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数 学
时间120分钟，满分150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则
A.　　 B.　　
C.　　 D.
2.已知平面向量，均为单位向量，若，则
A.1　　 B.2　　 C.4　　 D.8
3.若，则
A.　　 B.　　
C.　　 D.
4.已知数列满足对任意的，都有.若，则
A.18　　 B.22　　 C.24　　 D.29
5.风电是我国新能源战略的核心支柱，某型号海上风电机组的安全运行标准中，风力等级与轮毂高度风速的关系满足方程：（其中为轮毂高度风速，单位：，为风力等级）.我国某海上风电场遭遇极端天气，监测到轮毂高度瞬时风速达到，则该瞬时风速对应的风力等级约为（注：，，）
A.9级　　 B.11级　　 C.13级　　 D.15级
6.某科技公司使用AI质检系统对生产的芯片进行初筛（分为合格芯片和瑕疵芯片）.已知芯片被标记为合格的概率为，被标记为瑕疵的概率为.被标记为合格的芯片中有实际为瑕疵芯片，被标记为瑕疵的芯片中有实际为合格芯片.在被AI质检过的芯片中随机抽取1个，该芯片为瑕疵芯片的概率为
A.　　 B.　　
C.　　 D.
7.已知抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上（点在第一象限），直线的倾斜角为，过点作于点，直线交轴于点.若的外接圆周长为，则
A.1　　 B.2　　
C.　　 D.
8.在长方体 中，，。现以 为球心，以 为半径作球 ，则球 的球面与该长方体的表面相交所得到的曲线的长为（参考数据：）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知复数 ，其中 ，且 ，设 在复平面内对应的点为 ，则下列说法正确的有
A. 的虚部为
B. 点 在第二象限
C. 点 在直线 上
D. 的最大值为
10.我国航天事业飞速发展，某颗科学实验卫星在太空中运行时，其单日的电池功耗（单位：W）受太阳光照强度等因素影响。历史数据表明：在常规运行轨道上，卫星单日功耗 服从正态分布 ，在进行深空探测任务期间，卫星单日功耗 服从正态分布 。则下列结论正确的有
（附：若随机变量 服从正态分布 ，则 ，，）
A. B.
C. D.
11.已知函数 ，，则下列说法正确的有
A. 当 时，曲线 在点 处的切线方程为
B. 对任意 ， 在定义域内恒有两个极值点
C. 若 在 处取得极值，则 的极大值为
D. 若 在 上的最小值为 ，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若正四棱台的上底面边长为4，下底面边长为6，高为2，则其体积为 。
13.已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，， 为双曲线 右支上一点，连接 交 轴于点 。若点 恰为 的中点，且 ，则双曲线 的离心率为 。
14.已知数列 的前 项和为 ，，且数列 的前10项和为550，则 。（参考公式：）
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且。
（1）求B；
(2)若，的面积为，求c。
16.（15分）某农业科研团队为探究大棚蔬菜的光照时长对产量的影响，选取5组不同的光照时长方案，在相同种植条件下开展试验，统计对应时长下的蔬菜合格采收量，得到如下数据：
每日光照时长x/h 14 15 16 17 18
合格采收量y/kg 4 8 16 20 26
（1）求变量y与x的样本相关系数，判断是否适合线性回归模型拟合，如果适合，求y关于x的经验回归方程；
（2）当样本数据的残差绝对值大于1时，称该组数据为异常拟合数据，现从这5组数据中任取3组做残差分析，求取到异常拟合数据的组数X的分布列和数学期望。
附：①样本相关系数，当时，相关性较强，当时，相关性一般；
②经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，；
③，，。
17.（15分）如图，在多面体 中，底面四边形 为直角梯形，，，，， 平面 ， 平面 .
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求平面 和平面 夹角的余弦值.
18.（17分）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，，过点 的直线 与椭圆 相交于 ， 两点， 的最大值与最小值之和为7.
（1）求椭圆 的标准方程.
（2）设过点 且与直线 垂直的直线 交椭圆 于 ， 两点，点 ， 分别是弦 ， 的中点.
①若直线 和直线 均不与 轴重合，求证：直线 过定点；
②在①的条件下，当两直线 和 的斜率为何值时， 的面积取得最大值？
19.（17分）已知函数 ，.
（1）判断函数 的单调性.
（2）若方程 有两个根 ，.
