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2025-2026学年高中数学人教A版选择性必修三单元测试 第七章 随机变量及其分布
一、选择题
1．在一个装有大小、形状都一样的3个白球,2个黑球和1个红球的箱子内,无放回地摸球,每次摸一个,在已知第一次摸到白球的条件下,第二次仍摸到白球的概率是( )
A. B. C. D.
2．已知,,则( )
A. B. C. D.
3．已知随机事件,,,,则( )
A. B. C. D.
4．某厂生产了一批固态电池,已知该批次固态电池的“循环寿命”X（单位：千次）服从正态分布,且.现从该批固态电池中随机抽取1组,则“循环寿命”X在区间的概率为( )
A. B. C. D.
5．已知随机变量X服从正态分布,且,则( )
A.0.14 B.0.36 C.0.64 D.0.72
6．已知,则( )
A. B. C. D.
7．为推进“数字适老,智慧生活”,某社区开展AI应用培训活动.现随机抽取一位学员,其每日在线学习积分X的取值分别为0,1,2,若,,则( )
A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4
8．已知甲盒中有5个白球、5个黑球,乙盒中有1个黑球,所有球除颜色外均相同,每次从甲盒中随机取出2个球放入乙盒中,当两个盒子中黑球个数相等或甲盒中的球全部取出时停止取球.已知第2次取出的球放入乙盒后停止取球,则第1次取出的是2个白球的概率为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．已知随机变量X的分布列为,其中a是常数,则( )
A. B.
C. D.
10．设随机变量服从正态分布.若,则( )
A.1 B.2 C. D.
11．设随机变量,随机变量,其正态密度曲线如图所示,则( )
A. B.
C. D.
三、填空题
12．英才高二年级男女生人数之比为11:9,4月2日视力检测统计结果为男生近视率为0.7,女生近视率为0.5,则英才高二年级学生的近视率为______.
13．某种药物在人体内的代谢浓度X（单位：）服从正态分布,则_____________.
14．百华实验中学高三年级有学生600人,在某次开学数学考试中,数学成绩X近似服从正态分布.已知,则本次考试数学成绩为120分以上的人数约为_______________人.
15．某地高中生的肺活量X（单位：）服从正态分布，若该地有12000名高中生，则其中肺活量低于的高中生的人数约为______________.
参考数据：.
四、解答题
16．将个质地、大小一样的球装入袋中,球上依次编号.现从中任取个球,以表示取出球的最大号码.
（1）求的分布列;
（2）求的概率.
17．已知春季里,每天甲、乙两地下雨的概率分别为与,而且两地同时下雨的概率为.求春季的一天里:
（1）已知甲地下雨的条件下,乙地也下雨的概率;
（2）已知乙地下雨的条件下,甲地也下雨的概率.
18．已知随机变量X的分布列为,则等于( )
A. B. C. D.
19．甲、乙两人进行投篮练习,每人最多投篮次,约定如下：若先投篮者有两次投篮不中,则换成另一人投篮,否则一直投篮2n次.假设甲每次投篮投中的概率为,且各次投篮结果相互独立.若甲先投篮,随机变量X表示换成乙投篮时甲投篮的次数.
(1)求,；
(2)求X的分布列；
(3)当时,求.
20．某市举办了党史知识竞赛.初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个单位派出两个小组，且每个小组都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的小组才具备参与决赛的资格.某单位派出甲、乙两个小组参赛，在初赛中，若甲小组通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是，，乙小组通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是，，且各个小组所有轮次比赛的结果互不影响.
(1)若该单位获得决赛资格的小组个数为X，求X的分布列与数学期望；
(2)已知甲、乙两个小组都获得了决赛资格，决赛以抢答题形式进行.假设这两组在决赛中对每个问题回答正确的概率恰好是各自获得决赛资格的概率.若最后一道题被该单位的某小组抢到，且甲、乙两个小组抢到该题的可能性分别是，，该题如果被答对，计算恰好是甲小组答对的概率.
参考答案
1．答案：B
解析：第一次摸到白球后,还剩2个白球,2个黑球和1个红球,
所以第二次仍摸到白球的概率是.
2．答案：C
解析：.
故选:C.
3．答案：C
解析：因为,,,所以,
由条件概率公式可得,
因此.
故选：C.
4．答案：C
解析：,,,
则.
5．答案：A
解析：由题意.
6．答案：C
解析：因为,
所以.
7．答案：B
解析：由题可设,则,,
所以,解得.
所以.
8．答案：A
解析：记第2次取出的球放入乙盒后停止取球为事件A,第1次取2白球为事件B.
则,
,
所以.
故第2次取出的球放入乙盒后停止取球,则第1次取出的是2个白球的概率为.
9．答案：ABC
解析：根据题意,随机变量X的分布列为,
则有,解得,
则,
.
故选:ABC.
10．答案：A
解析：因为随机变量服从正态分布,,
所以,解得.
故选：A.
11．答案：AD
解析：,,
两曲线分别关于直线、对称,由图可知,故A正确；
又,所以,故C错误；
又X的正态密度曲线比Y的正态密度曲线更“高瘦”,所以,故B错误；
又,所以,故D正确；
故选：AD.
12．答案：0.61/
解析：根据全概率公式可得英才高二年级学生的近视率为.
故答案为:.
13．答案：36
解析：在中,,即,所以.
14．答案：72
解析：由于数学成绩X近似服从正态分布,且,
所以,
所以,
则本次考试数学成绩为120分以上的人数约为人.
故答案为:72.
15．答案：300
解析：因为，
所以.
所以肺活量低于的高中生的人数约为：.
故答案为：300
16．答案：（1）分布列见解析
（2）
解析：（1）由已知可得随机变量的可能取值有:3,4,5,6,
所以,,,,
所以分布列为
X 3 4 5 6
P
（2）由（1）得.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）记事件A“甲地下雨”,事件B“乙地下雨”,则由已知可得
.
根据题意可知,要求的是,因此
.
（2）依题意,要求的是,因此
.
18．答案：B
解析：由,则,解得,
则.
故选:B
19．答案：(1),
(2)见解析
(3)
解析：(1),即甲两次投篮均不中,,
,即甲前两次投篮有1次中,1次不中,第三次投篮不中,
故；
(2)X的可能取值为,
当时,第k次投篮未进,
则前面次投篮中有1次未投中,
所以；
当时,若前面次投篮都投中,其概率为；
若前面次投篮中有1次未投中,
其概率为,
故,
所以X的分布列为
X 2 3 4 … 2n
P …
(3)由上可知,
,①
,②
由得,
,
所以,
故当时,
.
20．答案：(1)分布列见解析；期望为1
(2)
解析：(1)设甲，乙通过两轮制的初赛分别为事件，，
则，，
由题意可得，X的取值可能为0，1，2，
则，
，
，
则X的分布列为：
X 0 1 2
P
所以；
(2)设B表示事件“该单位的某小组对最后一道题回答正确”，表示事件“甲小组抢到最后一道题”，表示事件“乙小组抢到最后一道题”，
则，，，
根据全概率公式，可得，
从而，
从而该题如果被答对，恰好是甲小组答对的概率为.
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