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重庆市七校联盟高2026届第三次联合诊断性考试
数学试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1. 答题前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡规定的位置上。
2. 答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
3. 答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4. 考试结束后，将答题卷交回。
第Ⅰ卷（选择题 共58分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）
1.（原创）集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2.（原创）在复平面内，对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.（原创）的展开式中的系数是（ ）
A.40 B.30
C..
4.（改编）已知函数的图象是由函数的图象向左移动个单位长度得到，则下列命题正确的是（ ）
A.
B. 是的一条对称轴
C. 在单调递增
D. 是奇函数
5.（原创）已知圆锥的轴截面是顶角为的三角形，且该圆锥的顶点和底面的圆周都在球的球面上，则该圆锥与球的体积之比为（ ）
A. B.
C. D.
6.（改编）已知，，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.（改编）已知公差大于0的等差数列的前项和为，若，的前项和为，则（ ）
A. B.
C. D.
8.（改编）对，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.（原创）已知向量，，，则下列说法正确的是（ ）
A B. ，则
C. 在方向上的投影向量为
D. 若，的夹角为锐角，则
10.（原创）下列说法正确的是（ ）
A. 随机变量，则方差
B.2，4，5，7，8，11，15，18的上四分位数是13
C. 用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），在任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，1和2相邻的概率是
D. 对具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，对于样本点对应的残差为
11.（改编）在平面直角坐标系中，已知是双曲线上任意一点，射线上的点满足：，记的轨迹为。则下列说法正确的是（ ）
A. 关于坐标原点成中心对称
B. 上的点到原点的距离最大值为1
C. 存在点，使得点到点，的距离之差大于2
D. ，都有
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12.（原创）已知，是两个相互独立的随机事件，且满足，，则 。
13.（改编）若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是 。
14.（改编）已知数列满足，，数列满足，，则数列的最小值为 。
四、解答题（共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.（原创）设函数。
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若有两个零点，求的范围。
16.（改编）已知椭圆过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点。
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆交于不同的两点，，点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求证：直线过定点。
17.（改编）在中，角、、所对的边分别为、、，且。
（1）求角的大小；
（2）若点是上一点，且平分
①用，表示的长；②求的取值范围。
18、（改编）一个盒子里装有个大小相同的小球，编号分别为，，，，，且；现进行两次摸球试验：
第一次：从中不放回地随机摸出个球，记所摸球的编号组成的集合为.第一次试验完成后，将球放回盒子，再进行第二次试验；
第二次：从中不放回地随机摸出个球，记所摸球的编号组成的集合为。设随机变量表示的元素个数.
（1） 若，，求的分布列及期望；
（2） 若，且，求；
（3） 求的方差（且，结果用，表示），并探究，具有怎样的关系时，最大？
19、（改编）如图，在四棱锥中，，底面是矩形，，。
（1） 当四棱锥的体积最大时：
（ⅰ）平面与平面夹角大小为多少？
（ⅱ）判定此时四棱锥是否存在内切球，若存在，求内切球的半径，若不存在，请说明理由。
（2）若，，，，，，记四棱锥的体积为，四棱锥的体积为，若，求证：。
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数学答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
B D C D A D C A AC BCD ABD
8.【答案】A
由题得
令，得
令，，
则在单调递增，在单调递减
所以
故，A正确
11.【答案】ABD
设，，，则
代入双曲线，得
又，则
即
则
故轨迹的方程为：
A. 在轨迹上，其关于坐标原点的对称点显然也在轨迹上，故A正确
B.
则轨迹上的点落在单位圆上及其内部（不含坐标原点），
当时，取得最大值1，故B正确
C.若到点和的距离之差大于2，
则在以点和为焦点且半实轴的双曲线上，
该双曲线上的点显然满足，矛盾，故C错误
D.设，则由的方程可得且
所以，
即，D正确
12 13 14
0.65
14．
，，， 即，，
数列为等差数列，，
数列满足，，
，（时也成立），
，
令
可得函数在上单调递减；在上单调递增．
而，
数列的最小值为
15．解：（1）当时，，则
点在曲线上，切线斜率，
故切线方程为y=1 5分
（2），
当a≤0时，f(x)在(-∞,+∞)单调递增，至多一个零点，不满足 7分
当时，令，得
此时f(x)在(-∞,lna)单调递减，在(lna,+∞)单调递增， 9分
极小值为
又limx→-∞f(x)=+∞,limx→+∞f(x)=+∞, 11分
因此有两个零点当且仅当极小值小于零，即
综上，a的取值范围是(e,+∞) 13分
16.
