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二次函数压轴之角度问题 归纳练-2026年中考数学三轮复习备考
1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，交y轴于点C，连接，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作于点Q，点K为直线上一动点，连接，当取得最大值时，求的最小值；
(3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点R为新抛物线上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点R的横坐标，并写出求解点R横坐标的其中一种情况的过程．
2．在平面直角坐标系中，抛物线（b、c是常数）与轴交于点与轴交于点．为轴上方抛物线上的动点（不与点重合），设点的横坐标为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，过点的直线与轴相交于点，与抛物线相交于点，过点的另一条直线与抛物线相交于点，求证：
(3)过点作轴的平行线与直线交于点，线段的长记为．
①求关于的函数解析式；
②根据的不同取值，试探索点的个数情况
3．如图1，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于C点，点P为线段上不与端点重合的一个动点，过点P作轴，垂足为E，交抛物线于点D，已知点A、B的坐标分别为，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在点P的移动过程中，若射线平分，求的长；
(3)若点M为线段上一点，请问在坐标系内是否存在点N，使得以O、C、M、N为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由．
4．如图，二次函数的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D．
(1)求A，B，C的坐标（用m的代数式或数字表示）
(2)若，求m的值．
(3)若面积为3，点P为二次函数的图像上一点，满足，则点P的坐标为____________．
5．抛物线过点，顶点为P，与x轴交于A、B两点（A在B点左侧），且．
(1)求抛物线的解析式和顶点P的坐标；
(2)若点D在抛物线上且，求点D的坐标；
(3)若点Q在抛物线上，且，请直接写出满足条件的点Q坐标．
6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，经过、两点的二次函数的图象交轴于另一点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)点、在直线上，点是第二象限位于抛物线上一点，点在轴上若四边形是正方形，求点的坐标；
(3)连接、，抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线，其中．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)连接，点P为直线下方抛物线上的一个动点，过点P作于点D，过点P作交y轴于点E．点M、N是抛物线对称轴上的两个动点（M在下方），，连接，当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值；
(3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点A的对应点为，点C的对应点为，连接，点H为线段的中点．点Q为新抛物线上一点，若，请直接写出所有符合条件的点Q的横坐标，并写出求解点Q的横坐标的其中一种情况的过程．
8．已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，且经过点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图，点是抛物线上第三象限内一动点，连接．面积记为，面积记为，求的最大值；
(3)如图，将直线沿轴翻折交轴于点，过点的直线交轴、抛物线分别于点．若，求点的坐标．
9．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点在抛物线上，点是抛物线上一动点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图1，连接，当点P位于直线上方时，求面积最大时点的坐标；
(3)如图2，连接，，抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，对称轴为直线．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图1，点是直线上方抛物线上的一动点，过点作直线轴，交直线于点，为轴上一动点，且满足，点为轴上一动点，连接．当取最大值时，求点的坐标及的最小值；
(3)如图2，将原抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，新抛物线与直线分别交于、点，点在新抛物线上，连接．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．
11．如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A，B两点，与x轴交于点C．
(1)求抛物线的顶点坐标；
