资源简介

湖南省岳阳市临湘市2026年初中学业水平考试适应性测试 数 学
1．下列各数中，比小的数是（　　）
A． B． C．0 D．1
2．东洞庭湖国家级自然保护区是国际重要湿地保护区，湿地保护率达以上.2026年2月监测到越冬水鸟超过485000羽，将485000用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是（　　）
A．1 B．0 C．-1 D．-2
5．中国象棋起源于5000多年前的黄帝时期．《广象戏格》记载：“象戏兵戏也，黄帝之战，驱猛兽以为阵，象，兽之雄也．故戏兵以象戏名之”．如图放置的中国象棋，关于它的三视图表述正确的是（　　）
A．主视图与俯视图相同 B．左视图与俯视图相同
C．主视图与左视图相同 D．三种视图都相同
6．如图，是的两条弦，连接．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
7．某农技站为了解几种新推广的猕猴桃树的产量情况，随机从甲、乙、丙、丁四个品种的猕猴桃树中各采摘了20棵，每个品种产量的平均数（单位：千克）及方差s2如下表所示：
甲 乙 丙 丁
32 32 36 36
s2 2.4 2 m 1.6
调查显示20棵丙猕猴桃树的产量各不相同，丙品种平均产量相对较高且稳定，则m的值可能是（　　）
A．0 B．1.5 C．1.8 D．2.1
8．在我们的生活中，不等关系随处可见．小明与妈妈今年分别是x岁与y岁．他们母子对话包含的数学依据是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
9．如图，点C是反比例函数（）的图象上的一个动点，且轴于点A，交y轴于点B．则四边形的面积是（　　）
A．12 B．9 C．6 D．3
10．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴于点，轴于点，以为圆心、的长为半径画弧，交于点；再分别以点，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
11．函数y= 中，自变量x的取值范围是　 　．
12．因式分解：=　 　．
13．为吸引顾客，某超市推出购物抽奖活动．如图，抽奖时转动质地均匀的圆形转盘，转盘停止后，指针随机指向某一区域，顾客根据指针指向的区域领取对应奖票．若阴影部分的圆心角为210°，则指针指向白色区域的概率为　 　．
14．如图，体育课上，张老师用旧轮胎帮助同学们进行负重训练，绳子与水平地面的夹角为，绳子与人体的夹角，则人体的倾斜角　 　°．
15．苯环是由6个碳原子组成的环状结构，外形是一个完美的正六边形．如图，与分别为正六边形的两条对角线，则　 　．
16．如图，，，分别为的三边，其中，直线是边的垂直平分线，顶点到直线的距离为，我们将定义为的斜度，记作．
(1)若的斜度，则　 　．
(2)若的三边满足关系式：，则斜度　 　．
17．计算：．
18．解不等式组，并将解集表示在数轴上．
19．为提高同学们学习数学的兴趣，某校开展了数学文化知识竞赛．该校九年级、两个班各有学生人，九年级组计划从两个班中挑选一个班代表年级组参加学校的比赛，为了解这两个班学生对数学文化的关注程度，现对这两个班的学生进行相关测试，并各随机抽取名学生的成绩(满分：分)进行统计分析．
【数据收集】
九年级班：，，，，，，，，，；
九年级班：，，，，，，，，，．
【数据整理】
九年级班
九年级班
【数据分析】
平均数 中位数 众数
九年级班
九年级班
【数据应用】
（1）表中 ， ， ， ；
（2）学校规定测试成绩在分及以上的学生为优秀，请估计九年级班名学生中数学文化测试成绩为优秀的学生人数；
（3）若在九年级选取一个班参加学校组织的比赛，根据统计数据，你建议选择班还是班，请说明理由．
20．如图，已知为的直径，是弦，点D为半径的延长线上一点，连接，．
（1）求证：是的切线．
（2）若，求的长度（结果保留）．
21．为办好2026跨年音乐节无人机表演，计划租赁一批A型、B型无人机．已知单场租赁一架A型无人机的费用比一架B型无人机贵80元，且用7200元租赁A型无人机的数量与用4800元租赁B型无人机的数量相同．
（1）设一架A型无人机单场租赁费用为x元，则用4800元租赁B型无人机的数量为 架（用含x的式子表示）；
（2）求一架A型无人机和一架B型无人机的单场租赁费用分别是多少元？
22．为防治白蚁，保护古树，如图所示，园艺技术人员在古树两侧的水平地面上，于B，D两处使用专业检测工具，精准定位古树根部区域的白蚁窝P，检测线与相交于白蚁窝P．已知，检测线，与水平地面的夹角分别为，．
（1）两次检测定位时，两条检测线形成的夹角的度数是多少？
（2）为了制定科学的除害方案，最大限度避免伤及古树根系，求白蚁窝P距离地面的深度．（结果保留整数，参考数据：，，，）
23．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，与抛物线L：交于点和点．
（1）求证：点Q为抛物线L的顶点；
（2）将抛物线L先向上平移1个单位，再向左平移r（）个单位，得到抛物线，若抛物线经过点，且点D在抛物线的对称轴左侧，求抛物线的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，记抛物线的对称轴为直线l，作点关于直线l的对称点B，连接，在直线上是否存在点P，满足？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
24．【问题提出】
数学课上，李老师提出问题：在四边形中，对角线与相交于点E，，，．试探究：
①若，用含有α的式子表示；
②若，与满足关系式，求k的值．
【方法探究】
九（1）班的两个数学学习小组经过讨论，提出了下面两种添加辅助线的方法，如图：
方法1：延长到点F，使，连接，根据“边角边”容易证得；
方法2：将绕点A逆时针旋转，使与重合，点C的对应点为F，则．
【问题解决】
（1）用含有α的式子表示 ， ；
【应用提升】
（2）借助上面解决问题的方法或用自己的方法解答下面问题：
如图，在四边形中，平分，，，求线段的长．
【拓展应用】
（3）如图，在中，，，点P为内一点，分别连接，，．若，，且．直接写出的面积．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：根据正数大于0，0大于负数，可得，，故C、D错误；
，，，
，
，，故A正确，B错误．
故答案为：A.
