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高三数学试卷
（考试时间：120分钟； 总分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设集合，，则
A.
B.
C.
D.
2. 已知复数满足，则
A.1 B.
C. D.2
3. 正六棱柱的底面边长为6，高为4。若挖去一个以正六棱柱上底面的中心为顶点，正六棱柱下底面为底面的正六棱锥，则剩余部分几何体的体积为
A. B.
C. D.
4. 将函数的图象向右平移个单位长度后所得图象的解析式为
A. B.
C. D.
5. “”是“数列为等差数列”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
6. 已知向量，，均为单位向量，若，则与的夹角为
A. B.
C. D.
7. 若圆上存在两个不同的点，，直线上存在一点，使得，则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
8. （此处原题可能有遗漏，按照现有内容呈现）
8. 已知函数 ， 的定义域均为 ，函数 是奇函数，函数 是偶函数。若 ，，则
A.100 B.225 C.400 D.2026
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 下列命题正确的是
A. 若数据 ，，， 的方差为3，则数据 ，，， 的方差为9
B. 若随机变量 ，，则
C. 若一组样本数据 ，，， 的所有点都在直线 上，则这组数据的样本相关系数0.5
D. 已知 ，，，则
10. 已知正项数列 满足 ，则
A.
B. 存在等差数列 满足条件
C.
D.
11. 已知函数 存在极小值点 ，则
A.
B. 函数 有唯一的极小值点
C.
D. 函数 有且只有3条斜率为4的切线
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 已知 的展开式中的第5项与第7项的二项式系数相等，则展开式中的常数项为 。
13. 已知双曲线 的右焦点为 ，直线 与双曲线的渐近线相交于点 ，点 在第二象限。直线 与抛物线 的一个交点为 ，若 ，则双曲线的离心率为 。
14. 一个盒子中装有2个黑球和8个红球. 随机地从盒子中取一个球，观察其颜色后放回，若出现连续两次取到红球，则停止取球，那么取球总次数的数学期望为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)
已知函数，.
（1）若，求在处的切线方程；
（2）若在处有极大值，求的值.
16.(15分)
某趣味闯关游戏规则如下：选手每轮独立进行一次挑战，每轮挑战成功的概率为，失败的概率为，各轮挑战相互独立. 规定：若选手某轮挑战成功得1分，挑战失败得0分. 设选手进行轮挑战后，总得分恰好为分的概率为.
（1）求；
（2）若.
（i）求的最大值；
（ii）是否存在正整数，，使得，，成等差数列. 如果存在，求，的值；如果不存在，请说明理由.
17.(15分)
在中，角，，的对边分别为，，，已知.
（1）求；
（2）若为的中点，，，相交于点.
（i）若，求面积的最大值；
（ii）若，求的余弦值.
18.(17分)
已知椭圆：的离心率为，短轴长为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线与椭圆交于，两点，原点到直线的距离为，记直线，的斜率分别为，.
（i）求证：为定值；
（ii）求的面积的最大值及此时直线的方程.
19.(17分)
如图， 在三棱柱中， 侧面底面， ， ， ， 是的中点， ， .
（1） 证明： ；
（2） 求四面体外接球的表面积；
（3）动点在平面内， 和均为锐角， .设平面与平面的夹角为， 求的最小值.
高三数学参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B B D B C A A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9 10
答案 BD ACD BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.45
13.
14.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 解：（1） 当时，则
故f'(x)=(x-1)(3x-1)， 2分
所以在处的切线的斜率为，
又f(2)=2， 4分
所以在处的切线方程为，
即y=5x-8， 6分
（2） 因为
所以
由在处有极大值得，
即，
...................................................................................................
