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高二数学
注意事项：
1. 答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码贴在答题卡上的指定位置。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. =
A. 　　 B. 　　
C. 　　 D.
2. 若集合，，则
A. 　　 B. 　　
C. 　　 D.
3. 函数的图象在处的切线在轴上的截距为
A.2　　 B. 　　
C. 　　 D.
4. 已知向量，，，若，则实数的值为
A. 　　 B. 　　
C..2
5. 为助力城市低空经济发展，某科技公司计划开展无人机编队飞行表演。现有4架不同型号的四旋翼无人机和3架不同型号的六旋翼无人机，将它们排成一列进行飞行展示。要求任意两架相邻无人机的旋翼数不同，则不同的飞行队形共有
A.72种　　 B.144种　　 C.1440种　　 D.5040种
6. 如图，圆台的高为，是母线，，.现在将圆台的侧面沿剪开，并展开成平面图形，点在侧面展开图中对应的点为，，则线段的长度为
A. B.
C. D.
7. 甲、乙两人进行抛骰子游戏，每轮游戏甲、乙各抛掷骰子1次，向上点数较大的一方获胜（向上点数相等为平局），然后继续下一轮游戏，当一方连胜两轮时游戏结束，则第3轮抛掷后游戏结束的概率为
A. B.
C. D.
8. 若，且，则下列各式一定成立的是
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 大量临床数据显示，某年龄段人群空腹血糖检测值（单位：）近似服从正态分布，则
参考数据：若，则，.
A. 该年龄段人群空腹血糖检测值的均值为
B. 该年龄段人群空腹血糖检测值的方差为
C. 该年龄段人群空腹血糖检测值在的比例约为
D. 该年龄段人群空腹血糖检测值高于的比例约为
10. 已知双曲线关于轴、轴对称，若过点，则的离心率可能为
A. B.
C. D.
11. 在锐角中，内角，，所对的边分别是，，，记的面积为，周长为，重心为，若，，则
A.
B. 的取值范围是
C. 的取值范围是
D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在等比数列中，，，则 。
13. 已知抛物线的焦点为，准线为，点在上且位于第一象限，为坐标原点。设的平分线交于点，交于点，若，则 。
14. 如图，点，，是函数的图象与直线的相邻的三个交点，是的图象与轴的交点，若，则 。
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
已知等差数列的前项和为，，。
（1） 求与；
（2） 若，求的前项和。
16.(15分)
已知椭圆的离心率为，且的焦点与双曲线的焦点重合。
（1） 求的方程；
（2） 若过点且与的一条渐近线平行的直线与交于，两点，为坐标原点，求的面积。
17.(15分)
如图，在四棱锥中，侧面底面，是边长为2的等边三角形，四
边形为直角梯形，且，，，是棱上一动点.
（1）若为棱的中点，证明：平面；
（2）若为棱上靠近点的三等分点，求平面与平面夹角的余弦值.
18.(17分)
在量子机器学习中，数据常被编码为量子态的叠加.考虑一个由两个纠缠量子比特构成的
系统，对其进行投影测量，每个量子比特的测量结果记为0或1.已知第一个量子比特测量
结果为0的概率为，测量结果为1的概率为.若第一个量子比特测量结
果为0，则第二个量子比特测量结果为0的概率为；若第一个量子比特测量结果为1，则
第二个量子比特测量结果为0的概率为.
（1）在两个量子比特测量结果相同的条件下，求第一个量子比特测量结果为0的概率.
（2）设，随机变量表示两个量子比特的测量结果之和.
（ⅰ）求的分布列；
（ⅱ）在量子纠错编码中，需控制测量结果的波动，若可通过调整量子纠缠强度改变
，，且，，，求的取值范围.
19.(17分)
已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若方程有实根，求的取值范围；
（3）若函数有2个极值点，，证明：.
高二数学·答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1. 答案C
。
2. 答案B
由题意得，，因此。
3. 答案D
由，得，设切线在轴上的截距为，则，即，解得。
4. 答案D
因为，，又，所以，解得。
5. 答案B
先排列4架四旋翼无人机，有种方法，再在这4架无人机形成的3个空隙中（不含两端）排列3架六旋翼无人机，有种方法，故不同的飞行队形有种。
6. 答案A
如图1，在圆台的轴截面中作于点。设，由题意得，，由勾股定理可得，解得，所以。侧面展开图如图2，的长为，的长为，所以，又，所以，所以，所以。
7. 答案C
每轮游戏甲胜或乙胜的概率均为，平局的概率为，假设第3轮抛掷后游戏结束且第3轮甲胜，则第2轮甲胜，第1轮乙胜或平局，概率为；同理第3轮抛掷后游戏结束且第3轮乙胜的概率也为，所以所求概率为.
