圆周运动的速度大小为
C.小油滴Ⅰ做圆周运动的速度大小为，周期为
D.小油滴Ⅱ沿顺时针方向做圆周运动
ABD
考向二　带电粒子在叠加场中的圆周运动
【解析】 油滴a做圆周运动，故重力与电场力平衡，可知带负电，有mg=Eq，解得q=，A正确；根据洛伦兹力提供向心力，有Bqv=m，得R=，解得油滴a做圆周运动的速度大小为v=，B正确；设小油滴Ⅰ的速度大小为v1，得3R=，解得v1=，周期为T=，C错误；带电油滴a分离前后动量守恒，设分离后小油滴Ⅱ的速度为v2，取油滴a分离前瞬间的速度方向为正方向，得mv=v1＋v2，解得v2=－，由于分离后的小液滴受到的电场力和重力仍然平衡，分离后小油滴Ⅱ的速度方向与正方向相反，根据左手定则可知小油滴Ⅱ沿顺时针方向做圆周运动，D正确。
题型二　复合场中的摆线问题
1.摆线是同一平面内匀速直线运动和匀速圆周运动的合运动的轨迹，其实就是一个圆沿着一条直线做无滑动的滚动，圆周上的一点运动的曲线，如图所示。

2.配速法
(1)定义：把初速度分解为两个分速度，使其中一个分速度对应的洛伦兹力与重力(或静电力，或重力和静电力的合力)平衡，另一个分速度对应的洛伦兹力使粒子做匀速圆周运动，这样一个复杂的曲线运动就可以分解为两个比较常见的运动，这种方法叫配速法。
(2)配速法处理叠加场中的摆线类常见问题
常见情况 处理方法
BG摆线：初速度为0，有重力 把初速度0分解为一个向左的速度v1和一个向右的速度v1

BE摆线：初速度为0，不计重力 把初速度0分解为一个向左的速度v1和一个向右的速度v1

常见情况 处理方法
BEG摆线：初速度为0，有重力 把初速度0分解为一个斜向左下方的速度v1和一个斜向右上方的速度v1

BGv摆线：初速度为v0，有重力 把初速度v0分解为速度v1和速度v2

例 3
如图所示，空间存在竖直向下的匀强电场和水平的匀强磁场(垂直于纸面向里)，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为＋q的带电粒子在电场中运动，不计粒子所受重力。若该粒子在M点由静止释放，求粒子沿电场方向运动的最大距离ym和运动过程中的最大速率vm。(提示：为了研究该粒子的运动，可以应用运动的合成与分解的方法，将它为0的初速度分解为大小相等的水平向左和水平向右的速度。)
【解析】 粒子的初速度为零，可分解为水平向右的速度v和水平向左的速度v，其中水平向右的速度v对应的洛伦兹力与静电力平衡，有Bqv=Eq；因此，粒子的运动是水平向右速度为v的匀速直线运动和初速度水平向左、大小为v的逆时针匀速圆周运动的合运动，圆周运动的轨迹半径r=，所以ym=2r=，vm=2v=。
【答案】 　
例 4
(2025·台州二模)在竖直平面内建立如图所示的xOy直角坐标系，x轴水平，y≥L(L未知)的区域Ⅰ内存在着水平方向的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场(图中均未画出)，x轴下方的区域Ⅲ存在垂直于纸面向里的匀强磁场，区域Ⅱ无电场或磁场。一个带正电的小球从y轴上的P点以与水平方向成30°的初速度v0斜向右下抛出，沿直线运动到M点后进入区域Ⅱ做曲线运动，而后经过N点进入区域Ⅲ，小球在N点时的速度与水平方向成60°角。已知小球的质量为m，电荷量为＋q，区域Ⅲ的磁感应强度大小B2与区域Ⅰ的磁感应强度大小B1满足B2=B1(B1、B2为未知量)，重力加速度为g。求：
(1)区域Ⅰ内电场E的大小与方向；
