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高三模拟卷（二）
数 学
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合，则的真子集有
A.5个　　　　 B.6个　　　　 C.7个　　　　 D.8个
2. 已知函数则
A. 　　　　 B. 　　　　
C. 　　　　 D.
3. 已知向量，，则“”是“”的
A. 充分不必要条件　　　　 B. 必要不充分条件
C. 充要条件　　　　 D. 既不充分也不必要条件
4.
A.1　　　　 B.2　　　　 C.3　　　　 D.4
5. 从长度为1，3，5，7，9的5根木棒中随机选择3根，则能构成三角形的概率是
A.0.3　　　　 B.0.4　　　　 C.0.5　　　　 D.0.6
6. 已知点到点的距离为，则的最小值是
A.4　　　　 B.5　　　　 C.6　　　　 D.7
7. 某海岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除。现已知的质量随时间的指数衰减规律是：（其中为的初始质量）。则当的质量衰减为最初的时，所经过的时间约为（参考数据：，）
A.20年　　　　 B.15年　　　　 C.12年　　　　 D.10年
8. 设双曲线的左焦点为，过坐标原点的直线与交于，两点，，，则双曲线的离心率为
A. 　　　　 B. 　　　　
C. 　　　　 D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 已知复数，则下列结论正确的有
A. 的虚部是
B. 的共轭复数是
C. 在复平面内对应的点在第二象限
D.
10. 已知函数满足，且，则
A.
B.
C. 的图象关于点对称
D. 在区间上单调递减
11. 某商场举办有奖摸球活动，盒中有编号为1到10的10个完全相同的小球，每次摸球后不放回，直到盒中无球为止，记为一轮活动。规则如下：
第1次摸球：从10个球中随机抽取一个；
第次摸球：若在前次摸球中未出现编号为的球，则本次直接获得号球；否则，从盒中剩余的球中随机抽取一个；
第10次摸球：此时盒中仅剩1个球，直接取出。
若第10次摸出的球编号为10，则本轮游戏结束并获奖；否则，本轮未获奖，可继续下一轮活动（每轮独立，每轮开始时球盒恢复为完整的1～10号球）。下列说法正确的是
A. 若第1次摸到1号球，则在该轮必能获奖
B. 第2次摸到球的编号的期望为
C. 在一轮活动中获奖的概率为
D. 记随机变量为最终获奖时的活动轮数，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知数列满足：对任意的正整数，，都有，且，则 .
13. 已知，若，则的最小值为 .
14. 以为底的两个正三棱锥和内接于同一个球，并且正三棱锥的侧面与底面所成的角为，记正三棱锥和正三棱锥的体积分别为和，则 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
在中，内角，，的对边分别为，，，且，，成等差数列.
（1） 求角的大小；
（2） 若，，求的值.
16.（本小题满分15分）
如图所示的几何体由等高的圆柱和圆柱拼接而成，点为弧的中点，且，，，四点共面.
（1） 证明：平面；
（2） 若直线与平面所成角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
17.（本小题满分15分）
某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值，将该指标大于的人判定为阳性，小于或等于的人判定为阴性。此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为。假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率。
（1）当漏诊率时，求临界值和误诊率；
（2）设函数，当时，求的解析式，并求在区间的最小值。
18.（本小题满分17分）
已知函数。
（1）若，求实数的值；
（2）若时，恒成立，求实数的最大值；
（3）设，，
19.（本小题满分17分）
已知抛物线：，过点的动直线交抛物线于，两点，为原点，。
（1）求抛物线的方程；
（2）过动点作抛物线的切线，过点作切线的垂线，垂足为，求点的轨迹方程；
（3）在（2）的条件下，设直线与直线交于点，若动点满足，求直线的斜率的取值范围。
高三模拟卷（二）
数 学
时量：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则的真子集有 （C）
A.5个 B.6个 C.7个 D.8个
，即，解得，则，
可知，真子集个数为.
2. 已知函数则 （C）
A. B.
C.3 D.
由题意知，
则.
3. 已知向量，，则“”是“”的 （A）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
向量，，若，则，所以，
若，则，解得或，
综上，“”是“”的充分不必要条件.
