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2025-2026学年高中数学人教A版选择性必修二单元测试 第四章 数列
一、选择题
1．已知等差数列的前n项和为，，，则的公差为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
2．公差不为零的等差数列的首项为1,,则的公差为( )
A.2 B.4 C. D.
3．在等差数列中,为其前n项和.若,则( )
A.420 B.210 C.198 D.105
4．已知等比数列满足,则( )
A.1 B.3 C.4 D.15
5．在等差数列中,,则的公差为( )
A. B. C.1 D.2
6．1080不同的正因数个数为( )
A.32 B.36 C.48 D.50
7．敦煌莫高窟的藻井图案具有独特的几何美感.某藻井图案的构造规则如下：最外层（第1层）是一个边长为4的正方形,连接该正方形各边的中点得到第2层正方形,再连接第2层正方形各边的中点得到第3层正方形 ,以此类推.则第6层正方形的边长为( )
A. B. C.1 D.
8．已知数列的通项公式为，若是数列的最大项，则( )
A.5 B.6 C.7 D.8
二、多项选择题
9．在等比数列中,已知,则数列的通项公式是( )
A. B.
C. D.
10．若正整数的公约数只有1,则称互质.设n为正整数,则函数表示小于或等于n且与n互质的正整数的个数,例如,.函数以其首位研究者欧拉命名,称为欧拉函数.下列关于欧拉函数的命题正确的是( )
A. B.
C. D.
11．已知无穷等差数列的前n项和为,且,则( )
A.在数列中,最大 B.在数列中,最大
C. D.当时,
三、填空题
12．2和9的等比中项是____________.
13．已知数列满足,则______.
14．已知等比数列的前n项和,且满足,则________.
15．已知等差数列的前n项和为,且,,则______.
四、解答题
16．在证明：，由到的变化过程中，左边增加的部分是什么，右边增加的部分是什么？
17．在①成等比数列,②,③这三个条件中任选两个,补充在下面问题中,并完成解答.
已知数列是公差不为0的等差数列,其前n项和为,且满足__________,__________.
(1)求的通项公式；
(2)求.
18．在等差数列中,是该数列的前n项和,.
（1）求数列的通项公式.
（2）若,求的最小值.
19．已知等差数列中,,.
(1)求的值；
(2)若数列满足：,证明：数列是等差数列.
20．求和:.
参考答案
1．答案：B
解析：已知等差数列的前n项和为，，，
所以，解得，
所以的公差为1.
2．答案：C
解析：因为等差数列的首项为1,,
所以的公差为,
故选：C.
3．答案：B
解析：设等差数列的公差为d,则,
整理得,解得.
所以.
4．答案：B
解析：设的公比为,
因为,解得,
所以.
故选:B.
5．答案：D
解析：设等差数列的公差为d,又因为,
所以,
所以,即,
故选:D.
6．答案：A
解析：由题意可知,则
1080的正因数,
因为r可取0,1,2,3,s可取,t可取0,1,2,3,
所以1080不同的正因数个数为.
故选:A.
7．答案：B
解析：设第n层正方形边长为,
则,即,
可知数列是以4为首项,为公比的等比数列,
则,可得.
8．答案：D
解析：由题意得，，即，
解得，
又因为，所以.
故选D.
9．答案：AC
解析：设等比数列的公比为q,则,
当时,.当时,.
故选:AC
10．答案：AC
解析：因为小于或等于5的正整数中与5互质的正整数为1,2,3,4,
小于或等于的正整数中与互质的正整数为1,3,7,9,所以,故A正确;
当时,,故B错误;
因为小于或等于32的正整数中与32互质的正整数为1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,
21,23,25,27,29,31,共16个,所以,故C正确;
因为当时,,故D错误,
故选:AC.
11．答案：AD
解析：由题知,无穷等差数列的前n项和为,且,
所以,所以等差数列为递减数列,
所以在数列中,最大；当时,；
故选：AD.
12．答案：
解析：令等比中项为x,则.
13．答案：
解析：由数列满足,
可得数列构成首项为,公差为的等差数列,
所以.
14．答案：3
解析：由题意,等比数列的前n项和.
而,解得.
15．答案：14
解法二:因为为等差数列,所以为等差数列,设,则,,三项成等差数列,再通过等差中项的性质求解即可.
解析：因为,且,则,
于是,则,.
解法2由于为等差数列,设,则,,三项成等差数列,
于是,则,,.
故答案为:14.
16．答案：；
解析：当时，左边为，
当时，变为，
故由到的变化过程中，左边增加的部分是。
当时，右边为，
当时，变为，
右边增加的部分是。
17．答案：(1)选①②,①③或②③均可得
(2)
解析：(1)若选①②,设公差为d,
则,
解得：,
；
选①③,设公差为d,
,
解得：,
；
选②③,设公差为d,
,
解得：,
；
(2),
.
18．答案：（1）
（2）15
解析：（1）设等差数列首项为,公差为d,
因为,即,
又因为,即,
联立方程组:,
解得:,,
所以通项公式为:.
（2）因为,,,
所以前n项和,
又因为,即,
解得:（舍）或,
所以最小正整数解为.
19．答案：(1)12
(2)证明见解析
解析：(1),,
；
(2)由(1)可知
,
∴数列是等差数列,首项是1,公差是2.
20．答案：
解析：因为,,……,,
所以
.
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