【解析】 小球在区域Ⅰ做匀速直线运动，由受力平衡知Eq=，解得E=，方向水平向左。
【答案】 　方向水平向左　
(2)L的大小；
【解析】 小球在M点的水平速度为v0，竖直速度为v0，在N点的水平速度仍为v0，竖直速度为v0，所以L=。
【答案】 　
(3)小球在区域Ⅲ运动的时间；
【解析】 由(1)可知B1=，B2=B1=，小球通过N点进入区域Ⅲ时的速度为v0，方向与水平成60°角斜向右下，利用配速法将此速度分解为水平向右的v0和斜向左下的v0，如图所示，
小球在向右做匀速直线运动的同时，又在区域Ⅲ完成了圆周运动，故运动时间t=。
【答案】
(4)小球第二次经过y=L时与M点的距离。
【解析】 小球在区域Ⅱ从M点到N点的水平位移x1=v0·，小球在区域Ⅲ的水平位移x2=·v0t=，回到区域Ⅱ的水平位移x3=x1，故x=x1＋x2＋x3=。　
【答案】
题型三　带电粒子在立体空间中的运动
　　若粒子的速度方向与磁场方向不垂直也不平行时，粒子的运动也根据运动的分解和动力学规律分析。
(1)等间距螺旋线运动。
空间中只存在匀强磁场，当带电粒子的速度方向与磁场的方向不平行也不垂直时，带电粒子在磁场中就做等间距的螺旋线运动。这种运动可分解为平行于磁场方向的匀速直线运动和垂直于磁场方向的匀速圆周运动。
(2)不等间距的螺旋线运动。
空间中的匀强磁场和匀强电场(或重力场)平行时，带电粒子的速度方向与磁场方向不平行也不垂直时，带电粒子就做不等间距的螺旋线运动。这种运动可分解为平行于磁场方向的匀变速直线运动和垂直于磁场方向的匀速圆周运动。
考向一　带电粒子的旋进运动
【解析】 电场力的瞬时功率P=qEv1，A错误；由于v1与磁场平行，则根据洛伦兹力的计算公式有F洛=qv2B，B错误；根据运动的叠加原理可知，离子在垂直于纸面内做匀速圆周运动，沿水平方向做加速运动，则v1增大，v2不变，v2与v1的比值不断变小，C正确；离子受到的洛伦兹力大小不变，电场力不变，则该离子的加速度大小不变，但洛伦兹力方向改变，所以加速度方向改变，D错误。
例 5
某同学将一小段真空室内的电场和磁场理想化为方向均水平向右的匀强电场和匀强磁场(如图)，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。若某电荷量为q的正离子在此电场和磁场中运动，其速度平行于磁场方向的分量大小为v1，垂直于磁场方向的分量大小为v2，不计离子重力，则(　 　)
A.电场力的瞬时功率为qE
B.该离子受到的洛伦兹力大小为qv1B
C.v2与v1的比值不断变小
D.该离子的加速度恒定不变
C
　　分析带电粒子在立体空间中的运动时，要发挥空间想象力，确定粒子在空间的位置关系。带电粒子依次通过不同的空间，运动过程分为不同的阶段，只要分析出每个阶段上的运动规律，再利用两个空间交界处粒子的运动状态和关联条件即可解决问题。一般情况下利用降维法，要将粒子的运动分解为两个互相垂直的分运动来求解。
考向二　带电粒子在立体空间中的偏转
例 6
现代科学研究中，经常用磁场和电场约束带电粒子的运动轨迹，如图所示，有一棱长为L的正方体电磁区域abcd－efgh，其中M、N分别为棱ab、棱gh的中点，以棱ef中点O为坐标原点、以ON为x轴正方向、OM为y轴正方向、Oe为z轴正方向建立三维坐标系O－xyz，正方体区域内可能单独或同时存在沿z轴负方向的匀强电场E及匀强磁场B，在O点有一粒子源，沿x轴正方向发射不同速率的带电粒子，粒子质量均为m，电荷量均为＋q，且粒子入射速度在0.9v0≤v≤3.3v0范围内均匀分布，已知磁感应强度大小为B=，电场强度大小为E=，不计粒子的重力和粒子间的相互作用，取=1.732。