①求实数 的取值范围；
②证明：.
数学参考答案及评分意见
1.B .故选B.
2.A 因为，所以.因为是单位向量，所以，所以.故选A.3.A .故选A.
4.D 当，时，.因为，所以，解得.当，时，.因为，所以，解得.所以.故选D.
5.B 将代入方程，得，所以，即风力等级约为11级.故选B.
6.D 设事件表示“芯片为合格芯片”，事件表示“芯片为瑕疵芯片”，事件表示“芯片被标记为合格品”，事件表示“芯片被标记为瑕疵品”，则，，，所以，所以.故选D.
7.B 如图，因为直线的倾斜角为，，所以，.设准线与轴交于点，则坐标原点是线段的中点.因为，所以点是线段的中点，所以，所以是直角三角形，为斜边，所以是的外接圆的直径.由题意得，解得.过点作轴于点，则.在中，，所以.所以，即.故选B.
8.A 由题意，长方体的体对角线长为，所以球与以为顶点的三个面均有交线.因为，所以在面内的交线是以点为圆心，2为半径，圆心角为的弧，弧长为.同理，在面内的交线长为，在面内的交线是以点为圆心，3为半径，圆心角为的弧，弧长为.因为，所以球与面和面无交线.在面中，设以点为圆心，为半径的圆分别交，于，两点，则，
且，所以，所以，所以所对的弧长为。综上，曲线的长为。故选A。
9.BC 因为，所以的虚部为，故A错误。
点的坐标为，因为，所以，，所以点在第二象限，故B正确。
因为，所以点在直线上，故C正确。
因为，所以，所以当时，的值最大，为，故D错误。故选BC。
10.BCD 因为，即，，所以，故A错误。因为，即，，，所以，，故B，C正确。，故D正确。故选BCD。
11.ACD 当时，，，则，，所以，所以曲线在点处的切线方程为，即，故A正确。因为，，所以。当或时，在上仅有一根，此时函数不可能有两个极值点，故B错误。若在处取得极值，则，解得，则。解，得或，解，得，所以函数在，上均单调递增，在上单调递减，所以当时，取到极大值，为，故C正确。当时，在上恒成立，当且仅当，时，等号成立，所以函数在上单调递增，所以在上的最小值为，符合题意。当时，当时，，所以函数在上单调递减；当时，，所以函数在上单调递增。所以在上的最小值为，不符合题意。当时，在上恒成立，当且仅当，时，等号成立，所以函数在上单调递减，所以在上的最小值为，不符合题意。综上，，故D正确。故选ACD。
12. 由题意，得正四棱台的上底面面积，下底面面积，高，所以正四棱台的体积。
13. 不妨设点在第一象限，如图。因为点为的中点，，所以，所以。因为点为的中点，坐标原点为的中点，，所以，所以点的坐标为。因为点在双曲线上上，所以。解得，所以，所
以，所以，所以双曲线的离心率.
14.4 因为，所以当时，，
则，
化简得，即，所以数列是公差的等差数列，
所以，所以.
由题意，得，解得.
15.解：（1）
. …………………………………………………… 3分
因为，所以，
所以，解得. …………………………………………………… 6分
因为，所以. ………………………………………………………………………… 7分
（2）由（1）得.
因为，，所以，所以. ………………………………………… 9分
由正弦定理，得. …………………………………………… 10分
因为， ………………………………………… 11分
所以的面积. ……………………………… 12分
由题意，得，解得. ……………………………………………………………… 13分
16.解：（1）由已知，得，
，
所以， ……………………… 3分
所以 r=∑i=15xiyi-5x y ∑i=15xi2-5x 2∑i=15yi2-5y 2=1240-5×16×14.810×316.8≈0.993 5分
因为 |r|≈0.993∈[0.75,1]，说明 y 与 x 的线性相关性很强，所以适合线性回归模型拟合 6分
因为 ，
，
所以 y 关于 x 的经验回归方程为 y^=5.6x-74.8 8分
（2）由（1）知，.
