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高三数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 在复数范围内，方程的解集为
A. 　　　　　 B.
C. 　　　　　 D.
2. “t不是整数”是“t不是奇数”的
A. 充分不必要条件　　　　　 B. 必要不充分条件
C. 充要条件　　　　　　　　 D. 既不充分也不必要条件
3. 某工厂抽检了51个零件，并统计了这51个零件的直径（单位：mm）数据，得到如下的表格：
直径/mm 49 50 51 52 53 54
频数 8 9 8 13 12 1
由表可知这51个零件的直径的第40百分位数为
A.50 mm　　　　　 B.51 mm C.50.5 mm　　　　 D.51.5 mm
4. 下列双曲线的焦点必在y轴上的是
A. 　　　　 B.
C. 　　　 D.
5. 若随机变量，且，，则
A.2　　　　　 B.4 C.3　　　　　 D.9
6. 若抛物线的焦点为，且为上一点，则当取得最小值时，
A. 　　　　 B.40
C. 　　　　 D.
7. 当函数的零点个数最多时，m的取值范围是
A. 　　　　 B.
C. 　　　 D.
8. 已知函数 的部分图象如图所示，A，C均为其图象上的点，且线段AC的中点B在x轴上，则
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 在正四棱台 中，E，F分别为AB，BC的中点，则
A.
B.
C. 平面
D. 平面
10. 在等差数列 中，公差为d，且 ，， 是公比为 的等比数列，，则
A.
B.
C.
D. 数列 的前1000项和大于
11. 对于定义在D上的函数 ，若存在 ，使得 对 恒成立，则称 为理想函数。下列函数为理想函数的是
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 设 是奇函数，且 ，则 。
13. 如图，现有边长为 的正方形纸片ABCD，E，F分别为BC，CD的中点，，，将 沿HG折起， 沿EF折起，使得点A与点C重合于点P，则六棱锥 的高为 。
14. 已知实数x，y满足 ，则 的最大值为 ，此时 。
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若恒成立，求的取值范围.
16.(15分)
在中，角，，的对边分别为，，，已知，，.
(1)求.
（2）设平分，且与交于点.
（Ⅰ）证明：.
（Ⅱ）若，求的长.
17.(15分)
如图，在直三棱柱中，，分别为棱，上一点，，，延长交于点，且，，.
（1）求的值；
（2）求与平面所成角的正弦值；
（3）求四棱锥与直三棱柱公共部分的体积.
18.(17分)
如图，椭圆 的长轴长为8，椭圆 的长轴长为4， 的长轴为 的短轴，且这两个椭圆的离心率相等.
（1）求 ， 的方程.
（2）设 ， 分别为 的上、下顶点， 为 上异于 ， 的任意一点，过点 作 轴，垂足为 ，线段 与 交于点 ，证明： 为 的垂心.
（3）设 为 上一点，过点 作 轴的垂线交 于点 ，过点 作 轴的垂线交 于点 ；过点 作 轴的垂线交 于点 ，过点 作 轴的垂线交 于点 ；…….依此类推，得到 ，，，，，，. 已知 均位于第一象限，设 ，若 ，证明： .
19.(17分)
某商场周末开展抽奖活动，凡是一次性购物满300元的消费者均可参与抽奖. 抽奖箱内有5张奖券（面值为1元、2元、3元、4元、5元的奖券各一张），抽奖者每次有放回地随机抽取一张奖券. 设每名抽奖者共抽取5次，记 为抽奖者抽取到的次数最多的奖券的抽取次数（例如抽到3次2元奖券和2次5元奖券，则 ）.
(1)求 .
（2）若抽奖者所抽5次奖券面值之和为其获得的奖金，在甲、乙两名抽奖者对应的 相等且 的前提下，求甲获得的奖金多于乙获得的奖金的概率.
（3）假设一次性购物满1000元的消费者可获得一定次数的抽奖机会，直到他连续抽取到3张5元奖券，即获得200元的购物券，此时抽奖结束. 设获得200元的购物券时该消费者已抽取奖券的次数为 ，求 的期望.