(1)若正方体区域内只存在磁场，求入射速度大小为v0的粒子在该区域中运动的时间；
【解析】 带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力可得qv0B=m，解得r1=，
粒子运动轨迹如图甲所示，
根据几何关系可知cos θ=，则θ=60°，设带电粒子做圆周运动的周期为T，则有T=，解得T=，粒子轨迹对应的圆心角为120°，所以运动时间t=T=。
甲
【答案】 　
(2)若正方体区域内同时存在电场和磁场，求入射速度大小为v0的粒子从该区域射出的位置的坐标；
【解析】 若正方体区域内同时存在电场和磁场，粒子在做圆周运动的同时，沿z轴负方向在静电力作用下加速运动，加速度a=，沿着电场方向的位移z=at2=
故粒子从上表面abcd射出，由图甲可知
x=r1sin θ=
则入射速度大小为v0的粒子从正方体电磁区域射出的位置的坐标为。
【答案】 　
(3)若正方体区域内同时存在电场和磁场，求从正方体上表面abcd射出的粒子数占粒子总数的百分比。
【解析】 由上述分析可知，粒子从正方体上表面abcd射出时，粒子速率越大，粒子做匀速圆周运动的半径越大，图甲中的p点越靠近d，轨迹圆心角越小，粒子在电磁区域中的运动时间越短，粒子沿z轴负方向的位移越小。当粒子速率最大为vmax时从cd边射出，对应的圆周运动轨迹为圆周，其半径等于L，有qvmaxB=m，解得vmax=1.5v0，
假设粒子沿z轴负方向的分运动匀加速运动到f点时，粒子能够从bc边射出，设粒子在电场中运动时间为t2，则有，解得t2=，设此情况粒子匀速圆周运动轨迹的圆心角为β，则有t2=T，解得β=150°，此情况粒子的运动轨迹在正方体前表面adhe内的投影如图乙所示，
乙
可知假设成立，此时粒子的速率是从正方体上表面abcd射出的粒子速率的最小值vmin，设此时圆周运动半径为r2，由几何关系可得r2＋r2cos 30°=L，解得r2==2(2－)L，同理有qvminB=m，解得vmin=3(2－)v0，从正方体上表面abcd射出的粒子速率范围应为3(2－)v0≤v≤v0，粒子入射速度在0.9v0≤v≤3.3v0范围内均匀分布，则从正方体上表面abcd射出的粒子速率范围为0.9v0≤v≤v0。
综上知，从正方体上表面abcd射出的粒子数占粒子总数的百分比η==25%。
【答案】 25%
课时作业
答案速对
第十一单元　专题十一　带电粒子在叠加场中的运动 题号 1 2 3 4 5 6
答案 C D BD A 见答案 见答案
1.如图所示，一带电液滴在相互垂直的匀强电场和匀强磁场中刚好做匀速圆周运动，其轨道半径为R，已知该电场的电场强度大小为E、方向竖直向下；该磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里，不计空气阻力，设重力加速度为g，则(　 　)
A.液滴带正电
B.液滴比荷
C.液滴沿顺时针方向运动
D.液滴运动速度大小v=
【解析】 液滴在重力场、匀强电场、匀强磁场的叠加场中做匀速圆周运动，可知qE=mg，得，B错误；静电力方向竖直向上，液滴带负电，A错误；由左手定则可判断液滴沿顺时针方向运动，C正确；对液滴有qE=mg，qvB=m，联立得v=，D错误。
C
2.如图所示，在真空中竖直平面(纸面)内边长为a的正方形区域ABCD，存在方向沿CB(水平向左)的匀强电场和方向垂直于纸面的匀强磁场(图中未画出)。一带电小球以速率(g为重力加速度)从A点沿AC方向射入正方形区域，恰好能沿直线运动。下列说法中，正确的是(　 　)