【分析】由正数大于零和负数，零大于负数，可判断C、D选项，根据几个负数，绝对值大的反而小即可判断A、B选项.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：.
故答案为：C.
【分析】用科学记数法表示大于10的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此解答即可.
3．【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；二次根式的加减法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：与不是同类二次根式，不能合并，∴A错误；
B：根据幂的乘方法则，底数不变，指数相乘，可得 ，∴B正确；
C：根据同底数幂除法法则，底数不变，指数相减，可得 ，∴C错误；
D：根据完全平方公式展开，可得 ，∴D错误．
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的加法，幂的乘方，同底数幂除法，完全平方公式的运算法则逐项判断即可解答．
4．【答案】A
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴根的判别式，
即，
解得．
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式等于0，据此解答即可．
5．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由图可知，这个图的左视图和主视图相同，均为矩形，俯视图为圆，与左视图和主视图不相同．
故答案为：C.
【分析】主视图就是从几何体的正面看得到的正投影；左视图就是从几何体的左面看得到的正投影， 俯视图就是从几何体的上面看得到的正投影，据此可得该象棋的左视图和主视图都是长为象棋直径，宽为象棋高的矩形，其俯视图为圆，从而即可判断得出答案.
6．【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，，
∴．
故答案为：D.
【分析】由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可得∠BOC的度数.
7．【答案】B
【知识点】分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：∵方差越小，数据波动越小，产量越稳定，
∴，
∵20棵丙猕猴桃树的产量各不相同，
，
故符合要求的为1.5．
故答案为：B.
【分析】根据方差越小产量越稳定，求出m的取值范围解答即可．
8．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：根据题意，
∴.
故答案为：B.
【分析】小明与妈妈今年分别是x岁与y岁，由“小明说，你现在比我大”可得x＞y，5年后，妈妈的年龄为(x+5)岁，小明的年龄为(y+5)岁，由妈妈说“5年后我还是比你大”可得x+5＞y+5.
9．【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵点C是反比例函数（）的图象上的一个动点，且轴于点A，
∴，，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴四边形的面积.
故答案为：C.
【分析】由反比例函数k的几何意义可得S△AOC=|k|=3，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出四边形ABOC是平行四边形，进而根据平行四边形的一条对角线将平行四边形分成两个面积相等的三角形可得S平行四边形ABOC=2S△AOC=6.
10．【答案】D
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接，
点的坐标为，轴，轴，，
，，，．四边形是矩形
以为圆心、的长为半径画弧交于点，
．
在中，，
点的坐标为．
由作图可知，平分，即．
点在上，轴，
点的横坐标为，
设，则．
又∵
，
∴．
在：
，
解得．
点的坐标为．
故答案为：D.
【分析】连接OD、OE，根据点的坐标与图形性质，结合点B的坐标易得A(17，0)，C(0，8)，OA=17，OC=8，由有三个内角为直角的四边形是矩形得出四边形ABCD是矩形；由同圆半径相等得出OD=OA=17，在Rt△COD中，利用勾股定理算出AD=15，则可得点D(15，8)，设点E(17，y)，则AE=y，由作图过程可得OP平分∠AOD，从而可用“SAS”判断出△OAE≌△ODE，由全等三角形对应边相等得出ED=AE=y，在Rt△BDE中，利用勾股定理建立方程求出y的值，从而即可求出点E的坐标.
11．【答案】x≠2
【知识点】分式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：要使分式有意义，即：x﹣2≠0，
解得：x≠2．
故答案为：x≠2．
【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是：分母不为0．
12．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：原式= ；
故答案为： .
【分析】利用平方差公式分解即可.
13．【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：根据题意，整个圆周的圆心角为360°，阴影区域的圆心角是210°，因此白色区域的圆心角为360°-210°，指针指向白色区域的概率为：.
故答案为：.
【分析】根据几何概率的意义，只需要用白色区域对应的圆心角度数除以整个圆周的总圆心角度数360°，就可以得到指针指向白色区域的概率.
14．【答案】75
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵是的外角，，
∴．
故答案为：75.
【分析】根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和可得∠ABD=∠BAC+∠ACB，从而代值计算可得答案.
15．【答案】
【知识点】正多边形的性质；解直角三角形—边角关系；多边形的内角和公式；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：正六边形，
，，
，，
，
在Rt△ACD中，．
故答案为：.
【分析】由多边形内角和公式及正多边形每一个内角都相等求出∠B=∠BCD=∠CDE=90°，由正多边形各边相等得出BA=BC，由等边对等角及三角形的内角和求出∠BAC=∠BCA=30°，由正六边形的轴对称性得出∠ADC=∠ADE=60°，由角的构成求出∠ACD=90°，在Rt△ACD中根据正弦函数的定义及特殊锐角三角函数值可求出的值.
16．【答案】；
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理的逆定理；求正弦值；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】（1）因为，且为三角形边长，，
所以，即顶点在直线上，
因为直线是边的垂直平分线，
所以，即，
所以，
所以，
所以；
故答案为：1；
（2）由已知，
，即，
所以，
根据勾股定理的逆定理，是以为斜边的直角三角形，且，
所以，
因为直线是边的垂直平分线，
所以，且直线经过的中点，
所以，所以点到直线的距离等于平行线与之间的距离，
因为平分，
所以，
所以
故答案为：.