因为样本数据的残差绝对值大于1时，称该组数据为异常拟合数据，
所以5组数据的残差绝对值及数据状态如下表所示 10分
每日光照时长 14 15 16 17 18
合格采收量 4 8 16 20 26
预测值 3.6 9.2 14.8 20.4 26
残差的绝对值 0.4 1.2 1.2 0.4 0
是否为异常拟合数据 否 是 是 否 否
由表可知，异常拟合数据有2组，非异常拟合数据有3组，
所以从这5组数据中任取3组，异常拟合数据的组数 X 的所有可能取值为0，1，2 11分
因为 ，，，
所以 的分布列为
0 1 2
14分
所以 X 的数学期望 E(X)=0×110+1×35+2×310=65 15分
17.（1）证明：如图，取 的中点 ，连接 .
因为 ，，，，
所以 BD=2，BM=CM=1，所以四边形 ABMD 是正方形，所以 DM⊥BC，DM=AB=1 2分
在 中，，
则在 BCD 中,BC2=BD2+CD2,所以 BD⊥CD 3分
因为 CF⊥ 平面 ABCD,BD 平面 ABCD,所以 CF⊥BD 4分
因为 CF∩CD=C,CF,CD 平面 CDF,所以 BD⊥ 平面 CDF 5分
因为 BD 平面 BDF,所以平面 BDF⊥ 平面 CDF 6分
（2）解：因为 平面 ，， 平面 ，所以 ，.
又因为 ，所以 ，， 两两垂直。 ………………………………………………… 7分
以点 为坐标原点，，， 所在直线分别为 ，， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，，，，
所以 ，，。 ………………………………………………… 10分
设平面 的法向量为 ，则 即
令 ，则 ，，所以 。 ………………………………………………… 12分
设平面 的法向量为 ，则 即
令 ，则 ，，所以 。 ………………………………………………… 14分
因为 ，，
所以平面 和平面 夹角的余弦值为 。 ………………………………………………… 15分
18.（1） 解：由题意，当 为椭圆 的通径时， 的值最小；
当 为椭圆 的长轴时， 的值最大，为 。 ………………………………………………… 1分
把 代入椭圆 的方程，得 ，结合 ，解得 ，
所以 的最小值为 。 ………………………………………………… 2分
由题意，得
解得 所以椭圆 的标准方程为 。 ………………………………………………… 5分
（2） ① 证明：由题意，设直线 的方程为 ，则直线 的方程为 。 ……… 6分
设 ，。
由 消去 ，整理得 。
，则 。
由题意，得 ，
所以xM=myM-1=-43m2+4，则M-43m2+4,3m3m2+4。 8分
将点M坐标中的m用-1m代换，得弦DE的中点N-4m24m2+3,-3m4m2+3。 9分
解，得，所以，所以直线的方程为。.........10分
当时，直线的斜率，
所以直线的方程为，整理得，
所以直线MN过点-47,0。 12分
综上，直线MN过定点R-47,0。 13分
②解：由题意，得的面积
=332·|m3+m|12m4+25m2+12=332·m+1m12m2+1m2+25。 14分
设m+1m=t，则t≥2，S=332·t12t2+1=332·112t+1t。 15分
由对勾函数的性质，得函数在上单调递增，
所以当t=2，即m=±1时，S取得最大值，为3349，即 MNF2面积的最大值为3349。 17分
19.(1) 解：因为f(x)=mx+xlnx+1，x>0，所以f'(x)=m+lnx+1。 1分
因为函数在上单调递增，解得，
所以当0e-m-1时，f'(x)>0。 3分
所以函数f(x)在(0,e-m-1)上单调递减，在(e-m-1,+∞)上单调递增。 4分
（2） ①解：方程，即，，
则m=exx-lnx-1x。 5分
设g(x)=exx-lnx-1x，x>0，则方程f(x)=ex有两个根x1，x2，即函数g(x)的图象与直线y=m有两个不同的交点。 6分
因为，，
当时，，
所以当时，，当时，。
所以函数在上单调递减，在上单调递增。
所以当时，函数取得极小值，也是最小值. \dotfill 8分
因为，当时，，当时，，
所以，即实数的取值范围是. \dotfill 10分
②证明：由①可知，，
则证不等式即，
转化为证. \dotfill 12分
令，，则.
令，则.
因为在上恒成立，
所以在上单调递增，所以，
所以当时，.
所以当时，，当时，.
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
所以. \dotfill 14分
由①知，.
令，，则.
令，则.
因为，所以，
所以在上单调递增，所以，
所以当时，.
所以单调递增，所以.
所以当时，.
由①及题意可知，，所以.
因为且在上单调递减，所以，
所以，所以. \dotfill 16分
所以，
所以. \dotfill 17分

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