A.该小球带负电
B.磁感应强度方向垂直于纸面向外
C.若该小球从C点沿CA方向以速率射入正方形区域，则小球将做直线运动
D.若电场的电场强度大小不变、方向变为竖直向上，该小球仍从A点沿AC方向以速率射入正方形区域，则小球将从D点射出
D
【解析】 小球做直线运动，说明小球受力平衡，小球所受重力方向竖直向下，若小球带正电，所受静电力方向水平向左，所受洛伦兹力方向垂直于AC斜向上，小球受力可能平衡，则磁感应强度方向垂直于纸面向里，若小球带负电，所受静电力方向水平向右，无论小球所受洛伦兹力方向垂直于AC斜向左下还是右上，小球受力都不能平衡，A、B错误；若该小球从C点沿CA方向以速率射入正方形区域，则小球所受的合力不为零，速度会变化，洛伦兹力也会变化，小球将做曲线运动，C错误；电场方向水平向左，由平衡条件有qvB=mg(其中v=)，qE=mg，电场的电场强度大小不变、方向变为竖直向上后，静电力与重力平衡，小球沿逆时针方向做匀速圆周运动，设轨迹半径为r，有qvB=m，解得r=a，有2rsin 45°=a，所以小球将从D点射出，D正确。
3.(多选)在地面上方空间存在方向垂直于纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场与竖直方向的匀强电场(图中未画出)，一电荷量为＋q、质量m的带电粒子(重力不计)，以初速度v0水平向右射出，运动轨迹如图。已知电场强度大小为E=，重力加速度为g。下列说法中，正确的是(　 　)
A.电场方向竖直向上
B.带电粒子运动到轨迹的最低点时的速度大小为2v0
C.带电粒子水平射出时的加速度大小为
D.带电粒子在竖直面内运动轨迹的最高点与最低点的高度差为
【解析】 由运动轨迹可知，带电粒子只有受竖直向下的静电力，最低点线速度最大，偏转半径最大，则电场方向竖直向下，A错误；将带电粒子的速度分解为一个水平向左、大小v1=的分速度，和一个水平向右、大小v2=v0的分速度，由于v1对应的洛伦兹力F1=qv0B=Eq，则带电粒子的运动可以看成是以速率v1向左的匀速直线运动和以速率v2的匀速圆周运动的合运动，故小球在运动轨迹的最低点时的速度大小v=v1＋v2=2v0，B正确；由牛顿第二定律可得带电粒子水平射出时的加速度大小为a=，C错误；由于洛伦兹力不做功，带电粒子从运动轨迹的最高点运动到最低点的过程有mEqh=mv2，又有v=2v0，解得h=，D正确。
BD
4.(2026·温州中学月考)速度选择器是质谱仪的重要组成部分，用于剔除速度不同的粒子，从而提高检测精度。如图所示，MN两极板间有竖直向下的匀强电场E=5×103 V/m和垂直纸面向里的匀强磁场B=0.1 T，两板的长度和间距均足够大，虚线是电磁场的中心轴线。现有一束带负电的离子(不计重力)以1×105 m/s的速度沿着虚线从左侧进入电磁场区域，其轨迹可能是(　 　)
【解析】 离子受到的电场力FE=qE，洛伦兹力FB=qvB，代入数据得FE=q×5×103，FB=q×1× 104，得FB＞FE，带负电的离子，电场向下，负电荷受力向上，电场力方向向上，洛伦兹力方向用左手定则判断，四指指向离子运动的反方向，磁感线穿手心，大拇指指向向下，即洛伦兹力方向向下。由于FB＞FE，离子会向下偏转，且在偏转过程中，速度方向改变，洛伦兹力方向也会改变，水平方向速度位移大于圆周运动在水平方向的位移，最终轨迹会呈现向下弯曲且有周期性的曲线。A正确。
