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2025-2026学年高中数学人教A版选择性必修二单元测试 综合复习与测试
一、选择题
1．在等差数列中，若，则( )
A.-1 B.0 C.1 D.3
2．设函数,则( )
A.0 B.1 C. D.
3．已知是定义在R上的可导函数,若,则( )
A. B. C. D.
4．一质点的位移s与时间t之间的关系为,则该质点在时的瞬时速度为( )
A.3 B.4 C.5 D.7
5．一个直线运动的质点的位移y（单位:m）与时间t（单位:s）之间的关系为,则该质点在时的瞬时速度为( )
A. B. C. D.
6．函数在处的切线斜率为( )
A.0 B.1 C.2 D.4
7．已知数列中,,(),则等于( )
A. B. C. D.2
8．已知是增函数,则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题
9．已知是公比为的等比数列的前n项和，若，，则( )
A. B. C. D.为定值
10．已知函数的图象如图所示,若为的导函数,则下列关系正确的是( )
A. B.
C. D.
11．下列求导运算正确的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题
12．函数的单调递减区间为__________.
13．如图,函数的图象在点P处的切线方程是,则____________.
14．曲线在点处的切线方程为______.
15．已知函数,,当函数取最大值时,则_______________.
四、解答题
16．设数列为等差数列,其公差为d,前n项和为.
（1）已知,,求及d;
（2）已知,,求.
17．一辆家庭轿车在x年的使用过程中需要如下支出：购买时的费用12万元；保险费、养路费、燃油费等各种费用每年1万元；维修费用万元；使用x年后，汽车的价值为万元.显然，在这辆汽车上的年平均支出y（单位：万元）是使用时间x（单位：年）的函数.
（1）写出y关于x的函数解析式；
（2）随着x的增加，函数值y的变化有何规律？
18．下表为某水库存水量y（单位：万）与水深x（单位：m）的对照表：
水深x/m 0 5 10 15 20 25 30 35
存水量y/万 0 20 40 90 160 275 437.5 650
（1）当x从变到时，存水量y关于x的平均变化率为多少？解释它的实际意义；
（2）当x从变到时，存水量y关于x的平均变化率为多少？解释它的实际意义；
（3）比较（1）与（2）的数值的大小，并联系实际情况解释意义.
19．求曲线在处的切线线方程.
20．已知曲线在点处的切线方程是.
(1)求a，b的值；
(2)如果曲线的某一切线与直线l：垂直，求切点坐标与切线的方程.
参考答案
1．答案：B
解析：因为为等差数列，所以.
2．答案：C
解析：由求导,可得:.
而,故.
故选:C.
3．答案：A
解析：因为,即,
即,则.
故选:A.
4．答案：C
解析：由题意知,所以,
所以该质点在时的瞬时速度为5.
5．答案：A
解析：由题意得,所以,
即该质点在时的瞬时速度为.
故选:A.
6．答案：C
解析：,则函数在处的切线斜率为.
7．答案：D
解析：由题设,知：,,,…,
是周期为3的数列,而的余数为1,
.
故选：D.
8．答案：A
解析：,,
因为在R上单调递增,所以在R上恒成立,
所以,解得.
故选：A.
9．答案：ACD
解析：对于A，由得，
即，由得，
代入得，联立，
且，解得，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，
则为定值，故D正确.
故选：ACD
10．答案：BD
解析：对于AB,由图可知,,所以,A错B对；
对于CD,由图可知,,所以C错D对.
故选：BD.
11．答案：BC
解析：A中,A不正确；
D中,,D不正确；BC正确.答案:
BC.
12．答案：
解析：函数的定义域为,,
,解得,
故函数的单调递减区间为.
13．答案：3
解析：,,
则.
14．答案：
解析：由，可得，当时，，
则曲线在点处的切线方程为.
15．答案：
解析：,,
由,当,为增函数；
当,,为减函数,
所以当时,取得最大值.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）解得:
（2）解得:
17．答案：（1）
（2）在，随着x的增加，函数值减少，时，y值相同，，随着x的增加，函数值增加
解析：（1）依题
；
（2）由，，
令，得，
在，随着x的增加，函数值减少，，随着x的增加，函数值增加.
但，当时，，当时，，
所以，在，随着x的增加，函数值减少，时，y值相同，，随着x的增加，函数值增加.
18．答案：（1）4，实际意义见解析
（2）32.5，实际意义见解析
（3），意义见解析
解析：（1）根据表格可知当x从变到时，存水量y关于x的平均变化率为，
即当x从变到时，水库存水量随水深每增加，水量增加4万；
（2）根据表格可知当x从变到时，存水量y关于x的平均变化率为，
即当x从变到时，水库存水量随水深每增加，水量增加32.5万；
（3）显然，所以该水库的水深从增长到时，存水量的平均增长率小于水深从增长到时存水量的平均增长率，
说明该水库的存水量随着水深的增长会越来越快.
19．答案：
解析：因为当时，，
且在曲线上，
又，
所以切线斜率，
切线方程为，
即.
20．答案：(1)1，-16；
(2)，，或.
解析：(1)∵的导数，
由题意可得，，
解得，.
(2)∵切线与直线垂直，
∴切线的斜率.设切点的坐标为，
则，∴.
由，可得，或.
则切线方程为或.
即或.
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