【分析】（1） 根据斜度定义p=0得出d=0，故点P在直线l上，利用线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得出AB=AC，由等边对等角得出∠B=∠C，再根据等角的同名三角函数值相等得出sinB=sinC，从而即可得出答案；
（2）将已知等式整理可得a2+b2=c2，根据勾股定理的逆定理，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，且∠C=90°，根据同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行得出l∥AC，由平行线间的距离处处相等得出，从而根据斜度的定义求出斜度p的值.
17．【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；求特殊角的三角函数值；无理数的混合运算
【解析】【分析】根据绝对值性质、0指数幂法则“a0=1(a≠0)”及特殊锐角三角函数值分别化简，再计算乘法，最后合并同类二次根式及进行有理数的减法即可.
18．【答案】解：
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式组的解集为，
该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；数形结合
【解析】【分析】根据解不等式步骤分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集，进而根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式组的解集在数轴上表示出来即可.
19．【答案】（1）3，2，75，70
（2）解：A班10人中，成绩在80分及以上的学生有4人
∴ 九年级A班50名学生中数学文化测试成绩为优秀的学生人数为： （人）
（3）解：选B班，理由如下：
两班平均数相同，但B班的中位数和众数均高于A班，说明B班的成绩中等水平更好，因此选择B班．
【知识点】中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：九年级A班成绩从小到大排序为：，，，，，，，，，，
的成绩为，共人，即；出现3次，次数最多，故众数为70，即；
九年级B班成绩从小到大排序为：，，，，，，，，，，
的成绩为75出现3次，故，
B班共10个数据，因此中位数是第5和第6个数的平均值，故；
故答案为：3，2，75，70；
【分析】（1）在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求出c、d的值；然后找出A班成绩在90≤x≤100的人数得到b的值，找到B班成绩在70≤x≤80的人数即可得出a的值；
（2）用A班总人数乘以样本中成绩在80分及以上的学生人数所占的百分比即可估计九年级A班学生中数学文化测试成绩为优秀的学生人数；
（3）根据中位数和众数分析，即可求解．
（1）解：九年级A班成绩从小到大排序为：，，，，，，，，，，
的成绩为，共人，即；出现3次，次数最多，故众数为70，即；
九年级B班成绩从小到大排序为：，，，，，，，，，，
的成绩为75出现3次，故，
B班共10个数据，因此中位数是第5和第6个数的平均值，故；
（2）解：A班10人中，成绩在80分及以上的学生有4人
∴（人）
答：估计九年级A班50名学生中数学文化测试成绩为优秀的学生人数为20人；
（3）解：选B班，理由如下：
两班平均数相同，但B班的中位数和众数均高于A班，说明B班的成绩中等水平更好，因此选择B班．
20．【答案】（1）证明：∵∠B=30°，
，
，
，
为的直径，
是的切线；
（2）解：，
，
，
．

【知识点】圆周角定理；切线的判定；弧长的计算；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得出，根据三角形的内角和定理即可求得，从而根据垂直半径外端点，且垂直半径的直线就是圆的切线可得结论；
（2）在Rt△ADO中，由∠D的正弦函数及特殊锐角三角函数值求得AO的长，利用弧长公式“”计算即可.
（1）证明：，
，
，
，
，
为的直径，
是的切线；
（2）解：，
，
，
．
21．【答案】（1）
（2）解：根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的根，
∴，
所以一架A型无人机单场租赁费用为240元，一架B型无人机单场租赁费用为160元．
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（1）解： 设一架A型无人机单场租赁费用为x元，则租赁一架B型无人机单场租赁费用元，
∴用4800元租赁B型无人机的数量为架；
故答案为：；
【分析】（1）先根据“ 单场租赁一架A型无人机的费用比一架B型无人机贵80元 ”表示出一架B型无人机的单价，再用总金额除以单价等于数量表示即可；
（2）根据总价除以单价等于数量及“ 用7200元租赁A型无人机的数量与用4800元租赁B型无人机的数量相同 ”列出分式方程，求出解，并检验得出答案．
（1）解：根据题意可知租赁一架B型无人机元，
∴用4800元租赁B型无人机的数量为架；
（2）解：根据题意，得
，
解得，
经检验，是原方程的根，
∴，
所以一架A型无人机单场租赁费用为240元，一架B型无人机单场租赁费用为160元．
22．【答案】（1）解：根据对顶角相等可得，，
；
（2）解：如图，过点P作PE⊥BD于点E，
设，
在中，可得，
在中，可得，
根据，可得，
解得，
答：白蚁窝P距离地面的深度约为米．
【知识点】三角形内角和定理；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）根据对顶角相等的性质，可以得到，，再结合三角形内角和定理，即可求出∠BPD的度数；
（2）过点P作PE⊥BD于点E，设，在Rt△BEP中，由∠PBE的正切函数及特殊锐角三角函数值可得，在Rt△DEP中，由∠PDE的正切函数可得，结合BD=BE+DE列出方程，求解即可得到答案.