A. B. C. D.
A
5.如图所示，cd边界与x轴垂直，在其右方竖直平面内，第一、二象限存在垂直于纸面向外的匀强磁场，第三、四象限存在垂直于纸面向内的匀强磁场，磁场区域覆盖有竖直向上的外加匀强电场。在xOy平面内，某质量为m、电荷量为q带正电荷的绝缘小球从P点与cd边界成30°角以速度v0射入，小球到坐标原点O时恰好以速度v0竖直向下运动，此时去掉外加的匀强电场。重力加速度大小为g，已知磁感应强度大小均为。求：
(1)电场强度的大小和P点距y轴的距离；
【解析】 依题意，小球从P点运动到坐标原点O，速率没有改变，即动能变化量为零，由动能定理可知合力做功为零，电场力与重力等大反向，可知qE=mg，解得E=。可知在洛伦兹力作用下小球从P点到O点做匀速圆周运动，轨迹如图甲所示，
根据qv0B=m，解得r=，由几何关系，可得xP=r＋rcos 30°，联立解得xP=。
【答案】 　
甲
(2)小球第一次到达最低点时的速度大小；
【解析】 把小球在坐标原点的速度v0分解为沿x轴正方向的v0和与x轴负方向成45°的v0，如图乙所示，
由qv0B=mg可知其中沿x轴正方向的v0对应的洛伦兹力恰好与小
球重力平衡，则小球沿x轴正方向做匀速直线运动；与x轴负方
向成45°的v0对应的洛伦兹力提供小球做逆时针匀速圆周运
动的向心力，可知小球第一次到达最低点时的速度大小为v=v0
v0=(1)v0。
【答案】 (1)v0　
乙
(3)小球从过坐标原点到第一次到达最低点时所用的时间。
【解析】 由第(2)问分析可知小球在撤去电场后做匀速圆周运动的分运动轨迹如图丙所示，
根据q×v0×B=m，又T=，由几何关系，可得小球从过坐标原点时到第一次到达最低点时圆弧轨迹对应的圆心角为135°，则所用时间为t=T，联立解得t=。
【答案】
丙
6.(2025·杭州二模)如图所示为离子回旋加工芯片流程的示意图。离子源发出质量为m的正离子，沿水平中轴OO1经速度选择器后，进入可加电场或磁场且边长为L的正方形偏转区，偏转后进入加有水平向右的匀强磁场B2的共振腔，使腔内气体电离蚀刻芯片。已知速度选择器与偏转区的匀强电场均为E1，方向相反，匀强磁场均为B1，方向垂直纸面向外。仅加电场时离子出射偏转角α很小，且tan α=。不考虑电磁场突变影响，离子进入共振腔后不碰壁，粒子重力不计。角度θ很小时，有sin θ≈tan θ≈θ，cos θ≈1－。
(1)求离子通过速度选择器后的速度大小。
【解析】 离子沿水平中轴 OO1经过速度选择器，设离子电荷量为q则满足qvB1=qE1，解得v=。
【答案】 　
(2)求离子的电荷量。
【解析】 偏转区仅加电场时，水平方向L=vt，竖直方向vy=t，且有tan α=，联立解得q=。
【答案】 　
(3)偏转区仅加磁场时，求离子出射时偏离轴线OO1的距离。
【解析】 离子在磁场中偏转时，设偏转角为θ，磁场半径R==25L，偏转角等于圆心角，由几何关系sin θ=≈tan θ≈θ，可得θ=；离子出射时偏离OO1轴线的距离d=R(1－cos θ)=R。
【答案】
(4)离子以(3)问中的速度进入共振腔，受与运动方向相反的阻力f=kv，k为已知常数。施加垂直于轴线O2O3且匀速旋转的匀强电场E2使离子加速。稳定后离子在垂直于轴线O2O3的某切面内以与电场相同的角速度做匀速圆周运动，速度与电场的夹角(小于90°)保持不变。则：
①为保证离子不接触芯片，求芯片距离O2的最小距离；
②角速度为多大时，稳定后旋转电场对离子做功的瞬时功率最大。
【解析】 当离子进入共振腔后，将速度分解为两个方向，其中水平方向vx=vcos θ，其中cos θ≈1－，

①水平方向在阻力f=kv下做减速运动，为保证离子不接触芯片，对离子进入到水平方向速度减小为0过程分析，由动量定理有0－mv=－∑kvxΔt，其中∑vxΔt=x，得芯片距离O2的最小距离x=；
