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数学试题
（考试时间：120分钟 满分：150分）
注意事项：
1. 答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位。
2. 答题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3. 答题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置给出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。
4. 考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数 （ 为虚数单位），则 （ ）
A. B.
C. D.5
2. 已知集合 ，，则 （ ）
A. B.
C. D.
3. 已知等比数列 ，，，则 （ ）
A.5 B.4
C. D.
4. 双曲线 ，若两条渐近线上存在点 和 ，使得 为等边三角形（ 为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）
A.
B.
C. 或
D.2或
5. 如图是个 “心形” 图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则 “心形” 在 轴上方部分对应的函数解析式可能为（ ）
A. B.
C. D.
6.
A.1 B.
C. D.
7. 一定条件下，某人工智能大语言模型训练个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中为常数。在此条件下，已知训练数据量从个单位增加到个单位时，训练时间增加；当训练数据量从个单位增加到个单位时，训练时间增加（ ）
A.2h B.4h C.6h D.8h
8. 安徽某高中高一研学游有“皖东”、“皖南”、“皖西”、“皖北”、“皖中”5条线路，现高一年级有班共10个班级，每条线路有且仅有两个班级，已知“皖东”线路的两个班级班号不相邻，“皖南”线路的两个班级班号也不相邻，则共有（ ）种不同的选择。
A.68040 B.72900 C.73080 D.74340
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 设随机变量等可能取，，，，，则
B. 已知随机变量，则
C. 若随机变量的概率分布为且是常数，则
D. 设随机变量服从两点分布，则
10. 已知半径为的球与圆台的上下底面和侧面都相切，若圆台上下底面半径分别为和，母线长为，球的表面积与体积分别为和，圆台的表面积与体积分别为和。则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 的最大值为
D.
11. 已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 是 的一条对称轴
C. 的值域为
D. 在区间上单调递增
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 等边面积为，则 .
13. 已知，，由数列和的公共项构成数列，则数列的第5项是数列的第 项.
14. 已知抛物线，，，，是抛物线上异于点的四个动点，直线，，，的斜率分别为，，，，且，过点分别作，的垂线，垂足分别为，，则线段长度的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分） 在中，角，，的对边分别为，，，且，若点是的中点，.
（1） 求的值；
（2） 若的外接圆面积为，求的面积.
16.（15分） 在五面体中，平面，平面.
（1） 求证：；
（2） 若，，，求二面角.
17.（15分） 蛇年春晚上的机器人表演相当精彩，让人们深刻感受到科技的飞速发展，现有某研究机构开发了一款智能机器人，该机器人通过交替学习不同技能 ，， 来提升综合能力.初始时，机器人选择学习技能 ，且每次学习 后会等可能地选择学习 或 ；每次学习 后，有 的概率继续学习 ， 的概率学习 ；每次学习 后，有 的概率继续学习 ， 的概率学习 .
（1）每次学习技能 可得2点技能点，每次学习 或 可得1点技能点，若机器人仅进行三次学习，求所得技能点数的分布列及其数学期望；
（2）设 为该机器人第 次学习后接着学习技能 的概率，求 （用 表示）.
18. (17分)已知曲线 上的点到点 的距离和到直线 的距离比值为 \( >\\sqrt{2}}{2}.
（1）求曲线 的标准方程；
（2） 点 是曲线 上动点，直线 ：，过原点 作以点 为圆心，半径为1的圆的两条切线，分别交直线 于点 ，.
①求证：；
②求 面积的取值范围.
19.（17分）已知函数 .
（1）当 时， 恒成立，求 的取值范围；
（2）若 的一个实根为 且 .
①求 的取值范围；
②证明：\( >\ < \ln \ < \ \sqrt{1 + 16a}}{4a}.
数学答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数（为虚数单位），则（ ）
A. B.
C. D.5
【答案】A
由题意，，
所以.故选：A.
2. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
因为集合，
，
所以.故选：D.
3. 已知等比数列，，，则（ ）
A.5 B.4
C. D.
【答案】B
由题意可知.又与同号，所以.故选：B
4. 双曲线，若两条渐近线上存在点和，使得为等边三角形（为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）
A.
B.
C. 或
D.2或
【答案】D
由题意，或者，又因为
所以或者.故选：D.
5.如图是个 “心形” 图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则 “心形”在x轴上方部分对应的函数解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
由图象可知函数是偶函数，且定义域为，且值域为.
排除B、D；
对于A，，即，
当且仅当时取等号，即当时取等号，
所以该函数的值域不符合题意，因此本选项函数解析式不符合题意；
故选：C.
6．
A.1 B.
C. D.
【答案】A
故选：A.
7. 一定条件下，某人工智能大语言模型训练个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中为常数. 在此条件下，已知训练数据量从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量从个单位增加到个单位时，训练时间增加（ ）
A.2h B.4h C.6h D.8h
【答案】C
设当取个单位、个单位、个单位时所需时间分别为，，，
由题意，，
，
，
因为，所以，
所以，
当训练数据量从个单位增加到个单位时，训练时间增加6小时.
8. 安徽某高中高一研学游有“皖东”、“皖南”、“皖西”、“皖北”、“皖中”5条线路，现高一年级有班共10个班级，每条线路有且仅有两个班级，已知“皖东”线路的两个班级班号不相邻，“皖南”线路的两个班级班号也不相邻，则共有（ ）种不同的选择.