（1）解：根据对顶角相等可得，，
；
（2）解：如图，过点作，
设，
在中，可得，
在中，可得，
根据，可得，
解得，
答：白蚁窝P距离地面的深度约为米．
23．【答案】（1）证明：把点代入，得，
，
把，代入，得
，
解得，
∴抛物线的解析式为，
∴抛物线的顶点为，即点Q为抛物线L的顶点；
（2）解：∵将抛物线L先向上平移1个单位，再向左平移r（）个单位，得到抛物线，
∴抛物线的解析式为，
把代入，得，
解得或，
当时，抛物线的解析式为，对称轴为直线，
则点D在抛物线的对称轴左侧，符合题意；
当时，抛物线的解析式为，对称轴为直线，
则点D在抛物线的对称轴右侧，不符合题意；
∴抛物线的解析式为；
（3）解：存在，令，
解得，
，
，
∴直线l为直线，
作点关于直线l的对称点B，
，
∴AB⊥x轴，
如图，当点在轴上方时，过点作于点，作DP⊥AB于点P
，
，
，
，
，
∵DP∥x轴，
，
此时，
如图，当点在轴下方时，将沿翻折得到，延长交与点，
根据翻折可得，
过点作于点，延长交于点，
根据翻折可得，，，
，
，
，
，
，
，
，，
设，则，，，，
可得，
解得，
，
设直线的解析式为，
把，代入可得
，解得，
直线的解析式为，
当时，，
，
综上，点或时，．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS；二次函数图象的平移变换；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）第一步先确定点的坐标，再通过待定系数法求解，即可得到二次函数的解析式，进而将抛物线的解析式配成顶点式得出顶点坐标即可证明结论；
（2）先根据抛物线y=a(x-h)2+k的平移规律“左减右加，上加下减”写出平移后抛物线l1的表达式，再把点代入l1解析式求解得出r的值，然后分两种情况结合“ 点D在抛物线l1的对称轴左侧 ”对结果进行讨论，即可得到结论；
（3）存在，首先令直线中的y=0算出对应的自变量x的值，求出点A的坐标，然后根据关于直线对称的点的坐标特点求出点B的坐标，然后分类讨论：①当点P在x轴上方时，过点D作于点M，作DP⊥AB于点P，由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似得出△AMD∽△AOC，由相似三角形对应角相等得∠CAO=∠MAD，再根据二直线平行，内错角相等得，由此可以算出第一个满足条件点；②当点P在x轴下方时，把△ADP沿直线AD翻折得到△ADQ，延长DQ交AB相于点，根据翻折可得，过点作于点，延长交于点，由有两组角相等的两个三角形相似得△AQN∽△QDG，由相似三角形对应边成比例求出2AN=QG，2QN=DG，设Q(a，b)，分别表示出QN、GQ、DG及AN的长，从而代入可得关于字母a、b的方程组，求解得出a、b的值，从而得到点Q的坐标，再利用待定系数法求出直线DQ的解析式，求出直线DQ与AB的交点即可.
（1）证明：把点代入，得，
，
把，代入，得
，
解得，
∴抛物线的解析式为，
∴抛物线的顶点为，即点Q为抛物线L的顶点；
（2）解：∵将抛物线L先向上平移1个单位，再向左平移r（）个单位，得到抛物线，
∴抛物线的解析式为，
把代入，得，
解得或，
当时，抛物线的解析式为，对称轴为直线，
则点D在抛物线的对称轴左侧，符合题意；
当时，抛物线的解析式为，对称轴为直线，
则点D在抛物线的对称轴右侧，不符合题意；
∴抛物线的解析式为；
（3）解：存在，
令，
解得，
，
，
∴直线l为直线，
作点关于直线l的对称点B，
，
如图，当点在轴上方时，过点作于点，作交于点，
，
，
，
，
，
，
，
此时，
如图，当点在轴下方时，将沿翻折得到，延长交与点，
根据翻折可得，
过点作于点，延长交于点，
根据翻折可得，，，
，
，
，
，
，
，
，，
设，则，，，，
可得，
解得，
，
设直线的解析式为，
把，代入可得
，解得，
直线的解析式为，
当时，，
，
综上，点或时，．
24．【答案】【问题解决】（1）解：，，
，
又∵
；
方法一：，
，
，
，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，即；
方法二：根据旋转可得，
，，，，
，
，即三点共线，
，
是等腰直角三角形，
，即；
【应用提升】（2）解：，
，
，
四点共圆，
如图，作交于点，作交于点，过点作交于点，过点作交于点，
，
，
，
，
，，
，
，
平分，
，，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
；
【拓展应用】（3）△BCP的面积为：.
【知识点】旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；圆与三角形的综合
【解析】【解答】（3）解：如图，延长，过点作交的延长线于点，连接，
，，
，
，
，
，
，
，
，即，，
，
，
，
，，
，，
，
，，
，
，
作交于点，
，，
．
【分析】（1）根据四边形的内角和可求得，再代入ABC的度数即可求得；方法一：首先求出∠ABC=∠ADF，从而利用“SAS”证△ADF≌△ABC，由全等三角形对应边相等，对应角相等得出AC=AF，∠BAC=∠DAF，可证△ACF是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可求解；方法二：由旋转的性质得出∠ADF=∠ABC，AC=AF，∠BAC=∠DAF，BC=DF，然后证出点C、D、F共线，进而可证△ACF是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可求解；
（2）先根据确定圆的条件判断出A、B、C、D四点共圆，作BM⊥CD于点M，作AN⊥BD于点N，作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，由∠BCD的正弦函数及特殊锐角三角函数值求得BM，由∠BCD的余弦函数及特殊锐角三角函数值求得CM，然后用勾股定理求出BD；利用角平分线的性质PE=PQ，∠ACB=∠DCA=30°，由圆心角、弧、弦的关系得出AB=AD，由等高三角形的面积关系就是对应底的关系求得，由等腰三角形的三线合一求出BN=DN=BD，由∠ABD的正切函数及特殊锐角三角函数值算出AN，进而得到AB，利用勾股定理求出AE，由有两组角相等的两个三角形相似得出△BAE∽△CAB，由相似三角形对应边成比例求出AC，最后根据CE=AC-AE可得答案；
（3）延长AP，过点C作CD⊥PC交AP的延长线于点D，连接BD，由正弦函数定义及特殊锐角三角函数值求出∠BAC=30°，由同角的余角相等推出∠DCB=∠PCA，由等角的同名三角函数值相等及正切函数定义可推出，由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似得出△DCB∽△PCA，得∠BDC=∠APC=150°，从而求得，再求得，作BE⊥CP于点E，由∠BPC的正弦函数求出BE，由∠DPC的余弦函数求出CP，从而根据三角形面积公式计算即可得出△BCP的面积.