高三数学参考答案
题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
答案 B A B D B C A D ACD BC BCD ，
【评分细则】
【1】第1～8题，凡与答案不符的均不得分。
【2】第9，11题，全部选对的得6分，有选错的不得分，每选对一个得2分；第10题，全部选对的得6分，有选错的不得分，每选对一个得3分。
【3】第12，13题，其余答案均不得分。
【4】第14题第一空、第二空的答案也可以分别写为23.5，.6。第一空3分，第二空2分。
1.B 本题考查复数的运算，考查数学运算的核心素养。
因为，所以在复数范围内，方程的解集为。
2.A 本题考查充分必要条件的判断，考查逻辑推理的核心素养。
若不是整数，则不是奇数，若不是奇数，则可能是偶数，即可能是整数，所以“不是整数”是“不是奇数”的充分不必要条件。
3.B 本题考查统计中的百分位数，考查数据处理能力。
因为被抽检的零件中，直径小于或等于50 mm的零件共有个，直径等于51 mm的零件有8个，且，所以这51个零件的直径的第40百分位数为51 mm。
4.D 本题考查双曲线的标准方程，考查逻辑推理的核心素养。
对于双曲线，当时，该双曲线的焦点在轴上，当时，该双曲线的焦点在轴上。双曲线的焦点在轴上。因为，所以在双曲线与中，，所以双曲线的焦点在轴上，双曲线的焦点在轴上。故四个选项中，只有双曲线的焦点必在轴上。
5.B 本题考查正态分布，考查逻辑推理的核心素养。
因为，且，，所以，，则，故。
6.C 本题考查抛物线与基本不等式的综合，考查数学运算与逻辑推理的核心素养。
依题意得。因为，所以，当
且仅当，即时，等号成立，此时取得最小值，
。
7.A 本题考查函数的零点与导数的应用，考查逻辑推理的核心素养。
，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以。
当时，，当时，，
所以的零点个数的最大值为2，此时，即。
8.D 本题考查三角恒等变换，三角函数的图象与性质，考查直观想象与逻辑推理的核心素养。
。由线段的中点在轴上，得点，的纵坐标互为相反数，结合
图象知，点，位于同一个周期内且位于一个对称中心的两侧，则，则。因为，所以。由图可知，则，又，所以。
9.ACD 本题考查正四棱台与空间中平行、垂直的判定，考查直观想象与逻辑推理的核心素养。
连接。因为，分别为，的中点，所以，又，所以，正确。
因为，平面，平面，所以
平面，正确。
假设，则由，得，这显然不成立，则
假设不成立，错误。
因为，，所以。设，，连接，
则平面，又平面，所以。因为，所以
平面，正确。
10.BC 本题考查数列的综合，考查数学运算与逻辑推理的核心素养。
因为为等差数列，且，，是公比为的等比数列，所以，
显然，则，错误。
因为，所以，B正确.
又，所以，所以，则，C正确.
因为，
所以数列的前项和，则，D错误.
11.BCD 本题考查函数的新定义，考查数学抽象、逻辑推理及数学运算的核心素养.
若，则由，得。因为，所以对不可能恒成立，则不是理想函数.
若，则，即对恒成立，证明如下：
要证对恒成立，只需证对恒成立，即证对恒成立，这显然成立。所以为理想函数.
若，则，则为理想函数.
若，则。设，则，则为减函数，则，则，所以为理想函数.
12. 本题考查函数的奇偶性，考查数学运算的核心素养.
因为是奇函数，所以，则，
则。
13. 本题考查立体几何的翻折问题，考查直观想象与数学运算的核心素养.
连接（图略）。因为，分别为，的中点，，，所以。
设，的中点分别为，，连接（图略），则，，，四点共线，且，
，则，，则可证平面PST.过点P作，垂足为M(图略)，则.又，所以底面BEFDHG.通过计算可得，，则由等面积法可得.
14. ； 本题考查圆的方程，考查逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养.
