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2025-2026学年高中数学人教A版选择性必修三单元测试 第六章计数原理
一、选择题
1．从甲地去乙地,可以乘船,也可以坐火车,还可以乘飞机,一天中,乘船有6个班次,坐火车有9个班次,乘飞机有2个班次,则从甲地去乙地一天中不同的走法种数为( )
A.17 B.30 C.66 D.108
2．某学校开设3门球类课程 4门田径类课程和5门体操类课程供学生选修,某位学生任选1门课程学习,则不同的选法共有( )
A.12种 B.11种 C.10种 D.9种
3．的展开式中二项式系数的和为64,则展开式中的常数项为( )
A.60 B. C.15 D.
4．2025年世界机器人大赛总决赛在江苏无锡圆满落幕,某参赛小队有1名指导老师,2名男生和2名女生,比赛结束后5人站成一排合影,则指导老师不在两端的不同排法总数为( )
A.120 B.96 C.72 D.36
5．从0,1,2,3,4这5个数字中随机选取3个不同的数字,可以组成比300大的三位数的个数为( )
A.12 B.24 C.32 D.36
6．有4封不同的信投入3个不同的信箱,可有不同的投入方法种数为( )
A.81 B.64 C.27 D.24
7．用0,1,2,3,4,5可以组成无重复数字且能被2整除的三位数的个数是( )
A.50 B.52 C.54 D.56
8．甲、乙、丙、丁和戊5名学生进行劳动技术比赛,决出第1名到第5名的名次. 甲、乙两名参赛者去询问成绩,回答者对甲说“很遗憾,你和乙都没有得到冠军”;对乙说“你当然不会是最差的”. 从以上回答分析,5人的名次排列有______种不同情况( )
A.9
B.18
C.54
D.108
二、多项选择题
9．的展开式中的有理项有( )
A.1 B. C. D.
10．有4名同学报名参加三个不同的社团,则下列说法中正确的是( ).
A.每名同学限报其中一个社团,则不同的报名方法共有种
B.每名同学限报其中一个社团,则不同的报名方法共有种
C.每个社团限报一个人,则不同的报名方法共有24种
D.每个社团限报一个人,则不同的报名方法共有种
11．已知,,则满足不等式的n的值为( )
A.6 B.3 C.8 D.4
三、填空题
12．__________.
13．二项式的展开式中项的系数为_________.
14．已知的展开式中的系数为5,则______________.
15．在的展开式中,其常数项为_____________.
四、解答题
16．8个乒乓球队每两个队比赛一场，共有多少场比赛？
17．从0,1,2,3,4,5这6个数字中选取4个数字组成没有重复的四位数.
（1）若组成四位数的4个数字中没有“0”,这样的四位数共有多少个
（2）若四位数是5的倍数,这样的四位数共有多少个 （结果用具体数字作答）
18．回答下列问题
（1）把6本不同的书分给4位学生,每人至少一本,有多少种方法
（2）有16个相同的口罩全部分给6名同学,每名同学至少发两个口罩,则不同的发放方法种数是多少
（3）某旅行社有导游9人,其中3人只会英语,4人只会日语,其余2人既会英语,也会日语,现从中选6人,其中3人进行英语导游,另外3人进行日语导游,则不同的选择方法有多少种
19．(1)已知,；求的值；
(2)解不等式.
20．7名同学排队照相.
(1)若排成一排照,甲、乙、丙三人必须相邻,有多少种不同的排法？
(2)若排成一排照,7人中有4名男生,3名女生,女生不能相邻,有多少种不同的排法？
参考答案
1．答案：A
解析：由分类加法计数原理可得,从甲地到乙地无论哪种交通工具都能到达,
故不同的走法有：种.
2．答案：A
解析：种.
3．答案：A
解析：由题可知,解得,
则二项式展开式通项公式为,
令,解得,所以常数项为.
故选：A.