(2)当时，直线与y轴交于点D，与直线交于点E．若抛物线与线段有公共点，求h的取值范围；
(3)当k变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点T，使得总是平分？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
12．如图，直线与抛物线交于两点，直线与y轴交于点C．
(1)求抛物线与直线的解析式；
(2)点P在抛物线上，直线交x轴于Q，连接，当的面积是面积的2倍时，求点P的坐标；
(3)点M为坐标轴上的动点，当时，直接写出点M的坐标．
13．已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点为抛物线上第二象限内一点，若，求点的坐标；
(3)如图，经过点的直线分别与抛物线在第二、三象限交于，两点，连接、，分别交轴于、两点．探究是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
参考答案
1．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法将点A，B代入可得a，b的值，即可求得抛物线的解析式；
（2）过点P作交直线于点M，交x轴于点N，先根据抛物线在x，y轴的交点情况求出各交点的坐标，再利用相似三角形的判定与性质得出，进而得出，，，利用待定系数法求得直线解析式，再设，，，得出，的表达式，将进行转化得到开口向下的二次函数解析式，进而求得最大值时a的值，过点A作轴，过点P作，的最小值即为线段的长度，即可得解；
（3）先求出平移后的新抛物线解析式，利用轴对称的性质作出相应的点，并画出相关的辅助线，结合已知条件并通过相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用得出相关线段的值并求得相关点坐标，利用待定系数法得出对应直线的一次函数解析式，并联立新抛物线解析式即可得出点R的横坐标．
【详解】（1）解：∵，在抛物线上，
将点A，B代入可得，解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：如图，过点P作交直线于点M，交x轴于点N，
由抛物线解析式可得点C坐标为，
∴，
在中，，
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，，，
设直线解析式为，
将点B，C代入得，，
解得，
∴直线的解析式为：，
设，，则，
∴，，
∴，，
∴
∴
∴当时，取得最大值，
∴，
过点A作轴，过点P作，
∵，
∴
∴，
∴，即，
∴
∴的最小值即为线段的长度，
∵
∴的最小值为．
（3）解：∵沿射线方向平移个单位，
∴新抛物线解析式为，
如图，过点C作x轴对称点，连接，将绕点A逆时针旋转得，交y轴于点D，交于点R，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，解得，
∴，
设直线解析式为，
代入点A，D得，，解得，
∴直线解析式为，
联立与得，，
解得：，（舍去），
∴，
过点D作的对称点E，连接并延长交于点，再过点O作的对称点F，连接，连接交于点N，连接交于点M，
∴，，
∴，
过点D作x轴对称点，连接，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
解得：，
∴，
过点F作，
，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
将②代入①得，，，
∴，
设直线解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
∴，
∵，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将点D代入得，，解得，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
联立直线与直线得：，
解得：，
∴点M的坐标为，
∵M为中点，
∴点E坐标为，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
联立与得，，
解得：，（舍去），
∴，
综上所述，点R的横坐标为或．
2．(1)
(2)见解析
(3)① ②见解析
【分析】（1）利用两点式直接写出函数解析式即可；
（2）过点E作于点G，勾股定理求出的长，等积法求出的长，利用三角函数得到，再根据，即可得出结论；
（3）①先根据待定系数法求出直线的解析式为，再分当时，点在点的左侧，当时，点在点的右侧两种情况讨论；②画出函数图象，分析图象即可得出结论．
【详解】（1）解：抛物线（b，c是常数）与x轴交于点，
抛物线的解析式为；
（2）解：过点E作于点G，
∵，令则，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即：
∴，
∵，
∴，
∴，
∴在中，，
把代入中，得，
∴，当时，，
∴，
∴，
∴在中， ，
∴，
∵
∴；
（3）解：①抛物线解析式为，
时，，即，
∵，
设直线的解析式为，则，
解得，
故直线的解析式为，
∵，点作轴的平行线与直线交于点，
∴点Q的纵坐标为，
把代入直线，得
解得，
∴，
当时，点在点的左侧，，
当时，点在点的右侧，，
故；
②绘制的函数图象如图所示：
点，，
故当时，的值只有1个，故点只有1个；
当时，的值有2个，故点只有2个；
当时，的值只有3个，故点只有3个．
3．(1)
(2)
(3)存在，点N的坐标为或或
【分析】（1）把点A、B的坐标分别为，代入列方程计算即可；
