资源简介

（在此卷上答题无效）
2026届高三规范性训练
数学
（考试时间： 120分钟 满分：150分）
注意事项：
1. 答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的.
1. 已知复数 ，则
A. ..2
D.2i
2. 已知集合 ，，若，则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
3.（人教A版必修第一册复习参考题5复习巩固T4改编） 若，则
A.3 B.
C.2 D.
4.（人教A版必修第二册习题6.3拓广探索T15改编）定义平面斜坐标系，记，，分别为轴、轴正方向上的单位向量. 若，则称为的斜坐标. 已知，的斜坐标分别为，，则
A.1 B.
C. D.
5. 正多面体的研究始于古希腊柏拉图学派，正四面体与正八面体是其中最具代表性的两类. 将正四面体的棱的中点相连，内部会形成一个完美的正八面体，这一结构是空间对称性的经典体现. 如图，在正四面体中，连接各棱的中点构造出正八面体，若该正八面体的相对顶点连线，则正四面体的高为
A. B.
C. D.
2026届高三规范性训练 第1页 共4页
6. 函数的大致图象为（ ）
7. 等比数列的前n项和为，则下列说法不正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若是递减数列，则公比q满足
C. 若，，则公比
D. 若（t为常数），则
8. 已知定义在R上的函数满足对，有，且对，都有. 设，若对，都有恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.（人教A版必修第二册P224复习参考题9 T2改编）1名同学掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数. 根据该同学的统计结果，可以判断可能出现点数为6的是（ ）
A. 平均数为3，中位数为2 B. 中位数为3，众数为2
C. 平均数为2，方差为2.4 D. 中位数为3，方差为2.8
10. 设三次函数，其中，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，若函数的对称中心为，则
B. 当时，函数的图象关于点中心对称
C. 当时，若的两个极值点为，，且，则
D. 当时，若有三个相异且成等差数列的零点，则实数a的取值范围为
11. 已知椭圆，其左、右焦点分别为，，离心率为，过左焦点的直线与交于，两点，若点在轴上方，且，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. （为坐标原点）
C. 点在第一象限，则
D. 若为的下顶点，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.（人教A版选择性必修三复习参考题6复习巩固T5）的展开式中的系数为 。
13. 已知，，且，则的最小值为 。
14. 平面直角坐标系中，曲线上有一系列点，，。对，以为圆心的圆与轴都相切，且圆与圆彼此外切。若，且，记数列的前项的和为，则使得恒成立的最小正整数为 。
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）在中，角，，的对边分别为，，，且。
（1） 求；
（2） 若为的中点，，的面积为，求。
16.（15分）AI手机是近年来备受关注的新一代智能终端，与智能网联新能源汽车、智能机器人等共同纳入国家发展战略。某商场为了解顾客的购买意愿，随机调查了200位顾客购买AI手机的情况，得到数据如表。
购买AI手机 购买无AI技术的手机 总计
男性顾客 45 65 110
女性顾客 56 34 90
总计 101 99 200
（1）根据表中数据，判断是否有99%的把握认为购买AI手机与顾客的性别有关？并说明理由；
（2）为促进AI手机的销量，该商场为购买AI手机的顾客设置了抽奖环节，共设一、二等奖两种奖项，分别奖励200元、100元手机话费，抽中一、二等奖的概率分别为和，其余情况不中奖．每位顾客允许连续抽奖两次，且两次抽奖相互独立．记某位顾客两次抽中的奖金之和为元，求随机变量的数学期望．
