资源简介

2026年普通高中毕业班考前冲刺题（二）
数 学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，，则实数的取值范围为
A. 　　　 B. 　　　
C. 　　　 D.
2. 已知，则“”是“”的
A. 充分不必要条件　　　　　　 B. 必要不充分条件
C. 充要条件　　　　　　　　　 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知圆锥的母线长为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径为
A.2　　　　　 B. 　　　　
C. 　　　　 D.
4. 在中，，，和交于点，则为
A.3　　　　　 B.4　　　　　 C.5　　　　　 D.6
5. 在某马拉松比赛活动中，甲、乙、丙、丁四位志愿者被派往、、三个服务站，若每个服务站至少派一位志愿者，且每位志愿者只能被派往一个服务站，则在甲被派去服务站的条件下，甲、乙被派去不同服务站的概率为
A. 　　　　 B. 　　　　
C. 　　　　 D.
6. 已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是
A. 　　　　　 B.
C. 　　　　　　　　 D.
7. 已知椭圆的左顶点为，为坐标原点，在上存在点，使得，则的离心率的取值范围为
A. 　 B. 　
C. 　 D.
8. 已知曲线与曲线有四条公切线，则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知复数，，则下列命题成立的有
A.
B. 若，则
C. 若，则
D.
10. 已知抛物线的焦点为，以为圆心，为半径得到圆，圆上有一点。过点的直线与交于，两点，与圆另交于点，则
A.
B. 当时，的横坐标为
C. 当时，
D.
11. 在非等腰中，内角，，的对边分别为，，，且角，满足，则
A.
B.
C. 记上的高为，则的取值范围为
D. 的内切圆半径、外接圆半径、周长能构成等比数列
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在的展开式中，含项的系数为 。（用数字作答）
13. 若矩形的边长之比为，一条对角线所在直线的斜率为，则矩形的一组邻边所在直线的斜率为 ， 。（写出满足条件的一组即可）
14. 在直三棱柱 中，， 分别在棱 ， 上，且 ，，过点 ，， 的截面把直三棱柱 切割成体积不同的两部分，记较小部分的体积为 ，较大部分的体积为 ，则 。
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，令。
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和。
16.（15分）
已知函数
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）已知函数，若时，恒成立，求实数的取值范围。
17.（15分）
如图，四面体中，，，，为的中点。
（1）证明：平面平面；
（2）设，，点在上，
①求四面体与其外接球的体积比（化为最简形式）；
②当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值。
18.（17分）
已知抛物线：，为坐标原点，点，在曲线上，直线，斜率之积为.
（1）求证：直线过定点；
（2）若圆面积为，直线，与圆都相切，
①证明：圆心在定曲线上，并求曲线的方程；
②若直线与曲线交于、两点，直线与曲线交于、两点，求的最大值.
19.（17分）
一个小盒里有个除颜色外完全相同的小球，其中个黑球，个红球，从盒子中每次随机取出一个小球，若取出黑球，则放回小盒中；若取出红球，则有两种不同的操作，操作一：把取出的红球放回小盒，并往小盒里加入个红球；操作二：用个除颜色外完全相同的黑球替换该红球放回小盒中.
（1）分别计算在两种操作下，抽两次球，第二次取到的球是红球的概率；
（2）在操作二的前提下：
①求在第次抽球时，抽到的球恰好是第二个红球的概率（结果用表示）.
②现规定当两个红球都被抽出来时停止抽球，且最多抽球次，第次抽球结束后无论盒中是否还有红球均停止抽球，记抽球的次数为，求的数学期望.
2026年普通高中毕业班考前冲刺题（二）
数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1 2 3 4 5 6 7 8