（2）先求出直线解析式为，设，根据轴和角平分线可得，则，据此列方程求解即可；
（3）设，，根据与是菱形的边或对角线分情况讨论，根据菱形的边长相等，再结合距离公式列方程求解即可．
【详解】（1）解：把点A、B的坐标分别为，代入得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：连接，
交y轴于，
∴设直线解析式为，，
把代入得，解得，
∴直线解析式为，
设，
∵点P为线段上不与端点重合的一个动点，过点P作轴，垂足为E，交抛物线于点D，
∴，，轴，，
∴，，
∵射线平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
当时，与重合，不合题意；
当时，，此时；
（3）解：设，，
当与是菱形的边时，菱形如图：
∴，，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴向上平移3个单位长度得到；
当是菱形的对角线，是菱形的边时，菱形如图 ，过作轴于，
∴，向下平移3个单位长度得到，
∴，
解得或（舍去），
∴，
当是菱形的对角线，是菱形的边时，菱形如图：
∴与互相垂直平分，
∴与关于轴对称，且与纵坐标为，
即，
解得，
∴，，
综上所述，存在以O、C、M、N为顶点的四边形为菱形，点N的坐标为或或．
4．(1)，，
(2)
(3)
【分析】（1）分别令和求解即可；
（2）如图，过点A作于点E，过点D作轴于点F，根据题意表示出，，，，然后由得到，然后代入求解即可；
（3）首先表示出，，然后根据面积为3求出，然后得到，，作点C关于抛物线对称轴对称的点P，证明出，得到，然后由轴对称的性质求解．
【详解】（1）解：∵二次函数的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，
∴当时，，整理可得，
解得或，
∴，，
当时，，
∴；
（2）解：如图，过点A作于点E，过点D作轴于点F，
∵，，
∴，，
∵，
∴顶点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
整理得，，
∵，
∴或，
解得（舍去）或；
（3）解：∵，，，
∴，，
∵面积为3，
∴，
∴，
解得（舍去）或，
∴，，
如图，作点C关于抛物线对称轴对称的点P，
由轴对称可得，，，
又∵，
∴，
∴，
∴点P即为所求，
∵，对称轴为直线，
∴．
5．(1)；顶点的坐标为；
(2)或；
(3)
【分析】（1）先求得，再利用待定系数法求解即可；
（2）先求得点的坐标为，在线段上取点，使，此时，求得，则，分点在轴上方和下方时，两种情况讨论，分别求得直线的解析式，联立解一元二次方程即可求解；
（3）根据相似三角形的性质可得，作交的延长线于点，过点作轴，分别过点和作的垂线，垂足分别为和，证明，求得点的坐标为，求得直线的解析式，据此计算即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线过点，
∴,
∴；
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
把点B和点C的坐标代入抛物线的解析式得，
解得，
∴抛物线的解析式为，
∴顶点的坐标为；
（2）解：在中，当时，则，
解得或，
∴点的坐标为，
∴；
如图所示，在线段上取点，连接，使得，则，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，
∴，
∴；
∵，
∴，
如图所示，当点在轴上方时，设直线交轴于点，
∴，
∴，
∴点的坐标为，
设直线的解析式为，则，
∴
∴直线的解析式为，
联立，解得或
∴点的坐标为；
如图所示，当点在轴下方时，设交轴于点，
∴，
∴，
∴点的坐标为，
设直线的解析式为，则，
∴
∴直线的解析式为，
联立，解得或，
∴点的坐标；
综上，点的坐标或；
（3）解：∵，
∴，
由（1）可得是等腰直角三角形，
∴，
∴；
如图，作交的延长线于点，过点作轴，分别过点和作的垂线，垂足分别为和，
∴是等腰直角三角形，且，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴点的横坐标为，点的纵坐标为，
∴点的坐标为，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
联立，
整理得，
解得或，
当时，，
∴点的坐标．
6．(1)
(2)
(3)存在，或
【分析】（1）先求出的坐标，然后用待定系数法求解即可；
（2）连接，，设，根据求解即可；
（3）作，根据在上方或下方两种情况讨求解即可.
【详解】（1）解：∵当时，，
∴，
∵当时，，，
∴，
∵二次函数的图象过两点，
∴，解得：，
即：；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
连接，，
∵，
∴，
∴，
∴即：，
∵四边形是正方形，
∴，即：，
∴互相垂直平分，，
∵点是第二象限位于抛物线上一点，
∴设，
，解得：，
∴，
∴，
解得：（舍），
∴；
（3）答：存在，或，理由如下：
过点作，过点B作
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是正方形，
当时，，
∴，
∴即：，
如图：当在下方时，过点作射线使交于点交抛物线于点，此时，
∵，
∴，
∴，
即：，
设直线的解析式为：，
∴解得：，
即：，
∵，
∴（舍）或，
∴；
当在上方时，
作点关于的对称点，
∵四边形是正方形，
∴点在上，，，
∴，
∵时，，
∴在抛物线上，
∵，
∴，
当与重合时，，此时，，
综上：存在，或.