参考公式及数据：①，其中．
②，，，．
17.（15分）（人教A版选择性必修一习题3.2拓广探索T13、T14改编）已知双曲线．
（1）试问过点能否作一条直线与双曲线交于、两点，使为线段的中点，如果存在，求出其方程；如果不存在，说明理由；
（2）直线：与双曲线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于，两点．当点运动时，求点的轨迹方程．
18.（17分）如图，在三棱锥中，，，，，，，点，分别是棱，上的点，且直线平面．
（1）求的长；
（2）求三棱锥的体积；
（3）求直线与平面所成角的正弦值。
19.（17分）已知函数，．
（1）关于的不等式有解，求的取值范围；
（2），，有成立，证明：；
（3），令，证明：．
一、单项选择题
1.C 2.B 3.A 4.C 5.A 6.A
5. 设正四面体的棱长为，连接各棱中点形成的正八面体的棱长为。
根据题意，正八面体相对顶点连线，由于正八面体可内接于正方体，
其体对角线（相对顶点连线）等于棱长的倍，故有：，解得。
正四面体的高公式为，将代入得：。
7.B 8.B
由题意，令，则，所以，关于中心对称，且函数在上单调递增。又因为，所以关于中心对称，又在上单调递增，所以在上单调递增。
若对，都有恒成立，，所以。
所以对任意正实数恒成立，所以，记，所以在上单调递增，且。于是恒成立，等价于对任意正实数成立。即，对。记，则，所以在区间上单调递增，在上单调递减，所以，所以解得：。
二、多项选择题
9.ABD 10.BCD 11.ACD
9. 解：对于，当掷骰子出现的结果为，，，，时，满足平均数为，中位数为，可以出现点，所以正确；
对于，当掷骰子出现的结果为，，，，时，满足中位数为，众数为，可以出现点，所以正确；
对于，若平均数为，且出现点数，则方差，所以当平均数为，方差为时，一定不会出现点数，所以错误；
对于，当掷骰子出现的结果为，，，，时，满足中位数为，则平均数为，方差为，所以可以出现点，所以正确，故选：。
10. 对于：由可得，因为函数的对称中心为，
所以对，，即，
所以，解得，又，解得。
所以 ，故 ，A错误；
对于B：当 时，，
因为 是奇函数，关于点 对称，
所以函数 的图象关于点 中心对称，故B正确；
对于C：由 可得 ，，
则 ， 是方程 的两根，所以 ，，
又 ，所以 ，，所以 ，即 ，故C正确；
对于D：因为 ，所以 ，
设三个相异且成等差的零点为 ，，，
则 ，
所以 ，得 ，又 ，所以 ，
由 得 ，又 ，所以 ，
即 的取值范围为 ，故D正确。故选：BCD。
11. 根据条件，可得 ，根据勾股定理、椭圆的定义及面积公式，可得 面积的表达式，即可得 点纵坐标 ，根据 ，结合 ，， 的关系，整理计算，可判断A的正误；根据 ，分析可判断B的正误；根据余弦
定理，可得 、 的表达式，即可得 的表达式，结合 的范围，分析求解，可判断C的正误；由条件，可得
的表达式，进而可得 的表达式及范围，整理化简，即可判断D的正误。
选项A：由 ，得 ，则 ，
由椭圆的定义得 ，则 ，
所以 ，则 ，
所以 ，
又 ，所以 ，则 ，
又，所以，则，所以，则，
所以，则，即，解得，故A正确；
选项B：，故B错误；
选项C：若点在第一象限，则，
设，设，，
由余弦定理得，
则，整理得，
所以；同理可得，
则，
由点在第一象限知，则，
设，则，所以，故C正确；
选项D：由A项知，所以，
，
则，所以，故D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.30
13.4
根据已知条件，将所求的式子化为，利用基本不等式即可求解.
，，，， ，
当且仅当时取等号，结合，解得，，或，时，等号成立. 故答案为：4
14.507
因为点在曲线上，故；因为圆与轴都相切，故圆的半径为，由圆与圆彼此外切，得到，则，因为，所以，即，数列是以为首项，4为公差的等差数列，即，故，，且，故，最小正整数为507.
四、解答题
15.（13分） 在中，角，，的对边分别为，，，且.
（1） 求；
（2） 若为的中点，，的面积为，求.
