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202学年第二学期5月学业质量调研
高一 数学
满分：150分 考试时间：120分钟
说明：本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：
1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
第Ⅰ卷（客观题，共58分）
一、单项选择题（共有8小题，每小题5分，共40分，四个选项中只有一个是正确的。）
1. 已知平面向量，，若，则（ ）
A. B.3
C. D.
2. 记的内角，，的对边分别是，，，若，，，则（ ）
A.
B.
C. 或
D. 或
3. 已知，是单位向量，且满足，则与的夹角为（ ）
A. B.
C. D.
4. 设，表示两条不重合的直线，，表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，，，则
C. 若，，则
D. 若，，，则
5. 若复数，则复数的共轭复数（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知正四棱台上、下底面的边长分别是2，8，体积为，则其表面积为（ ）
A.80 B.148
C.168 D.
7. 若圆锥的高与球的直径相等，圆锥的体积与球的体积也相等，则圆锥与球的表面积之比为（ ）
A. B.
C. D.
8. 如图所示，已知，点M，N满足，，BN与CM交于点P，AP交BC于点D，，则（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题（共有3小题，每小题6分，共18分，根据选对的选项个数给分，只要有错误选项则该题为0分。）
9. 已知复数，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 复数z在复平面内对应的的向量与向量垂直
C. 若复数z是关于x的方程（其中）的一个根，则
D. 若复数满足，则的最小值为
10. 如图，在直三棱柱中，，，E、F分别为，的中点，过点A、E、F作三棱柱的截面，则下列结论中正确的是（ ）
A. 三棱柱的体积为36
B.
C. 若交于M，则FM与AB是异面直线
D. 若交于M，则
11.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 已知，，若有两解，则a的取值范围是
C. 若，且，则为等边三角形
D. 若，则可以是钝角三角形
第Ⅱ卷（客观题，共92分）
三、填空题（共有3小题，每小题5分，共15分。）
12. 已知为虚数单位，若是纯虚数，则实数 .
13. 记的内角，，的对边分别是，，，已知，，的面积为，则 .
14. 一圆台的上底面半径为5，下底面半径为12，母线长为14，在圆台内放置的一个半径最大的球体，则该球体的表面积为 .
四、解答题（共有5小题，共77分。）
15. （满分13分）已知平面向量，，，且，
（1） 求在方向的投影向量的坐标；
（2） 若，且，求向量的坐标；
（3） 若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
16. （满分15分）为测量某景区内一座古塔的高度，由于塔底无法直接到达，测量小组在河对岸选取了两个观测点，进行测量。首先在点处测得塔顶的仰角为，然后沿河岸步行到达点处，在点处测得塔顶的仰角为。已知，且观测点与塔底都在同一水平面内。
（1） 求古塔的高度；
（2） 求三棱锥的体积；
（3） 若从观测点沿的延长线向后退行到达点，求三棱锥的外接球的体积.
17．（满分15分）如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点.
（1）求证：；
（2）求证：平面；
（3）若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由.
18．（满分17分）在中，角，，所对的边分别为，，，．
（1）求角；
（2）若，为锐角三角形，求的周长的取值范围；
（3）若，为锐角三角形，且为的外心，满足，
求的取值范围；
19．（满分17分）如图，的内角，，的对边分别是，，，为边上的中点，，且，
（1）求以及的边长；
（2）设，分别为边，上的动点，线段交于，设，，
，
①求证：
②四边形的面积为面积的，求的取值范围.
202学年第二学期5月学业质量调研
高一数学 参考答案和评分标准
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A C D C B A D BCD CD
题号 11
答案 ABC
1.B
由，可得，解得。
2.A
解：中，由正弦定理，即，解得，
由 为锐角，故选：A。
3.C
因为，，则，，
又，，所以，，则，，
因为，所以，。
故选：C。
4.D
对于A，由，，得直线与可能平行、也可能是异面直线，A错误；
对于B，由，，，，得，可能平行，也可能相交，B错误；
对于C，显然错误；
对于D，过直线的平面，由，得，而，，则，
由，是异面直线，得直线，相交，又，，，因此，D正确。
故选D，
5.C
由，
所以，
故选：C。
6.B
因为正四棱台的侧面都是等腰梯形，
又正四棱台的上、下底面的边长分别是、，体积为，设其高为，则，
故
所以侧面梯形的斜高为，
则梯形的面积，
上，下底底面面积分别为，，
所以该四棱台的表面积为．
7.A
设球的半径为，则球的直径为，由题意，圆锥的高，
所以球的体积为，
设圆锥底面半径为，则，
由，即，所以，
又因为圆锥的母线长，
所以，
又，所以．
8.D
对于A，由，，共线，存在使，
由 ，， 共线，存在使，
联立系数相等：
，解得：，，因此：，故选项A错误；
对于B，，
若，则：
，显然系数不相等，选项B错误；
对于C，由于，且 在 上，故设，
则，
结合 ，得：，解得，选项C错误；
对于D，由，
所以，故选项D正确.