A B C C D C B B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9.ACD 10.AC 11.BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.10 13. ，1或7，（写出一组即可） 14.
[ 部分试题解析]
5. 记 “甲被派去B服务站” 为事件A，“甲、乙被派去不同服务站” 为事件B，则 ，，所以
6. 由 ，易得 关于 对称，设 ，则 单调递增，所以 在 上单调递增，所以 ，解得
7. 假设存在点 ，则 ，所以 ，化简得 在 上有解，易知 是方程的一解，只需对称轴 ，解得 ，所以
8.设曲线 上的切点为 ，曲线 上的切点为 ，
则切线方程分别为，，所以
即，所以
令，且
结合图象可得，当，即
10.抛物线的焦点为，圆方程为，对于，
由点在圆上，得，而，则，正确；
抛物线的焦点为，设直线方程为，，，由对称
性不妨令点在第一象限，由，得，则，对于，由
，得，解得，，错误；
对于，由选项得点，直线斜率，即，
则，而，因此，正确；
对于，，又
，
且圆的弦，因此不一定小于，错
误．
11.由有，
即，因为，则，
且为非等腰三角形，则，可知，
即，所以，所以，即，故选项错误，
因为，则，即，故选项正确；
对于选项C：因为，，，
则，
令，且，则，
因为，
且，则，
可得，则，
所以，故C选项正确；
对于选项D：因为的内切圆半径
，
且外接圆半径，
假设的内切圆半径、外接圆半径、周长构成等比数列，
则，整理可得，此方程显然是有解的
故选项D正确.
综上，正确答案为BCD.
14.
设平面与棱交点为，则，（可先补成四棱柱，如图易得结论）
设到平面的距离为，设直三棱柱的体积为
所以
所以
四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
解：（1）设这个数分别为，，，，其中，，
则 ①
②
两式相乘得
（2）由（1）可知
所以
16.（15分）
解：（1）函数定义域为
当时，曲线在处的点为
求导得，则曲线在处的切线斜率
则曲线在处的切线方程为即
（2）由恒成立，
即，即即即
即即
记，即
当时，，不满足题意
当时，时，恒成立，所以在上单调递增，且，所以
所以对于任意的恒成立
对于任意的恒成立
记，则可得在上单调递减，在上单调递增，
故，所以
则实数的取值范围是.
17.（15分）
解：（1）证明：因为，且为的中点，所以，
在中和中，因为，且，
所以，所以，
又因为为的中点，所以，
因为，且，平面，所以平面，
又因为平面，平面平面.
（2）解：①由（1）知，且，，
所以为边长为2的等边三角形，则，，，
因为且，所以为等腰直角三角形，且
可得，且为的外接圆的圆心，
又因为，可得，所以，
取等边的外接圆的圆心，则为四面体的球心，且，
设四面体的外接球的半径为，则，即，
所以外接球的体积为，
又由，所以，
又因为，且，，平面，所以平面，
所以四面体的体积为，
则，即四面体与外接球的体积比为。
②由（1）知，平面，连接，因为平面，
所以，当的面积最小时，点到直线的距离最小，
即的长度最小时，的面积取得最小值，
在直角中，当的长度最小时，，此时，
又由，，可得，，两两垂直，
以为坐标原点，以，，所在的直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，则，，，，
可得，，
在直角中，，，，可得，，
所以，设，则，，
所以，可得，，即，所以，
设平面的法向量为，则，
取，可得，，所以，
设与平面所成的角为，可得，，
所以，当的面积最小时，与平面所成的角的。
18.（17分）
解：（1） 设，，则有，，
故，即
设直线方程为：，联立方程得：，
由根与系数关系得：
即，得，则直线过定点
（2）①依题意，圆半径为，得
设圆心坐标为，过原点与圆相切的直线方程为，
则有，化简得
设直线、斜率分别为，，则有
化简得：，即圆心为椭圆的点
所以该曲线的方程为。
②设直线、的方程分别为：，，设，
则有，解得，所以
同理可得
则
所以，当且仅当时等号成立.
所以的最大值为36．
19.（17分）
解：（1）记在操作一下，第二次取到红球的概率为，则分为取到“黑红”和“红红”两种情况，
所以；
记在操作二下，取到红球的概率为，同样分为取到“黑红”和“红红”两种情况，
则；
（2）①设第次是第一次取到红球，第次是第二次取到红球的概率为，
则，
则第次恰好抽到第二个红球的概率为中从1到取值累加求和，即
，
利用等比数列求和公式即可得
；
②由题可知，的取值依次为，，，，，
当时，，
由数学期望的定义和①中的概率公式可知，
，
设，，，，，，
由错位相减法可得，，
所以

展开更多......

收起↑