②稳定后离子会以与旋转电场相同的恒定角速度在某一切面内做匀速圆周运动，设最终速度为v1。沿圆周的半径方向有qE2sin β＋qv1B2=mωv1，沿圆周的切线方向qE2cos β=kv1，可得v1= ；旋转电场对离子做功的功率P=fv1=k，当mω－qB2=0，即ω=时，电场对离子做功的瞬时功率最大。
【答案】 ①　②专题十一　带电粒子在叠加场中的运动
【学习目标】
1.了解叠加场的特点，会处理一般的带电粒子在叠加场中的运动问题。
2.会用配速法解决带电粒子在复合场中的摆线问题。
3.掌握解决带电粒子在立体空间中的运动问题的解题思路和处理方法。
题型一　带电粒子在叠加场中的运动
1.叠加场：电场、磁场、重力场共存，或其中某两种场共存。
2.带电粒子在叠加场中常见的几种运动形式
运动性质 受力特点 方法规律
匀速直 线运动 粒子所受的合力为0 平衡条件
匀速圆 周运动 除洛伦兹力外，电场力和重力的合力为零，即qE=mg 牛顿第二定律、圆周运动的规律
较复杂的 曲线运动 三力的合力不为0，且与速度方向不垂直 动能定理、能量守恒定律
考向一　带电粒子在叠加场中的直线运动
[例1]　地面附近空间中存在着水平方向的匀强电场和匀强磁场，已知磁场方向垂直于纸面向里。一个带电油滴沿着一条与竖直方向成α角的直线MN运动。由此可以判断(　B　)
A.如果油滴带正电，它是从N点运动到M点
B.如果油滴带正电，它是从M点运动到N点
C.如果水平电场方向向右，油滴是从M点运动到N点
D.不改变电场大小，如果将水平电场变为竖直电场，油滴将做匀速圆周运动
【解析】 根据做直线运动的条件和受力情况(如图所示)可知，如果油滴带正电，水平电场的方向只能向左，由左手定则判断可知，油滴从M点运动到N点，A错误，B正确；如果水平电场方向向右，油滴只能带负电，电场力水平向左，由左手定则判断可知，油滴从N点运动到M点，C错误；不改变电场大小，如果将水平电场变为竖直电场，则油滴做匀速圆周运动需要满足条件qE=mg，qvB=m，D错误。
考向二　带电粒子在叠加场中的圆周运动
[例2]　(多选)(2024·安徽卷)空间中存在竖直向下的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。一质量为m的带电油滴a，在纸面内做半径为R的圆周运动，轨迹如图所示。当a运动到最低点P时，瞬间分成两个小油滴Ⅰ、Ⅱ，二者带电量、质量均相同。Ⅰ在P点时与a的速度方向相同，并做半径为3R的圆周运动，轨迹如图所示。Ⅱ的轨迹未画出。已知重力加速度大小为g，不计空气阻力与浮力以及Ⅰ、Ⅱ分开后的相互作用，则(　ABD　)
A.油滴a带负电，所带电荷量的大小为
B.油滴a做圆周运动的速度大小为
C.小油滴Ⅰ做圆周运动的速度大小为，周期为
D.小油滴Ⅱ沿顺时针方向做圆周运动
【解析】 油滴a做圆周运动，故重力与电场力平衡，可知带负电，有mg=Eq，解得q=，A正确；根据洛伦兹力提供向心力，有Bqv=m，得R=，解得油滴a做圆周运动的速度大小为v=，B正确；设小油滴Ⅰ的速度大小为v1，得3R=，解得v1=，周期为T=，C错误；带电油滴a分离前后动量守恒，设分离后小油滴Ⅱ的速度为v2，取油滴a分离前瞬间的速度方向为正方向，得mv=v1＋v2，解得v2=－，由于分离后的小液滴受到的电场力和重力仍然平衡，分离后小油滴Ⅱ的速度方向与正方向相反，根据左手定则可知小油滴Ⅱ沿顺时针方向做圆周运动，D正确。
题型二　复合场中的摆线问题
1.摆线是同一平面内匀速直线运动和匀速圆周运动的合运动的轨迹，其实就是一个圆沿着一条直线做无滑动的滚动，圆周上的一点运动的曲线，如图所示。
2.配速法
(1)定义：把初速度分解为两个分速度，使其中一个分速度对应的洛伦兹力与重力(或静电力，或重力和静电力的合力)平衡，另一个分速度对应的洛伦兹力使粒子做匀速圆周运动，这样一个复杂的曲线运动就可以分解为两个比较常见的运动，这种方法叫配速法。
(2)配速法处理叠加场中的摆线类常见问题
常见情况 处理方法
BG摆线：初速度为0，有重力 把初速度0分解为一个向左的速度v1和一个向右的速度v1
BE摆线：初速度为0，不计重力 把初速度0分解为一个向左的速度v1和一个向右的速度v1