4. （B）
A.1 B.2 C.3 D.4
.
5. 从长度为1，3，5，7，9的5根木棒中随机选择3根，则能构成三角形的概率是 （A）
A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.6
从长度为1，3，5，7，9的5根木棒中随机选择3根，所有的可能有（1，3，5），（1，3，7），
（1，3，9），（1，5，7），（1，5，9），（1，7，9），（3，5，7），（3，5，9），（3，7，9），（5，7，9），共有10种，能构成三角形的有（3，5，7），（3，7，9），（5，7，9），共3种，故概率为.
6. 已知点到点的距离为d，则d的最小值是 （D）
A.4 B.5 C.6 D.7
因为，所以点P的轨迹方程为，
点A的轨迹方程为.
因为圆心到直线的距离为，
所以d的最小值是.
7. 某海岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除.现已知的质量M（kg）随时间t（年）的指数衰减规律是：（其中为的初始质量）.则当的质量衰减为最初的时，所经过的时间约为（参考数据：，） （D）
A.20年 B.15年 C.12年 D.10年
设经过的时间为t年，
由题意得，，
所以，
所以.
8. 设双曲线的左焦点为F，过坐标原点的直线与C交于A，B两点，，，则双曲线C的离心率为 （B）
A. B.
C. D.
如图，设双曲线的右焦点为，连接，。
由双曲线的对称性可得：，，
则四边形是平行四边形，又因为，则，
设，由双曲线的定义可得，
在中，由余弦定理可得，
所以，
整理可得，解得或（舍去），
则，，
在中，由余弦定理可得，
所以，
整理可得，所以。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 已知复数，则下列结论正确的有 （BD）
A. 的虚部是
B. 的共轭复数是
C. 在复平面内对应的点在第二象限
D.
已知复数，先化简。的虚部为，不是，A错误；的共轭复数，B正确；对应复平面内点，在第一象限，C错误；，，，所以，D正确。
10. 已知函数（这里原文可能是，按图中内容，结合解析推测）满足，且，则
A.
B.
C. 的图象关于点对称
D. 在区间上单调递减
因为函数满足，
所以的图象关于直线对称，
则，则，
因为，所以，
所以，，A错误，B正确；
则，即的图象关于点对称，C正确；
当时，，因为在区间上不单调，D错误.
11. 某商场举办有奖摸球活动，盒中有编号为1到10的10个完全相同的小球，每次摸球后不放回，直到盒中无球为止，记为一轮活动. 规则如下：
第1次摸球：从10个球中随机抽取一个；
第次摸球：若在前次摸球中未出现编号为的球，则本次直接获得号球；否则，从盒中剩余的球中随机抽取一个；
第10次摸球：此时盒中仅剩1个球，直接取出.
若第10次摸出的球编号为10，则本轮游戏结束并获奖；否则，本轮未获奖，可继续下一轮活动（每轮独立，每轮开始时球盒恢复为完整的1～10号球）. 下列说法正确的是（ABD）
（参考公式：若，则）
A.若第1次摸到1号球，则在该轮必能获奖
B.第2次摸到球的编号的期望为
C.在一轮活动中获奖的概率为
D. 记随机变量X为最终获奖时的活动轮数，则E(X)
对于A选项，第1次抽到1号球，后续2，3，…，n号球全按顺序获得，该轮必能获奖，A正确；
对于B选项，若第1次抽到2号球，第2次从{1，3，4，…，10}中随机抽取；若第1次没抽到2号球，
则第2次获得2号球.第2次抽到球的编号的期望为，B正确；
对于C选项，一轮摸球活动中获得奖品，需要第10次获得10号球.记为n个球时编号为n的球留到最后的概率.
第1次抽到1号球，后续2，3，…，n号球全按顺序，成功；
第1次抽到n号球，失败；
第1次抽到k(，，，)号球，第2至次获得相应编号小球，第k次从剩余未摸过的{1，，，}这个球中随机抽取，此子过程等价于规模为的原问题，且最大编号是，成功概率为.
从而，，即，即，
则，可得在一轮摸球活动中能够获得奖品的概率为，C错误；
对于D选项，
= ，故D正确.
