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江西师大附中2026届高三三模数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分。
1. 设全集，集合，则
A. B.
C. D.
2. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则复数对应的点在
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，点在抛物线上，轴，垂足为。若，则
A.2 B.4
C. D.
4. 已知随机变量，，若，，则
A.2 B.3 C.4 D.9
5. 已知函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，，，为图象与轴的交点，且为等腰直角三角形，则
A.8 B..16
D.
6. 某学校操场的每条跑道由两段直道和两段半圆形弯道组成（如图1）。运动员比赛时，从某条跑道弯道处的起跑线上选取一点作为起跑点，沿直线加速后从点切入弯道内侧分道线，即与内侧分道线相切。以半圆的圆心为原点，建立平面直角坐标系（如图2）。若，，则直线的方程为
A. B.
C. D.
7. 设且，函数的值域为的一个充分不必要条件是
A. B.
C. D.
8. 将正整数分解为两个正整数，的积，即，当，两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解。如，即为的最优分解，当，是的最优分解时，定义，则数列的前项和为
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本题共小题，每小题满分分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分。
9. 设且是定义在上的偶函数，且当时，函数，则
A.
B. 当时，
C. 恰有个零点
D. 当时，
10. 第十五届全国运动会会徽“同心礼花”由广东木棉花、香港紫荆花、澳门莲花的三朵花瓣交叠旋转而成，构成爱心形状，象征三地同心同源、深度融合。会徽轮廓如下图，现将其简化为图：半径均为的圆，，互相过圆心，，为圆上两点，且，点在圆与圆上运动。若，则下列选项可能成立的是
A. B.
C. D.
11. 已知定义在上的函数满足，其中表示不超过的最大整数。当时，，设数列满足，数列为从小到大第个极小值点构成的数列，下列说法正确的是
A. 数列为等比数列
B. 数列的通项公式
C. ，都有
D. ，使得
三、填空题，本题共小题，每小题分，共分。把答案填在答题卡中的横线上。
12. 在的展开式中，含有项的系数为 。
13. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与在第一、四象限的交点分别为，，若，则直线的斜率为 。
14. 在矩形纸片 中，，，，，， 分别是四边的中点．现将它通过翻折后围成一个正四面体 （围成的正四面体的表面中，纸片无任何重叠）．若一个小球可以在正四面体内任意滚动，且小球与正四面体所有接触点形成的轨迹的图形面积为 ，则该小球半径 的值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）在 中，内角 ，， 的对边分别为 ，，，，且 的面积为 ．
（1） 求 的值；
（2） 如图，过点 作 ，与 平分线相交于点 ，若 ，求线段 的长度．
16.（15分）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．如图，三棱锥 为鳖臑， 平面 ，，，且三棱锥 的外接球表面积为 ．
（1） 求三棱锥 体积的最大值；
（2） 在 中，，．
（i） 当 时，求证：；
（ii） 若 与面 所成角的正弦值为 ，求实数 的值．
17.（15分）“OpenClaw”是一款开源、本地优先、可自行托管的AI智能体执行网关，由一名欧洲开发者在2025年11月发起该项目，2026年1月对项目正式定名。其本质是自主执行型AI助手，可实现数据收集、处理、分析、推理和预测模拟的全过程。某工厂想利用“OpenClaw”通过技能添加实现AI系统模型每天对A、B、C三条生产线的产品缺陷进行在线检测，其检测的准确率分别为，，，且每条生产线的检测结果相互独立。
（1）求第一天AI系统检测准确的生产线数量的分布列；
（2）若AI系统对于A生产线前一天的缺陷检测准确，则第二天检测准确的概率为，否则准确率为。若系统模型对于A生产线的检测准确率不低于，继续用此系统模型进行预测，否则调整检测系统模型，那么一个检测系统模型最多可以检测几次就要调整？（参考数据：，）
18.（17分）已知椭圆：经过点，且椭圆的长轴长是其短轴长的倍。
（1）求椭圆的方程；
（2）在椭圆上存在两点，，使得以为直径的圆恰与椭圆交于点。
（i） 证明：直线恒过定点；
（ii） 当点在点左侧时，若是椭圆上一点，直线与关于直线对称，是否存在圆：使得直线，始终与该圆相切。若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由。
19.（17分）已知函数，若存在数列满足，，。称数列是函数“的伴随数列”，函数称为数列的“伴随函数”。
（1）若某数列的“伴随函数”，求最小正数的值，使得数列为等比数列；
（2）若某数列的“伴随函数”，证明：；
（3）若某数列的“伴随函数”，
证明：。
江西师大附中2026届高三三模数学试题参考答案
一、单项选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A C B D A B C
二、多项选择题
题号 9 10 11
答案 AC ABD AB
三、填空题
12.
13.
14.
