资源简介

202学年度第二学期五月冲刺卷
高三数学
聚龙学子高考加油，祝考生考出理想成绩！
本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上。
2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将答题卡交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 的虚部为（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知全集，集合，则（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知双曲线的焦距与其虚轴长之比为，则的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知函数图象相邻的两个对称中心间的距离为，若，则函数图象的一个对称中心为（ ）
A. B.
C. D.
5. 设是定义在上的函数，且对任意实数恒有，当时，，则（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知平面直角坐标系中，，，，，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知圆，，是圆上的两个动点，且，则的最大值为（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知正实数，，满足，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分。
9. 在棱长为的正方体中，点为的中点，点满足，，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则平面
B. 若，则平面
C. 若，则存在，使
D. 若，则存在，使平面
10. 设为坐标原点，直线过抛物线的焦点且与交于，两点（点在第一象限），，为的准线，，垂足为，，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 的最小值为
C. 若，则
D. 轴上存在一点，使为定值
11. 在中，角，，所对的边分别为，，，且满足，则（ ）
A.
B.
C. 若为锐角三角形，且，则面积的取值范围为
D. 若，的内心为，则周长的取值范围为
三、填空题：本大题共3题，每小题5分，共15分。
12. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 。
13. 已知等比数列的前项和为，且，则 。
14. 深圳市聚龙科学中举办“聚龙杯”数学比赛活动，为表彰数学建模比赛中表现优异的同学，学校给高中三个年级共分配9个表彰名额，每个年级至少一个名额。从所有可能的分配方案中随机选择一种，用表示这三个年级中分配的最少名额数，则的数学期望 。
四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(13分)深圳市统计了2026年4月的空气质量指数(AQI)，将其分为，，(50，，(100，，(150，的4组，画出频率分布直方图如图所示。
若，称当天空气质量达标；若，称当天空气质量
不达标。
（1）求；
（2）从4月的30天中任取2天，求至少有1天空气质量达标的概率；
(3)若2026年6月的30天中有8天空气质量达标，请完成下面列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为空气质量是否达标与月份有关联？
月份 空气质量 合计
达标 不达标
4月
6月
合计
附：，
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
16. （15分）记数列的前项和为。
（1）设，若，求的通项公式；
（2）记，设，求。
17.（15分）如图，在几何体中，已知四边形是边长为2的正方形，平面，，。
（1）求异面直线与所成角的余弦值
（2）证明：平面平面。
（3）若是几何体内的一个动点，且 ，点满足，，求的最小值。
18.（17分）已知椭圆的左、右顶点分别为，且焦距为2，上顶点为，且直线，的斜率之积为。
（1）求椭圆的方程：
（2）设直线不经过点且与相交于、两点，
（i）证明：直线过定点；
（ii）设为①中点关于轴的对称点，过点作直线交于椭圆于、两点，且，求四边形面积的取值范围。
19.（17分）意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链下垂部分所形成的曲线是悬链线，通过建立适当坐标系，悬链线可为函数的图象，我们称这个函数为“双曲余弦函数”，记为，把称为“双曲正弦函数”，记，易知。
（1）证明：（i）当时，；
（ii）当时，；
（2）证明： 。
202学年度第二学期五月冲刺卷
高三数学试题参考答案
一、单项选择题：
本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
C B C B B A D A
二、多项选择题：
本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分。
9 10 11
ABD ABD ACD
三、填空题：
本大题共3题，每小题5分，共15分。
12 13 14
-2
四、解答题：
本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15. （13分）（1）依题意得，，解得。
（2）由频率分布直方图知，4月份的空气质量达标的天数为：，
则4月份的空气质量不达标的天数为：，
则任取2天，至少有1天空气质量达标的概率为：。
（3）列联表如下：
月份 空气质量 合计
达标 不达标
4月 12 18 30
6月 8 22 30
合计 20 40 60
零假设：空气质量是否达标与月份无关，则
所以根据小概率值的独立性检验，没有充分理由推断假设不成立，
故不能认为空气质量是否达标与月份有关联。
16. （15分）（1）当时，，整理得，当
时，有，数列是以为公比，以为首项的等比数列，所以。
（2）当时，，所以，
所以，令，其前项和为，
①
②
①②得：.
.
令，其前项和易知为：，
所以
17. （15分）（1）以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系.
，，，，则，
，，，
故异面直线与所成角的余弦值为.
（2）取的中点，连接，，则，
所以，，，，
所以，，，则，
所以.，，则，又为中点，
所以，，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
（3）因为，
所以在线段上.
因为，所以，故在平面上.
；
设为的中点，所以，
因为，所以，故，所以的最小值为.
18. （17分）（1）由题意有，，，则，
可得，由椭圆焦距为2，有，得，，
椭圆的标准方程为；
（2）（i）由题意可知直线不过椭圆的右顶点，
故可设直线①，
椭圆方程整理为，
整理得：②，
联立①②得：③，
设，，这两点坐标都满足方程③，
，，
方程③两边同除以得：，
即，此方程的两根为，。
点在椭圆上，，
又，，，。
直线，，与轴交点坐标为，
直线恒过定点。
（ii）关于原点的对称点为。
当直线的斜率不为零时，设其方程为。
将直线代入椭圆的标准方程为
整理得：，，
，
当时，，，四边形面积为
同理得。
又，四边形面积为：
，当时，取到，
又当直线的斜率为零时，必经过椭圆的左右顶点，与题意矛盾；
四边形面积的取值范围是。
19.（17分）（1）（i）由，
令，，
则，
所以在上单调递增，
所以，
所以当时，成立；
（ii）令，，
则，
令，
则，
因此在上单调递增；
所以，
故，
即，
所以在上单调递增，
即，
所以当时，成立；
（2）由时，成立，
令，，且，
则，
即，
由题意，
令，且，可得，
因为，
所以，
由①当时，，
所以令，且，可得，
所以，
由前面解答过程得，对任意，成立，
令，且，
可得，
所以，
又且，所以，
所以，
所以可得
，
即可得。

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