（1）由题知c=3，b=1 3分
可得a2=4，b2=1，∴椭圆C的方程为x24+y2=1 6分
（2）联立{y=kx+mx24+y2=1得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0 8分
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，可得x1+x2=-8km4k2+1，x1x2=4m2-44k2+1 9分
由题知kAP+kBP=0， 10分
即，
即2kx1x2+(m-4k)(x1+x2)-8m=0解得k=-m， 14分
∴直线l的方程为y=k(x-1)，故直线l恒过定点(1,0) 15分
17.
（1）由和正弦定理，
可得3(sinCcosA-sinB)=sinAsinC(*)， 1分
又，所以，
代入（）式得，因为，所以，
可得sinC=-3cosC>0，即tanC=-3， 3分
又0（2）①因为平分，则，
由S ABC=S ACD+S BCD，可得12absin2π3=12b·CDsinπ3+12a·CDsinπ3 6分
化简得ab=(a+b)·CD，则CD=aba+b； 8分
②因为平分，所以，即，解得，......9分
则由正弦定理，
=1+32cosB2-sinB22sinB2=32tanB2+12， 13分
因，则，，则，即，
故BD+BCCD的取值范围是(2,+∞) 15分
18．
（1）由题意表示的元素个数，可能取值为，，，总取法为，
表示两次摸出的球恰有个公共元素，取法为，
则P(X=1)=30100=310， 1分
表示两次取的球完全相同，取法为，
则P(X=2)=60100=35， 2分
表示两次摸出的球有个公共元素，取法为，
则P(X=3)=10100=110， 3分
所以的分布列为：
E(X)=1×310+2×35+3×110=1.8 5分
（2）由已知，表示第二次从个球中取出个球，其中恰有个球的编号属于，
代入，则，
化简得2m2-17m+30=0， 8分
解得或，
又m≥4,m∈N*，所以m=6 10分
（3）由题，X=0，1，2， ，s，P(X=i)=Csi·Cm-s2-iCm2(i=0,1,2, ,s)， 12分
则随机变量服从超几何分布，
．15分
固定时，的大小由决定，
是开口向下的二次函数，对称轴为；
当为偶数时，时最大；
当m为奇数时，s=m-12或s=m+12时D(X)最大 17分
19.（1）
（ⅰ）方法一：设的中点为，的中点为，点到平面的距离为，则，
又因为，则，
故当平面时，四棱锥的体积最大。
因为平面，平面，所以平面平面
ABCD 1分
因为，平面平面，所以平面，
以为坐标原点，分别以，，所在的直线为轴，轴，轴，建立如图所示
的空间直角坐标系，
则，，，，，
平面的一个法向量为，
又因为，，
设平面的法向量为，
则，即，化简得
不妨令n2=(0,1,1) 3分
则，
所以平面PAB与平面PCD夹角大小为π4 5分
方法二：设的中点为，点到平面的距离为，则，又因为
，则，
故当PE⊥平面ABCD时，四棱锥P-ABCD的体积最大 1分
连接，，在矩形中，，所以
设的中点为，则，
又设平面平面，
因为，平面，平面，
所以平面，又因为平面，
所以CD∥l，AB∥l 3分
因为，，则，，
那么∠EPF为二面角E-l-F的平面角 4分
又因为平面，所以．
可得，，所以，
即，
所以平面PAB与平面PCD夹角大小为π4 5分
（ⅱ）因为平面，所以平面平面，
因为平面平面，，所以平面，即，
所以，则易知，
，
，，
所以内切球半径r=3V四棱锥P-ABCDS表P-ABCD=9656+122， 8分
设内切球球心为，中点为，因为到平面与平面距离相等，
所以由对称性可知，点在平面上，
又因为点到平面与平面距离相等，且二面角的大小为，
所以点O在EM上， 10分
因为，所以，解得，
因为两个r的值不同，故不存在内切球 11分
（2）由，，，，
可得为线段的中点，为线段的中点。
则四棱锥的体积为四棱锥体积的一半，
即V1=VC1-ABCD=12VP-ABCD=12V 12分
如此可得：即。
所以是以为首项，为公比的等比数列。
所以Vn=12V·12n-1=V·12n，n∈N* 13分
则.......15分
所以，
成立 17分

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