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南科大附中2026年春季学期高二年级期中考试
数 学
（本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟）
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场和座位号填写在答题卡上。将条形码粘贴在答题卡左上角“条形码粘贴处”。
2. 作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效。
3. 考试结束后，请将试卷妥善保管，答题卡统一交回。
一、选择题（本大题包括8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，只有一个选项是正确的。）
1. 已知函数，则（ ）
A.3 B.5 C.8 D.10
2. 已知是等差数列，且，，则首项等于（ ）
A.0 B.
C. D.
3. 若展开式中的常数项为90，则常数的值为（ ）
A.4 B.2 C.8 D.6
4. 某数学学习小组有10名同学，其中有4名女生，6名男生，现从中随机抽取3名同学去听院士讲座，设抽到的女生人数为，则（ ）
A. B.
C. D.
5. 某校人工智能社团有小李、小赵等5位同学，他们计划对DeepSeek、豆包、通义千问这3种人工智能模型展开学习调研，要求：每种模型至少有1人负责，每人必须且只能选择1种模型。若小李和小赵不能调研同一种模型，则不同的安排方案总数为（ ）
A.600 B.264 C.207 D.114
6. 下列说法中错误的有（ ）
①数据1，2，3，5，7，8，9的60%分位数是6；
②根据列联表中的数据计算得出，而，则“两个分类变量有关联”此推断犯错误的概率不大于0.01；
③回归分析时，可用决定系数刻画模型的拟合效果，越大，则拟合效果越好；
④若随机变量服从正态分布，若，则实数。
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7. 设，是两个随机事件，若，，则（ ）
A. 　　　　 B. 　　　　
C. 　　　　 D.
8. 方程有两实数根、，则实数的取值范围是（ ）
A. 　　 B. 　　
C. 　　　 D.
二、多项选择题（本大题包括3小题，每小题6分，共18分。在每小题列出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。）
9. 定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
　　A. 函数在上单调递减
　　B. 函数的单调递减区间为
　　C. 函数在处取得极大值
　　D. 函数在处取得极大值
10. 已知3张奖券中只有2张有奖奖券，甲、乙2名同学依次随机抽取1张奖券. 记事件为“甲中奖”，事件为“乙中奖”，则下列说法正确的有（ ）
　　A. 若抽取后放回，则
　　B. 若抽取后不放回，则
　　C. 若抽取后放回，则
　　D. 若抽取后不放回，则
11. 已知数列满足，，，是的前项和，则（ ）
A. 是等比数列　　　
B. 是等比数列
C. 是等比数列　　　　　　　
D. 的前项和小于1
三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分。）
12. 若根据样本数据，，，得到的回归直线方程为，且，，则 。
13. 甲、乙两人进行象棋比赛，每局胜者得1分，负者得0分。设每局甲胜的概率为，乙胜的概率为，且各局胜负相互独立，五局比赛结束后甲比乙至少多得2分的概率为 。（结果用数字作答）
14. 已知直线是函数和函数图象的公切线，则 。
四、解答题：（本大题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。）
15.（13分）在中，内角，，所对的边分别为，，，且。
（1）求角的大小；
（2）若，且的面积为，求的周长。
16.（15分）如图，直三棱柱中，，，，分别为，的中点。
（1）证明：平面；
（2）若三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值。
17.（15分） 甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有2道题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，每位面试者最多有两次答题机会，若答对第一次抽到的题目，则面试通过，结束答题；否则继续第2次答题，答对则面试通过，未答对则面试不通过，甲、乙两人对抽到的不同题目能否答对是独立的，且两人答题互不影响.
（1）求甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率；
（2）设面试过程中甲、乙两人答题的次数之和为，求的分布列与期望.
18.（17分） 已知数列的前项和为，且，.
（1）求；
（2）求的通项公式；
（3）设数列的前项和为，证明：.
19.（17分） 已知函数.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在区间上单调递减，求的取值范围；
（3）若，且存在两个极值点，，证明：.
南科大附中2026年春季学期高二年级期中考试数学答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C D C D A C B
题号 9 10 11
答案 BC ABC AD
1．A由，得，所以.故选：A.
2．C设等差数列的公差为，
由，即，解得．
3．D展开式的通项为
，，，，，，，，
令，则，故常数项为，则．
4．C由于表示抽到的3名同学中女生2人，男生1人，所以
5．D先将5位同学分成三组有“2人组人组人组”和“3人组人组人组”两种情况，共有
种方法，
其中小李和小赵同一组的情况有种方法，所以小李和小赵不同组的情况有
种；
再将这三组分给DeepSeek、豆包、通义千问这3种人工智能模型，有种排列方式，
所以共有种方法.
6．A对于①，将数据按从小到大排列：，，，，，，共有7个数据，.
故60%分位数是第5个数，即7不是6.故①错误；
对于②，根据列联表中的数据计算得出，而，
则有99%的把握认为两个分类变量有关系，则“两个分类变量有关联”此推断错误的概率不大于0.01，故
②正确；
对于③，在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合的效
果越好，故③正确；
对于④，由随机变量，其正态曲线关于直线对称，
由，若，则，即得
，所以，故④正确.
综上，错误的只有①.
7.C因为，所以，
而，
由条件概率公式得，故C正确.
8.B由题可知：，
原方程可化为：令，，
故在单调递增，即每个不同对应唯一不同的，原方程有两个不同实根等价于方程有两个不同解，
变形得：，令，求导得：，令，
当且时，，单调递减；当时，，单调递增；
故在处取得极小值。由原方程可知与同号，
若，则，此时方程仅有一解，不符题意，
故，则。因此只需考虑在上的情况，其在此区间上的最小值为，
当时，有两个不同解，对应原方程有两个不同实根，因此的取值范围是.