1 / 1湖南省岳阳市临湘市2026年初中学业水平考试适应性测试 数 学
1．下列各数中，比小的数是（　　）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：根据正数大于0，0大于负数，可得，，故C、D错误；
，，，
，
，，故A正确，B错误．
故答案为：A.
【分析】由正数大于零和负数，零大于负数，可判断C、D选项，根据几个负数，绝对值大的反而小即可判断A、B选项.
2．东洞庭湖国家级自然保护区是国际重要湿地保护区，湿地保护率达以上.2026年2月监测到越冬水鸟超过485000羽，将485000用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：.
故答案为：C.
【分析】用科学记数法表示大于10的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此解答即可.
3．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；二次根式的加减法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：与不是同类二次根式，不能合并，∴A错误；
B：根据幂的乘方法则，底数不变，指数相乘，可得 ，∴B正确；
C：根据同底数幂除法法则，底数不变，指数相减，可得 ，∴C错误；
D：根据完全平方公式展开，可得 ，∴D错误．
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的加法，幂的乘方，同底数幂除法，完全平方公式的运算法则逐项判断即可解答．
4．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是（　　）
A．1 B．0 C．-1 D．-2
【答案】A
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴根的判别式，
即，
解得．
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式等于0，据此解答即可．
5．中国象棋起源于5000多年前的黄帝时期．《广象戏格》记载：“象戏兵戏也，黄帝之战，驱猛兽以为阵，象，兽之雄也．故戏兵以象戏名之”．如图放置的中国象棋，关于它的三视图表述正确的是（　　）
A．主视图与俯视图相同 B．左视图与俯视图相同
C．主视图与左视图相同 D．三种视图都相同
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由图可知，这个图的左视图和主视图相同，均为矩形，俯视图为圆，与左视图和主视图不相同．
故答案为：C.
【分析】主视图就是从几何体的正面看得到的正投影；左视图就是从几何体的左面看得到的正投影， 俯视图就是从几何体的上面看得到的正投影，据此可得该象棋的左视图和主视图都是长为象棋直径，宽为象棋高的矩形，其俯视图为圆，从而即可判断得出答案.
6．如图，是的两条弦，连接．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，，
∴．
故答案为：D.
【分析】由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可得∠BOC的度数.
7．某农技站为了解几种新推广的猕猴桃树的产量情况，随机从甲、乙、丙、丁四个品种的猕猴桃树中各采摘了20棵，每个品种产量的平均数（单位：千克）及方差s2如下表所示：
甲 乙 丙 丁
32 32 36 36
s2 2.4 2 m 1.6
调查显示20棵丙猕猴桃树的产量各不相同，丙品种平均产量相对较高且稳定，则m的值可能是（　　）
A．0 B．1.5 C．1.8 D．2.1
【答案】B
【知识点】分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：∵方差越小，数据波动越小，产量越稳定，
∴，
∵20棵丙猕猴桃树的产量各不相同，
，
故符合要求的为1.5．
故答案为：B.
【分析】根据方差越小产量越稳定，求出m的取值范围解答即可．
8．在我们的生活中，不等关系随处可见．小明与妈妈今年分别是x岁与y岁．他们母子对话包含的数学依据是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：根据题意，
∴.
故答案为：B.
【分析】小明与妈妈今年分别是x岁与y岁，由“小明说，你现在比我大”可得x＞y，5年后，妈妈的年龄为(x+5)岁，小明的年龄为(y+5)岁，由妈妈说“5年后我还是比你大”可得x+5＞y+5.
9．如图，点C是反比例函数（）的图象上的一个动点，且轴于点A，交y轴于点B．则四边形的面积是（　　）
A．12 B．9 C．6 D．3
【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵点C是反比例函数（）的图象上的一个动点，且轴于点A，
∴，，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴四边形的面积.
故答案为：C.
【分析】由反比例函数k的几何意义可得S△AOC=|k|=3，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出四边形ABOC是平行四边形，进而根据平行四边形的一条对角线将平行四边形分成两个面积相等的三角形可得S平行四边形ABOC=2S△AOC=6.
10．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴于点，轴于点，以为圆心、的长为半径画弧，交于点；再分别以点，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接，
点的坐标为，轴，轴，，
，，，．四边形是矩形
以为圆心、的长为半径画弧交于点，
．
在中，，
点的坐标为．
由作图可知，平分，即．
点在上，轴，
点的横坐标为，
设，则．
又∵
，
∴．
在：
，
解得．
点的坐标为．
故答案为：D.
【分析】连接OD、OE，根据点的坐标与图形性质，结合点B的坐标易得A(17，0)，C(0，8)，OA=17，OC=8，由有三个内角为直角的四边形是矩形得出四边形ABCD是矩形；由同圆半径相等得出OD=OA=17，在Rt△COD中，利用勾股定理算出AD=15，则可得点D(15，8)，设点E(17，y)，则AE=y，由作图过程可得OP平分∠AOD，从而可用“SAS”判断出△OAE≌△ODE，由全等三角形对应边相等得出ED=AE=y，在Rt△BDE中，利用勾股定理建立方程求出y的值，从而即可求出点E的坐标.
11．函数y= 中，自变量x的取值范围是　 　．
【答案】x≠2
【知识点】分式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：要使分式有意义，即：x﹣2≠0，
解得：x≠2．
故答案为：x≠2．
【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是：分母不为0．
12．因式分解：=　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：原式= ；
故答案为： .
【分析】利用平方差公式分解即可.