四、解答题
15. （1） 因为a2+c2=4+b2，由余弦定理得a2+c2-b2=2accosB，
所以2accosB=4，即accosB=2，.................................................................2'
又S ABC=12acsinB=15，即acsinB=215，.................................................................3'
故tanB=15，...................................................................................................4'
而B∈(0,π)，所以cosB=14...............................................................................6'
（2） 由（1）可知ac=8，又BC=2AB，即a=2c，所以BC=4，AB=2，.......................................................8'
因为BD平分∠ABC，且CD∥AB，所以∠ABD=∠CBD=∠CDB，
故 CBD为等腰三角形，CD=BC=4...........................................................................10'
又∠ABC+∠BCD=π，所以cos∠BCD=cos(π-∠ABC)=-14，...................................................11'
在 CBD中，由余弦定理得BD2=BC2+CD2-2·BC·CDcos∠BCD=40，所以BD=210...............13'
16. 因为三棱锥A-BCD为鳖臑，且AB⊥平面BCD，∠ACD=π2，
所以∠ABD=∠ACD=π2，故AD中点即为外接球球心，.................................................................2'
设外接球半径为R，由4πR2=21π得R=212，于是AD=2R=21，.......................................................3'
而AD2=AB2+BD2，又AB=3，故BD=23，...............................................................................4'
（1） 在Rt BCD中，BC2+CD2=BD2=12，
因为VA-BCD=13S ABC·AB=12BC·CD，.................................................................5'
又BC·CD≤BC2+CD22=6，...............................................................................6'
所以VA-BCD≤3，当且仅当BC=CD=6时取等号...............................................7'
（2）（方法一·向量法）因为BD=2CD，所以CD=3，BC=3，
如图，以B为原点，分别以BC，BA为x，z轴，建立空间直角坐标系，
则B(0,0,0)，° A(0,0,3)，° C(3,0,0)，D(3,3,0)，.................................................................9'
（i） 当λ=1时，E为AC中点，故E32,0,32，从而BE→=32,0,32，AD→=(3,3,-3)，
所以BE→·AD→=0，即BE⊥AD 10'
（ii） 由AE→=λEC→得E3λ1+λ,0,31+λ，于是DE→=3λ1+λ-3,-3,31+λ，
设平面的一个法向量为，
由得，令，则，所以，
设与平面所成角为，
则，
整理得，解得或。（漏选答题扣分）
（2）方法二：几何法
因为，所以，，
（i）当时，为中点，而，所以，
又，，平面，平面，，
故平面，而平面，所以，
又平面，平面，，
所以平面，又平面，故。
（ii）因为，所以，，
设点到平面的距离为，点到平面的距离为，
易知，且，故，
又，所以，故
设与平面所成角为，则，
化简得，解得或，因此实数的值为或。
17.（1）的可能取值为，，，，有
，，
，，
所以的分布列为
（2）设表示第天系统模型对生产线的检测准确率，则，
即，可变形为，
又，，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
故Pn-13=59×34n-1，即Pn=59×34n-1+13， 12'
由题意得，即，
所以，即，
故n 5，即一个检测模型最多可以检测5次就要调整 15'
18.（1） 据题得{2a=2 2b4a2+1b2=1，解得a2=6，b2=3，所以椭圆方程为x26+y23=1 4'
（2）（i） ①当斜率存在时，设直线：，与椭圆联立得，
消并整理，
由韦达定理得，因此，，
同理，设直线PB斜率为k2，可得xB=4k22-4k2-21+2k22，yB=-2k22-4k2+11+2k22 7'
设直线：，将点坐标代入，
整理得关于的方程，
同理，
故，是方程的两根，
由题设，结合韦达定理得，
化简得，又：可化为
所以，解得直线所过点坐标为，
②当斜率不存在时，，，直线：过点，
综上，直线AB恒过定点23,-13 10'
（3） 设直线斜率为，则直线斜率为，直线斜率为，
直线方程分别为，，
整理得PA:x+ky-k-2=0，PQ:kx+y-2k-1=0 13'
由点到两直线的距离相等可得
去绝对值得或
故m=1或m=3，即点M的坐标为(1,0)或(3,0) 17'
19.（1） 据题得，，
而，，，
要使数列为等比数列，则，即，
而，可化为，故，即，
于是，，解得，，
所以，，因此，，
此时，即对，恒有，
因此数列{an}是以1+A=4k+1，k∈N+为公比的等比数列，所以当k=1时，Amin=4 4′
（2）定义域为，要证，即证
当时，，只需证，
当x∈(0,+∞)时，1x+12>0，只需证ln(x+1)>2xx+2， 6′
令，，
则恒成立
因此在单调递增，在也单调递增，
当时，，即，故，
当时，，即，故，
综上，不等式得证 10′
（3）先证：，
证明：设，则，
故当时，，当时，，
故在为减函数，在上为增函数，
故s(x)≥s(1)=0即x-1≥lnx，当且仅当x=1时等号成立 12′
下面证明原不等式，
由（2）可知，则有，
所以当时，，
即，可得，
所以，即，
要证，即证，
因为当x>0时，ln(x+1)

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