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高三年级5月测评
数 学
（试卷满分：150分，考试时间：120分钟）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，请将答题卡上交。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，，则
A. B.
C. D.
2.若，则在复平面内，复数对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.已知为第四象限角，，则
A. B.
C. D.
4.已知数列是各项都为正数的等比数列，若，，则
A.2 B.3 C.4 D.5
5.设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，与的另一个交点为，若，则的周长为
A. B.
C. D.
6.已知函数，设，，，则
A. B.
C. D.
7.在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则
A. B.
C. D.
8. 已知向量，满足，定义，，若，则的最大值为
A.2 B.4
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 已知函数，自变量、相位、函数值的部分取值如下表，则
A.
B.
C. 的图象关于点对称
D. 的图象上存在互相垂直的切线
10. 已知不透明的袋子中有3个白球，2个黑球，甲从中随机取2个球（甲取球后不放回），然后乙再从袋中随机取出1个球，记事件：“甲取出个白球”，事件：“乙取出1个白球”，则
A.
B.
C.
D. 在甲至少取出1个白球的条件下，乙取出白球的概率为
11. 已知抛物线的焦点为，点在的准线上，过的直线与相切于点，点在上，且满足，则
A. 准线的方程为
B. 可能在直线上
C. 的最小值为9
D. 面积的最小值为16
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 设随机变量，若，且，则 。
13. 已知正四棱柱的体积为，，且底面内（包括边界）一动点满足，则点的轨迹长度为 。
14. 已知函数，若存在，使得对任意恒成立，则实数的取值范围为 。
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15.（本小题满分13分）
已知数列满足，，且数列是公差为4的等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：.
16.（本小题满分15分）
如图，在三棱柱中，平面平面，，，，.
(1)证明:;
（2）若三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值.
17.（本小题满分15分）
已知函数.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，讨论曲线与的交点个数.
18.（本小题满分17分）
已知双曲线 ，左顶点为 ，，圆 ， 到圆 上点的距离的最大值为3。
（1）求 的方程；
（2）已知过点 的直线与 的右支交于 ， 两点，直线 ， 分别交圆 的另一点于 ，。
（i）证明：；
（ii）记四边形 的面积为 ， 的面积为 ，求 的最小值。
19.（本小题满分17分）
已知 ，，， 依次为圆周上的 个等分点，每个点等概率地被染成白色或黑色。对于任意两个点 和 ，若它们颜色相同，则连接 ，否则不连接 。记线段的总条数为随机变量 。
（1）当 时，求圆中仅有两条线段且相互垂直的概率；
（2）当 时，求圆中直角三角形的个数的数学期望；
（3）求 。
高三年级5月测评·数学
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C D C A A B D
题号 9 10 11
答案 BC ACD ACD
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.【答案】B
易知，所以，故选B.
2.【答案】C
由题意得，所以对应的点位于第三象限，故选C.
3.【答案】D
依题意，，，所以，故选D.
4.【答案】C
设公比为，则，，所以，所以或（舍）或（舍），故，所以，故选C.
5.【答案】A
依题意，，，（为坐标原点），因为，则，所以，，所以，解得，所以，，由椭圆定义可得的周长为，故选A.
6.【答案】A
易知关于直线对称，且在上单调递增，，，故，所以，又，所以，故选A.
7.【答案】B
依题意，由正弦定理得，，所以，由余弦定理可得，，即，所以，即，所以，故选B.
8.【答案】D
设，，，则由可得，，即，所以，设，则，即，所以根据
辅助角公式，，所以，即的最大值为。故选D。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.【答案】BC
依题意，，，解得，A选项错误；
，解得，B选项正确；
由A，B可知，，且，所以的图象关于点对称，C选项正确；
，所以D选项错误；故选BC。
10.【答案】ACD
，A选项正确；
，B选项错误；
因为，，互斥，且，所以，C选项正确；
因为，，所以在甲至少取出1个白球的条件下，乙取出白球的概率为，D选项正确，故选ACD。
11.【答案】ACD
易知，所以的方程为，A选项正确；
设点的坐标为，因为，所以点处的切线斜率为，所以直线的斜率为，所以直线，若在直线上，则，即，无解，B选项错误；
直线与联立可得，，解得，即的横坐标为，所以的纵坐标为，所以。C选项正确；
直线的方程为：，令，则，所以，所以，，所以的面积为
， 设， 当且仅当时， 等号成立， 所以面积的最小值为.D选项正确， 故选ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.【答案】0
依题意，， 所以， 解得.
13.【答案】
依题意，， 所以， 所以， 当点在上时， 所以， 即， 所以点的轨迹长度为.
