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福建龙岩市高级中学等校2025-2026学年第二学期期中考试
高二数学试卷
一、单选题
1．已知向量与共线，则实数（ ）
A． B． C．或 D．或
2．曲线在点处的切线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
3．已知O是坐标原点，空间向量，，，若线段AB的中点为D，则（ ）
A． B．3 C．8 D．9
4．若函数，则函数从到的平均变化率为（ ）
A．6 B．3 C．2 D．1
5．已知空间三点，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
6．函数的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知函数的导函数为，且满足，则（ ）
A． B．1 C． D．
8．若函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．在空间直角坐标系中，已知，，，则（ ）.
A．点关于平面对称的点是
B．点关于轴对称的点是
C．
D．
10．下列命题是真命题的有（ ）
A．平面经过三点，，，是平面的法向量，则，
B．直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直
C．直线的方向向量为，平面的法向量为，则
D． ，，，是空间四点，若，，不能构成空间的一个基底，那么，，，共面
11．已知函数，则（ ）
A．当时，的单调递减区间为
B．存在，使得有三个零点
C．当时，的极小值点为
D．当时，曲线的对称中心为
三、填空题
12．已知空间向量，则__________．
13．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是_________.
14．已知函数在定义域内单调递增，则的取值范围是_______.
四、解答题
15．在长方体中，，为与的交点．
(1)用向量表示；
(2)求异面直线与所成角的余弦值．
16．已知函数在处取得极值1.
(1)求、b的值；
(2)求在上的最大值和最小值.
17．已知函数．
(1)若，求的单调区间；
(2)若有两个极值点，求实数的取值范围；
18．如图，四棱锥中，平面，，，，，，，是的中点.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面所成角的余弦值；
(3)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
19．已知函数在点处的切线与直线平行.
(1)求切线的方程；
(2)判断在上零点的个数，并说明理由.
参考答案
1．D
2．D
3．B
4．B
5．C
6．B
7．D
8．B
9．ACD
10．BD
11．AD
12．
13．
14．
15．1）因为为与的交点，且为的中点，
所以，又因为，
所以
（2）因为在长方体中，故以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图：
根据题意可得．
，．
可得．
，，
所以，
故异面直线与所成角的余弦值为．
16．（1）因为，该函数的定义域为，
则，
因为函数在处取得极值1，
则，解得，，则，
所以，，令，可得，列表如下：
1
+ 0
增 极大值 减
所以，函数在取得极大值，合乎题意，故，.
（2）由（1）可知，函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，，
又因为，，
因为，
所以，故.
17．（1）若，，
则，
令，解得，令，解得，
所以函数单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）由，可得，
由有两个极值点，则有两个变号零点，即有两个正根，
所以，
解得，所以实数的取值范围为.
18．（1）取中点，连接、，
又是的中点，所以，且，
又，，，所以，且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，
所以平面；
（2）因为平面，平面，平面，
所以，，
又，所以以为坐标原点，以为轴，以为轴，以为轴，
建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，，
所以，，，，
令平面的法向量为，则，即，
令，则，，所以平面的法向量为，
令平面的法向量为，则，即，
令，则，，所以平面的法向量为，
设平面与平面所成角为，
所以，
所以平面与平面所成角的余弦值为；
（3）设且，则，由（2）可得，，，，
所以，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，，所以平面的法向量为，
又，点到平面的距离为，
所以，即，解得，
所以在线段上存在点，使得点到平面的距离为，且.
19．（1），
所以切线的斜率，由题意得.
所以，所以，
所以切线的方程为，即.
（2）由（1）知，所以，
由，可得，
令，则.
①当时，，
因为，，则，，
所以，所以在上单调递增，
又因为，所以在上无零点.
②当时，令，
则，即在上单调递减，
又因为，
所以存在，使得，
所以在上单调递增，在上单调递娍，
因为，
所以在上有且只有一个零点.

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