4．答案：C
解析：首先指导老师有3个位置可以排,剩余4人有种排法,
根据分步乘法计数原理,得指导老师不在两端的不同排法总数为.
5．答案：B
解析：当百位数是3时,则十位和个位共有种排法；
同理可得当百位数是4时,十位和个位共有12种排法,
所以比300大的三位数的个数为.
故选：B.
6．答案：A
解析：每封信都有3种选择,所以将4封不同的信投入3个不同的信箱,共有种方法.
故选：A.
7．答案：B
解析：能被2整除的三位数是偶数,
当个位数是0时,有种情形；
当个位数是2或4时,其中最高位不能是0,则有种情形,
因此,能被2整除的三位数的个数是种.
故选：B.
8．答案：C
解析：确定冠军人选:有种选法,
确定乙的名次:有种选法,
安排剩余3人的名次:有种排法,
所以总排列数为:.
9．答案：ABD
解析：的展开式通项为,
由可得,
所以展开式中的有理项有：.
故选：ABD.
10．答案：AC
解析：对于AB选项,第1个同学有3种报法,第2个同学有3种报法,
后面的2个同学也有3种报法,根据分步计数原理共有种结果,A正确,B错误；
对于CD选项,每个社团限报一个人,则第1个社团有4种选择,
第2个社团有3种选择,第3个社团有2种选择,
根据分步计数原理共有种结果,C正确,D错误.
故选：AC.
11．答案：BD
解析：因为,
所以,即,解得；
又,,所以或4,
故选：BD.
12．答案：20
解析：.
故答案为:20.
13．答案：
解析：展开式的通项为.
令,得,则系数为.
14．答案：
解析：因为的展开式中的系数为5,则,即,解得；
故答案为：.
15．答案：15
解析：的展开式的通项公式为.
令,解得.
故的展开式中的常数项.
故答案为：15.
16．答案：28场
解析：8个乒乓球队每两个队比赛一场，其中第一支要和剩余的7支球队都要赛一场，有7场比赛；
第二支球队要和除第一支球队之外的6支球队都要赛一场，有6场比赛；
第三支球队要和除第一、二支球队之外的5支球队都要赛一场，有5场比赛；
以此类推，第七支球队只需再和第八支球队赛一场，有1场比赛.
则共需要比赛场.
17．答案：（1）120
（2）108
解析：（1）从1,2,3,4,5这5个数字中选取4个数字,组成没有重复的四位数有个.
（2）若个位数字为0,则有（个）;
若个位数字为5,则有（个）;
所以这样的四位数共有:（个）.
18．答案：（1）1560
（2）126
（3）92
解析：（1）把6本不同的书分给4位学生,每人至少一本,有3,1,1,1和2,2,1,1两类,
分配方式为3,1,1,1时,共有种分法,
分配方式为2,2,1,1时,共有种分法,
由分类加法计数原理可得共有种分法.
（2）16个相同的口罩,每位同学先拿一个,
剩下的10个口罩排成一排有9个间隙,插入5块板子分成6份,
每一种分法所得6份给到6个人即可,
所以不同的发放方法有种.
（3）若只会英语的人中选了3人做英语导游,共有种选法,
若只会英语的人中选了2人做英语导游,共有种选法,
若只会英语的人中选了1人做英语导游,共有种选法,
由分类加法计数原理可得共有种选法.
19．答案：(1)126
(2)不等式的解集为
解析：(1)由,得或,
所以或.
因为,所以.
所以.
(2)由,得.
由,得,即,
即,即,解得,
因此,则,
即不等式的解集为.
20．答案：(1)720
(2)1440
解析：(1)依题意,将甲、乙、丙看作一个整体,其内部有种排法,
再将这个整体与其他4人全排列,有种排法,
所以一共有种不同的排法.
(2)依题意,先对4名男生进行全排列,有种排法,
再将3名女生插到4名男生所形成的5个空中,有种排法,
所以一共有种不同的排法.
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