设点P(x，y)的轨迹为曲线C，则曲线C：关于x轴、y轴和原点对称，当，时，方程表示以为圆心，1为半径的圆，根据对称性，得曲线C是4个半径为1的圆，
如图所示.当最大，即最大时，点P到点Q（5，7）的距离的平方最大.因为，所以的最大值为121，故所求最大值为.直线的方程为，代入，得，解得或，由图可知所求.
15.本题考查导数的几何意义与导数的应用，考查数学运算与逻辑推理的核心素养.
解：（1）因为， …………………………………… 2分
所以. …………………………………………………… 3分
又， …………………………………………………… 4分
所以曲线在点处的切线方程为，即. …………………………………………………… 6分
（2）若恒成立，则. …………………………………… 7分
当时，，单调递减；当时，，单调递增. …………………………………………………… 9分
所以， …………………………………………………… 11分
所以，即，所以a的取值范围是. ……………………………… 13分
【评分细则】
【1】第（1）问中，所求切线方程还可以写为“”.
【2】第（2）问中，a的取值范围写为“”，不扣分.
16.本题考查解三角形、倍角公式与平面向量基本定理，考查数学运算与直观想象的核心素养.
（1）解：由余弦定理得， …… 3分
则c=6 4分
（2）（ⅰ）证明：因为cos∠ACB=2cos2∠ACD-1=18，∠ACD为锐角， 所以cos∠ACD=34.........................................6分 在 ABC中，cos∠CAB=b2+c2-a22bc=52+62-422×5×6=34，........................................8分 所以∠CAB=∠ACD，........................................................9分 则AD=CD................................................................10分 （ⅱ）解：取AC的中点H，连接DH，则DH⊥AC. 在Rt ADH中，AH=52，cosA=AHAD=34， 所以AD=43AH=43×52=103，.................................................12分 又CA→=2CE→-CB→，即CA→+CB→=2CE→，所以E为AB的中点，.......................13分 所以AE=3，DE=AD-AE=13 15分
【评分细则】
【1】第（1）问中，直接写""，不扣分.
【2】第（2）问还可以这样解答： （ⅰ）因为S CAD:S CBD=AD:BD，.................................................5分 S CAD=12CA·CDsin∠ACD，S CBD=12CB·CDsin∠BCD，S CAD:S CBD=AC:BC， ................................................................................6分 所以AD:BD=AC:BC，...............................................................7分 所以ADBD=54，即AD=59×6=103..................................................8分 在 ABC中，cos∠CAB=b2+c2-a22bc=52+62-422×5×6=34，........................................10分 在 ADC中，CD2=AC2+AD2-2AC·ADcos∠CAB=25+1009-2×5×103×34=1009， 所以CD=103，所以AD=CD.........................................................12分 （ⅱ）因为CA→=2CE→-CB→，即CA→+CB→=2CE→，所以E为AB的中点，.......................13分 所以AE=3，DE=AD-AE=13 15分
17.本题考查立体几何与空间向量的综合，考查直观想象、逻辑推理及数学运算的核心素养. 解：（1）在直三棱柱中，，
则，所以．………………………………………………… 1分
因为，，，所以，所以．………………… 2分
（2）取的中点，连接．因为，所以．…………………………… 3分
在直三棱柱中，．因为，
所以平面．……………………………………………………………………… 4分
作，交于点，以为坐标原点，，，
所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角
坐标系，………………………………………………… 5分
则，，，，
，………………………………………………… 6分
所以，，
．………………………………………………… 7分
设平面的法向量为，
则，，……………………………………… 8分
令，得．………………………………………………… 9分
故与平面所成角的正弦值为，．……… 10分
（3）设交于点，交于点，连接．
因为，所以，同理可得， ………… 11分
所以几何体为三棱台，其下底面面积，上底面面积
，故其体积．………………… 12分
四棱锥与直三棱柱的公共部分为几何体，………
…………………………………………………………………………………………… 13分
其体积为直三棱柱的体积与三棱台的体积之差，
即，故四棱锥与直三棱柱公共部分的体
积为．…………………………………………………………………………………………… 15分
【评分细则】
【1】第（2）问中，未写“”，扣1分．
【2】第（2）问中，平面的法向量不唯一，只要所求法向量是与共线的
非零向量即可.