7．(1)
(2)点的坐标为 ， 的最小值为
(3)或，过程见详解
【分析】（1）利用对称轴和点A的坐标列方程组求解即可；
（2）首先结合已知条件，把求转化为更容易表示的两条线段的和，然后求出这两条线段的和与点P的横坐标之间的函数关系式，再利用函数的性质即可确定点P的坐标；通过平移点P，把问题转化为“将军饮马”问题求解即可；
（3）首先确定平移后新抛物线的表达式，然后求出这两个固定角的正切值，进而确定出的正切值，最后设出点Q的坐标，结合的正切值即可求解．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，，
，
解得，
∴ 抛物线的表达式为；
（2）解：如图 1，过点作轴垂线，分别交轴、对称轴于，，
、两点关于对称轴对称，
的坐标为．
当时，，
点坐标为，
为等腰直角三角形，
．
轴，
轴，
．
在中，．
在中，，，
则，．
，
，
．
在中，，
．
设直线的表达式为，
根据题意得，
解得，
直线的表达式为 ．
设点，
把代入得，
，
．
，
当时，最大，此时点的坐标为．
如图 2，过点作轴，且，连接，
则四边形为平行四边形，，
，
当、、在同一条直线上时，最小．
如图 3，过作轴于，由条件易知坐标为，
在中，，，由勾股定理得，
的最小值为，
的最小值为；
（3）解：的横坐标为或，理由如下，
平移前抛物线的表达式为，
将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，
抛物线向右平移了3个单位，向下平移了6个单位，
平移后抛物线的表达式，
如图4，由条件可知平移后，的位置如图所示，其中与重合，坐标为．
是的中点，
的坐标为．
设直线的表达式为，则
解得，
延长交轴于，过点作，交的延长线于。由条件易知的坐标为．
在等腰直角三角形中，，则．
在等腰直角三角形中，，
则．
在中，，，
则．
在中，，，
则．
由条件已知，按如图5所示的方式构造图形，
其中，，则易知，各边的长度如图所示，则．
根据题意，设坐标为，分情况讨论：
① 如图4，当点在轴下方时，过作轴于．
在中，，，
则，
解得（不合题意，舍去），或；
② 如图6，当点在轴上方时，过作轴于．
在中，，，
则，
解得（不合题意，舍去），或，
综上可知点的横坐标为或．
【点睛】本题综合考查了二次函数的图象和性质、解直角三角形以及几何最值等.在复杂的图形中能够准确识别一些基本题型，如将军饮马问题常见的类型及其解法；能够熟练地运用数形结合寻找问题的切入点是解决问题的关键．
8．(1)
(2)当时，有最大值，最大值为
(3)
【分析】（）利用待定系数法解答即可求解；
（）求出点的坐标，利用待定系数法可得直线的表达式为，设点，同理可得直线的表达式为，过点作轴的平行线交于点，设与轴相交于点，则，，即得 ，，得到 ，，即得到
，再根据二次函数的性质解答即可求解；
（）由对称可得，再分点在点的上方和下方两种情况，分别画出图形解答即可求解；
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的几何应用，锐角三角函数，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】（1）解：将点代入抛物线，
得，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：∵当时， ，
解得，，
∴，，
当时，，
∴，
设直线的表达式为，把和代入得，
，
解得，
∴直线的表达式为，
设点，
同理可得直线的表达式为，
过点作轴的平行线交于点，设与轴相交于点，则，，
∴ ，，
∴，
，
∴
，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为；
（3）解：∵点与点关于轴对称，
∴，
当点在点的上方时，如图，
∵在中，，
在中，，
∴ ，
又∵，
∴ ，
∴直线轴，此时与轴无交点，该种情况不符合题意；
当点在点的下方时，如图，
∵，
∴，
设，则，，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴点，
设直线的表达式为，把和代入得，
，
解得，
∴直线的表达式为，
∴由，解得或，
∴．
9．(1)
(2)
(3)抛物线上存在点，点的坐标为或
【分析】（1）将点，点代入抛物线，用待定系数法求解即可；
（2）作，求出的解析式，设PE的解析式为，联立得，化简，得，得，解得，得直线PE的解析式为，可得；