14.【答案】
即， 易知，， 依题意， 若存在， 使得对任意恒成立， 则， 即， 所以实数的取值范围为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15.【答案】（1） （2）详见解析
（1）， 2分
所以 3分
， 5分
当时满足以上通项公式，
综上所述：的通项公式为； 6分
（2）， 8分
当时，， 9分
当时， 11分
， 12分
综上所述：. 13分
16.【答案】（1）详见解析 （2）
（1）在中， 由余弦定理可得，， 解得， 2分
因为，所以， ……………………………………………………………… 3分
因为平面平面，平面平面，
所以平面， ……………………………………………………………………… 4分
因为平面，所以． ……………………………………………………………… 5分
因为，，所以平面， ………………………………………… 6分
所以； …………………………………………………………………………………… 7分
（2）依题意，三棱锥的体积为，
解得， …………………………………………………………………………………… 8分
如图所示，以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
所以，，，，
，，， …………………… 9分
设平面的法向量为，则
令，则， …………………………………………………… 11分
设平面的法向量为，
则令，则， …………………………………………………… 12分
设平面与平面的夹角为，
则，， …………………………………………………… 14分
所以平面与平面夹角的余弦值为． …………………………………………………… 15分
17.【答案】（1） （2）当或时，无交点；当时，有一个交点
（1）由题意得，． …………………… 2分
故，． ……………………………………………………………… 3分
则曲线在点处的切线方程为，即（写成其他形式也可得分）； ……………………………………………………………… 4分
（2）由题意等价于． …………………………………………………… 5分
设，．
则，记． …………………………………………………… 6分
且，则是偶函数，且． ……………………………… 7分
①当时，，．
故，在区间上单调递增，． …………………………………………………… 9分
②当时，． …………………………………………………… 10分
则当时，。
又因为是偶函数，所以当时，。从而在区间上单调递增，
11分
，，
所以-π24+1+π2-a g(x) π24+1-π2-a， 12分
若或，即或，则曲线与
y=sinx无交点， 14分
若2π-π2-44 a π2+4-2π4，则曲线y=f(x)与y=sinx有一个交点。 15分
18.【答案】（1） （2）（i）详见解析 （ii）
（1）依题意，A(-a,0)，设F(c,0)，则a+c=3， 2分
又因为c+1=3，所以c=2，故a=1， 3分
所以C的方程为x2-y23=1； 4分
（2）（i）设直线：，，，
由{x=my+2x2 y23=1，可得(3m2-1)y2+12my+9=0， 5分
所以y1+y2=-12m3m2-1，y1y2=93m2-1， 6分
kAS×kAT=y1x1+1×y2x2+1=y1y2(my1+3)(my2+3)=y1y2m2y1y2+3m(y1+y2)+9 7分
=93m2-1m2·93m2-1+3m·-12m3m2-1+9=-1， 9分
所以AS⊥AT； 10分
（ii）不妨设直线AM：x=m1y-1，AN：x=m2y-1，m1m2=-1， 11分
由，可得，解得，
同理可得，yN=2m2m22+1， 12分
由，可得，解得，
同理可得，yT=6m23m22-1； 13分
由题意，得，，故，
设 AST的面积为S，则S1S2=S-S2S2=SS2-1， 14分
易知，
令，则，
故当t=2时，取得最小值；S1S2-1min=9×-13+16310-3×2-1=8 16分
所以S1S2的最小值为8 17分
19.【答案】（1） （2）1（3）
（1）依题意，4个等分点构成正方形A1A2A3A4，2白2黑对应的同色线段有两种情况：A1、A3为白色，A2、A4为黑色；A1、A3为黑色，A2、A4为白色 2分
满足条件的方案数为2，总染色方案数为16，
所以圆中仅有两条线段且相互垂直的概率为P=224=18； 4分
（2）设直角三角形的个数为随机变量Z，则Z=0，1，4， 5分
即四个点对应为2黑2白，有如下两种情形，
两条线段垂直，有2种情况，
两条线段互相平行，有4种情况，
所以P(Z=0)=624=38, 6分
即四个点对应为3黑1白或3白1黑，有种情况，
所以P(Z=1)=824=12, 7分
即四个点对应为4黑或4白，有2种情况，
所以P(Z=4)=224=18, 8分
所以E(Z)=0×P(Z=0)+1×P(Z=1)+4×P(Z=4)=1； 9分
（3）记个点中被染成白色的点数为，则.
当Y=m时，X={Cn2,m=0 或 m=n,Cn 12,m=1 或 m=n 1,Cm2+Cn m2,2≤m≤n 2 11分
，
所以E(X)=n(n-1)2n+n(n-1)(n-2)2n+∑m=2n-2Cnm(Cm2+Cn-m2)2n 14分
=n(n-1)22n+12n∑m=2n-2CnmCm2+∑m=2n-2CnmCn-m2 15分
.......
16分
所以E(X)=n(n-1)4 17分

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