8. 答案B
由已知可得，，设，则，在上单调递增，所以，即，所以，所以。令，则，易知在上单调递减，所以.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 答案AC
对于A，由题知，故A正确；
对于B，由题知，即方差为，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误.
10. 答案BCD
若焦点在x轴上，设双曲线方程为，代入，整理可得，所以，从而离心率；若焦点在y轴上，设双曲线方程为，代入，整理可得，所以，从而离心率。综上可知（这里根据示例要求，下划线的\quad至少两个，原内容可能后续有遗漏，按要求保留格式）
11. 答案ACD
对于A，由，可得，即，由余弦定理可得，又为锐角三角形，所以，故A正确；
对于B，由正弦定理，可得，因为为锐角三角形，所以解得，则，，故，所以的取值范围为，故B错误；
对于C，由余弦定理可得，由对B的分析可知，所以，且随的增大而增大，则，所以的取值范围为，故C正确；
对于D，设的中点为，因为是的重心，所以，在中，由余弦定理可得，故当时，取得最小值，此时的最小值为，故D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 答案1
由题意知，，成等比数列，所以.
13. 答案4
由题不妨设，则. 过点作于点，则，所以，则，所以，过点作于点，则是等边三角形，，则点与点重合，所以.
14. 答案
令，可得或，由题图可知，，，，所以，，因为，故. 因为，即，又因为点在单调递减区间上，所以可取，则，从而.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）设的公差为.
由，，得解得，， （3分）
所以， （4分）
. （6分）
（2）由（1）得，， （7分）
所以， （9分）
所以
. （13分）
16. （1）由题意知的焦点坐标为，
所以中， （2分）
由的离心率为，得， （4分）
所以，，，
所以的方程为. （6分）
（2）由题知的渐近线的斜率为，设，，
由对称性，不妨设直线的方程为，即， （8分）
与联立，消去，得，
所以，， …………………………………………………………………………（11分）
所以， ……………………………………………………（13分）
所以的面积， ……………………………………………………（15分）
17.（1）如图，取的中点，连接，.
由为的中点，为的中点，，且，，
可得，. …………………………………………………………………………（2分）
所以四边形为平行四边形，故. …………………………………………………………………………（4分）
又平面，平面，所以平面. …………………………………………………………………………（5分）
（2）取的中点，连接，.
由为等边三角形，得，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面. …………………………………………………………………………（7分）
由，，得四边形是平行四边形，
于是，又，则，直线，，两两互相垂直. ……………………………………………………（8分）
以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，， ……………………………………………………（9分）
所以，. …………………………………………………………………………（10分）
设平面的法向量为，
则即
令，可得，…………………………………………………………………（12分）
易知平面的一个法向量为。 ………………………………………………………………（13分）
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为。 ………………………………………………………………（15分）
18.（1）记事件“第一个量子比特测量结果为”，事件“第二个量子比特测量结果为”，事件“两个量子比特测量结果相同”，
则，…………………………………………………………………………………………（2分）
所以，
， ………………………………………………………………………………………………（4分）
所以在两个量子比特测量结果相同的条件下，第一个量子比特测量结果为的概率为
。 ………………………………………………………………（6分）
（2）（ⅰ）的所有可能取值为，，，……………………………………………………………………………（7分）
，………………………………………………………………………………（8分）
，……………………………………………（10分）
，……………………………………………………………（11分）
所以的分布列为
……………………………………………………………………………………………………（12分）
（ⅱ）由（ⅰ）得，， …………………（14分）
所以， ………（16分）
所以的取值范围是。………………………………………………………
19. （1）由题知的定义域为，， （2分）
若，则，单调递增，
若，当时，，单调递减，当时，，单调递增.
综上，当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递增.
（5分）
（2）由，得 （6分）
设，则，
当时，，，，单调递增，当时，，，
，单调递减，
所以， （9分）
又时，，
所以的取值范围是 （10分）
（3）由题可知，则， （11分）
由题知，是方程，即的两个根，
所以，，，
所以，，，（13分）
所以
（15分）
设，则，
设，则在上恒成立，
所以在上单调递增，，
所以在上单调递减，，
所以. （17分）

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