13．为吸引顾客，某超市推出购物抽奖活动．如图，抽奖时转动质地均匀的圆形转盘，转盘停止后，指针随机指向某一区域，顾客根据指针指向的区域领取对应奖票．若阴影部分的圆心角为210°，则指针指向白色区域的概率为　 　．
【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：根据题意，整个圆周的圆心角为360°，阴影区域的圆心角是210°，因此白色区域的圆心角为360°-210°，指针指向白色区域的概率为：.
故答案为：.
【分析】根据几何概率的意义，只需要用白色区域对应的圆心角度数除以整个圆周的总圆心角度数360°，就可以得到指针指向白色区域的概率.
14．如图，体育课上，张老师用旧轮胎帮助同学们进行负重训练，绳子与水平地面的夹角为，绳子与人体的夹角，则人体的倾斜角　 　°．
【答案】75
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵是的外角，，
∴．
故答案为：75.
【分析】根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和可得∠ABD=∠BAC+∠ACB，从而代值计算可得答案.
15．苯环是由6个碳原子组成的环状结构，外形是一个完美的正六边形．如图，与分别为正六边形的两条对角线，则　 　．
【答案】
【知识点】正多边形的性质；解直角三角形—边角关系；多边形的内角和公式；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：正六边形，
，，
，，
，
在Rt△ACD中，．
故答案为：.
【分析】由多边形内角和公式及正多边形每一个内角都相等求出∠B=∠BCD=∠CDE=90°，由正多边形各边相等得出BA=BC，由等边对等角及三角形的内角和求出∠BAC=∠BCA=30°，由正六边形的轴对称性得出∠ADC=∠ADE=60°，由角的构成求出∠ACD=90°，在Rt△ACD中根据正弦函数的定义及特殊锐角三角函数值可求出的值.
16．如图，，，分别为的三边，其中，直线是边的垂直平分线，顶点到直线的距离为，我们将定义为的斜度，记作．
(1)若的斜度，则　 　．
(2)若的三边满足关系式：，则斜度　 　．
【答案】；
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理的逆定理；求正弦值；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】（1）因为，且为三角形边长，，
所以，即顶点在直线上，
因为直线是边的垂直平分线，
所以，即，
所以，
所以，
所以；
故答案为：1；
（2）由已知，
，即，
所以，
根据勾股定理的逆定理，是以为斜边的直角三角形，且，
所以，
因为直线是边的垂直平分线，
所以，且直线经过的中点，
所以，所以点到直线的距离等于平行线与之间的距离，
因为平分，
所以，
所以
故答案为：.
【分析】（1） 根据斜度定义p=0得出d=0，故点P在直线l上，利用线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得出AB=AC，由等边对等角得出∠B=∠C，再根据等角的同名三角函数值相等得出sinB=sinC，从而即可得出答案；
（2）将已知等式整理可得a2+b2=c2，根据勾股定理的逆定理，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，且∠C=90°，根据同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行得出l∥AC，由平行线间的距离处处相等得出，从而根据斜度的定义求出斜度p的值.
17．计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；求特殊角的三角函数值；无理数的混合运算
【解析】【分析】根据绝对值性质、0指数幂法则“a0=1(a≠0)”及特殊锐角三角函数值分别化简，再计算乘法，最后合并同类二次根式及进行有理数的减法即可.
18．解不等式组，并将解集表示在数轴上．
【答案】解：
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式组的解集为，
该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；数形结合
【解析】【分析】根据解不等式步骤分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集，进而根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式组的解集在数轴上表示出来即可.
19．为提高同学们学习数学的兴趣，某校开展了数学文化知识竞赛．该校九年级、两个班各有学生人，九年级组计划从两个班中挑选一个班代表年级组参加学校的比赛，为了解这两个班学生对数学文化的关注程度，现对这两个班的学生进行相关测试，并各随机抽取名学生的成绩(满分：分)进行统计分析．
【数据收集】
九年级班：，，，，，，，，，；
九年级班：，，，，，，，，，．
【数据整理】
九年级班
九年级班
【数据分析】
平均数 中位数 众数
九年级班
九年级班
【数据应用】
（1）表中 ， ， ， ；
（2）学校规定测试成绩在分及以上的学生为优秀，请估计九年级班名学生中数学文化测试成绩为优秀的学生人数；
（3）若在九年级选取一个班参加学校组织的比赛，根据统计数据，你建议选择班还是班，请说明理由．
【答案】（1）3，2，75，70
（2）解：A班10人中，成绩在80分及以上的学生有4人
∴ 九年级A班50名学生中数学文化测试成绩为优秀的学生人数为： （人）
（3）解：选B班，理由如下：
两班平均数相同，但B班的中位数和众数均高于A班，说明B班的成绩中等水平更好，因此选择B班．
【知识点】中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：九年级A班成绩从小到大排序为：，，，，，，，，，，
的成绩为，共人，即；出现3次，次数最多，故众数为70，即；
九年级B班成绩从小到大排序为：，，，，，，，，，，
的成绩为75出现3次，故，
B班共10个数据，因此中位数是第5和第6个数的平均值，故；
故答案为：3，2，75，70；
【分析】（1）在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求出c、d的值；然后找出A班成绩在90≤x≤100的人数得到b的值，找到B班成绩在70≤x≤80的人数即可得出a的值；
（2）用A班总人数乘以样本中成绩在80分及以上的学生人数所占的百分比即可估计九年级A班学生中数学文化测试成绩为优秀的学生人数；
（3）根据中位数和众数分析，即可求解．
（1）解：九年级A班成绩从小到大排序为：，，，，，，，，，，
的成绩为，共人，即；出现3次，次数最多，故众数为70，即；
九年级B班成绩从小到大排序为：，，，，，，，，，，
的成绩为75出现3次，故，
B班共10个数据，因此中位数是第5和第6个数的平均值，故；
（2）解：A班10人中，成绩在80分及以上的学生有4人
∴（人）
答：估计九年级A班50名学生中数学文化测试成绩为优秀的学生人数为20人；
（3）解：选B班，理由如下：
两班平均数相同，但B班的中位数和众数均高于A班，说明B班的成绩中等水平更好，因此选择B班．
20．如图，已知为的直径，是弦，点D为半径的延长线上一点，连接，．
（1）求证：是的切线．
（2）若，求的长度（结果保留）．
【答案】（1）证明：∵∠B=30°，
，
，
，
为的直径，
是的切线；
（2）解：，
，
，
．

【知识点】圆周角定理；切线的判定；弧长的计算；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得出，根据三角形的内角和定理即可求得，从而根据垂直半径外端点，且垂直半径的直线就是圆的切线可得结论；
（2）在Rt△ADO中，由∠D的正弦函数及特殊锐角三角函数值求得AO的长，利用弧长公式“”计算即可.
