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高三数学试卷
注意事项：
1. 答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”。
2. 选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）
1. 已知集合，集合，则。
A. 　　　 B. 　　　
C. 　　　 D.
2. 已知，则。
A.1　　　　　 B.2　　　　　　
C. 　　　　 D.5
3. 已知一组数据1，2，，6，7的平均数为4，则该组数据的70百分位数为。
A.4.5　　　　 B.5　　　　　　 C.5.5　　　　　 D.6
4. 已知单位向量，，则是“存在实数，使得”的。
A. 充分不必要条件　　　　　　 B. 必要不充分条件
C. 充要条件　　　　　　　　　 D. 既不充分也不必要条件
5. 已知抛物线的焦点为，抛物线上一点到焦点的距离为5，则（为坐标原点）的面积为。
A.1　　　　　 B. 　　　　　
C.2　　　　　　 D.4
6. 已知，且，则。
A. 　　　　 B. 　　　　　
C.1　　　　　　 D.5
7. 已知圆，点在直线上。若圆上存在两点，，使得是等边三角形，则点的横坐标的取值范围为。
A. 　　　 B. 　　　
C. 　　　 D.
8. 一个棱长为6的正四面体状封闭玻璃容器（壁厚忽略不计）内装有少量液体．如图，当容器倾斜至某一位置时，液面与过同一顶点的三条棱相交，交点到该顶点的距离分别为2，3，4．若将该容器放在一个水平桌面上，底面贴合桌面，则液面距离桌面的高度大约为（ ）．
（参考数据：，）
A．0.1　　　　 B．0.2　　　　　 C．0.5　　　　　 D．0.6
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．设正项数列的前n项和是，且，，下列选项中正确的有（ ）．
A．若是等差数列，则　
B．若是等比数列，则
C．若是等差数列，则　
D．若是等比数列，则
10．古希腊数学家阿波罗尼斯发现：用平面截圆锥，可以得到不同的截口曲线，如图①．在圆锥中，轴截面是斜边长为的等腰直角三角形，点是线段的中点．过点的平面截圆锥，下列图②-图⑤中的截口曲线分别为圆、椭圆（截面经过点）、抛物线的一部分（截面经过点）、双曲线的一部分（截面垂直于平面），则（ ）．
A．圆的面积为　　　　　　　
B．椭圆的长轴长为
C．抛物线的焦点到准线的距离为1　　
D．双曲线的离心率为
11．已知函数设，，是三个不同的实数，且满足，，则下列选项中正确的有（ ）．
A．　　　　　　　　
B．
C．的最小值为　
D．的最大值为
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．函数在区间上的最大值为 ．
13．已知数列满足，，且数列为等比数列，则的前5项和可以是 ．（写出一个满足条件的值）
14．在中，D是线段上一点，且，，则的最大值为 ．
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分13分）
某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
0
-2
（1） 求函数的解析式；
（2） 将图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，且其图象关于轴对称，求在上的解集．
16．（本小题满分15分）
有一个袋子中装有4个红球，2个黑球，现每次从袋子中随机取出一个球，连续取三次．
（1） 若每次取出的球放回，记取出黑球的次数为，求的分布列和期望；
（2） 若每次取出的球不放回，已知第三次取出的是黑球，求此时袋中没有黑球的概率．
17.（本小题满分15分）
已知椭圆的左、右顶点分别为，，线段的中点为，过的直线与交于，两点，在轴上方．当为的上顶点时，，且．
（1） 求的方程；
（2） 若，求的方程；
（3） 若，与轴分别交于，，求与的面积之比．
18.（本小题满分17分）
如图，在矩形中，，，点，分别在线段，上，且．将四边形沿折起，，分别到达，位置．
（1） 求证：平面平面；
（2） 若折到某位置时，点在平面上的射影恰好落在线段上．
① 求二面角的余弦值；
② 设点，分别是四边形，内的动点，求的最小值．
19.（本小题满分17分）
已知函数，．
（1） 当时，求曲线过点的切线方程；
（2） 若对任意，都有成立，求的取值范围；
（3） 设，，求的小数点后第一位数字（如：自然对数的底数的小数点后第一位数字为，的小数点后第一位数字为）．
高三数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B C D A C D C B ACD BCD AB
题号 12 13 14
答案 2 348或168
15.【答案】（1） 由题意知，解得，，
　　又，解得，所以．6分
　　（2） 因为为偶函数，
　　所以，，
　　又，所以时，．8分
　　，，
　　所以，即，10分
　　又，所以．
　　则，解得．
　　所以在上的解集为．13分
16.【答案】（1） ，的取值集合是，
　　，，
　　，，
.
答：X 的期望是1 8分
（2） 记第 次取出黑球为事件 ，第三次取出黑球后袋中没有黑球为事件 。
法一：，
，
所以 。
法二：，，
所以 。
答：已知第三次取出的是黑球，此时袋中没有黑球的概率是 25。 15分
17.【答案】（1） 由题，，，，。
当 为 的上顶点时，由 得，
由 得，，即
所以 a2=4，b2=2，故 C:x24+y22=1。 4分
（2） 设 ，，
由 得，，
所以 ，，
由得，，所以 即
所以且，所以，
所以，即．……………………………………… 10分
（3） 由（2）得，，
由得，，即
同理可得，
所以，
所以，
故与的面积之比为．…………………………………………15分
18．【答案】（1） 在翻折过程中，，平面，平面，
所以平面．
又因为，平面，平面，所以，
又平面，平面，，
所以平面平面．…………………………………………………………4分
（2） ① 如图，在平面内过点作，交于点，连接．
因为点是点在平面上的射影，所以平面，
因为 平面 ，所以 ，
又 ，，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
所以 是二面角 的平面角，
则翻折前 、、 三点共线，且 ，
所以 ，，所以 ． 分
② 延长 至点 ，使 ，则 ，
在平面 中，过点 作 于 ，
由①知 平面 ，即 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 ，
又平面 平面 ，， 平面 ，
所以 平面 ，
所以 （当且仅当点 与点 重合，且点 为线段 与平面 交点时取“”），
因为 ，
所以 ，所以 ，所以点 在线段 上，
所以点 在四边形 内，
此时
，
综上， 最小值即为 ，长为 ，
所以 的最小值为 ． 分
19.【答案】（1） 当 时，，则 ，
所以在切点 处的切线方程为
， 分
又切线过点 ，则 ，即 ，
令 ，则 ，
所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以当时，，所以，
所以曲线在点处的切线方程为．4分
（2） 因为对任意，均有恒成立，即恒成立，
则，
令，
当时，，即在上单调递增，
又，所以，即，所以在上单调递增，
又，所以恒成立，即恒成立，符合题意；
当时，，
又的两个根分别为，，
所以，，且当时，，即，单调递减，
又，所以当时，，即，与矛盾，故不成立．
综上所述，的取值范围为．10分
（3） 一方面，
，
所以，则数列单调递增，
而，，，
所以；13分
另一方面由（2）知，，
令，，，
所以
，
所以 .
思路二：由（1）知 ，当且仅当 时，取“”，
用 代 ，则 ，即 ，当且仅当 时，取“”，
令 ，则 ，所以 ，
所以 ，
所以 .
综上所述， 的小数点后第一位数字为6．…………………………………… 17分

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