(3）求出，得，，将绕点顺时针方向旋转，至，则，，得，求出直线的解析式为，联立二次函数解析式，解方程组可得，此时使，过作轴，过作轴，与交于点，四边形为正方形，作关于的对称点，点在上，作直线，得，，，得，与点重合，得点在抛物线上．
【详解】（1）解：点，点在抛物线上，
，
解得，
该抛物线的解析式为；
（2）解：作，如图所示：
设的解析式为，
将代入，得，
的解析式为，
设的解析式为
联立直线与抛物线解析式有
∴，
化简，得，
∴，
解得，
∴直线的解析式为
联立，
解得，
∴．
（3）解：存在或．理由：
对，令，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
将绕点顺时针方向旋转，至，如图2所示：
则，，
，
由题意知直线过点，设直线的解析式为，
将，，代入，
得，
解得：，
直线的解析式为，
联立，
解得：或（舍去），
此时使，
如图2所示，过作轴，过作轴，与交于点，
则四边形为正方形，
作关于的对称点，
由对称性知，点在上，
作直线，
则直线与抛物线的交点满足条件，
，，，
，与点重合，
点在抛物线上，
．
抛物线上存在点，使，点的坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数综合．熟练掌握待定系数法求函数解析式、等腰三角形的判定与性质、一元二次方程的应用，正确构造辅助线，是解题的关键．
10．(1)抛物线的函数表达式为
(2)点的坐标为，的最小值为
(3)点的坐标为或
【分析】（1）利用待定系数法求出，，即可得出结果；
（2）先求出直线的函数表达式，令点的坐标为，点坐标为，可得表达式，过点作轴交于点，可得，故得出的表达式，得出其最小值时点的坐标，过点作平行线，过点作交于点，连接，证出，故的最小值为的最小值，即、、三点共线时，最小，过点作交于点，求出的值即可得出结果；
（3）由（2）可知，沿射线方向平移个单位等同于向右移动个单位，再向上移动个单位，得出新抛物线表达式，过点作轴，当点在直线左上方时，，过点作交于点，由直角等腰三角形的性质求出坐标，作点关于直线的对称点，延长交抛物线于点，由对称的性质，求出点坐标，得出直线表达式，求出交点坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
解得，
即，
将点代入 ，
得到，
解得，
故抛物线的函数表达式为．
（2）解：对于抛物线，
当时，解得或，
即点，
当时，，
得点，
令直线的函数表达式为，
代入，，
得，解得，
∴直线的函数表达式为，
令点的坐标为，
则点坐标为，
∴，
过点作轴交于点，如下图所示：
∵，
∴，
∴，
∴当取最大值时，，
此时点，
过点作，过点作交于点，连接，如下图所示：
∵，
∴，
令直线的函数表达式为，
代入，
得，解得，
∴直线的函数表达式为，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴的最小值为的最小值，
即、、三点共线时，最小，
过点作交于点，
故的最小值为的最小值，即的值，
令点的坐标为，
由点，，
∵，
∴，
即，
化简得，
解得（舍去）或，
点的坐标为，
∴，
即的最小值为；
（3）解：由（2）可知，沿射线方向平移个单位等同于向右移动个单位，再向上移动个单位，
∵，，
∴，，
且新抛物线表达式为，
过点作轴，当点在直线左上方时，，过点作交于点，如下图所示：
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
令点坐标为，则，
∴，，
即，
化简得，
解得或（舍去），
此时点坐标为；
作点关于直线的对称点，延长交抛物线于点，如下图所示：
令，
可得，中点在直线上，
故，解得（舍去），，
即，
令直线的表达式为，
代入，，
得，解得，
∴直线的函数表达式为，
联立和，
得，
化简得，
解得（舍去）或，
得，
∴点坐标为；
综上，点的坐标为或．
11．(1)
(2)
(3)抛物线的对称轴上存在，使得总是平分．
【分析】 （1）把一般式化为顶点式即可得出抛物线顶点坐标；
（2）求出点的坐标，得抛物线的顶点坐标在直线上移动，根据抛物线与线段有公共点，得到抛物线与直线有一个交点开始，将抛物线向右移动直至抛物线与线段只有一个交点为时，均满足题意，求出两个临界值即可得出结果；
（3）先求出点坐标，联立抛物线与直线，根据根与系数的关系可得，，过点作，过点作，设，根据正切的定义，由列出比例式，整理后代入可得，根据等式成立与无关可得．
【详解】（1）解：∵；
∴抛物线的顶点坐标为；
（2）解：当时，则：，