（1）证明：，
，
，
，
，
为的直径，
是的切线；
（2）解：，
，
，
．
21．为办好2026跨年音乐节无人机表演，计划租赁一批A型、B型无人机．已知单场租赁一架A型无人机的费用比一架B型无人机贵80元，且用7200元租赁A型无人机的数量与用4800元租赁B型无人机的数量相同．
（1）设一架A型无人机单场租赁费用为x元，则用4800元租赁B型无人机的数量为 架（用含x的式子表示）；
（2）求一架A型无人机和一架B型无人机的单场租赁费用分别是多少元？
【答案】（1）
（2）解：根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的根，
∴，
所以一架A型无人机单场租赁费用为240元，一架B型无人机单场租赁费用为160元．
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（1）解： 设一架A型无人机单场租赁费用为x元，则租赁一架B型无人机单场租赁费用元，
∴用4800元租赁B型无人机的数量为架；
故答案为：；
【分析】（1）先根据“ 单场租赁一架A型无人机的费用比一架B型无人机贵80元 ”表示出一架B型无人机的单价，再用总金额除以单价等于数量表示即可；
（2）根据总价除以单价等于数量及“ 用7200元租赁A型无人机的数量与用4800元租赁B型无人机的数量相同 ”列出分式方程，求出解，并检验得出答案．
（1）解：根据题意可知租赁一架B型无人机元，
∴用4800元租赁B型无人机的数量为架；
（2）解：根据题意，得
，
解得，
经检验，是原方程的根，
∴，
所以一架A型无人机单场租赁费用为240元，一架B型无人机单场租赁费用为160元．
22．为防治白蚁，保护古树，如图所示，园艺技术人员在古树两侧的水平地面上，于B，D两处使用专业检测工具，精准定位古树根部区域的白蚁窝P，检测线与相交于白蚁窝P．已知，检测线，与水平地面的夹角分别为，．
（1）两次检测定位时，两条检测线形成的夹角的度数是多少？
（2）为了制定科学的除害方案，最大限度避免伤及古树根系，求白蚁窝P距离地面的深度．（结果保留整数，参考数据：，，，）
【答案】（1）解：根据对顶角相等可得，，
；
（2）解：如图，过点P作PE⊥BD于点E，
设，
在中，可得，
在中，可得，
根据，可得，
解得，
答：白蚁窝P距离地面的深度约为米．
【知识点】三角形内角和定理；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）根据对顶角相等的性质，可以得到，，再结合三角形内角和定理，即可求出∠BPD的度数；
（2）过点P作PE⊥BD于点E，设，在Rt△BEP中，由∠PBE的正切函数及特殊锐角三角函数值可得，在Rt△DEP中，由∠PDE的正切函数可得，结合BD=BE+DE列出方程，求解即可得到答案.
（1）解：根据对顶角相等可得，，
；
（2）解：如图，过点作，
设，
在中，可得，
在中，可得，
根据，可得，
解得，
答：白蚁窝P距离地面的深度约为米．
23．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，与抛物线L：交于点和点．
（1）求证：点Q为抛物线L的顶点；
（2）将抛物线L先向上平移1个单位，再向左平移r（）个单位，得到抛物线，若抛物线经过点，且点D在抛物线的对称轴左侧，求抛物线的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，记抛物线的对称轴为直线l，作点关于直线l的对称点B，连接，在直线上是否存在点P，满足？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明：把点代入，得，
，
把，代入，得
，
解得，
∴抛物线的解析式为，
∴抛物线的顶点为，即点Q为抛物线L的顶点；
（2）解：∵将抛物线L先向上平移1个单位，再向左平移r（）个单位，得到抛物线，
∴抛物线的解析式为，
把代入，得，
解得或，
当时，抛物线的解析式为，对称轴为直线，
则点D在抛物线的对称轴左侧，符合题意；
当时，抛物线的解析式为，对称轴为直线，
则点D在抛物线的对称轴右侧，不符合题意；
∴抛物线的解析式为；
（3）解：存在，令，
解得，
，
，
∴直线l为直线，
作点关于直线l的对称点B，
，
∴AB⊥x轴，
如图，当点在轴上方时，过点作于点，作DP⊥AB于点P
，
，
，
，
，
∵DP∥x轴，
，
此时，
如图，当点在轴下方时，将沿翻折得到，延长交与点，
根据翻折可得，
过点作于点，延长交于点，
根据翻折可得，，，
，
，
，
，
，
，
，，
设，则，，，，
可得，
解得，
，
设直线的解析式为，
把，代入可得
，解得，
直线的解析式为，
当时，，
，
综上，点或时，．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS；二次函数图象的平移变换；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）第一步先确定点的坐标，再通过待定系数法求解，即可得到二次函数的解析式，进而将抛物线的解析式配成顶点式得出顶点坐标即可证明结论；
（2）先根据抛物线y=a(x-h)2+k的平移规律“左减右加，上加下减”写出平移后抛物线l1的表达式，再把点代入l1解析式求解得出r的值，然后分两种情况结合“ 点D在抛物线l1的对称轴左侧 ”对结果进行讨论，即可得到结论；
（3）存在，首先令直线中的y=0算出对应的自变量x的值，求出点A的坐标，然后根据关于直线对称的点的坐标特点求出点B的坐标，然后分类讨论：①当点P在x轴上方时，过点D作于点M，作DP⊥AB于点P，由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似得出△AMD∽△AOC，由相似三角形对应角相等得∠CAO=∠MAD，再根据二直线平行，内错角相等得，由此可以算出第一个满足条件点；②当点P在x轴下方时，把△ADP沿直线AD翻折得到△ADQ，延长DQ交AB相于点，根据翻折可得，过点作于点，延长交于点，由有两组角相等的两个三角形相似得△AQN∽△QDG，由相似三角形对应边成比例求出2AN=QG，2QN=DG，设Q(a，b)，分别表示出QN、GQ、DG及AN的长，从而代入可得关于字母a、b的方程组，求解得出a、b的值，从而得到点Q的坐标，再利用待定系数法求出直线DQ的解析式，求出直线DQ与AB的交点即可.