选择题答题卡
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C C A B A D D B BD BC ABD
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知数列满足：对任意的正整数，，都有，且，则 .
由题意，令，得，
令，得，
令，，得.
13. 已知，若，则的最小值为 .
因为，所以，
整理可得，
由已知，则，可得，
即，所以，所以，
所以，
当且仅当时取等号，又，所以，时取到最小值.
14. 以为底的两个正三棱锥和内接于同一个球，并且正三棱锥的侧面与底面所成的角为，记正三棱锥和正三棱锥的体积分别为和，则 .
如图，
正三棱锥和正三棱锥内接于同一个球，
设到底面的距离为，到底面的距离为，为球心，
则，取的中点，连接，，，记与平面的交点为，
由两个正三棱锥和内接于同一个球，故一定为球的直径，
由题意可知，为正三角形的中心，
因此，，分别为正三棱锥和正三棱锥的高，，
由，，，且为的中点，可得，，，
则为正三棱锥的侧面与底面所成的角，为，不妨设，
所以，，记球的半径为，于是，
在中，由勾股定理可得，，
解得，于是，
则，所以。
四、解答题：本题共5小题，共77分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分）
在中，内角，，的对边分别为，，，且，，成等差数列。
（1）求角的大小；
（2）若，，求的值。
（1）由，，成等差数列，
可得，
故，所以， 3分
又，所以，故，
又由，可知，故，所以。 6分
（另法：利用求解）
（2）在中，由余弦定理得， 8分
即，故，又，故，………………………… 11分
所以
，
故。……………………………………………………………………… 13分
16.（本小题满分15分）
如图所示的几何体由等高的圆柱和圆柱拼接而成，点为弧的中点，且，，，四点共面。
（1）证明：平面；
（2）若直线与平面所成角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值。
（1）因为点为弧的中点，是直径，，，
所以，所以，………………………………………………………… 3分
又因为平面，平面，所以，………………………………………… 5分
又，平面，。
所以平面。……………………………………………………………………………………… 7分
（2）以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设，
因为直线 与平面 所成角为 ，所以 ，
则，，，， 分
设平面 的法向量为 ，
由可得令 ，则 ， 分
设平面 的法向量为 ，
则 得 ，令 ，则 ， 分
则 ，，
故平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为。 分
17.（本小题满分15分）
某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值 ，将该指标大于 的人判定为阳性，小于或等于 的人判定为阴性。此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为 ；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为 。假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率。
（1）当漏诊率时，求临界值和误诊率；
（2）设函数，当时，求的解析式，并求在区间的最小值.
当 时，，令 ，
则 ，
从而 在区间 上单调递增，
故当 时，，则 ，
所以实数 的最大值为 。 ………………………………………………………………………… 10分
（3） 由题可知 ，其中 ，，……………… 12分
由（2）可得 ，
从而 ，……… 14分
则 。 …………………… 17分
19.（本小题满分17分）
已知抛物线 ，过点 的动直线 交抛物线 于 ， 两点， 为原点，。
（1） 求抛物线 的方程；
（2） 过动点 作抛物线的切线 ，过点 作切线 的垂线，垂足为 ，求点 的轨迹方程 ；
（3） 在（2）的条件下，设直线 与直线 交于点 ，若动点 满足 ，求直线 的斜率的取值范围。
（1） 设直线 ，，，
联立 ，得 ，
则 ，，
因为 ，
则 ，
故 ，抛物线 的方程为 。 ……………………………………………………………… 4分
（2） 由（1）得抛物线 为 ，，
则直线 ， ………………………………………………………………………… 6分
与直线 联立，得 ① ② ………………………………………………………………………… 8分
①÷②得，代入②得，即，
故点P的轨迹方程为x2y+x2+y3=0(y≠0)。 10分
（3）设直线为，，，，
联立得，
由（2）知，，
联立{y=kx,x2y+x2+y3=0,得xP=-1k+k3， 12分
由可知，点在直线上，
从而xT=xS-xP=-kk2+1， 14分
又，代入上式可得，
即点在圆上，
从而直线RT的斜率的取值范围是(-∞,-45]∪[45,+∞)。 17分

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