BEG摆线：初速度为0，有重力 把初速度0分解为一个斜向左下方的速度v1和一个斜向右上方的速度v1
BGv摆线：初速度为v0，有重力 把初速度v0分解为速度v1和速度v2
[例3]　如图所示，空间存在竖直向下的匀强电场和水平的匀强磁场(垂直于纸面向里)，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为＋q的带电粒子在电场中运动，不计粒子所受重力。若该粒子在M点由静止释放，求粒子沿电场方向运动的最大距离ym和运动过程中的最大速率vm。(提示：为了研究该粒子的运动，可以应用运动的合成与分解的方法，将它为0的初速度分解为大小相等的水平向左和水平向右的速度。)
【答案】 　
【解析】 粒子的初速度为零，可分解为水平向右的速度v和水平向左的速度v，其中水平向右的速度v对应的洛伦兹力与静电力平衡，有Bqv=Eq；因此，粒子的运动是水平向右速度为v的匀速直线运动和初速度水平向左、大小为v的逆时针匀速圆周运动的合运动，圆周运动的轨迹半径r=，所以ym=2r=，vm=2v=。
[例4]　(2025·台州二模)在竖直平面内建立如图所示的xOy直角坐标系，x轴水平，y≥L(L未知)的区域Ⅰ内存在着水平方向的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场(图中均未画出)，x轴下方的区域Ⅲ存在垂直于纸面向里的匀强磁场，区域Ⅱ无电场或磁场。一个带正电的小球从y轴上的P点以与水平方向成30°的初速度v0斜向右下抛出，沿直线运动到M点后进入区域Ⅱ做曲线运动，而后经过N点进入区域Ⅲ，小球在N点时的速度与水平方向成60°角。已知小球的质量为m，电荷量为＋q，区域Ⅲ的磁感应强度大小B2与区域Ⅰ的磁感应强度大小B1满足B2=B1(B1、B2为未知量)，重力加速度为g。求：
(1)区域Ⅰ内电场E的大小与方向；
(2)L的大小；
(3)小球在区域Ⅲ运动的时间；
(4)小球第二次经过y=L时与M点的距离。
【答案】 (1)　方向水平向左　(2)　(3)
(4)
【解析】 (1)小球在区域Ⅰ做匀速直线运动，由受力平衡知Eq=，解得E=，方向水平向左。
(2)小球在M点的水平速度为v0，竖直速度为v0，在N点的水平速度仍为v0，竖直速度为v0，所以L=。
(3)由(1)可知B1=，B2=B1=，小球通过N点进入区域Ⅲ时的速度为v0，方向与水平成60°角斜向右下，利用配速法将此速度分解为水平向右的v0和斜向左下的v0，如图所示，
小球在向右做匀速直线运动的同时，又在区域Ⅲ完成了圆周运动，故运动时间t=。
(4)小球在区域Ⅱ从M点到N点的水平位移x1=v0·，小球在区域Ⅲ的水平位移x2=·v0t=，回到区域Ⅱ的水平位移x3=x1，故x=x1＋x2＋x3=。　
题型三　带电粒子在立体空间中的运动
考向一　带电粒子的旋进运动
　　若粒子的速度方向与磁场方向不垂直也不平行时，粒子的运动也根据运动的分解和动力学规律分析。
(1)等间距螺旋线运动。
空间中只存在匀强磁场，当带电粒子的速度方向与磁场的方向不平行也不垂直时，带电粒子在磁场中就做等间距的螺旋线运动。这种运动可分解为平行于磁场方向的匀速直线运动和垂直于磁场方向的匀速圆周运动。
(2)不等间距的螺旋线运动。
空间中的匀强磁场和匀强电场(或重力场)平行时，带电粒子的速度方向与磁场方向不平行也不垂直时，带电粒子就做不等间距的螺旋线运动。这种运动可分解为平行于磁场方向的匀变速直线运动和垂直于磁场方向的匀速圆周运动。
[例5]　某同学将一小段真空室内的电场和磁场理想化为方向均水平向右的匀强电场和匀强磁场(如图)，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。若某电荷量为q的正离子在此电场和磁场中运动，其速度平行于磁场方向的分量大小为v1，垂直于磁场方向的分量大小为v2，不计离子重力，则(　C　)
A.电场力的瞬时功率为qE
B.该离子受到的洛伦兹力大小为qv1B
C.v2与v1的比值不断变小
