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重庆一中高2027届高二下期期中考试
数学试题卷
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。
2. 作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。
3. 考试结束后，将答题卡交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。
1已知集合，，则（
A. B.
C. D.
2. 已知，则 “” 是 “” 的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 某校对学生记忆力和判断力进行统计分析，所得数据如表：
记忆力 2 5 6 8 9
判断力 7 8 10 12 18
则关于的线性回归方程为（ ）
A. B.
C. D.
4. 设，且，则（ ）
A.0.3 B.0.35 C.0.4 D.0.45
5.2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》，惊艳全球！其中，机器人以 “似倒非倒” 的飘逸与力量完美融合。根据系统日志，一个机器人执行 “后空翻” 任务时，落地状态仅存在以下情况：
1. 平稳落地（概率为0.8）：动作精准，必定能站稳；
2. 踉跄落地（概率为0.1）：重心略偏，90%能站稳；
3. 近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，50%能站稳。
则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（ ）
A.0.91 B.0.92 C.0.93 D.0.94
6. 三边，，的中点分别为，，，将，，，，，六个数字全部标注在，，，，，六个点处，每个点处标注一个数字，使得每个中点处的数字都比其相邻两顶点处的数字小，则不同的标注方法有（ ）
A. 种
B. 种
C. 种
D. 种
7. 已知、为椭圆方程的左右焦点，点在椭圆上，动点、始终满足，，则的最大值为（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知函数，在点（）处作曲线的切线，其在轴截距记为，若对恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本题共个小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得分，部分选对的得部分分，有错误的得分。
9. 盒子中有张奖券，其中张有奖。甲、乙两位同学依次随机抽取一张奖券，记他们中奖的概率分别为，，则下列说法正确的是
A. 若抽取后放回，则
B. 若抽取后不放回，则
C. 若抽取后放回，则
D. 若抽取后不放回，则
10. 下列结论正确的是
A. 已知事件和满足，，，则
B. 已知事件和满足，，，则
C. 若展开式的二项式系数之和为，则展开式的常数项为
D. 已知，则
11. 已知函数有三个极值点，，（），则
A.
B. 若，，成等差数列，则，，成等比数列
C. 若，，成等差数列，则数列，，的公差为
D. 若，，成等比数列，则数列，，的公比为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知随机事件，相互独立，且，则 ．
13．已知曲线，则曲线上的点到距离的最小值为 ．
14．甲、乙两人进行抽卡游戏：每一局游戏中，将编号分别为，，，，，，，的张卡片的背面朝上并搅匀；甲先从中随机抽取张卡片，乙再从剩下的卡片中随机抽取张卡片．记为甲抽取的张卡片中较大编号者的编号，为乙抽取的卡片的编号，当时，称该局为“默契局”，则一局游戏成为“默契局”的概率为 ；游戏规定：出现“默契局”时，乙得分，甲得分，否则乙得分，甲得分，三局游戏后甲、乙两人得分之和的数学期望 ．
四、解答题：共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（本小题满分13分）某高校组织学生参加与知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，男生、女生各取人．设事件“学生愿意报名参加答题活动”，“学生为男生”，据统计，．
（1）根据已知条件，依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关？
性别 男生 女生 合计
不愿报名参加答题活动
愿意报名参加答题活动
合计 200
（2）假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为．若答题活动设置道题，且答题规则如下：每次答一题，一旦答对，则结束答题；答错则继续答题，直到道题答完.已知甲同学报名参加答题活动，用表示在本次答题的题目数量，求的分布列和期望．