16. 手机是近年来备受关注的新一代智能终端，与智能网联新能源汽车、智能机器人等共同纳入国家发展战略. 某商场为了解顾客的购买意愿，随机调查了200位顾客购买手机的情况，得到数据如表.
购买手机 购买无技术的手机 总计
男性顾客 45 65 110
女性顾客 56 34 90
总计 101 99 200
（1）根据表中数据，判断是否有99%的把握认为购买手机与顾客的性别有关？并说明理由；
（2）为促进手机的销量，该商场为购买手机的顾客设置了抽奖环节，共设一、二等两种奖项，分别奖励200元、100元手机话费，抽中一、二等奖的概率分别为和，其余情况不中奖. 每位顾客允许连续抽奖两次，且两次抽奖相互独立. 记某位顾客两次抽中的奖金之和为元，求随机变量的数学期望.
参考公式及数据：①，其中；
②，，，.
解：（1）假设：购买手机与顾客性别无关.
根据公式，因为，所以假设不成立，
即我们有99%的把握认为购买手机与顾客的性别有关，此判断犯错误概率不超过0.01；
（2）可能取值为0，100，200，300，400，
每次抽奖不中奖的概率为，中100元概率为，中200元概率为，
，
，
，
，
，
所以的分布列为：
0 100 200 300 400
期望为
17.（人教A版选择性必修一习题3.2拓广探索T13、T14改编）（15分） 已知双曲线.
（1）试问过点能否作一条直线与双曲线交于，两点，使为线段的中点，如果存在，求出其方程；如果不存在，说明理由；
（2）直线：与双曲线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于，两点.当点运动时，求点的轨迹方程.
【答案】（1）不能，理由见解析； （2） ，.
18．（本小题满分17分）如图，在三棱锥中，，，，，，，点，分别是棱，上的点，且直线平面．
（1）求的长；
（2）求三棱锥的体积；
（3）求直线与平面所成角的正弦．
（1）在中，由余弦定理，得，
在中，由余弦定理，得，
因为平面，，平面，
所以，，
所以在中，，
在中，，
在中，由余弦定理，得，
所以在中，由余弦定理，得.
（2）所以在中，，
在中，，
在中，由余弦定理，得，
所以，
设点到平面的距离为，
由三棱锥的体积公式和性质，
得，所以
.
（3）由上可知：，取的中点，显然，
因为平面，平面，
所以，
因此以，所在的直线为轴和轴，过与平行的直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
，，，，
由上可知：是棱中点，，
所以可得，，即
设平面的法向量为，
，，
所以，
所以取该平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
所以，。
19. （本小题满分17分）
已知函数，。
1. 关于的不等式有解，求的取值范围；
2. ，，有成立，证明：；
3. ，令，证明：。
1. 将不等式有解问题转化为函数最值问题，通过构造并利用导数分析单调性，求出最小值后直接得到参数的取值范围。
2. 通过引入中间变量，将转化为关于的函数，再利用导数研究其单调性与最小值，结合隐零点技巧完成证明。
3. 采用固定变量、构造辅助函数的方法，通过分析其导数的符号判断单调性，再结合端点值完成不等式证明。
1. 有解，即需，设，
2. ，在上小于0，在上大于0，
3. 在上单调递减，上单调递增，
4. ，故。
5. 令，，，。
6. 令，。
7. 在上单调递增。，，
根据零点存在定理，在上存在唯一，使得，
即，，两边取对数有，
在上小于0，在上大于0，
在上单调递减，上单调递增，
∴ ，即．
（3）原命题等价于，
令，将看作定值，看作变量．
．
，
即，
第一部分：，
因为，所以，且，函数单调递增，
故，因此：，
即；
第二部分：，
利用经典不等式，得，因此：，
又因为，，交叉相乘易证，即，
故：，
两部分均为正，故，即在上单调递增，，
恒成立，故原命题成立，证毕．

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