【3】第（3）问还可以这样解答：
设交于点，交于点，连接。
因为，所以，同理可得。分
四棱锥与直三棱柱的公共部分为几何体。分
易知平面，则点到平面的距离等于点到平面的距离，
即等于点到的距离，由等面积法可得该距离为，分
故几何体的体积。分
18.本题考查直线与椭圆、数列及导数的综合应用，考查直观想象、逻辑推理及数学运算的核心素养。
（1）解：由题意可知，，解得，，
则的方程为。分
因为这两个椭圆的离心率相等，所以，即，分
则，所以的方程为。分
（2）证明：设，由，得，分
将代入，得。分
易知，在轴同侧，所以，则，分
则，分
则。又，所以为的垂心。分
（3）证明：将代入，得，则，分
将代入，得，分
即，即。分
又，所以，即， 13分
所以。 14分
设，则，令，得，令，得，
则在上单调递减，在上单调递增，所以，即。 15分
令，得，
则， 16分
故。 17分
【评分细则】
【1】第（1）问中，离心率相等也可等价于，则。
【2】第（2）问还可这样解答：
根据对称性，不妨设，则，。 5分
因为点在上，所以。 6分
又，所以，则，所以。 8分
又，所以为的垂心。 9分
9.本题考查随机变量的概率与期望的实际应用，考查逻辑推理、数学抽象、数学运算的核心素养及应用意识。
解：（1）每名抽奖者总的抽取方法数为， 1分
表示5次抽的全是同一张奖券，则， 2分
表示某一面值的奖券出现了4次，另一个不同面值的奖券出现了1次，
则， 3分
则。 4分
（2）设事件为甲、乙两名抽奖者对应的相等且，事件为甲获得的奖金多于乙获
得的奖金.
由（1）知，，，则 。 6分
当时，甲、乙两人奖金（单位：元）相等的情况有5，10，15，20，25，
此时甲、乙获得的奖金相等的概率为。
由对称性知，此时甲获得的奖金多于乙获得的奖金的概率为。 7分
当时，甲、乙两人奖金（单位：元）相等的情况有6，7，8，9，9，11，12，13，13，14，16，17，17，18，19，21，21，22，23，24（出现相同的数字意味着有两种不同的组合，比如），共20种情况， 8分
此时甲、乙获得的奖金相等的概率为。 9分
由对称性知，此时甲获得的奖金多于乙获得的奖金的概率为， 10分
所以，故所求概率为。 11分
（3）设的期望为。若第一次没抽到5元奖券，其概率为，此时已抽取1次，回到初始状态；若第一次抽到5元奖券，第二次没抽到5元奖券，其概率为，此时已抽取2次，回到初始状态；若前两次都抽到5元奖券，第三次没抽到5元奖券，其概率为，此时已抽取3次，回到初始状态；若连续三次都抽到5元奖券，其概率为，此时该消费者可获得200元的购物券，此时已抽取3次。 14分
因此， 16分
解得，即的期望为155。 17分
【评分细则】
【1】第（1）问直接列式为“”，不扣分。
【2】第（2）问还可以这样解答：
设事件为甲、乙两名抽奖者对应的相等且，事件为甲获得的奖金多于乙获得的奖金。
由（1）知，，，则。 6分
当时，甲、乙两人奖金（单位：元）相等的情况有，，，，，
此时甲获得的奖金多于乙获得的奖金的概率为。 7分
当时，甲、乙两人奖金（单位：元）相等的情况有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，（出现相同的数字意味着有两种不同的组合，比如），共种情况， 8分
此 时 甲 获 得 的 奖 金 多 于 乙 获 得 的 奖 金 的 概 率 为
， 10分
所以，故所求概率为。
11分

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