参考公式与数据：，其中．
0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
16.（本小题满分15分） 为响应2026年青少年拔尖创新人才培养计划，某高校面向全市中学选拔优秀学生，
开设数学、物理、化学、信息技术四门学科科研学营活动。
（1） 若数学组的12名学员中恰有5人来自同一中学，从这12名学员中选取3人，表示选取的人中来自该
中学的人数，求的分布列和数学期望；
（2） 在学营开幕式的晚会上，数学组举行了一次学科知识竞答活动．规则如下：两人一组，每人答2题，答
对不少于3题则获胜，假设每轮答题结果互不影响．已知甲、乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的
概率都为，如果甲、乙两位同学想在此次竞答活动中取得6轮胜利，那么理论上至少要参加多少轮竞赛？
17.（本小题满分15分） 已知椭圆椭圆的离心率．左顶点为，下顶点为，是
线段的中点，其中．
（1） 求椭圆方程．
（2） 过点的动直线（斜率存在）与椭圆有两个交点，．在轴上是否存在点使得为
锐角？若存在求出这个点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．
18.（本小题满分17分）定义：如果函数在定义域内既有极大值点，也有极小值点，且
（为常数），则称函数为极值可差比函数，常数称为该函数的极值差比系数．
已知函数．
（1） 当时，判断是否为极值可差比函数，并说明理由；
（2） 是否存在，使的极值差比系数为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
（3） 若，求的极值差比系数的取值范围．
19.（本小题满分17分） 猫和老鼠在两个房间内游走，每经过1分钟，猫和老鼠都可以选择进行一次移动，
猫从当前房间移动到另一房间的概率为0.6，留在该房间的概率为0.4，若猫和老鼠都在一个房间，那么下
一分钟老鼠必定移动到另一个房间，否则老鼠从当前房间移动到另一房间或留在当前房间的概率相同，已
知刚开始猫在0号房间，老鼠在1号房间.设在第分钟时，猫和老鼠在0号房间的概率分别为，．
（1） 求第1分钟时，猫和老鼠在同一个房间的概率；
（2） 求证：为等比数列
（3） 求，并分析在第几分钟时，老鼠在0号房间的概率最大？
重庆一中高2027届高二下期期中考试
数学答案
一、单项选择题
1 2 3 4 5 6 7 8
B A C A D B D C
8.由题意得，，，
因为， 故点处的切线方程为，
则， 所以，
则，
结合题意可得，
所以 可得， 的取值范围为
二、多项选择题
9 10 11
ABC ABD ABD
11.设函数的导数为， 则有三个零点
当时，， 不合题意；
当时，分别画出与的图象，如图：
所以
对B、C：由题得，所以，即
若，，成等差数列，则，所以，
所以，，成等比数列，由，则，
即，所以，
由，解得，因为，
所以，
则，即数列，，的公差为，
故B正确、C错误；
对D：由，若，，成等比数列，则，
则，即有，故，，成等差数列，又，则
，故，即数列，，的
公比为，故D正确.
三、填空题
12 13 14
0.64 ，
14.①甲先从8张卡片中随机抽取2张，有种组合，乙从剩下的6张
中随机抽取1张，有种组合，
因此一局游戏中甲乙抽卡的所有可能结果总数为种，
甲抽取2张卡片中较大编号为，乙抽取1张卡片编号为，“默契局”的条件是，
由题意可知， 的可能取值是 ，，，，，，，
当 时，甲抽到的卡片只能是 ，此时需满足 ，则乙只能抽到 ，情况数为 种；
当 时，甲抽到的卡片可以是 或 ，此时需满足 ，则乙可以抽到 或 ，情况数为 种；
当 时，甲抽到的卡片可以是 或 或 ，此时需满足 ，则乙可以抽到 或 或 ，情况数为 种；
当 时，甲抽到的卡片可以是 或 或 或 ，此时需满足 ，则乙可以抽到 或 或 ，情况数为 种；
当 时，甲抽到的卡片可以是 或 或 或 或 ，此时需满足 ，则乙可以抽到 或 ，情况数为 种；
当 时，甲抽到的卡片可以是 或 或 或 或 或 ，此时需满足 ，则乙只能抽到 ，情况数为 种；
当 时，甲抽到的卡片可以是 或 或 或 或 或 或 ，此时需满足 ，没有满足条件的 ，情况数为 种；
因此，“默契局”的总情况数为 种，一局游戏成为“默契局”的概率为 。
②设单局游戏中甲乙得分之和为 ，则
如果是“默契局”；乙得 分，甲得 分，此时 ，概率为 ；
如果不是“默契局”；乙得 分，甲得 分，此时 ，概率为 ；
则单局得分之和的期望为 ，
由于三局游戏是相互独立的，总得分之和 是三局得分之和的累加，根据数学期望的线性性质，有 。
四、解答题
15.（1） 因为，所以愿意报名参加答题活动人数为，
又因为，所以愿意报名参加答题活动的男生人数为，愿意报名参加
答题活动的女生人数为，则可得到列联表为：
性别 男生 女生 合计