A.68040 B.72900 C.73080 D.74340
【答案】C
中选出2组不相邻的班级安排给“皖东”和“皖南”共有，
（也可以从反面考虑）
其余6个班级均匀分成三组选择另3条线路共有，
故共有.故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 设随机变量等可能取，，，，，则
B. 已知随机变量，则
C. 若随机变量的概率分布为且是常数，则
D. 设随机变量服从两点分布，则
【答案】BC
对于A，，故A错误；
对于B，因，故，故B正确；
对于C，依题意，，解得，故C正确；
对于D，两点分布成功的概率是未知的，由具体随机事件确定，故D错误.
故选：BC.
10. 已知半径为\(R\)的球与圆台的上下底面和侧面都相切.若圆台上下底面半径分别为\(\)和\(\)，母线长为\(l\)，球的表面积与体积分别为\(\)和\(\)，圆台的表面积与体积分别为\(\)和\(\).则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 的最大值为
D.
【答案】ABD
由切线长定理易得，A正确；
由勾股定理知，解得，B正确；
因为，当且仅当时，等号成立，
这与圆台的定义矛盾，故C错误；
因为，
，
所以，D正确. 故选：ABD.
11. 已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 是 的一条对称轴
C. 的值域为
D. 在区间上单调递增
【答案】ACD
因为偶函数，则①，
又为奇函数，则②，
由① ②，整理得，
，故B错误；
易知，所以是函数的周期，
在区间上，，在区间上，，
故A、D正确；
，，故C正确. 故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 等边面积为，则 。
【答案】2。
面积为可得边长为2，与夹角为
所以。
13. 已知，，由数列和的公共项构成数列，则数列的第5项是数列的第 项。
【答案】82。
设，得，，，，，
当时，取第5项得，
14. 已知抛物线，，，，是抛物线上异于点的四个动点，直线，，，的斜率分别为，，，，且，过点分别作，的垂线，垂足分别为，，则线段长度的最大值为 。
【答案】。
设，，
则，
化为，即；
则直线的方程为，
化为，则直线恒过定点；
同理可得直线也恒过定点，
又，，可得，在以为直径的圆上，
所以的最大值为直径。（当，垂直时取等号）
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）在中，角，，的对边分别为，，，且，若点是的中点，.
（1）求的值；
（2）若的外接圆面积为，求的面积.
（1）在中，因，，由余弦定理可得：
，
在中，由余弦定理可得：
，
因为，即，
可得，解得。（6分）
（2）若的外接圆面积为，可得外接圆半径为，
由可得，
可得.
。（13分）
16.（15分）在五面体中，平面，平面.
（1）求证：；
（2）若，，，求二面角.
（1）证明：因为平面，平面，
所以，
因为平面，平面，
所以平面，
因为平面平面，平面，
所以。（6分）
（2）易知，，两两垂直
如图以为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴建系，
设，，
则，，，，，，
故，，
由于，所以，故，
由可得，故。（9分）
设平面的法向量为，平面的法向量为，
因为，，
所以，即，
令，则，
因为，，
所以，即，
令，则，
设二面角为，由图可知为钝角，
所以，故． （15分）
17．（15分） 蛇年春晚上的机器人表演相当精彩，让人们深刻感受到科技的飞速发展，现有某研究机构开发了一款智能机器人，该机器人通过交替学习不同技能，，来提升综合能力.初始时，机器人选择学习技能，且每次学习后会等可能地选择学习或；每次学习后，有的概率继续学习，的概率学习；每次学习后，有的概率继续学习，的概率学习．
（1）每次学习技能可得2点技能点，每次学习或可得1点技能点，若机器人仅进行三次学习，求所得技能点数的分布列及其数学期望；
（2）设为该机器人第次学习后接着学习技能的概率，求（用表示）．
（1）设三次学习所得技能点数为，则的取值可以为4，5，
第一次学，第二次学，第三次学，则，
第一次学，第二次学，第三次学，则，
故，
第一次学，第二次学，第三次学，则，
第一次学，第二次学，第三次学，则，
故，
故的分布列为：
4 5
故 （7分）
（2）已知， 且，，
因此为等比数列，且公比为，首项为，
故，故。（15分）
18. （17分）已知曲线上的点到点的距离和到直线的距离比值为。
（1）求曲线的标准方程；
（2） 点是曲线上动点，直线：，过原点作以点为圆心，半径为1的圆的两条切线，分别交直线于点，。
①求证：；
②求面积的取值范围。
：（1） 设曲线上点
则
化简可得： 。（4分）
（2）①设过原点与圆相切的直线为（因为，易知切线斜率不为0）
则
化简得：
因为，故解得
又因为且
则，所以得证。（10分）
②
原点到直线的距离为且
所以
所以面积的取值范围为． （17分）
19．（17分）已知函数．
（1）当时，恒成立，求的取值范围；
（2）若的一个实根为且．
①求的取值范围；
②证明：．
（1） 令，则，
易知在上单调递增，
当时，，则，，
所以恒成立，符合题意；
当时，可得，
在上单调递减，在上单调递增，
因为，只需，可得．
当时，，则，不符合题意．
综上：． （5分）
（也可由与在上的图像分析）
（2）①由可得
所以，即，令则．
可得，即
设
，所以在上单调递增，
所以的取值范围是
（注：，令可将等式右侧转化成一次式，则可通过和
图像分析）
②欲证等价于证明，
因为，所以（12分）
因为，由（1）可知
（注：观察不等式右侧考虑二次方程的求根式，取可凑出）
所以，可得，
综上：，所以得证.（17分）

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