9.BCD
对于A，，故A错；
对于B，复数在复平面内对应的向量与满足，故B正确；
对于C，将代入方程，得，
故C正确；
法二：由是关于的方程的一个根，则另一个根为，由根与系数的关系
，解得，
所以．
对于D，设复数对应向量为，复数对应的向量为，
由得，，对应点在圆心为半径为1的圆上，
所以，即，故D正确；
故选：BCD．
10.CD
如图所示：
将该三棱柱视为边长为6的正方体的一半，则三棱柱的体积为108，故A项错误；
延长与交于点，连接交于，连接，则平面即为截面．
因为，是中点，所以是的中点，由与相似，得，得，
而是的中点，所以与不平行且必相交，所以与截面不平行，故B项错误；
对于C，，则与是异面直线，故C项正确；
对于D，因为，又，所以在中，，故D项正确；
故选：CD．
11.ABC
A选项，在中，由得，由正弦定理得，所以，A正确；
B选项，已知，，由正弦定理，即，解得，
若有两解，则，解得：，所以的取值范围是，B选项正确
C选项，和分别表示与和同方向的单位向量，
以这两个单位向量为邻边的平行四边形是菱形，
又由结合菱形性质知的角平分线与垂直，
所以是等腰三角形且，
又因为，，且，所以，
所以是等边三角形，C正确；
D选项，因为，
所以，
所以，即，
因为，所以，
又因为，，
所以，，，所以是锐角三角形，D错误；
故选：ABC.
12.
因为为纯虚数，
所以，解得。
故答案为：。
13.
由的面积为，即，又，
两式相除得即，，又已知所以，则，
由余弦定理，。
故答案为：
14.
设圆台的上、下底面的半径分别为，，由题知，，
又母线长为14，则圆台的高为，且轴截面底角为
若球与圆台的下底面和侧面相切，
设球的半径为，球心为，圆台的上、下底面的中心分别为，，
与圆台侧面的一个切点为，过球心的轴截面如图所示，
连接，，易知
又，所以球与圆台的上、下底面相切，与侧面不相切，
所以，球的表面积为。
15.（满13分）已知平面向量，，，且，
（1）求在方向的投影向量的坐标；
（2）若，且，求向量的坐标；
（3）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
（1）解：，，
故，，在上的投影向量为
在上的投影向量为。分
（2）解：设，，
，，又，，
或，
或。分
（3）因为，
所以，，
因为与的夹角为锐角，
所以，即，解得且
即的取值范围是。分
16.（满分15分）为测量某景区内一座古塔的高度，由于塔底无法直接到达，测量小组在河对岸
选取了两个观测点，进行测量。首先在点处测得塔顶的仰角为，然后沿河岸步行到达
点处，在点处测得塔顶的仰角为．已知，且观测点与塔底部在同一水平面内．
（1）求古塔的高度；
（2）求三棱锥的体积；
（3）若从观测点沿的延长线向后退行到达点，求三棱锥的外接球的体积．
（1）设，
在直角三角形中，因为，故，
同理，
在中，，由余弦定理有，
所以，故（负解舍去）．
所以古塔的高度为．分
（2） 由（1）知，在中，，，，的面积
．
所以三棱锥的体积
．分
（3）由于，故，可以把三棱锥补形为以，，为棱的长方体，三棱锥的外接球就是该
长方体的外接球，，中，，，，所以长方体的
外接球的半径，外接球的体积
分
17.（满分15）如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点.
（1）求证：；
（2）求证：平面；
（3）若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由.
（1）在四棱锥中，平面，平面，平面，
平面平面，所以；分
（2）如下图，取为中点，连接，，由是的中点，
所以且，由（1）知，又，
所以且，所以四边形为平行四边形，故，
而平面，平面，则平面.分
（3）取中点，连接，，
因为，分别为，的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面，
线段存在点，使得平面，理由如下：
由（2）知：平面，又，平面，平面，
所以平面平面，又是上的动点，平面，
所以平面，所以线段存在点，使得平面.分
18.（满分17分）在中，角，，所对的边分别为，，，。
（1）求角；
（2）若，为锐角三角形，求的周长的取值范围；
（3）若，为锐角三角形，且为的外心，满足，
求的取值范围；
（1）由正弦定理可变形成，
从而，
又，得，从而，
又，所以\( .分
（2）由正弦定理，从而
，
由为锐角三角形，得，解得，
从而，
即的周长的取值范围\( .分
（ii）为的外心，由，
则
得，即，从而，
也有，
得，即，从而，
从而可得，即有，
由为锐角三角形，得，得；，得，
化简得，从而有，得，从而
分
19.（满分17分）如图，的内角，，的对边分别是，，，为边上的中点，，且，
（1）求以及的边长；
（2）设，分别为边，上的动点，线段交于，
设，，，
①求证：
②四边形的面积为面积的，求的取值范围.
（1）由由正弦定理，得．
由于为边上的中点，所以，
则，
所以．
所以的边长分
（2）①设，，，
所以，。
由于，所以。
由于、、三点共线，可得，所以
。分
②由于
；
由，所以。
由于。
所以
。
由于，而，所以，
则，所以，
所以。分

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