不愿报名参加答题活动 20 60 80
愿意报名参加答题活动 80 40 120
合计 100 100 200
零假设为：学生报名参加答题活动与性别无关，
则χ2=200×(20×40-80×60)2100×100×80×120=1003>10.828=x0.001 5分
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为学生报名参加答题活动与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于；.......6分
（2） 的所有可能取值为：，，，，
，，，。
10分
所以的分布列为：
1 2 3 4
故E(X)=1×23+2×29+3×227+4×127=4027 13分
16.（1） 由题意可知的可能取值有，，，，
，，
P(ξ=2)=C52C71C123=722，P(ξ=3)=C53C123=122。 4分
所以，随机变量的分布列如下表所示：
0 1 2 3
所以E(ξ)=0×744+1×2144+2×722+3×122=54． 7分
（2） 他们在每轮答题中取得胜利的概率为
Q=C3123(1-23)2C22(23)2+C32(23)223(1-23)2+C32(23)2C21(23)=1627 9分
设他们小组在轮流答题中取得胜利的次数为，则，，......11分
由E(X)≥6，即1627n≥6，解得n≥10.125． 14分
而n∈N*，则nmin=11，所以理论上至少要进行11轮答题． 15分
17.（1） 椭圆的离心率为，故，，其中为半焦距，
，，，故，
故c=3，∴a=23，b=3，故椭圆方程为：x212+y29=1． 5分
（2） 过点的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：，
设，，，由可得，
故且，，
而，，
故TP→·TQ→=x1x2+(y1-t)(y2-t)=x1x2+(kx1-32-t)(kx2-32-t) 8分
=(3+2t)2-12t-45k2+332+t2-273+4k2， 11分
为锐角，恒成立，故，解得或 ．
综上，存在T(0,t)（t<-92或t≥3），使得∠PTQ为锐角． 15分
18.（1） 当时，（），则，
在上单调递增，所以无极值点，不为极值可差比函数..................3分.
（2） 的定义域为，，
假设存在使的极值差比系数为，
则，是方程的两个不相等的正实数根，
则{Δ=a2 4>0x1+x2=ax1x2=1，解得a>2，不妨设x1，则x2>1， 5分，则x2>
因为
，
所以2-a=2-ax1-x2lnx1x2，从而1x1-x2lnx1x2=1，得x2-1x2-2lnx2=0 8分
令（），，
所以在上是严格增函数，所以，
因此无解，所以不存在a使f(x)的极值差比系数为2-a， 10分
（3） 由 （2） 知极值比系数为，即，
不妨设，令，，极值差比系数可化为，
a2=(x1+x2)2x1x2=x1x2+x2x1+2=t+1t+2，又433≤a≤103，解得19≤t≤13， 12分
令（），，
设（），，
所以h(t)在[19,13]上单调递减，当t∈[19,13]时，h(t)≥h(13)>h(1)=0， 15分
从而，所以在上单调递增，所以，
即2-54ln9≤p(t)≤2-2ln3， 17分
所以的极值差比系数的取值范围为。
19.（1） 设为第1分钟时，
猫在号房间，老鼠在号房间，则
，，，，
记事件为 “猫和老鼠在同一个房间”，则，
所以第1分钟时，猫和老鼠在同一个房间的概率为0.5 3分
（2） 依题意，，，
当时，猫在第分钟时位于0号房间包含两种情况：
上一分钟在0号房间，继续保持在0号房间的概率为；
上一分钟在1号房间，转移到0号房间的概率为；
由全概率公式，得，则，
而，因此数列是首项为，公比为的等比数列，
pn-12=-110-15n-1，p0=1满足上式，则pn=12-15n+12， 6分
老鼠第分钟在0号房间包含3种情况：
上一分钟猫和老鼠都在1号房间，老鼠转移到0号房间的概率为，
上一分钟猫在0号房间，老鼠在1号房间，老鼠转移到0号房间的概率为，
上一分钟猫在1号房间，老鼠在0号房间，老鼠仍在0号房间的概率为，
由全概率公式，得，
即qn=1-pn-12-qn-12 8分
而，
又因为，
所以qn+53pn-43以-16为首项，-12为公比的等比数列 10分
（3） 由 （2） 知，
即，而，
因此数列qn-12-16-15n-1是首项为-16，公比为-12的等比数列， 12分
，而也满足上式，
则qn=12+16-15n-1+13-12n，显然q0=0不是其最大值， 14分
设，当为奇数时，，
当且仅当时取等号，最大值为；当为偶数且时，，
当时，，最大值为，
则的最大值为，所以在第2分钟时，老鼠在0号房间的概率最大.
17分

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