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2024级高二数学周末限时训练（20260523）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合，，则等于（ ）
A. B.
C. D.
2. 下列命题正确的是（ ）
A.
B. 是的充分不必要条件
C.
D. 若，则
3. 某高校有6名志愿者参加5月1日社区志愿工作，每人参加一次值班，若该天分早、中、晚三班，每班至少安排1人，最多安排3人，则当天不同的排班种类为（ ）
A.75 B.450 C.540 D.900
4. 已知，，且，则不可能取的值是（ ）
A.9 B.10 C.11 D.12
5. 已知定义在上的图象连续的函数的导数是，，当时，，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
6. 六氟化硫在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途·已知六氟化硫分子构型呈正八面体（每个面都是正三角形），如图所示，任取正八面体的两条棱，在第一条棱取自于四边形的一条边的条件下，再取第二条棱，则取出的两条棱所在的直线是异面直线的概率为（ ）
A. B.
C. D.
7. 如果对一切正实数，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8. 函数（，），若在上恒成立，则（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 下列命题是假命题的有（ ）
A. 回归方程至少经过点，，，中的一个
B. 若变量和之间的相关系数，则变量和之间的负相关性很强
C. 在回归分析中，决定系数为0.80的模型比决定系数为0.98的模型拟合的效果要好
D. 在回归方程中，变量时，变量的值一定是
10. 设，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒内
装有两个1号球，一个3号球；3号盒内装有三个1号球，两个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽
取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是
（ ）
A. 如果将10个相同的小球放入这三个盒子内，允许有空盒子，则不同的放法有36种
B. 第二次抽到3号球的概率为
C. 如果第二次抽到的是3号球，则它来自1号盒子的概率最大
D. 在第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到2号球的概率为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 若，则的值为 .
13. 已知的三边长，，满足，，则的取值范围为 .
14. 函数，不等式对恒成立，则实数的取值范围是
四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15. 某自然保护区经过几十年的发展，某种濒临灭绝动物数量有大幅度的增加：已知这种动物拥有两个亚种（分别记为种和种）.为了调查该区域中这两个亚种的数目，某动物研究小组计划在该区域中捕捉100个动物，统计其中种的数目后，将捕获的动物全部放回，作为一次试验结果.重复进行这个试验共20次，记第次试验中种的数目为随机变量.设该区域中种的数目为，种的数目为（，均大于100），每一次试验均相互独立.
（1）求的分布列；
（2）记随机变量，已知，
（i）证明：，；
（ii）该小组完成所有试验后，得到的实际取值分别为.数据的平均值，方差.采用和分别代替和，给出，的估计值.
（已知随机变量服从超几何分布记为：（其中为总数，为某类元素的个数，为抽取的个数），则）
16. 设函数，
（1）当时，讨论函数的零点个数；
（2）若对于给定的实数，存在实数，对于任意实数，都有不等式恒成立，求实数的取值范围.
17. 向日葵是菊科向日葵属的一年生草本植物. 因花序随太阳转动而得名，深受人们喜欢，某向日葵基地为促进该基地旅游业发展，特邀请一文旅公司制作文旅创收方案.
1）公司调查发现该基地成熟向日葵花盘直径（单位：cm）近似服从正态分布.试估计一游客在该基地任摘一颗成熟向日葵，其花盘直径在的概率；
（2）该公司特设置一游戏，根据游戏结果对游客全程所有消费进行打折，该游戏有两种方案，游客在这两
种方案中任选一种参加游戏. 方案一：不透明袋子里装有2个红球，4个白球，顾客从中一次性摸出3
个球，若摸出2个红球1个白球获得“六折优惠”，若摸出1个红球2个白球获得“八折优惠”，若摸出3
个白球不优惠. 方案二：如图游客开始站在①位置，游客每掷一次骰子，就沿顺时针方向移动一次. 若
掷出正面朝上数字为奇数，游客就向前移动1格；若掷出正面朝上数字为偶数，游客就向前移动2格. 游
客重复掷骰子直到游客第一次到达⑨位置获得“九折优惠”或第2次到达①位置获得“七点五折优惠”游戏
结束. 若想要获得最大优惠，游客应选哪个方案？说明理由.
参考数据：若，则，.
18. 已知，.
（1） 若对任意的实数，恒有，求实数的取值范围；
（2） 当，时，求证：方程恒有两解.
19. 已知，关于的方程的不同实数解个数为.
（1） 求分别为1，2，3时，的相应取值范围；
（2） 若方程的三个不同的根从小到大依次为，，，求证：.
2024级高二数学周末限时训练答案（20260523）
单选题：CBBAA DDC 多选题ACD BD BCD 填空题12. 13. 14.
1.【答案】C由得或，则，因此；
又，则.故选：C.
2. 【答案】B由知A错误；解方程可得，由能推出，所以条件充分，由推不出，所以条件不必要，故B正确；当时，不成立，
故C错误；由推不出，故D错误．
3.【答案】B将6名志愿者分为3组，每组的人数可以是：①2、2、2；②1、2、3，再将这三
组志愿者分配到早、中、晚三班，所以，当天不同的排班种类为.
4.【答案】A解：因为，，且，所以
，当且仅当，即取等号，
5.【答案】A当时，，即有．
令，则当时，，故在上单调递
增．，关于直线对称，故
在上单调递减，由等价于，则，得
．的解集为．
6.【答案】D【解答】解：根据题意可得，假设四边形 取 ，则与 异面的直线为，
， ， ，同理可得 ， ，的异面直线，所以第一条棱取自于四边形的一条
边，第二次取的棱与第一次取的棱是异面直线的方法数有种，
设事件为“任取正八面体的两条棱，第一条棱取自于四边形的一条边”，事件为“取的第二条
棱与第一条棱成异面直线”，则任取正八面体的两条棱有种方法，其中第一次取的棱是四边形
的一条边有种方法，所以，，所以
故选：D
7.【答案】D解： 实数、，不等式恒成立恒成立，
令，则，，（当且仅当时取“”），；所以，，即恒成立. ①若，恒成立，令，则，再令，则. 由于，
所以，在区间上单调递减，
因此，，所以；②若，则恒成立，同理可得；
③若，恒成立，故；综合①②③，. 故选：D.