D.该离子的加速度恒定不变
【解析】 电场力的瞬时功率P=qEv1，A错误；由于v1与磁场平行，则根据洛伦兹力的计算公式有F洛=qv2B，B错误；根据运动的叠加原理可知，离子在垂直于纸面内做匀速圆周运动，沿水平方向做加速运动，则v1增大，v2不变，v2与v1的比值不断变小，C正确；离子受到的洛伦兹力大小不变，电场力不变，则该离子的加速度大小不变，但洛伦兹力方向改变，所以加速度方向改变，D错误。
考向二　带电粒子在立体空间中的偏转
　　分析带电粒子在立体空间中的运动时，要发挥空间想象力，确定粒子在空间的位置关系。带电粒子依次通过不同的空间，运动过程分为不同的阶段，只要分析出每个阶段上的运动规律，再利用两个空间交界处粒子的运动状态和关联条件即可解决问题。一般情况下利用降维法，要将粒子的运动分解为两个互相垂直的分运动来求解。
[例6]　现代科学研究中，经常用磁场和电场约束带电粒子的运动轨迹，如图所示，有一棱长为L的正方体电磁区域abcd－efgh，其中M、N分别为棱ab、棱gh的中点，以棱ef中点O为坐标原点、以ON为x轴正方向、OM为y轴正方向、Oe为z轴正方向建立三维坐标系O－xyz，正方体区域内可能单独或同时存在沿z轴负方向的匀强电场E及匀强磁场B，在O点有一粒子源，沿x轴正方向发射不同速率的带电粒子，粒子质量均为m，电荷量均为＋q，且粒子入射速度在0.9v0≤v≤3.3v0范围内均匀分布，已知磁感应强度大小为B=，电场强度大小为E=，不计粒子的重力和粒子间的相互作用，取=1.732。
(1)若正方体区域内只存在磁场，求入射速度大小为v0的粒子在该区域中运动的时间；
(2)若正方体区域内同时存在电场和磁场，求入射速度大小为v0的粒子从该区域射出的位置的坐标；
(3)若正方体区域内同时存在电场和磁场，求从正方体上表面abcd射出的粒子数占粒子总数的百分比。
【答案】 (1)　(2)　(3)25%
【解析】 (1)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力可得qv0B=m，解得r1=，
粒子运动轨迹如图甲所示，
甲
根据几何关系可知cos θ=，则θ=60°，设带电粒子做圆周运动的周期为T，则有T=，解得T=，粒子轨迹对应的圆心角为120°，所以运动时间t=T=。
(2)若正方体区域内同时存在电场和磁场，粒子在做圆周运动的同时，沿z轴负方向在静电力作用下加速运动，加速度a=，沿着电场方向的位移z=at2=
故粒子从上表面abcd射出，由图甲可知
x=r1sin θ=
则入射速度大小为v0的粒子从正方体电磁区域射出的位置的坐标为。
(3)由上述分析可知，粒子从正方体上表面abcd射出时，粒子速率越大，粒子做匀速圆周运动的半径越大，图甲中的p点越靠近d，轨迹圆心角越小，粒子在电磁区域中的运动时间越短，粒子沿z轴负方向的位移越小。当粒子速率最大为vmax时从cd边射出，对应的圆周运动轨迹为圆周，其半径等于L，有qvmaxB=m，解得vmax=1.5v0，
假设粒子沿z轴负方向的分运动匀加速运动到f点时，粒子能够从bc边射出，设粒子在电场中运动时间为t2，则有，解得t2=，设此情况粒子匀速圆周运动轨迹的圆心角为β，则有t2=T，解得β=150°，此情况粒子的运动轨迹在正方体前表面adhe内的投影如图乙所示，
乙
可知假设成立，此时粒子的速率是从正方体上表面abcd射出的粒子速率的最小值vmin，设此时圆周运动半径为r2，由几何关系可得r2＋r2cos 30°=L，解得r2==2(2－)L，同理有qvminB=m，解得vmin=3(2－)v0，从正方体上表面abcd射出的粒子速率范围应为3(2－)v0≤v≤v0，粒子入射速度在0.9v0≤v≤3.3v0范围内均匀分布，则从正方体上表面abcd射出的粒子速率范围为0.9v0≤v≤v0。
综上知，从正方体上表面abcd射出的粒子数占粒子总数的百分比η==25%。

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