9.BC由导函数的图象可知，
当时，，单调递增；当时，，单调递减.故A错误B正确；
所以，函数在处取得极大值，不是极大值点，故C正确D错误.
故选：BC.
10.ABC选项A：因每次抽取后放回，故抽取条件相同，，故A正确；
选项B：不放回时，，下面计算：事件发生有两种情况：
①甲中且乙中（）；②甲不中且乙中（），
故，所以成立，故B正确.
选项C：放回时，；因事件，相互独立，
则，即成立，故C正确.
选项D：不放回时，；求：已知甲中奖，剩2张奖券中有1张有奖，
所以，，故D错误.
11．AD 对于A，由题可得，且，
故是首项为，公比为的等比数列，故A正确；
对于B，由A易得，于是，
又因为，所以，所以不是等比数列，故B错误；
对于C，由B知，所以，不是等比数列，故C错误；
对于D，易知当时，，所以，
设，则，故D正确.
12．
，，则样本中心点为，将其代入到，
即，解得.
13．
事件：甲胜5局，得5分，乙得0分，则，
事件：甲胜4局，负1局，得4分，乙得1分，则，
所以五局比赛结束后甲比乙至少多得2分的概率为.故答案为：
14．4
由，得由，得.
直线的斜率为1.
令，得，将代入，得，
所以直线与函数的图象的切点为，所以，.
设直线与函数的图象的切点为，则，得.
因为函数单调递增，且，所以，.所以.
15.（1） （2）
（1）由2bcosC=2a-c及正弦定理，得2sinBcosC=2sinA-sinC 1分
因为，
所以，
整理得2cosBsinC-sinC=0 3分
因为sinC>0，所以2cosB-1=0，即cosB=12 5分
又B∈(0,π)，所以B=π3 7分
（2）由S ABC=12acsinB=23，且B=π3，得ac=8 9分
由余弦定理，及，
得12=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac 11分
所以a+c=6（负值舍去） 12分
故 ABC的周长为23+6 13分
16.（1）证明过程见解析.（2）
设的中点为，连接，.
因为，分别为，的中点，所以，且.
在直三棱柱 中，，且 ，所以 ，，
所以四边形 DMEA1 为平行四边形，则 EM∥A1D 2分
又 EM 平面 EBC，A1D 平面 EBC， 4分
所以 A1D∥ 平面 EBC 5分
（2）我们以 A 为原点，分别以 AB，AC，AA1 为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系， 6分
设直三棱柱的侧棱长 ，可得 ，，，，，
三棱锥 ， 到底面 的距离为 ，，
因此 VA-EBC=VE-ABC=13S ABCh=13×2×h=23h=43，解得 h=2 8分
则向量 ，，，
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 z=1，得 y=2，x=2，即 n=(2,2,1)； 11分
平面 A1ABB1 的一个法向量为 m=(0,1,0)； 13分
设两个平面夹角为 ，则 。
即两个平面的夹角余弦值为 23 15分
17.（1） （2）分布列见解析，
（1）设事件 为“甲通过面试”，事件 为“乙通过面试”，
P(A)=23+13×23=89（或 P(A)=1-13×13=89） 2分
P(B)=12+12×12=34（或 P(B)=1-12×12=34） 4分
所以甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率
P=P(AB )+P(A B)=P(A)P(B )+P(A )P(B)=89×14+19×34=1136 7分
（2）随机变量 X 的可能取值为 2，3，4 8分
P(X=2)=23×12=13，P(X=3)=23×12+13×12=12，P(X=4)=13×12=16， 11分
随机变量 的分布列为
12分
所以随机变量X的期望为E(X)=2×13+3×12+4×16=176 15分
18.（1） 方法一：由，
得a1=2a2-2=2； 4分
方法二：由，得，
得a1=a2=2； 4分
（2） 因为，所以，
则an=Sn-Sn-1=2an-2an-1，得an=2an-1 (n≥3)， 6分
又a2=2，所以an=a2qn-2=2n-1 (n≥2)， 8分
所以an={2,n=12n 1,n≥2； 10分
（3） 设bn=1nlog2an，则n=1时，T1=b1=1<2， 12分
当n≥2时，bn=1nlog22n-1=1n(n-1)=1n-1-1n， 14分
所以Tn=b1+b2+ +bn=1+1 12+12 13+ +1n 1 1n=2 1n<2， 16分
综上：Tn<2 17分
19.（1）
（2）
（3）证明见解析
（1）由题意得f(x)=1x-x+lnx，x>0，f(1)=0， 1分
而f'(x)=-1x2-1+1x，则f'(1)=-1， 2分
故曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=-x+1 3分
（2）f'(x)=-1x2-1+ax=-x2-ax+1x2，x>0， 4分
又f(x)在区间(3,+∞)上单调递减，等价于f'(x)≤0在(3,+∞)上恒成立， 6分
即x2-ax+1≥0在(3,+∞)上恒成立，即a≤x+1x在(3,+∞)上恒成立， 8分
因为函数在上单调递增，所以，
所以a≤103，故a的取值范围是-∞,103 10分
（3）证明：，，，
因为存在两个极值点，，所以，
满足x2-ax+1=0，即x1x2=1， 12分
不妨设，则.
又
则要证，即证，
又，，则，
即证2lnx2设函数，，
则，
所以在上单调递减，又，则，
所以1x2-x2+2lnx2<0，即f(x1)-f(x2)x1-x2

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