8.【答案】C令，则，则当时，，当，，则在上单调递减，在上单调递增，又，当时，，当时，，故有两个零点，；
由在上恒成立，则时，需，时，需，
又在上单调递减，在上单调递增，则当、为与的公共零点时，有在上恒成立，则有，且有，则
. 故选：C.
9.【答案】ACD对于A，回归方程是由最小二乘法计算出来的，它不一定经过其样本数据点，一定经过，所以A是假命题；对于B，由相关系数的意义，当越接近1时，表示变量与之间的线性相关程度越强，变量和之间的相关系数，则变量和之间具有很强的线性相关关系，所以B是真命题；对于C，用决定系数的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟
合效果越好，所以C是假命题；对于D，在回归方程中，变量时，变量的预测值是，但实际观测值可能不是，所以D是假命题.故选：ACD.
10.【答案】BD因为，，所以，，，
对于A：，因为，所以，
即，故A错误；对于B：由基本不等式，所以，故B正确；
对于C：，因为，所以，
所以，故C错误；对于D：由基本不等式，，而，所以.故选：BD
11.【答案】BCD将10个相同的小球放入这三个（不同）盒子内，应用插棍法，
把10个小球和3个盒子排成一列有12个空（不含两端），再用2根棍插入其中两个空，
所以不同的放法有种，A错；表示第一次抽取到1号球，表示第一次抽取到2号球，表示第一次抽取到3号球，所以，，表示第二次抽到3号球，则
，所以
而，，所以，B对；
第二次抽到的是3号球来自1号盒，第二次抽到的是3号球来自2号盒，第二次抽到的是3号球来自3号盒，
所以第二次抽到的是3号球，则它来自1号盒子的概率最大，C对；表示第二次抽到2号球，则第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到2号球的概率，D对.故选：BCD
12.【答案】对于，令得：
，令得：，所以，所以.
故答案为：
13.【答案】．试题分析：，，，
又，，问题等价于不等式组有解，，
14.答案】因为，所以
，令，则，
可得为奇函数，又因为，
，当且仅当，即时等号成立；，当且仅当，即时等号成立；所以，可得在上为增函数，因为
，所以在上恒成立，当时，显然成立；当，需满足，解得，综上，，
15.【答案】（1）见解析 （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ），
（1） 依题意，均服从完全相同的超几何分布，
且，均大于，故的分布列为．
（2）（i） 均服从完全相同的超几何分布，故
，
，故，
（II）由（i）可知的均值，利用公式计算的方差，，所以。
依题意有 解得，。所以可以估计，。
16.【答案】（1）答案见解析；（2）。
（1），，当时，在上无解，在上恰有一解；当时，在上恰有一解，在上恰有一解，此时函数有个零点；当时，在上恰有一解，若判别式，则在上无解；判别式，则在上恰有一解；判别式，则在上恰有两个不同的解。
综上在的条件下，当或时，函数有一个零点；当或时，函数有个零点；当时，函数有个零点。
（2）因为任意实数，都有不等式恒成立，原问题等价于：当时，，求实数的取值范围。
①当时，在上递增，则，，所以，解得，即当时，满足条件；
②当时，在上递增，在上递减，则，，所以，解得，即当时，满足条件；
③当时，在上递增，在上递减，则，，所以，解得，即当时，满足条件。
综上所述，当时，存在实数，对任意实数，都有不等式恒成立。
17.【答案】（1）0.8186.
（2）方案一，理由见解析
（1） ，则，，结合正态分布的性质：和
即一游客在该基地任摘一颗成熟向日葵，其花盘直径在的概率为0.8186.
（2） 设方案一的折扣为，则可以取，，，
，，，
.
设方案二的折扣为，则可以取，，
用，表示游客首次在第位置的概率，
则，，，
由题知，游客到达，位置，只有两种途径，
一种是从位置，掷到偶数，其概率为，
另一种是从位置，掷到奇数，其概率为，
，，.
当时，数列是以为首项，为公比的等比数列.
，，，，，
又 ， ，，
，且
。
第二次到达①位置的概率。。
，若想要获得最大优惠，游客应选方案一。
18.【答案】（1）；（2）详见解析.
（1）要使恒成立，即使成立，
整理成关于的二次不等式恒成立，
则恒成立，
整理为恒成立，
令，，当时，，当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，，
因此，即，解得，所以实数的取值范围是。
（2）方程，
令，求导得，在上单调递增，
，，存在使，即，
函数在上单调递减，在上单调递增，在处取得最小值，
，
而，，，，
函数在和各有一个零点，
所以方程恒有两解。
19【答案】（1）时，；时，或；时，；（2）证明见解析.
解：（1）注意到无论为何实数，时，均有且仅有一个实数根，只需考虑方程的根的个数. 时，，时，
，，时，或，则或；
时，，即，此时，，，，满足题意.
（2）由（1），，注意到，则. .
只需证明：. 令，即需证明
. 则为增函数，而，，
则在上存在零点，则时，；时，.
则在上单调递减，在上单调递增.
，则
令，只需证明
注意到，只需证明，，则，令，显然
，，所以成立，
所以原不等式成立

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