∴令，则，令，则，
∴，
∵，
∴顶点在直线上移动，
∵与线段有公共点，
∴联立，整理，得：，
∴，即：，
此时抛物线为，与直线的交点是，在线段上，满足题意，
将从开始向右移动，直至抛物线与线段只有一个交点为时，与线段均有公共点，
∴当过点时，，
解得：或，
∴当时，抛物线与线段有公共点；
（3）结论：存在；
∵，
∴当时，，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴点在抛物线的对称轴上，
设抛物线和直线交点，，
联立抛物线和直线解析式得，整理，得：，
∴，，
假设存在点，使得总是平分，则一定在下方，过点作，过点作，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
设，则：，，
，，
∴，
整理得：，
∴，
∴，
当时，等式一定成立，
∴抛物线的对称轴上存在，使得总是平分．
12．(1)直线解析式为，抛物线解析式为
(2)
(3)
【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）由一次函数解析式可得点C坐标，从而可得，由的面积是面积的2倍可得点P到的距离是点Q到的距离的2倍，再分类讨论点P的位置并结合图像求解即可；
（3）分别讨论点M在x轴正半轴，y轴负半轴与正半轴三种情况，由长度不变，角度不变可得为弦所对圆周角，从而可得所对圆心角为直角，进而求解即可．
【详解】（1）解：代入得：
，解得：，
∴抛物线解析式．
将代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为．
（2）解：①点P在x轴上方时，过点P作x轴平行线，交y轴于点F，交直线于点E，
将代入得，
∴点C坐标为，
∵，
∴C为中点，即，
∴当的面积是面积的2倍时，点P到的距离是点Q到的距离的2倍，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点P纵坐标为，
将代入得，解得，
∴点P坐标为或．
②点P在x轴下方时，连接，轴于点K，
∵C为中点，
∴，
∵的面积是面积的2倍，
∴，
∴点Q为中点，
又∵，
∴，
∴，即点P纵坐标为，
将代入得，解得∴点P坐标为或．
综上所述，点P坐标为或或或．
（3）解：①点M在x轴正半轴上，作轴于点N，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴点M坐标为．
②如图，点M在y轴负半轴，作于点G，
∵长度不变，，
∴点A，B，M在同一个圆上，
∵，
∴点G为外接圆圆心，
∴，即为等腰直角三角形，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴点M坐标为，
此时，，
所以是等腰直角三角形，符合题意；
③点M1与点M关于点C对称，则四边形为平行四边形，，
∴点坐标为．
∴点M坐标为或或．
13．(1)
(2)
(3)是定值，该定值为．理由见解析
【分析】（1）将点，代入得到关于、的二元一次方程组，求解后可得答案；
（2）确定，得，，，如图，延长交于点，过点作轴于点，设，继而得到，，，根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质得，证明得，得，解得或（不符合题意，舍去），可得答案；
（3）如图，过点作轴于点，过点作轴于点，设，，得，，，，，，联立得，继而得到，，证明，得，，继而得到，代入数据化简即可．
【详解】（1）解：∵抛物线过点，，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵抛物线与轴交于，两点，
当时，，
解得：或，
∴，
又∵，，
∴，，，
如图，延长交于点，过点作轴于点，设，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：或（不符合题意，舍去），
∴，
∴；
（3）解：是定值，该定值为．理由如下：
∵直线经过点，
∴，
∴，
∴直线为．
如图，过点作轴于点，过点作轴于点，设，，
∴，，，，
∴，，，，
∴，，
∵直线与抛物线在第二、三象限交于，两点，
∴，
整理得：，
∴，，
∵，；，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴
，
∴是定值，该定值为．

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