（1）证明：把点代入，得，
，
把，代入，得
，
解得，
∴抛物线的解析式为，
∴抛物线的顶点为，即点Q为抛物线L的顶点；
（2）解：∵将抛物线L先向上平移1个单位，再向左平移r（）个单位，得到抛物线，
∴抛物线的解析式为，
把代入，得，
解得或，
当时，抛物线的解析式为，对称轴为直线，
则点D在抛物线的对称轴左侧，符合题意；
当时，抛物线的解析式为，对称轴为直线，
则点D在抛物线的对称轴右侧，不符合题意；
∴抛物线的解析式为；
（3）解：存在，
令，
解得，
，
，
∴直线l为直线，
作点关于直线l的对称点B，
，
如图，当点在轴上方时，过点作于点，作交于点，
，
，
，
，
，
，
，
此时，
如图，当点在轴下方时，将沿翻折得到，延长交与点，
根据翻折可得，
过点作于点，延长交于点，
根据翻折可得，，，
，
，
，
，
，
，
，，
设，则，，，，
可得，
解得，
，
设直线的解析式为，
把，代入可得
，解得，
直线的解析式为，
当时，，
，
综上，点或时，．
24．【问题提出】
数学课上，李老师提出问题：在四边形中，对角线与相交于点E，，，．试探究：
①若，用含有α的式子表示；
②若，与满足关系式，求k的值．
【方法探究】
九（1）班的两个数学学习小组经过讨论，提出了下面两种添加辅助线的方法，如图：
方法1：延长到点F，使，连接，根据“边角边”容易证得；
方法2：将绕点A逆时针旋转，使与重合，点C的对应点为F，则．
【问题解决】
（1）用含有α的式子表示 ， ；
【应用提升】
（2）借助上面解决问题的方法或用自己的方法解答下面问题：
如图，在四边形中，平分，，，求线段的长．
【拓展应用】
（3）如图，在中，，，点P为内一点，分别连接，，．若，，且．直接写出的面积．
【答案】【问题解决】（1）解：，，
，
又∵
；
方法一：，
，
，
，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，即；
方法二：根据旋转可得，
，，，，
，
，即三点共线，
，
是等腰直角三角形，
，即；
【应用提升】（2）解：，
，
，
四点共圆，
如图，作交于点，作交于点，过点作交于点，过点作交于点，
，
，
，
，
，，
，
，
平分，
，，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
；
【拓展应用】（3）△BCP的面积为：.
【知识点】旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；圆与三角形的综合
【解析】【解答】（3）解：如图，延长，过点作交的延长线于点，连接，
，，
，
，
，
，
，
，
，即，，
，
，
，
，，
，，
，
，，
，
，
作交于点，
，，
．
【分析】（1）根据四边形的内角和可求得，再代入ABC的度数即可求得；方法一：首先求出∠ABC=∠ADF，从而利用“SAS”证△ADF≌△ABC，由全等三角形对应边相等，对应角相等得出AC=AF，∠BAC=∠DAF，可证△ACF是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可求解；方法二：由旋转的性质得出∠ADF=∠ABC，AC=AF，∠BAC=∠DAF，BC=DF，然后证出点C、D、F共线，进而可证△ACF是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可求解；
（2）先根据确定圆的条件判断出A、B、C、D四点共圆，作BM⊥CD于点M，作AN⊥BD于点N，作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，由∠BCD的正弦函数及特殊锐角三角函数值求得BM，由∠BCD的余弦函数及特殊锐角三角函数值求得CM，然后用勾股定理求出BD；利用角平分线的性质PE=PQ，∠ACB=∠DCA=30°，由圆心角、弧、弦的关系得出AB=AD，由等高三角形的面积关系就是对应底的关系求得，由等腰三角形的三线合一求出BN=DN=BD，由∠ABD的正切函数及特殊锐角三角函数值算出AN，进而得到AB，利用勾股定理求出AE，由有两组角相等的两个三角形相似得出△BAE∽△CAB，由相似三角形对应边成比例求出AC，最后根据CE=AC-AE可得答案；
（3）延长AP，过点C作CD⊥PC交AP的延长线于点D，连接BD，由正弦函数定义及特殊锐角三角函数值求出∠BAC=30°，由同角的余角相等推出∠DCB=∠PCA，由等角的同名三角函数值相等及正切函数定义可推出，由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似得出△DCB∽△PCA，得∠BDC=∠APC=150°，从而求得，再求得，作BE⊥CP于点E，由∠BPC的正弦函数求出BE，由∠DPC的余弦函数求出CP，从而根据三角形面积公式计算即可得出△BCP的面积.
1 / 1

展开更多......

收起↑