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2025-2026学年高中数学人教A版选择性必修二单元测试 第五章一元函数的导数及其应用
一、选择题
1．已知函数满足,则( )
A. B.1 C. D.2
2．曲线在点处切线的斜率为( )
A. B.0 C.1 D.2
3．已知曲线在点处切线的斜率为8,则( )
A.7 B. C. D.4
4．设,则( )
A. B. C. D.
5．已知函数在处的导数为1,则( )
A. B. C.1 D.2
6．已知是函数的导函数,,则( )
A.0 B.1 C.2 D.3
7．已知函数满足,则( )
A.4 B. C. D.2
8．已知函数在R上无极值，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．已知函数有极大值和极小值,则实数a的值可以是( )
A. B. C.6 D.8
10．函数在区间上的极值点为( )
A. B. C. D.
11．下列求导运算错误的是( )
A. B.(且)
C. D.
三、填空题
12．函数在区间上的平均变化率为__________.
13．若函数,则______.
14．已知函数,则的值为______________.
15．已知函数在处有极小值,则____________.
四、解答题
16．根据定义，结合导数公式表求函数的导数.
函数 导数 函数 导数
（c是常数）
（是实数）
（，） 特别地
（，） 特别地
17．求下列直线的方程：
(1)曲线在处的切线；
(2)曲线过点的切线.
18．已知函数为常数,e=2.71828…,曲线在点处的切线与x轴平行.
（1）求k的值;
（2）求的单调区间;
19．求下列函数的最值：
（1），；
（2），.
20．已知函数.
(1)讨论的极值；
(2)求在上的最小值.
参考答案
1．答案：B
解析：.
2．答案：B
解析：由题可知：,所以.
故选：B.
3．答案：B
解析：,,
故选：B.
4．答案：A
解析：因为,所以
5．答案：C
解析：因为函数在处的导数为1,即,
而,
所以.
6．答案：A
解析：由题可得,所以.
7．答案：B
解析：.
8．答案：D
解析：由题意得，，故，
因为函数在R上无极值，
所以在R上恒成立，
当时，，
设，则，
当时，得，当时，得，
则在上单调递减，在上单调递增，
从而，故，
当时，，则.
综上，.
故选：D.
9．答案：AD
解析：由题意知有两个不相等的根,
所以,
解得或.
故A、D正确,B、C错误.
故选：AD.
10．答案：BC
解析：,
令,
所以当时,,为单调递减函数；
当或时,,为单调递增函数,
所以当时取得极值.
故选：BC.
11．答案：BCD
解析：对于A,,故A正确；
对于B,(且),当时,,故B错误；
对于C,是常数,,故C错误；
对于D,,故D错误.
12．答案：4
解析：因,
故函数在区间上的平均变化率为4.
13．答案：
解析：由题意得:,所以,
解得.
14．答案：
解析：由题意知,,
所以,解得.
故答案为：.
15．答案：2
解析：
所以.
令,得或.
因为在处有极小值,所以2是的变号零点,即或.
①当时,,
时,单调递增；
时,单调递减；
时,单调递增；
故处取极小值,符合题意.
②当即时,,
时,单调递增；
时,单调递减；
时,单调递增；
是函数的极大值点,不合题意,舍去.
综上得.
16．答案：
解析：由可得.
17．答案：(1)
(2)或
解析：(1),故曲线在处的切线斜率为,
故在处的切线方程为,即；
(2)设切点为,因为,故曲线在处的切线方程为,
化简可得,代入可得,
即,解得或,
代入切线方程可得或.
18．答案：（1）
（2）单调递增区间是,单调递减区间是
解析：（1）,
由已知,,
（2）由（1）知,.
设,则,即在上是减函数,
由知,当时,,
当时,从而.
综上可知,的单调递增区间是,单调递减区间是.
19．答案：（1）最大值为，最小值为
（2）最小值为2，最大值为4
解析：（1）由函数，可得，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
所以当时，函数取得最小值，最小值为，
又由当时，；当时，，
所以函数的最大值为，最小值为.
（2）由函数，，
可得函数的图象开口向上，对称轴，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
当时，函数取得最小值，最小值为，
又当时，可得；当时，可得，
所以函数的最小值为2，最大值为4.
20．答案：(1)答案见解析
(2)
解析：(1)由题意知：的定义域为,；
当时,,恒成立,在上单调递增,
无极值；
当时,若,；若,；
在上单调递减,在上单调递增；
的极小值为,无极大值；
综上所述：当时,无极值；当时,的极小值为,无极大值.
(2)当时,在上恒成立,在上单调递增,
；
当时,若,；若,；
在上单调递减,在上单调递增,
；
当时,在上单调递减,；
综上所述：在上的最小值.
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