当时，
则。
当时，；当时，。
所以在区间和区间上单调递增，在区间上单调递减，
此时f(x)在x=2处有极小值，与f(x)在x=2处有极大值矛盾。 10分
当时，
则。
当时，；当时，。
所以在区间和区间上单调递增，在区间上单调递减，
此时f(x)在x=2处有极大值，满足条件。 12分
综上所述，c=6。 13分
16. 解：（1） 因为表示选手进行2轮挑战后，总得分恰好为1分的概率，
即选手在2轮挑战中，恰好有一次成功和一次失败， 2分
所以a2=C21p(1-p)=2p(1-p)。 4分
（2）（i） 因为表示选手进行轮挑战后，总得分恰好为分的概率，
即选手在轮挑战中，恰好有次成功和一次失败。
所以 （这里原题可能有遗漏，按示例补两个\quad）
当p=12时，an （这里原题可能有遗漏，按示例补两个\quad） 6分
所以。
当n≥3时，an-an-1<0， 8分
即，
当时，，
综上所述，当n=1，2时，an的最大值为12。 10分
（ii）设存在正整数，，使得，，成等差数列，
即，
所以，
所以，
因为当时，数列递减，
又，，
所以，，。...................................................................................
当时，
则，所以；
当时，
则，所以；
当时，
则，所以无解。
综上所述，{p=1,q=3或{p=2,q=3。 15分
17. 解：（1）由正弦定理及得
。
由得，
所以。
所以，
由得，
所以cosA=12， 2分
因为，
所以A=π3。 3分
（2）（i）过作，与交于，
因为为的中点，
所以，，
因为，
所以，，
所以，
所以S APC=14S ABC。 5分
因为，，
由余弦定理得，
所以，
当且仅当时等号成立，
所以，
所以 APC面积的最大值为34。 7分
（ii）由，得
，
即3a2=b2+c2+bc， 9分
又，
所以，
所以。.............................................................................
因为，所以。
因为，
又，，..13分
所以cos∠MPN=cos CN→，AM→ =AM→·CN→|AM→||CN→|=-12a232a×73a=-217。 15分
18. 解：（1）由椭圆的离心率为，短轴长为2得
，，，
所以，，。
所以椭圆C的标准方程为x24+y2=1。 3分
（2）（i）当直线的斜率不存在时，
因为原点到直线的距离为，
所以直线的方程为或，
当时，
由得，，
。
同理可得，当x=-255时，k1k2=-1。 4分
当直线斜率存在时，设直线的方程为。
因为原点到直线的距离为，
高二数学答案 第5页（共10页）
所以，
即4k2=5m2-4． 6分
设，，
由得，
所以，
又，，
所以
　　　=k2×4m2-41+4k2+km×-8km1+4k2+m2=m2-4k1+4k2， 8分
所以．
综上所述，k1k2为定值． 10分
（ii）当直线的斜率不存在时，．
所以 AOB的面积为S AOB=12×455×255=45． 11分
当直线的斜率存在时，
由（i）得
　　　　　
　　　　　=1+k2-8km1+4k22-4×4m2-41+4k2=41+k21+4k25(1+4k2)， 13分
令，即，
则，
当且仅当时，，
所以 AOB的面积的最大值为(S AOB)max=12×5×255=1． 15分
此时，
即，
所以，
所以直线的方程为y=±12x+1或y=±12x-1． 17分
19．解：（1）连结，，，
在平行四边形中，
因为，，为中点，
所以，由得．
又平面底面，
平面底面，面，
所以底面，
因为面，所以．
又，，面，，
所以平面．
又AE 面ADE，所以AE⊥BC． 2分
因为，所以，
所以．
即 ，
因为 ，，
所以 ，
即 AC⊥AB。 4分
又平面 底面 ，平面 底面 ， 平面 ，
所以 面 ，
因为 面 ，
所以 AC⊥BB1。 6分
（2）设为的中点，在平面内，作，以，，为一组正交基底
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
取的中点为，
因为，所以，
设四面体外接球的球心为，
设向量GF→=λ(0,1,0)， 8分
由得，
所以，，
因为，
所以
所以。
所以，........................................
所以四面体外接球的半径为
所以外接球的表面积。................................
（3），，。
由知点的轨迹方程为。
设，则。
因为和均为锐角，所以。
又，。
设平面的一个法向量为。
由得，
取，则。................................
又，。
设平面的一个法向量为。
由得，
取，则。........................
因为平面与平面的夹角为，
所以
10分
，
12分
13
.....................
，
令，则．
所以，．
因为在上单调递减，
所以，
即的最小值为．................................
15分
...................................................................

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